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2024학년도 6월 모의평가 미적분 28번

[문제]두 상수 \(a\) \((a>0)\), \(b\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a\times b\)의 값은?(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[ \{f(x)\}^2+2f(x)=a\cos^3\pi x\times e^{\sin^2\pi x}+b\]이다.(나) \(f(0)=f(2)+1\)이 문제 또한 어떤 유튜브 영상에서 한 강사가 '2등급 이상이면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제'라고 언급하기에 호기심이 생겨 가져왔다. 그런데 나는 아무리 봐도 그 정도로 쉬운 문제는 아닌 것 같아서 내 머리가 그새 많이 나빠진 건지 고민을 했다. (실제로 그런 것 같기도 하고...)달린 댓글을 보니, 이 문제가 그 해 수능 모의평가에 나왔던 문제 중에..

유튜브에서 우연히 마주친 영상에서 본 문제인데, 비록 한 문제이나 생각할 점이 많은 것이라 갑자기 포스팅하고 싶어졌다.직관적으로도 알 수 있다시피, 당연히 다음은 참인 문장이다. [Theorem]자연수 \(n\)에 대하여 \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)은 무리수이다.다만, 이는 고등학교 수학으로 완벽하게 설명할 수는 없다. 그 내용이 어려워서 그런 것은 아니지만 '당연해 보이나 설명하려면 상당히 어려운' 내용이다. 보통 눈에 보이거나 기술적으로 접근할 수 있는 내용을 다루는 고등학교 수학에서는 그런 내용을 종종 '~함이 알려져 있다.'라는 식으로 설명하고 있다. [Theorem]을 설명할 때 그런 애매한 내용까지 다루면 글이 매우 길어지므로, 추가적인 설명이 필요한 부분은 따로 떼서 이론적 배..

1. 이 글을 쓰는 이유 나는 기본적으로 블로그에 광고하는 것을 정말 좋아하지 않는다. 애초에 블로그는 수익을 위한 목적으로 만든 것도 아닐 뿐더러, 내가 만들어놓은 것에 다른 사람의 것을 올려둔다는 게 기분이 좋지 않기 때문이다. 또, 이 네이버 계정으로는 예전부터 네이버 지식IN과 여러 카페 활동을 해왔기 때문에, 돈을 주고 판다는 게 영 내키지 않았다. 무엇보다도 블로그에 광고 글 쓰지 않는다고 메인에 걸어놨는데도 불구하고, 상호도 제대로 나오지 않은 업체로부터 다음과 같은 문자를 계속 받다 보면 정이 뚝 떨어지기 마련이다. 제목에서도 써놨듯, 이 글은 네이버 현대카드를 스스로 내가 광고하기 위해 쓰는 글이다. 내가 쓰지 않는다고 하는 광고는 다른 사람이 돈을 주고 나에게 시키는 광고를 말하는 것이..

1. 결과 정말 문 닫고 합격했다고 할 수밖에 없는 성적이다. (컷 +0.6점) 솔직히 이것보단 높을 줄 알았는데 정말 앞으로 열심히 해야겠다는 생각만 들었다. 2. 교사를 하게 된 이유 그냥 수기만 적어볼까도 생각했지만, 이 글이 임용 준비생들에게 도움이 될 것 같아서 잠시 내 얘기를 간단히 하려고 한다. 지금은 좀 나아졌지만, 집안 사정이 정말 좋지 않았다. 고등학교 3학년 때에는 등록금 50만원을 내지 못해서 담임 선생님께 불려간 적도 있었고(물론 잘 처리해주심) 대학교 진학 후에는 용돈을 정말 단 한 차례도 받지 못했다. 대학교 진학 이후에는 내 능력보다 많은 돈을 받으면서 여러 과외 수업을 하고, 졸업 이후에 학원을 다니면서 정말 큰 돈을 벌 기회를 얻기도 했다. (여기서 큰 돈이란 '내가 원하..

(Note) 이 문서는 교재의 연습 문제 중에서 다른 문제를 해결할 때 유용할 법한 명제들을 정리한 것입니다. 앞으로도 내용이 추가될 수 있습니다. [Theorem 1.0] 세 집합 \(A, \, B, \, C\)에 대하여 \(A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)\)이고 \(A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)\)이다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) \[\begin{align}A\times (B\cap C)&=\{(a, b)\,|\, a\in A, \ b\in B\cap C\}\\[.4em]&=\{(a, b) \, |\, a\in A, \ b\in B\}\cap \{(a, b)\, |\, a\in A, \ b\i..

법곡률 곡면론에서는 많은 이론들이 법선벡터를 이용하여 설명된다. 그럴 수밖에 없는 것이, 곡면 위의 각 점의 근방은 그 점에서의 접평면에 근사하기 때문이다. (접평면은 각 점에서의 근방의 1차 근사이다.) 앞으로 다룰 주곡률이나 측지곡률같은 중요한 개념도 법선벡터를 이용하여 정의된다. 그 중에서 일차형식, 이차형식과 관련하여 정의되는 개념이 법곡률이다. [Definition 9.12] 점 \(P\)를 \(C^2\)급 이상의 곡면 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\) 위의 한 점이라 하고, \(\mathbf x=\mathbf x(u(t), v(t))\)를 점 \(P\)를 지나는 \(C^2\)급 이상의 정칙 곡선이라고 하자. 점 \(P\)에서의 곡선 \(C\)로의 법곡률벡터(normal cu..

코시의 적분 공식(CIF) 코시의 정리는 복소함수론에서의 중심적인 결론 중 하나로, 이로부터 파생되는 여러 정리들이 있다. 코시의 적분 정리는 특수한 유리함수 형태의 복소적분은 경로 내부의 특이점에만 의존한다는 정리이다. 이를 일반화하면 정칙인 복소함수의 n계도함수의 값을 선적분으로 표현할 수도 있고, 복소함수는 정칙인 것과 해석적인 것이 동치라는 것을 보일 수도 있다. [Theorem 7.0] (코시의 적분 공식: Cauchy's Integral Formula(CIF)) \(\gamma\)를 폐경로라 하고, \(f\)는 \(\text{Int}(\gamma)\cup \gamma^*\)를 포함하는 열린 집합에서 정칙인 함수라고 하자. 그러면 각 \(a\in \text {Int}(\gamma)\)에 대하여 ..

무한대에서의 극한, 무한대 극한 함수의 극한은 \(x\)의 값이 어떤 점으로 가깝게 다가갈 때, 함숫값이 어떤 값에 접근하는지 나타낸다. 이와 비슷하게 \(x\)의 값이 한없이 커지거나 작아질 때, 함숫값이 어디로 가깝게 다가가는지 관찰하는 것도 자연스러울 것이다. 이에 무한대에서의 극한을 정의한다. [Definition 3.18] (1) \(f\)가 구간 \((a, \infty)\)에서 정의되었다고 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 실수 \(\beta\)가 존재하여 \(x>\beta\)일 때마다 \(|f(x)-L|0\)에 대하여 실수 \(\gamma\)가 존재하여 \(x0\)에 대하여 \(M=2/\epsilon\)이라 하고 \(x>M\)이라 하면 \[|f(x)-2|=\dfrac{2}{1..

제1기본형식 공간의 임의의 곡선은 곡률과 열률이라는 두 가지 불변량에 의하여 정확히 하나로 결정된다. 곡면도 그와 같이 두 가지 불변량인 '제1기본형식'과 '제2기본형식'에 의하여 유일하게 결정된다. 곡면의 적당한 좌표 조각 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)에 대하여 \(uv\)평면 위의 한 점 \((u, v)\)에 대하여 이 점에서의 미분(differential) \(d\mathbf x\)는 \(uv\)평면 위의 점 \((u, v)\)에서의 진행 방향의 (미소)벡터 \((du, dv)\) (이때 \(uv\)평면에서 점 \((u, v)\)가 어떤 경로를 따라 이동한다고 생각하면 된다.)에 대하여 \[d\mathbf x=\mathbf x_udu+\mathbf x_vdv\]로 정의되는 벡..

코시의 정리 코시의 정리 또는 코시-구르사(Cauchy-Goursat)의 정리라 불리는 정리는 복소해석학의 가장 중심적이고 핵심적인 정리 중 하나이다. 이로부터 코시의 적분 공식, 리우빌 정리, 해석함수의 성질 등 여러 가지를 유도할 수 있다. 얼핏 보면 미적분의 기본 정리와 비슷해 보이지만, 본질적으로 피적분함수의 도함수의 연속성을 가정하지 않는다는 점에서 다르다. 우선 코시의 정리의 진술은 다음과 같다. [Theorem 6.0] [The Cauchy-Goursat Theorem: 코시-구르사의 정리] \(\gamma^*\)를 조각마다 매끄러운 함수 \(\gamma: [a, b]\to \Bbb C\)에 의하여 결정되는 폐경로(contour)라 하자. \(D\)를 \(\text{Int}(\gamma)\c..