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법곡률 곡면론에서는 많은 이론들이 법선벡터를 이용하여 설명된다. 그럴 수밖에 없는 것이, 곡면 위의 각 점의 근방은 그 점에서의 접평면에 근사하기 때문이다. (접평면은 각 점에서의 근방의 1차 근사이다.) 앞으로 다룰 주곡률이나 측지곡률같은 중요한 개념도 법선벡터를 이용하여 정의된다. 그 중에서 일차형식, 이차형식과 관련하여 정의되는 개념이 법곡률이다. [Definition 9.12] 점 $P$를 $C^2$급 이상의 곡면 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$ 위의 한 점이라 하고, $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u(t),v(t))$를 점 $P$를 지나는 $C^2$급 이상의 정칙 곡선이라고 하자. 점 $P$에서의 곡선 $C$로의 법곡률벡터(normal cu..

제1기본형식 공간의 임의의 곡선은 곡률과 열률이라는 두 가지 불변량에 의하여 정확히 하나로 결정된다. 곡면도 그와 같이 두 가지 불변량인 '제1기본형식'과 '제2기본형식'에 의하여 유일하게 결정된다. 곡면의 적당한 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 $uv$평면 위의 한 점 $(u,v)$에 대하여 이 점에서의 미분(differential) $d\mathbf{x}$는 $uv$평면 위의 점 $(u,v)$에서의 진행 방향의 (미소)벡터 $(du,dv)$ (이때 $uv$평면에서 점 $(u,v)$가 어떤 경로를 따라 이동한다고 생각하면 된다.)에 대하여 $$d\mathbf{x}={\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv$$로 정의되는 벡..

단순 곡면 단순 곡면은 '곡면'이라 불리는 좌표공간의 점들의 집합 중에서 좋은 위상적인 성질을 가지는 집합이다. 유클리드 공간에서의 열린 집합을 이용하여 정의될 수 있는 곡면이라면 거리 공간에서의 여러 정리를 이용할 수 있을 것이다. 단순 곡면의 정의는 다음과 같다. [Definition 2.0] ${\mathbb{R}}^3$의 점들의 집합 $S$가 다음 조건을 만족시키는 $C^m$급($m\ge 1$)의 좌표 조각들의 모임 $\mathcal{B}$를 가지면 $S$와 그 좌표 조각들의 모임을 통틀어 ${\mathbb{R}}^3$에서의 $C^m$급에서의 단순 곡면(simple surface)이라고 한다. (i) $\mathcal{B}$는 $S$를 덮는다. 즉, $S$의 임의의 점 $P$에..

곡면의 정칙 매개표현 미분기하학은 크게 보면 곡선에 관한 이론과 곡면에 관한 이론으로 나누어져 있다. 곡면에서도 곡선과 마찬가지로 위치에 관계없이 곡면을 결정하는 두 요소가 있는데, 그것은 다음 챕터에서 다루고, 이전에 곡면에 관한 기본적인 사항에 대해 다룰 필요가 있다. 곡선은 하나의 매개변수로 표현되는 벡터 함수이고, 곡면은 두 개의 매개 변수로 표현되는 벡터 함수이다. 좌표평면 위의 모든 점을 공간으로 옮긴다고 생각하면 된다. 곡선과 같이 곡면도 '매끄럽고', '부드러운' 성질을 갖는 것들을 다룬다. 갑자기 어떤 점에서 툭 튀어 나온다거나 꺾인다거나 뾰족하게 솟아 있다던가 하는 것들은 좋은 곡면으로서 주제로 다루지 못한다. 이로써, 곡면의 정칙 매개표현(좋은 표현)을 다음으로 정의한다. [Defin..

곡선의 내재적 방정식 곡률과 열률의 정의로부터 $\dot{\mathbf{t}}=\kappa \mathbf{n},\dot{\mathbf{b}}=-\tau \mathbf{n}$이다. 이를 이용하면 $$\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{n}}=\frac{d}{ds}\{\mathbf{b}\times \mathbf{t}\}& =\dot{\mathbf{b}}\times \mathbf{t}+\mathbf{b}\times \dot{\mathbf{t}}\\ & =-\tau (\mathbf{n}\times \mathbf{t})+\kappa (b\times \mathbf{n})\\ & =-\kappa \mathbf{t}+\tau \mathbf{b}\end{array}$$이다. 이를 정리하면 다..

정칙 곡선 미분기하학에서는 '부드럽게 이어진' 곡선과 곡면을 다룬다. '부드럽게 이어진' 곡선을 일명 '정칙 곡선'이라 하는데, 곡선은 매개화를 하는 방법에 따라 여러 가지 표현이 가능하기 때문에 정칙 곡선은 그 표현 방법에 의존한다. [Example 0.0] 좌표평면 위의 원 $x^2+y^2=1$은 다음 두 가지 방법으로 표현할 수 있다. \[\begin{align}&\mathbf x_1=\left(\cos t, \,\sin t\right)\, (0\leq t\leq 2\pi)\[.4em]&\mathbf x_2=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \, \frac{2t}{1+t^2}\right)\, (-\infty0, \, b\neq 0)\,\)에 대하여 \[\begin{align} &..