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무한대에서의 극한, 무한대 극한 함수의 극한은 \(x\)의 값이 어떤 점으로 가깝게 다가갈 때, 함숫값이 어떤 값에 접근하는지 나타낸다. 이와 비슷하게 \(x\)의 값이 한없이 커지거나 작아질 때, 함숫값이 어디로 가깝게 다가가는지 관찰하는 것도 자연스러울 것이다. 이에 무한대에서의 극한을 정의한다. [Definition 3.18] (1) \(f\)가 구간 \((a, \infty)\)에서 정의되었다고 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 실수 \(\beta\)가 존재하여 \(x>\beta\)일 때마다 \(|f(x)-L|0\)에 대하여 실수 \(\gamma\)가 존재하여 \(x0\)에 대하여 \(M=2/\epsilon\)이라 하고 \(x>M\)이라 하면 \[|f(x)-2|=\dfrac{2}{1..

함수의 정의와 연산 해석학에서 다루는 함수의 개념은 고등학교 1학년에서 배우는 함수의 개념와 정확히 동일하다. 즉, 어떤 집합의 각 원소에서 다른 집합의 원소로 하나씩 대응시키는 '관계'를 함수라고 한다. 일반적으로는 집합론에서 함수는 두 집합의 곱집합의 특정한 조건을 만족시키는 부분집합을 의미한다. [Definition 3.0] (1) 두 집합 \(X\), \(Y\)에 대하여 집합 \[X\times Y=\{(x, y): x\in X, \ y\in Y\}\]을 \(X\)와 \(Y\)의 데카르트 곱(Cartesian product)이라고 한다. \(R\)이 \(X\times Y\)의 부분집합인 경우 \(R\)을 \(X\)와 \(Y\) 위의 관계(relation)라 하고, \((x, y)\in R\)일 때 ..

\(\Bbb R\)의 위상 해석학에서 다루는 분야는 크게 보면, 극한과 연속, 미분과 적분가능성, 급수 등이 있다. 이를 자세하기 다루기 위해서는 미적분학이나 대수학 등에서 다루었던 기본적인 실수의 성질이 아니라 \(\Bbb R\)의 구조적인 성질을 이해할 필요가 있다. 위상수학에서는 이로부터 더욱 발전된 논의를 진행하는데, 여기에서는 실해석학에서 필요한 부분만 다룬다. 다음은 기초적인 집합들의 연산과 정의들에 관한 설명이다. 집합에서 어떤 특성을 갖는 원소들의 전체의 집합을 전체집합(universal set)이라 하는데, 여기에서는 당연히 전체집합을 \(\Bbb R\)로 간주한다. [Definition 2.0] \(S\)와 \(T\)를 집합이라고 하자. (a) \(S\)의 모든 원소가 \(T\)의 원소..

실수체의 구조 실수체 \(\Bbb R\)에는 다음 성질이 있다. 실제로 다음을 만족시키는 임의의 체는 \(\Bbb R\)과 동형임이 알려져 있다. (1) 두 연산 \(+,\, \cdot\)에 대하여 체를 이룬다. (2) 순서체이다. (3) 완비 공리를 만족시킨다. 체는 사칙연산이 자유로운 대수적 구조이고, 이에 관한 관한 내용은 추상대수학을 조금만 공부하면 알 수 있다. 순서체란 쉽게 말하여 임의의 체의 두 원소 간의 순서를 줄 수 있다는 의미이다. 임의의 두 실수는 항상 '대소 비교'가 가능하다. 이는 순서 관계 '\(

[Problem 1] 함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 리만 적분 가능하고 \(a

[Problem 1] 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 연속이고 \(x=0\)에서 미분가능한 함수 \(f\) 중에서 임의의 양수 \(\delta\)에 대하여 임의의 \(0\)의 \(\delta-\)근방에서 미분가능하지 않은 점이 존재하는 함수 \(f\)의 예를 들어라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) 함수 \[f(x)=\begin{cases}x^2 \left|\displaystyle \sin\frac{1}{x} \right| & (x \neq 0)\\[.4em] \quad 0 & (x = 0)\end{cases}\]에 대하여 \(\left|x^2 \sin(1/x) \right|\leq x^2\)이므로 조임 정리에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2 \sin(1/..

[Problem 1.0] 함수 \(f(x)=x-\tan x\)가 무수히 많은 양의 실근 \(x_1, \, x_2, \, \cdots \,\)을 가짐을 보이시오. 또한, \(n \to \infty\)일 때 \(x_n-g(n) \to 0\)인 간단한 함수 \(g(n)\)을 하나 찾으시오. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) \(f(n\pi)>0, \, \displaystyle \lim_{x \to (n+1/2)\pi^+}f(x) \to -\infty\)이므로 사잇값 정리에 의하여 \(n\pi < x_n < (n+1/2)\pi\)인 것을 알 수 있다. 이때 \(x_n=\tan x_n\)이고 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\infty\)이므로 \(\displaystyle \..

[Problem 0.0] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n\geq 0, \; b_n \geq 0\)이고 \(\sum a_n^{\;2}\,\)과 \(\sum b_n^{\;2}\,\)이 수렴하면 \(\sum a_nb_n\)도 수렴함을 증명하시오. 더보기 # Solution ▶ (Proof) \(a_n\geq 0\)이고 \(b_n\geq 0\)이므로 \(a_nb_n\leq (a_n^{\;2}+b_n^{\;2})/2\)이다. 이때 문제의 조건으로부터 \(\sum(a_n^{\;2}+b_n^{\;2})/2\,\)이 수렴하므로 단조 수렴 정리(또는 유계 수렴 정리)에 의하여 \(\sum a_nb_n\)도 수렴한다. [cf] \(a_n, \, b_n\geq 0\)이므로 \(\displaystyle \sum_{..

[Problem 0.0] Let \(a_n=\displaystyle \left(1+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\cdots+\right)-2\sqrt{n+1}\). Prove that \(\{a_n\}\) has a limit. 더보기 # Solution ▶ (Proof) \(\{a_n\}\) is strictly increasing and bounded above.(\(

집합의 크기 집합의 원소가 유한인 경우, 직접 세어서 어떤 것이 더 많은지 알 수 있으나 원소의 개수가 유한하지 않은 경우 직관적으로 어떤 집합이 더 '큰' 집합인지 알기 어렵다. 집합론에서는 이를 '대응'의 관점에서 이해한다. 두 집합 \[A=\{1,\, 2,\, \cdots,\, n,\, \cdots\}, \; B=\{2, \, 4, \, \cdots, \, 2n, \, \cdots\}\]은 눈으로 보기에 집합 \(A\)의 원소의 개수가 집합 \(B\)의 원소의 개수보다 많아 보인다. 그러나 함수 \[f:A \to B, \; f(x)=2x\]는 집합 \(A\)에서 집합 \(B\)로의 일대일대응이고, 두 집합의 각 원소는 함수 \(f\)에 의하여 대응된다고 볼 수 있다. 이런 면에서 집합 \(A\)와 ..