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원분확대체(Cyclotomic Extension) 원분(圓分)이란 말 그대로 원을 나눈다는 것이다. 다항식 \(x^n-1\)의 \(n\)개의 복소수의 근은 복소평면 위에서 단위원 \(|z|=1\)의 둘레를 \(n\)등분한다. 이런 점에서 일반적인 다항식의 정규 확대보다는 더욱 좋은 성질을 갖는다. [Definition 0.0] 체 \(F\) 위의 다항식 \(x^n-1\)의 분해체(splitting field)를 \(n\)차 원분확대체(\(n\)th cyclotomic extension)라고 한다. 다항식 \(x^n-1\)의 한 근을 \(\alpha\)라 하면 \[g(x)=(x^n-1)/(x-\alpha)=x^{n-1}+\alpha x^{n-2}+\cdots+ \alpha^{n-1}\]이므로 \(g(\al..

여러 가지 정리들 실로우 정리와 함께 응용되는 여러 가지 정리들은 다음과 같다. 이들은 주로 특정한 위수의 군이 단순군인지 판별할 때 쓰인다. [Theorem 0.0] 유한군 \(G\)의 두 정규부분군 \(H, \, K\)가 \(H \cap K=\{e\}\)와 \(H \vee K=G\)을 만족시키면 \(G \simeq H\times K\)이다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) 우선 임의의 \(h\in H, \, k\in K\)에 대하여 \(H \triangleleft G, \, K \triangleleft G\)이므로 \[\begin{align} &k^{-1}hkh^{-1}=(k^{-1}hk)h^{-1}\in H, \\[0.1em] &k^{-1}hkh^{-1}=k^{-1}(hkh^{-1})\in K \..