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법곡률 곡면론에서는 많은 이론들이 법선벡터를 이용하여 설명된다. 그럴 수밖에 없는 것이, 곡면 위의 각 점의 근방은 그 점에서의 접평면에 근사하기 때문이다. (접평면은 각 점에서의 근방의 1차 근사이다.) 앞으로 다룰 주곡률이나 측지곡률같은 중요한 개념도 법선벡터를 이용하여 정의된다. 그 중에서 일차형식, 이차형식과 관련하여 정의되는 개념이 법곡률이다. [Definition 9.12] 점 \(P\)를 \(C^2\)급 이상의 곡면 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\) 위의 한 점이라 하고, \(\mathbf x=\mathbf x(u(t), v(t))\)를 점 \(P\)를 지나는 \(C^2\)급 이상의 정칙 곡선이라고 하자. 점 \(P\)에서의 곡선 \(C\)로의 법곡률벡터(normal cu..

제1기본형식 공간의 임의의 곡선은 곡률과 열률이라는 두 가지 불변량에 의하여 정확히 하나로 결정된다. 곡면도 그와 같이 두 가지 불변량인 '제1기본형식'과 '제2기본형식'에 의하여 유일하게 결정된다. 곡면의 적당한 좌표 조각 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)에 대하여 \(uv\)평면 위의 한 점 \((u, v)\)에 대하여 이 점에서의 미분(differential) \(d\mathbf x\)는 \(uv\)평면 위의 점 \((u, v)\)에서의 진행 방향의 (미소)벡터 \((du, dv)\) (이때 \(uv\)평면에서 점 \((u, v)\)가 어떤 경로를 따라 이동한다고 생각하면 된다.)에 대하여 \[d\mathbf x=\mathbf x_udu+\mathbf x_vdv\]로 정의되는 벡..

단순 곡면 단순 곡면은 '곡면'이라 불리는 좌표공간의 점들의 집합 중에서 좋은 위상적인 성질을 가지는 집합이다. 유클리드 공간에서의 열린 집합을 이용하여 정의될 수 있는 곡면이라면 거리 공간에서의 여러 정리를 이용할 수 있을 것이다. 단순 곡면의 정의는 다음과 같다. [Definition 2.0] \(\Bbb R^3\)의 점들의 집합 \(S\)가 다음 조건을 만족시키는 \(C^m\)급(\(m\geq 1\))의 좌표 조각들의 모임 \(\mathcal B\)를 가지면 \(S\)와 그 좌표 조각들의 모임을 통틀어 \(\Bbb R^3\)에서의 \(C^m\)급에서의 단순 곡면(simple surface)이라고 한다. (i) \(\mathcal B\)는 \(S\)를 덮는다. 즉, \(S\)의 임의의 점 \(P\)에..

코시의 적분 공식(CIF) 코시의 정리는 복소함수론에서의 중심적인 결론 중 하나로, 이로부터 파생되는 여러 정리들이 있다. 코시의 적분 정리는 특수한 유리함수 형태의 복소적분은 경로 내부의 특이점에만 의존한다는 정리이다. 이를 일반화하면 정칙인 복소함수의 n계도함수의 값을 선적분으로 표현할 수도 있고, 복소함수는 정칙인 것과 해석적인 것이 동치라는 것을 보일 수도 있다. [Theorem 7.0] (코시의 적분 공식: Cauchy's Integral Formula(CIF)) \(\gamma\)를 폐경로라 하고, \(f\)는 \(\text{Int}(\gamma)\cup \gamma^*\)를 포함하는 열린 집합에서 정칙인 함수라고 하자. 그러면 각 \(a\in \text {Int}(\gamma)\)에 대하여 ..

코시의 정리 코시의 정리 또는 코시-구르사(Cauchy-Goursat)의 정리라 불리는 정리는 복소해석학의 가장 중심적이고 핵심적인 정리 중 하나이다. 이로부터 코시의 적분 공식, 리우빌 정리, 해석함수의 성질 등 여러 가지를 유도할 수 있다. 얼핏 보면 미적분의 기본 정리와 비슷해 보이지만, 본질적으로 피적분함수의 도함수의 연속성을 가정하지 않는다는 점에서 다르다. 우선 코시의 정리의 진술은 다음과 같다. [Theorem 6.0] [The Cauchy-Goursat Theorem: 코시-구르사의 정리] \(\gamma^*\)를 조각마다 매끄러운 함수 \(\gamma: [a, b]\to \Bbb C\)에 의하여 결정되는 폐경로(contour)라 하자. \(D\)를 \(\text{Int}(\gamma)\c..

균등수렴과 항별 미적분 복소함수는 앞으로 논의될 코시의 적분 공식에 의하여 정칙인(즉, 어떤 열린 집합에서 미분가능한) 함수와 해석함수(급수 전개 가능한 함수)가 동일한 의미를 갖는다. 실함수에서는 무한 번 미분가능한 함수가 해석함수인 것과 같은 의미를 갖지 않는 것과 대비되는 성질이다. 즉, 정칙인 복소함수는 항상 급수 전개가 가능하기 때문에 멱급수의 균등수렴성이 상당히 중요한 의미를 가진다. 균등수렴성을 논의할 때 이용되는 여러 용어나 기호는 실함수에서와 동일하다. [Definition 4.0] \(\Bbb C\)의 부분집합 \(S\)에서 정의된 유계함수 \(f\)에 대하여 함수 \(f\)의 (균등)노름((uniform) norm)을 \[||f||=||f||_S=\sup_{z\in S}|f(z)|\]..

무한대에서의 극한, 무한대 극한 함수의 극한은 \(x\)의 값이 어떤 점으로 가깝게 다가갈 때, 함숫값이 어떤 값에 접근하는지 나타낸다. 이와 비슷하게 \(x\)의 값이 한없이 커지거나 작아질 때, 함숫값이 어디로 가깝게 다가가는지 관찰하는 것도 자연스러울 것이다. 이에 무한대에서의 극한을 정의한다. [Definition 3.18] (1) \(f\)가 구간 \((a, \infty)\)에서 정의되었다고 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 실수 \(\beta\)가 존재하여 \(x>\beta\)일 때마다 \(|f(x)-L|0\)에 대하여 실수 \(\gamma\)가 존재하여 \(x0\)에 대하여 \(M=2/\epsilon\)이라 하고 \(x>M\)이라 하면 \[|f(x)-2|=\dfrac{2}{1..

함수의 정의와 연산 해석학에서 다루는 함수의 개념은 고등학교 1학년에서 배우는 함수의 개념와 정확히 동일하다. 즉, 어떤 집합의 각 원소에서 다른 집합의 원소로 하나씩 대응시키는 '관계'를 함수라고 한다. 일반적으로는 집합론에서 함수는 두 집합의 곱집합의 특정한 조건을 만족시키는 부분집합을 의미한다. [Definition 3.0] (1) 두 집합 \(X\), \(Y\)에 대하여 집합 \[X\times Y=\{(x, y): x\in X, \ y\in Y\}\]을 \(X\)와 \(Y\)의 데카르트 곱(Cartesian product)이라고 한다. \(R\)이 \(X\times Y\)의 부분집합인 경우 \(R\)을 \(X\)와 \(Y\) 위의 관계(relation)라 하고, \((x, y)\in R\)일 때 ..

\(\Bbb R\)의 위상 해석학에서 다루는 분야는 크게 보면, 극한과 연속, 미분과 적분가능성, 급수 등이 있다. 이를 자세하기 다루기 위해서는 미적분학이나 대수학 등에서 다루었던 기본적인 실수의 성질이 아니라 \(\Bbb R\)의 구조적인 성질을 이해할 필요가 있다. 위상수학에서는 이로부터 더욱 발전된 논의를 진행하는데, 여기에서는 실해석학에서 필요한 부분만 다룬다. 다음은 기초적인 집합들의 연산과 정의들에 관한 설명이다. 집합에서 어떤 특성을 갖는 원소들의 전체의 집합을 전체집합(universal set)이라 하는데, 여기에서는 당연히 전체집합을 \(\Bbb R\)로 간주한다. [Definition 2.0] \(S\)와 \(T\)를 집합이라고 하자. (a) \(S\)의 모든 원소가 \(T\)의 원소..

(Note) 이 문서는 교재의 연습 문제 중에서 다른 문제를 해결할 때 유용할 법한 명제들을 정리한 것입니다. 앞으로도 내용이 추가될 수 있습니다. [Theorem 1.0] 세 집합 \(A, \, B, \, C\)에 대하여 \(A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)\)이고 \(A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)\)이다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) \[\begin{align}A\times (B\cap C)&=\{(a, b)\,|\, a\in A, \ b\in B\cap C\}\\[.4em]&=\{(a, b) \, |\, a\in A, \ b\in B\}\cap \{(a, b)\, |\, a\in A, \ b\i..

연결 성분 위상공간은 적절히 여러 연결된 부분집합으로 나누어 분할할 수 있다. 임의의 한 점 집합은 연결집합이므로 극단적으로 한 점 집합으로 그 위상공간을 분리할 수 있을 것이고, 아닌 경우에는 적당히 크기가 있는 여러 연결 집합으로 그 위상 공간을 나눌 수 있을 것이다. 이때 연결 성분은 극대인 연결 집합을 의미한다. 즉, [Definition 3.0] 위상공간 \(X\)의 연결 성분(connected component)이란 극대인 \(X\)의 연결인 부분집합을 의미한다. 즉, \(E\subset X\)가 임의의 \(X\)의 연결인 부분집합 \(C\)에 대하여 \(E\subset C\)이면 \(E=C\)를 만족시킬 때, \(E\)를 \(X\)의 연결 성분이라고 한다. [Example 3.1] 연결공간 ..

연결집합과 비연결집합 위상수학에서의 공간에 대한 논의는 모두 열린 집합으로부터 비롯된다. 연결성도 마찬가지인데, 크게 보면 연결집합이란 두 개의 서로소인 열린 집합으로 떼어낼 수 없는 집합을 의미한다. \(\Bbb R\)에서 예를 들어 집합 \(A=[-1, \,1]\)은 연결집합이지만 \(A\cap \Bbb Q\)는 연결집합이 아니다. \(A\cap \Bbb Q\)는 두 열린구간 \((-2, \, 1/\sqrt{2}), \; (1/\sqrt{2}, \,2)\)로 분리할 수 있기 때문이다. 연결성을 논의하기 위해 맨 처음 두 집합의 '분리'에 대해 얘기해야 한다. 위의 예시로부터 확장하여 분리된 두 개의 열린 집합에 의하여 나눌 수 있는 집합을 비연결집합이라고 하기 때문이다. [Definition 1.0]..

원분확대체(Cyclotomic Extension) 원분(圓分)이란 말 그대로 원을 나눈다는 것이다. 다항식 \(x^n-1\)의 \(n\)개의 복소수의 근은 복소평면 위에서 단위원 \(|z|=1\)의 둘레를 \(n\)등분한다. 이런 점에서 일반적인 다항식의 정규 확대보다는 더욱 좋은 성질을 갖는다. [Definition 0.0] 체 \(F\) 위의 다항식 \(x^n-1\)의 분해체(splitting field)를 \(n\)차 원분확대체(\(n\)th cyclotomic extension)라고 한다. 다항식 \(x^n-1\)의 한 근을 \(\alpha\)라 하면 \[g(x)=(x^n-1)/(x-\alpha)=x^{n-1}+\alpha x^{n-2}+\cdots+ \alpha^{n-1}\]이므로 \(g(\al..

여러 가지 정리들 실로우 정리와 함께 응용되는 여러 가지 정리들은 다음과 같다. 이들은 주로 특정한 위수의 군이 단순군인지 판별할 때 쓰인다. [Theorem 0.0] 유한군 \(G\)의 두 정규부분군 \(H, \, K\)가 \(H \cap K=\{e\}\)와 \(H \vee K=G\)을 만족시키면 \(G \simeq H\times K\)이다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) 우선 임의의 \(h\in H, \, k\in K\)에 대하여 \(H \triangleleft G, \, K \triangleleft G\)이므로 \[\begin{align} &k^{-1}hkh^{-1}=(k^{-1}hk)h^{-1}\in H, \\[0.1em] &k^{-1}hkh^{-1}=k^{-1}(hkh^{-1})\in K \..