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(Note) 이 문서는 교재의 연습 문제 중에서 다른 문제를 해결할 때 유용할 법한 명제들을 정리한 것입니다. 앞으로도 내용이 추가될 수 있습니다. [Theorem 1.0] 세 집합 $A,B,C$에 대하여 $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$이고 $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$이다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) \[\begin{align}A\times (B\cap C)&=\{(a, b)\,|\, a\in A, \ b\in B\cap C\}\[.4em]&=\{(a, b) \, |\, a\in A, \ b\in B\}\cap \{(a, b)\, |\, a\in A, \ b\i..

연결 성분 위상공간은 적절히 여러 연결된 부분집합으로 나누어 분할할 수 있다. 임의의 한 점 집합은 연결집합이므로 극단적으로 한 점 집합으로 그 위상공간을 분리할 수 있을 것이고, 아닌 경우에는 적당히 크기가 있는 여러 연결 집합으로 그 위상 공간을 나눌 수 있을 것이다. 이때 연결 성분은 극대인 연결 집합을 의미한다. 즉, [Definition 3.0] 위상공간 $X$의 연결 성분(connected component)이란 극대인 $X$의 연결인 부분집합을 의미한다. 즉, $E\subset X$가 임의의 $X$의 연결인 부분집합 $C$에 대하여 $E\subset C$이면 $E=C$를 만족시킬 때, $E$를 $X$의 연결 성분이라고 한다. [Example 3.1] 연결공간 ..

연결집합과 비연결집합 위상수학에서의 공간에 대한 논의는 모두 열린 집합으로부터 비롯된다. 연결성도 마찬가지인데, 크게 보면 연결집합이란 두 개의 서로소인 열린 집합으로 떼어낼 수 없는 집합을 의미한다. $\mathbb{R}$에서 예를 들어 집합 $A=[-1,1]$은 연결집합이지만 $A\cap \mathbb{Q}$는 연결집합이 아니다. $A\cap \mathbb{Q}$는 두 열린구간 $(-2,1/\sqrt{2}),(1/\sqrt{2},2)$로 분리할 수 있기 때문이다. 연결성을 논의하기 위해 맨 처음 두 집합의 '분리'에 대해 얘기해야 한다. 위의 예시로부터 확장하여 분리된 두 개의 열린 집합에 의하여 나눌 수 있는 집합을 비연결집합이라고 하기 때문이다. [Definition 1.0]..

곱위상과 곱공간 유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^m$과 같이 특정한 성질을 갖는 여러 위상공간의 데카르트 곱(Cartesian product)을 이용하여 새로운 위상공간을 정의하고, 그 성질을 이용하여 그 공간에서의 구조를 관찰할 수 있다. 실제로 우리가 자주 보는 좌표평면 ${\mathbb{R}}^2$과 좌표공간 ${\mathbb{R}}^3$은 거의 $\mathbb{R}$과 동일한 성질을 공유한다. 위상공간은 열린 집합으로 공간의 구조를 정의하기 때문이다. 곱공간은 그 각자의 위상공간의 성질을 반영하도록 정의한 공간으로, 각 좌표로의 사영을 이용하여 정의한다. [Definition 0.0] $\{(X_i,{\mathcal{T}}_i\}$가 위상공간들의 모임이라 하고, $X$를 이 집합 $X_i$들의 데카르트 ..

컴팩트화 일반적인 위상 공간은 점을 추가하여 컴팩트공간으로 만들 수 있다. 이를 컴팩트화라고 한다. 대표적으로 복소함수론에서 다루는 $\mathbb{C}$의 컴팩트화가 있다. [Example 0.0] 그림과 같이 구 $S:x^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ 위의 점 $(0,0,2)$와 $xy$평면 위의 한 점 $p$를 지나는 직선을 그리면 그 직선과 구 $S$는 한 점 $p^{\prime }$에서만 만난다. 이를 이용하면 복소평면 $\mathbb{C}$의 임의의 점과 구 $S$ 위의 한 점은 일대일대응이 됨을 알 수 있다. 이때 구 위의 점 $(0,0,2)$와 대응되는 점을 $\mathrm{\infty }$라고 하자. 이때 함수 $f:\mathbb{S}\to \mathbb{C}\cup \{\mathrm{\infty }\}$를 \(..

컴팩트집합과 컴팩트공간 컴팩트집합은 $\mathbb{R}$에서의 유계인 닫힌구간이 갖는 성질을 일반적인 위상공간의 성질로 확장한 것이다. 이는 해석학에서 하이네-보렐 정리에서 비롯되었다고 할 수 있다. 의미는 대략 무한히 뻗어가지 않는 촘촘한 공간이라고 할 수 있다. [Theorem 0.0] (Heine-Borel Theorem) $\mathbb{R}$에서의 닫힌구간 $I=[a,b]$에 대하여 $\{G_i\}$를 $I\subset {\cup }_i{G}_i$를 만족시키는 열린 집합들의 모임이라고 하자. (즉, $\{G_i\}$는 집합 $A$의 열린 덮개이다.) 이때 $\{G_i\}$의 원소 $G_{i_1},G_{i_2},\cdots G_{i_m}$가 존재하여 \[I\su..

[Problem 1] 위상공간 $X$가 $T_1-$공간일 필요충분조건은 임의의 $p\in X$에 대하여 $\{p\}=\bigcap \{G\mid G:\text{open},p\in G\}$인 것을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) ($\Rightarrow$) $X$가 $T_1-$공간이므로 $p$가 아닌 임의의 $q\in X$에 대하여 $\{q{\}}^c$는 $p$를 포함하는 $X$가 아닌 가장 큰 열린 집합이다. 즉, $p$를 포함하는 임의의 열린 집합 $G$는 적당한 $a\in X$가 존재하여 $G\subset \{a{\}}^c$이다. 따라서 \[\bigcap \{G \mid G:\text{open}, \; p\in G\}\..

분리 공리와 여러 가지 공간 위상공간의 성질은 공간에서 열린 집합의 분포에 따라 결정된다. 예를 들어 열린 집합의 개수가 적을 수록 분해 가능하거나 제1, 제2가산공간이 될 가능성이 크고, 열린 집합의 개수가 많을 수록 그 위에서의 함수가 연속이 될 가능성이 크다. 분리 공리는 얼마나 많은 열린 집합이 공간에 존재하는지 묘사한다. 공간의 종류에는 크게 $T_1-$공간, 하우스도르프($T_2$) 공간, 정칙(Regular) 공간 (또는 $T_3-$공간), 정규(Normal) 공간 (또는 $T_4-$공간)이 있고, 그 사이에 티호노프 공간도 다룬다. 다음은 $T_1-$공간에 대한 설명이다. [Definition 0.0] 위상공간 $X$가 다음 공리를 만족시키면 $T_1-$공간(\(T..

[Problem 1] $\mathbb{R}$에서 위상 $\mathcal{T}$를 여유한 위상(cofinite topology)이라 하자. (1) 위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T})$가 제1가산공간이 아님을 보여라. (2) 위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T})$가 분해 가능 공간(separable space)임을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) (1) $(\mathbb{R},\mathcal{T}$\)가 제1가산공간이라고 가정하자. 임의의 $p\in \mathbb{R}$에 대하여 $p$에서의 가산인 국소기저 ${\mathcal{B}}_p=\{B_n\mid n\in \mathbb{N}\}$가 존재한다. 여유한 위상의 정의에 의하여 각 자연수 $n$에 ..

제1가산공리와 제2가산공리 가산성이란 집합론에서도 중요하게 다루어지는 성질이다. 대강 말하면 가산집합이란 가장 작은 크기의 무한집합이므로 가산집합은 사이즈가 작은 집합이라고 볼 수 있다. 위상공간에서도 충분히 작은 공간의 개념으로 콤팩트집합을 이야기하고, 그것보다 약간 큰 공간의 개념으로 '가산 공리'를 도입하여 그러한 조건을 만족하는 공간의 성질을 엿볼 수 있다. 위상공간에서는 가산성을 다음과 같은 두 가지 종류로 나누어 분류한다. [Definition 0.0] 다음 공리를 제1가산공리(First Axiom of Countability)라 하고, 다음 공리를 만족시키는 위상공간 $X$를 제1가산공간(First Countable Space)이라고 한다. $[{\mathrm{C}}_1]$ 임의의 \(p..