유튜브에서 우연히 마주친 영상에서 본 문제인데, 비록 한 문제이나 생각할 점이 많은 것이라 갑자기 포스팅하고 싶어졌다.
직관적으로도 알 수 있다시피, 당연히 다음은 참인 문장이다.
[Theorem]
자연수 \(n\)에 대하여 \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)은 무리수이다.
다만, 이는 고등학교 수학으로 완벽하게 설명할 수는 없다. 그 내용이 어려워서 그런 것은 아니지만 '당연해 보이나 설명하려면 상당히 어려운' 내용이다. 보통 눈에 보이거나 기술적으로 접근할 수 있는 내용을 다루는 고등학교 수학에서는 그런 내용을 종종 '~함이 알려져 있다.'라는 식으로 설명하고 있다.
[Theorem]을 설명할 때 그런 애매한 내용까지 다루면 글이 매우 길어지므로, 추가적인 설명이 필요한 부분은 따로 떼서 이론적 배경과 함께 간단히 다루고자 한다. 사실 그런 내용은 부가적인 부분이고, 주어진 식의 특수한 점을 이용하는 것이 주된 내용이기 때문에 그렇기도 하다.
# [Theorem]의 증명 ▶
(Proof of the Theorem)
\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)이 유리수가 되는 자연수 \(n\)이 존재한다고 가정하자. 그러한 자연수 \(n\)에 대하여
\[
\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{q}{p}
\]를 만족시키는 서로소인 두 자연수 \(p\), \(q\)가 존재한다. 그러면
\[
\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{p}{q}
\]이다. 즉, \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\) 또한 유리수이다. 이때
\[
(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \frac{p}{q}+\frac{q}{p}\; \Rightarrow \;\boldsymbol{\sqrt{n+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{p}{q} + \frac{q}{p} \right)}
\]이고,
\[
(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \frac{p}{q}-\frac{q}{p}\; \Rightarrow \; \boldsymbol {\sqrt{n} = \frac{1}{2} \left( \frac{p}{q} - \frac{q}{p} \right)}
\]이므로 \(\sqrt{n+1}\)과 \(\sqrt{n}\) 모두 유리수이다.
그런데 모든 자연수 \(N\)에 대하여 \(\sqrt{N}\)이 유리수이면, \(\sqrt{N}\)은 자연수가 되어야 하므로, (★)
\(\sqrt{n+1}\)과 \(\sqrt{n}\) 모두 자연수이다. 즉, \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) 또한 자연수이다. 이때
\[
\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<1\]이므로 모순이다.
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위 내용은 \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)과 \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\)이 서로 역수 관계에 있음을 이용하여 설명한 것이다.
중학교 1학년 과정에서 역수의 개념을 처음 배우는데, 보통 역수라 하면 분자와 분모를 뒤집은 것을 생각하나 위와 같이 분자와 분모가 뒤집힌 형태를 띄지 않더라도 역수가 될 수 있음을 아이들에게 설명했던 기억이 난다.
설명에서 음영 처리한 (★) 부분은 고등학교 과정에서 설명하기 약간 어려운 부분이라, 아래와 같이 정리해 보았다. 이해하기 쉽게 쓰려고 노력했으나, 엄밀하게는 대수학이나 정수론에 대한 지식이 필요한 부분이라 고등수학 과정에서는 그냥 느낌만 이해해도 좋을 것이다.
# (★)에 대한 설명 ▶
자연수 \(N\)에 대하여 \(\sqrt{N}\)이 유리수라고 하면, \(\sqrt{N}=\displaystyle{\frac{q}{p}}\)인 서로소인 두 자연수 \(p\), \(q\)가 존재한다. 이를 정리하여 다음 식을 얻는다.
\[
\sqrt{N}=\frac{q}{p}\; \Rightarrow\; p\sqrt{N}=q\; \Rightarrow \; p^2N=q^2\] 즉, \(p\times pN=q^2\)이므로 \(p\)는 \(q^2\)의 약수이다. 그런데 \(p\)와 \(q\)가 서로소이므로 \(p\)와 \(q^2\) 또한 서로소이다. 따라서 \(p=1\)이고 \(\sqrt{N}\)은 자연수이다.
(주1) 음영 표시한 부분에 대한 추가 설명(1):
\(p\)와 \(q\)가 서로소라는 것은, 두 자연수의 공통인 소인수가 존재하지 않는다는 것이다. \(q^2\)의 소인수 중 \(p\)의 소인수가 있다면, 당연히 \(q\)에도 있어야 한다.
(주2) 음영 표시한 부분에 대한 추가 설명(2): 정수론에서는 보통 다음 정리를 이용하여 설명한다.
<베주 항등식(Bézout's Identity)>
둘 중 적어도 하나가 \(0\)이 아닌 두 정수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a\), \(b\)의 최대공약수가 \(d\)이면 다음이 성립한다.
(1) \(ax+by=d\)인 두 정수 \(x\), \(y\)가 항상 존재한다.
(2) \(d\)는 \(ax+by\)의 형태로 표현할 수 있는 가장 작은 자연수이다.
(3) \(ax+by\)의 형태로 표현되는 모든 정수는 \(d\)의 배수이다.
위 정리를 설명하려면, 정수론에서 가장 중요한 자연수의 정렬성(Well-ordering Principle)부터 설명해야 하므로 그냥 기술적으로 받아들이기로 하자.
위 정리에서 \(a\), \(b\)가 특히 서로소인 경우, \(d=1\)이고 \(1\)은 약수가 자기 자신뿐이므로 위의 정리 (1)~(3)에 의해
'두 정수 \(a\), \(b\)가 서로소인 필요충분조건은 \(ax+by=1\)인 정수 \(x\), \(y\)가 존재하는 것이다.' … (*)
라는 결론을 얻을수 있다. 음영 표시한 부분에 (*)을 적용해 보자. 두 자연수 \(p\)와 \(q\)는 서로소이므로 \(px+qy=1\)인 두 정수 \(x\), \(y\)가 존재한다. 이 등식의 양변을 제곱하여 정리하면
\[
p^2x^2+2pqxy+q^2y^2=1 \; \Rightarrow \; p(px^2+2qxy)+q^2y^2=1\]이다. 따라서 (*)에 의해 \(p\), \(q^2\)은 서로소이다.
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