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원분확대체(Cyclotomic Extension) 원분(圓分)이란 말 그대로 원을 나눈다는 것이다. 다항식 $x^n-1$의 $n$개의 복소수의 근은 복소평면 위에서 단위원 $|z|=1$의 둘레를 $n$등분한다. 이런 점에서 일반적인 다항식의 정규 확대보다는 더욱 좋은 성질을 갖는다. [Definition 0.0] 체 $F$ 위의 다항식 $x^n-1$의 분해체(splitting field)를 $n$차 원분확대체($n$th cyclotomic extension)라고 한다. 다항식 $x^n-1$의 한 근을 $\alpha$라 하면 $$g(x)=(x^n-1)/(x-\alpha )=x^{n-1}+\alpha x^{n-2}+\cdots +{\alpha }^{n-1}$$이므로 \(g(\al..

여러 가지 정리들 실로우 정리와 함께 응용되는 여러 가지 정리들은 다음과 같다. 이들은 주로 특정한 위수의 군이 단순군인지 판별할 때 쓰인다. [Theorem 0.0] 유한군 $G$의 두 정규부분군 $H,K$가 $H\cap K=\{e\}$와 $H\vee K=G$을 만족시키면 $G\simeq H\times K$이다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) 우선 임의의 $h\in H,k\in K$에 대하여 $H◃G,K◃G$이므로 \[\begin{align} &k^{-1}hkh^{-1}=(k^{-1}hk)h^{-1}\in H, \[0.1em] &k^{-1}hkh^{-1}=k^{-1}(hkh^{-1})\in K \..