Math, Education, Music

코시의 적분 공식(CIF) 코시의 정리는 복소함수론에서의 중심적인 결론 중 하나로, 이로부터 파생되는 여러 정리들이 있다. 코시의 적분 정리는 특수한 유리함수 형태의 복소적분은 경로 내부의 특이점에만 의존한다는 정리이다. 이를 일반화하면 정칙인 복소함수의 n계도함수의 값을 선적분으로 표현할 수도 있고, 복소함수는 정칙인 것과 해석적인 것이 동치라는 것을 보일 수도 있다. [Theorem 7.0] (코시의 적분 공식: Cauchy's Integral Formula(CIF)) \(\gamma\)를 폐경로라 하고, \(f\)는 \(\text{Int}(\gamma)\cup \gamma^*\)를 포함하는 열린 집합에서 정칙인 함수라고 하자. 그러면 각 \(a\in \text {Int}(\gamma)\)에 대하여 ..

코시의 정리 코시의 정리 또는 코시-구르사(Cauchy-Goursat)의 정리라 불리는 정리는 복소해석학의 가장 중심적이고 핵심적인 정리 중 하나이다. 이로부터 코시의 적분 공식, 리우빌 정리, 해석함수의 성질 등 여러 가지를 유도할 수 있다. 얼핏 보면 미적분의 기본 정리와 비슷해 보이지만, 본질적으로 피적분함수의 도함수의 연속성을 가정하지 않는다는 점에서 다르다. 우선 코시의 정리의 진술은 다음과 같다. [Theorem 6.0] [The Cauchy-Goursat Theorem: 코시-구르사의 정리] \(\gamma^*\)를 조각마다 매끄러운 함수 \(\gamma: [a, b]\to \Bbb C\)에 의하여 결정되는 폐경로(contour)라 하자. \(D\)를 \(\text{Int}(\gamma)\c..

균등수렴과 항별 미적분 복소함수는 앞으로 논의될 코시의 적분 공식에 의하여 정칙인(즉, 어떤 열린 집합에서 미분가능한) 함수와 해석함수(급수 전개 가능한 함수)가 동일한 의미를 갖는다. 실함수에서는 무한 번 미분가능한 함수가 해석함수인 것과 같은 의미를 갖지 않는 것과 대비되는 성질이다. 즉, 정칙인 복소함수는 항상 급수 전개가 가능하기 때문에 멱급수의 균등수렴성이 상당히 중요한 의미를 가진다. 균등수렴성을 논의할 때 이용되는 여러 용어나 기호는 실함수에서와 동일하다. [Definition 4.0] \(\Bbb C\)의 부분집합 \(S\)에서 정의된 유계함수 \(f\)에 대하여 함수 \(f\)의 (균등)노름((uniform) norm)을 \[||f||=||f||_S=\sup_{z\in S}|f(z)|\]..

추정(Estimation) 복소함수의 쓰임 중 하나는 특수한 급수나 특이적분의 계산에서의 활용이다. 이때 복소함수의 정적분이 최대 또는 최소가 되는 상황을 이용하는데, 이렇게 어떤 식의 값을 정확히 계산하지 않고, 특정한 목표를 위하여 근삿값을 구하는 것을 추정이라고 한다. 다음은 복소함수의 적분에서 추정을 할 때 가장 기본적으로 쓰이는 부등식이고, 실함수에서의 리만 적분에서와 형태가 동일한 부등식이다. [Theorem 2.0] 함수 \(f: [a, b] \to \Bbb C\)가 연속이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\left|\int_a^b f(t)dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|dt\] [Note] 이는 실함수의 적분에서도 성립한다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) 만..

하이네 - 보렐 정리 실수 전체의 집합과 같이 복소평면도 위상적으로 유클리드 공간과 구조가 동일하다. 사실 '거리 공간'이라는 위상적 구조는 많은 공통점을 공유한다. 컴팩트성도 그 중 하나이다. 하이네 - 보렐 정리는 실수 전체의 집합에서와 동일하게 복소 평면에서도 성립한다. [Theorem 0.0] [The Heine-Borel Theorem] 복소평면 \(\Bbb C\)의 부분집합 \(S\)가 컴팩트집합일 필요충분조건은 \(S\)가 닫힌 유계집합인 것이다. \(\Bbb R\)과 같이 \(\Bbb C\)에서도 집합을 잘게 쪼개서 그 중 하나의 부분에 열린 덮개의 대부분의 열린 집합이 속해 있음을 보이면 된다. 다만, 실수 전체의 집합에서는 닫힌구간을 반씩 나눠서 이런 얘기를 하면 되지만, \(\Bbb ..

미분가능성 복소함수는 기본적으로 \(\Bbb C\)(\(\Bbb R\)와 비슷한)에서의 함수이므로 연속성이나 미분가능성을 얘기할 때 실함수와 다르게 여러 방향에서의 극한을 생각할 수밖에 없다. 다만, 미분계수의 정의는 모두 실함수에서와 동일하다. 즉, [Definition 0.0] 복소함수 \(f\)가 \(c\in \Bbb C\)에 대하여 \[f'(c)=\displaystyle \lim_{z\to c} \frac{f(z)-f(c)}{z-c}=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\]가 존재하면 함수 \(f\)가 \(c\in \Bbb C\)에서 미분가능하다고 하고, \(f'(c)\)의 값을 \(c\)에서의 미분계수라고 한다. 극한은 유일하게 존재해야 하므로, 경로와 관계없이 \(z\..

\(\Bbb C\)의 성질 복소함수와 복소해석에 관한 얘기를 시작하기 전에 복소해석을 논할 수 있는 바탕에 대해 먼저 논한다. 이 부분에서는 연산보다는 \(\Bbb C\)의 구조적(위상적)인 성질에 초점을 맞춘다. [Theorem 0.0] \(\Bbb C\)는 완비이다. 즉, \(\{c_n\}\)이 \(\Bbb C\) 위의 코시 수열이면 \(\{c_n\}\)은 수렴한다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) \(c_n=a_n+ib_n\)이라 하자. \(\{c_n\}\)은 코시 수열이므로 임의로 주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(m,\, n>N\)일 때마다 \(|c_m-c_n|