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(Note) 이 문서는 교재의 연습 문제 중에서 다른 문제를 해결할 때 유용할 법한 명제들을 정리한 것입니다. 앞으로도 내용이 추가될 수 있습니다. [Theorem 1.0] 세 집합 \(A, \, B, \, C\)에 대하여 \(A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)\)이고 \(A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)\)이다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) \[\begin{align}A\times (B\cap C)&=\{(a, b)\,|\, a\in A, \ b\in B\cap C\}\\[.4em]&=\{(a, b) \, |\, a\in A, \ b\in B\}\cap \{(a, b)\, |\, a\in A, \ b\i..

연결 성분 위상공간은 적절히 여러 연결된 부분집합으로 나누어 분할할 수 있다. 임의의 한 점 집합은 연결집합이므로 극단적으로 한 점 집합으로 그 위상공간을 분리할 수 있을 것이고, 아닌 경우에는 적당히 크기가 있는 여러 연결 집합으로 그 위상 공간을 나눌 수 있을 것이다. 이때 연결 성분은 극대인 연결 집합을 의미한다. 즉, [Definition 3.0] 위상공간 \(X\)의 연결 성분(connected component)이란 극대인 \(X\)의 연결인 부분집합을 의미한다. 즉, \(E\subset X\)가 임의의 \(X\)의 연결인 부분집합 \(C\)에 대하여 \(E\subset C\)이면 \(E=C\)를 만족시킬 때, \(E\)를 \(X\)의 연결 성분이라고 한다. [Example 3.1] 연결공간 ..

연결집합과 비연결집합 위상수학에서의 공간에 대한 논의는 모두 열린 집합으로부터 비롯된다. 연결성도 마찬가지인데, 크게 보면 연결집합이란 두 개의 서로소인 열린 집합으로 떼어낼 수 없는 집합을 의미한다. \(\Bbb R\)에서 예를 들어 집합 \(A=[-1, \,1]\)은 연결집합이지만 \(A\cap \Bbb Q\)는 연결집합이 아니다. \(A\cap \Bbb Q\)는 두 열린구간 \((-2, \, 1/\sqrt{2}), \; (1/\sqrt{2}, \,2)\)로 분리할 수 있기 때문이다. 연결성을 논의하기 위해 맨 처음 두 집합의 '분리'에 대해 얘기해야 한다. 위의 예시로부터 확장하여 분리된 두 개의 열린 집합에 의하여 나눌 수 있는 집합을 비연결집합이라고 하기 때문이다. [Definition 1.0]..

곱위상과 곱공간 유클리드 공간 \(\Bbb R^m\)과 같이 특정한 성질을 갖는 여러 위상공간의 데카르트 곱(Cartesian product)을 이용하여 새로운 위상공간을 정의하고, 그 성질을 이용하여 그 공간에서의 구조를 관찰할 수 있다. 실제로 우리가 자주 보는 좌표평면 \(\Bbb R^2\)과 좌표공간 \(\Bbb R^3\)은 거의 \(\Bbb R\)과 동일한 성질을 공유한다. 위상공간은 열린 집합으로 공간의 구조를 정의하기 때문이다. 곱공간은 그 각자의 위상공간의 성질을 반영하도록 정의한 공간으로, 각 좌표로의 사영을 이용하여 정의한다. [Definition 0.0] \(\{(X_i, \ \mathcal T_i\}\)가 위상공간들의 모임이라 하고, \(X\)를 이 집합 \(X_i\)들의 데카르트 ..

컴팩트화 일반적인 위상 공간은 점을 추가하여 컴팩트공간으로 만들 수 있다. 이를 컴팩트화라고 한다. 대표적으로 복소함수론에서 다루는 \(\Bbb C\)의 컴팩트화가 있다. [Example 0.0] 그림과 같이 구 \(S: x^2+y^2+(z-1)^2=1\) 위의 점 \((0, 0, 2)\)와 \(xy\)평면 위의 한 점 \(p\)를 지나는 직선을 그리면 그 직선과 구 \(S\)는 한 점 \(p'\)에서만 만난다. 이를 이용하면 복소평면 \(\Bbb C\)의 임의의 점과 구 \(S\) 위의 한 점은 일대일대응이 됨을 알 수 있다. 이때 구 위의 점 \((0, 0, 2)\)와 대응되는 점을 \(\infty\)라고 하자. 이때 함수 \(f: \Bbb S \to \Bbb C\cup \{\infty\}\)를 \(..

컴팩트집합과 컴팩트공간 컴팩트집합은 \(\Bbb R\)에서의 유계인 닫힌구간이 갖는 성질을 일반적인 위상공간의 성질로 확장한 것이다. 이는 해석학에서 하이네-보렐 정리에서 비롯되었다고 할 수 있다. 의미는 대략 무한히 뻗어가지 않는 촘촘한 공간이라고 할 수 있다. [Theorem 0.0] (Heine-Borel Theorem) \(\Bbb R\)에서의 닫힌구간 \(I=[a, b]\)에 대하여 \(\{G_i\}\)를 \(I\subset \cup_i\, G_i\)를 만족시키는 열린 집합들의 모임이라고 하자. (즉, \(\{G_i\}\)는 집합 \(A\)의 열린 덮개이다.) 이때 \(\{G_i\}\)의 원소 \(G_{i_1}, \, G_{i_2}, \, \cdots\, G_{i_m}\)가 존재하여 \[I\su..

[Problem 1] 위상공간 \(X\)가 \(T_1-\)공간일 필요충분조건은 임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(\{p\}=\bigcap \{G \mid G: \text{open}, \; p\in G\}\)인 것을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) (\(\Rightarrow\)) \(X\)가 \(T_1-\)공간이므로 \(p\)가 아닌 임의의 \(q\in X\)에 대하여 \(\{q\}^c\)는 \(p\)를 포함하는 \(X\)가 아닌 가장 큰 열린 집합이다. 즉, \(p\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G\)는 적당한 \(a\in X\)가 존재하여 \(G\subset \{a\}^c\)이다. 따라서 \[\bigcap \{G \mid G:\text{open}, \; p\in G\}\..

분리 공리와 여러 가지 공간 위상공간의 성질은 공간에서 열린 집합의 분포에 따라 결정된다. 예를 들어 열린 집합의 개수가 적을 수록 분해 가능하거나 제1, 제2가산공간이 될 가능성이 크고, 열린 집합의 개수가 많을 수록 그 위에서의 함수가 연속이 될 가능성이 크다. 분리 공리는 얼마나 많은 열린 집합이 공간에 존재하는지 묘사한다. 공간의 종류에는 크게 \(T_1-\)공간, 하우스도르프(\(T_2\)) 공간, 정칙(Regular) 공간 (또는 \(T_3-\)공간), 정규(Normal) 공간 (또는 \(T_4-\)공간)이 있고, 그 사이에 티호노프 공간도 다룬다. 다음은 \(T_1-\)공간에 대한 설명이다. [Definition 0.0] 위상공간 \(X\)가 다음 공리를 만족시키면 \(T_1-\)공간(\(T..

[Problem 1] \(\Bbb R\)에서 위상 \(\mathcal T\)를 여유한 위상(cofinite topology)이라 하자. (1) 위상공간 \((\Bbb R, \, \mathcal T)\)가 제1가산공간이 아님을 보여라. (2) 위상공간 \((\Bbb R, \, \mathcal T)\)가 분해 가능 공간(separable space)임을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) (1) \((\Bbb R, \, \mathcal T\)\)가 제1가산공간이라고 가정하자. 임의의 \(p\in \Bbb R\)에 대하여 \(p\)에서의 가산인 국소기저 \(\mathcal B_p=\{B_n \mid n\in \Bbb N\}\)가 존재한다. 여유한 위상의 정의에 의하여 각 자연수 \(n\)에 ..

제1가산공리와 제2가산공리 가산성이란 집합론에서도 중요하게 다루어지는 성질이다. 대강 말하면 가산집합이란 가장 작은 크기의 무한집합이므로 가산집합은 사이즈가 작은 집합이라고 볼 수 있다. 위상공간에서도 충분히 작은 공간의 개념으로 콤팩트집합을 이야기하고, 그것보다 약간 큰 공간의 개념으로 '가산 공리'를 도입하여 그러한 조건을 만족하는 공간의 성질을 엿볼 수 있다. 위상공간에서는 가산성을 다음과 같은 두 가지 종류로 나누어 분류한다. [Definition 0.0] 다음 공리를 제1가산공리(First Axiom of Countability)라 하고, 다음 공리를 만족시키는 위상공간 \(X\)를 제1가산공간(First Countable Space)이라고 한다. \(\mathrm{[C_1]}\) 임의의 \(p..