2026학년도 6월 모의평가 미적분 28번

이 글의 내용은 MathJax를 활용하여 출력되고 있습니다. 데스크톱 환경에 최적화되어 있으며, 수식이 제대로 보이지 않을 때는 새로고침(F5)을 해주세요.

 

[문제]

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\)와 두 상수 \(a\), \(b\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a\times e^b\)의 값은?

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여

\[\left(f(x)\right)^5+\left(f(x)\right)^3+ax+b=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2} \right)\]

(나) \(f(-3)f(3)<0, \; f'(2)>0\)

처음 이 문제를 보고 풀어본 다음 느낀 것은

- 이게 28번이라고?
- 어떻게 이렇게 문제를 멋지게 만들 수 있을까?

였다. 우리나라 수능 약 20년 역사에서, 총괄식 평가 문항을 연구하는 정점에 있는 사람들의 수준이라는 게 이런 거구나 싶었다.
나중에 이런 문제는 따로 모아서 수리논술 교육을 위해 써도 참 좋겠다는 생각도 들고 그랬다.

---

푸는 사람 입장에서 접근해 보기

사실 이 문제는 현장에서 바로 접근하여 푸는 게 쉽지 않다. 그 이유는 크게 2가지인데,

- (가) 조건에서 주어진 함수 방정식이 구체적인 계산으로 접근하기 어려움
- 수를 적당히 대입하여 계산할 수 있는 여지가 없음

보통 미적분의 함수의 그래프 부분에서 일명 '미정계수'를 정하는 문제는, 함수의 대략적인 식이 있어서 도함수나 이계도함수를 구하여 그래프를 대략 그리거나 그래프의 모양을 추정하여 조건에 맞는 걸 찾아 구체적인 식을 구하는 방식으로 가는데, 이 문제는 아예 접근을 달리 하지 않으면 해결이 어렵다.

우선, (가)에서는 거의 얻어낼 수 있는 것이 없으므로 (나)를 보면,

\(f'(2)>0\)이라는 조건은 당장에 활용하기는 어렵고 \(f(-3)f(3)<0\)이라는 조건은 아무리 봐도 사잇값 정리를 떠올리는 것 외에는 생각할 것이 없다.

<사잇값 정리>

함수 \(f(x)\)가 닫힌 구간 \(\left[a, b\right]\)에서 연속이라고 하자. \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 값을 가지는 임의의 실수 \(k\)에 대하여 \(f(c)=k\)인 실수 \(c\)가 열린 구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다. 

이를 적용하면, 함수 \(f(x)\)는 연속함수이므로 방정식 \(f(x)=0\)의 근이 열린구간 \((-3, 3)\)에 적어도 하나 존재함을 알 수 있다. 이는 교과서에서도 흔히 예제로 볼 수 있는 적용 예시이다. 

그런데, 이 문제가 어렵게 느껴지는 이유는 이 이상의 결론을 얻기 위해서는 꽤나 굉장한 직관을 발휘해야 하기 때문이다. 솔직히 이러한 접근이 맞는지 확신하는 것도 힘들다. (그 다음엔 뭘 해야 하지...라는 생각이 들기 마련)

나의 경우에도 이런 저런 생각을 하며 고민을 오래 했는데, 세 가지 지점을 특이한 점으로 보고 이를 중심으로 문제를 해결할 수 있었다.

- (가)에서 좌변인 \( \left(f(x)\right)^5+\left(f(x)\right)^3\)이 의미하는 바는 뭘까?
- (가)에서 왜 \(ax+b\)와 같은 일차식의 형태가 있을까?
- 방정식 \(f(x)=0\)이 실근을 가진다는 의미를 어떻게 해석할 수 있을까?

---

해결 방법에 접근하기: 기하적 접근

(가)의 등식을 약간 변형하면 \[\left(f(x)\right)^5+\left(f(x)\right)^3=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2} \right)-(ax+b)\]와 같다.

이 방정식의 근은 두 함수 \(y=\left(f(x)\right)^5+\left(f(x)\right)^3\)의 그래프와 \(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)-(ax+b)\)의 그래프의 교점과 같다.
특히 우변의 형태는 함수 \(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)\)의 그래프에서 직선 \(y=ax+b\)를 뺀 것이라고 생각할 수도 있겠다.

\(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)\)이면 \[y'=\frac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{2}}\, , \quad y''=\frac{-2(x+2)(x-1)}{\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)^2}\]이므로 대략적으로 그래프를 그리면 다음과 같겠다.

위의 그래프에 직선 \(y=ax+b\)를 그려서 빼는 형태로 우변의 식을 갖는 함수의 그래프를 해석할 수 있을 것이다. 

여기에 이제 방정식 \(f(x)=0\)의 근이 열린구간 \((-3, 3)\)에 존재한다는 사실을 적용해야 한다. 사실 위의 그래프를 보면 구간의 양 끝점인 \(-3, 3\)이라는 두 숫자가 크게 의미가 있어 보이진 않고, 그저 방정식의 해가 있음을 보여주는 것이라 생각해도 좋을 것 같다.

여기서 좌변의 식을 눈여겨볼 필요가 있는데,
\[\left(f(x)\right)^5+\left(f(x)\right)^3=\left( f(x) \right)^3 \left\{\left(f(x)\right)^2+1\right\}\]이므로, 좌변의 식은 \(f(x)=0\)인 경우에만 \(0\)이 된다. 여기서 \(\left(f(x)\right)^3\)이 곱해져 있는 꼴을 보고, '변곡점에서의 접선'을 떠올려야 한다.

좀 더 자세히 다루기 위해서 \[g(x)= \left(f(x)\right)^5+\left(f(x)\right)^3\, , \quad h(x)=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)-(ax+b)\]라 두고, 방정식 \(f(x)=0\)의 실근을 \(x=c\)라 하자. 즉, \(f(c)=0, \; -3<c<3\)이다. 그러면,

\[\begin{align}
  g'(x)&=f'(x)\left( 5\left(f(x)\right)^4+3\left(f(x)\right)^2 \right)\, , \\
  g''(x)&= \left\{ 5f(x)^4 + 3f(x)^2 \right\} f''(x) + \left\{ 20f(x)^3 + 6f(x) \right\} \left( f'(x) \right)^2
\end{align}\]이므로 \[g(c)=g'(c)=g''(c)=0\; \Rightarrow \; h(c)=h'(c)=h''(c)=0\]이다. 이를 풀어 쓰면

\(\circ\; h(c)=0\; \Rightarrow\) 두 함수 \(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)\), \(y=ax+b\)의 그래프는 \(x=c\)에서 만난다.
\(\circ\; h'(c)=0\; \Rightarrow\) 두 함수 \(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)\), \(y=ax+b\)의 그래프는 \(x=c\)에서의 동일한 미분계수를 갖는다. 
\(\circ\; h''(c)=0\; \Rightarrow\) 함수 \(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)\)는 \(x=c\)에서 변곡점을 갖는다.

이를 종합하면, 두 함수 \(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)\), \(y=ax+b\)의 그래프는 \(x=c\)에서 접하고, \(x=c\)에서 함수 \(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)\)가 변곡점을 가짐을 알 수 있다. \(\cdots (\#)\)

계산이 다소 복잡하다고 여겨질 수 있으나, 위의 결론은 사실 \((f(x))^3\)이 곱해져 있음으로써 생기는 것이다.
수학II(새교육과정 미적분I)에서

'다항함수 \(f(x)\)가 \((x-c)^3\)을 인수로 가지면 \(x=c\)에서 \(x\)축에 접하면서 부호가 바뀌는 지점이다'

라는 내용은 사차함수에 관한 응용 문제에서 간혹 쓰였음을 기억할 것이다. 이것 또한 본질적으로는 크게 다를 바가 없다. 

(#)로 가능한 경우는 아래와 같은 두 가지 경우일 것이다.

(좌) \(a<0\)인 경우 ｜ (우) \(a>0\)인 경우

아직 쓰지 않은 \(f'(2)>0\)이라는 조건을 여기서 이용하면 되겠다. \[ g'(x)= f'(x)\left( 5\left(f(x)\right)^4+3\left(f(x)\right)^2 \right)\]에서 \(f'(2)>0, \; 5\left(f(x)\right)^4+3\left(f(x)\right)^2>0\)이므로 \(g'(2)>0\)이다. 즉, \(h'(2)=g'(2)>0\)이므로 \(x=2\)에서 \(y=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)\)의 미분계수가 직선 \(y=ax+b\)의 기울기보다 커야 한다. 그러한 경우는 \(a<0\)인 경우이다.

이를 정리하면,
\[a=\frac{2(-2)+1}{(-2)^2+(-2)+\frac{5}{2}}=-\frac{2}{3}, \quad b=\ln\frac{9}{2}-(-2)a=\ln\frac{9}{2}-\frac{4}{3}\]이므로 \[\therefore \; a\times e^b=-\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}\times e^{-\frac{4}{3}}=-3e^{-\frac{4}{3}}\]

 

문제에 대한 생각과 다른 접근(Feat. Gemini)

이 문제를 비유하자면 '마켓오'같다고 할 수 있다. 

일명 '질소 과자'라고 불리는 과대 포장의 대명사라고 할 수 있는데 이 문제도 그러하다. 다만, 과자에 대한 평가는 상당히 부정적이지만, 문제에 대한 평가는 과대 포장이 나쁘다고 할 수는 없다. 

즉, 본질은 '합성함수의 변곡점에서 그은 접선의 방정식 구하기'인데, 이를 이렇게나 새로운 방식으로 포장할 수 있다는 점은 실로 감탄스럽다. 

이 문제도 내가 요즘 쓰는 Google Gemini에게 풀어달라고 요구했더니, 나와는 상당히 다른 방법으로 접근하여 흥미로웠다. 풀이의 상세 내용은 다 쓰기 너무 길지만, 요지는 다음과 같다.

# 다른 풀이(Gemini) ▶

(논리적인 흐름)

1. (가)의 양변을 미분하면 \[f'(x)\left( 5\left(f(x)\right)^4+3\left(f(x)\right)^2 \right)+a=\frac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{2}}\]이다.

2. 조건 (나)에 의하여 열린구간 \((-3, 3)\)에 \(f(c)=0\)을 만족하는 실수 \(c\)가 존재한다. 이를 1에 대입하면 \[a=\frac{2c+1}{c^2+c+\frac{5}{2}}\]이다. 즉, 방정식 \(f(x)=0\)의 모든 근은 방정식 \(\frac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{2}}=a\)의 근이다.

3. \(k(x)= \frac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{2}}\)라 하면, \[k(x)=\frac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\]이므로 곡선 \(y=k(x)\)는 점 \(\left(-\frac{1}{2}\, , 0\right)\)에 대하여 대칭이고, \(k'(x)= \frac{-2(x+2)(x-1)}{\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)^2}\)이므로 함수 \(k(x)\)는 \(x=-2\)에서 극솟값 \(-\frac{2}{3}\), \(x=1\)에서 극댓값 \(\frac{2}{3}\)을 갖는다. 또한 \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pm \infty}k(x)=0}\)이므로 함수 \(k(x)\)의 그래프는 그림과 같다.

4. 함수 \(f'(x)\)는 연속이므로  \[f'(x)=\frac{k(x)-a}{ 5\left(f(x)\right)^4+3\left(f(x)\right)^2}\]에서 \[\begin{align}
f'(c)&=\lim_{x\to c}f'(x)\\[.5em]
&=\lim_{x\to c}\frac{k(x)-a}{ 5\left(f(x)\right)^4+3\left(f(x)\right)^2}\\[.5em]
&=\lim_{x\to c}\left\{\frac{\frac{k(x)-k(c)}{x-c}}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}\times \frac{1}{5(f(x))^3+3f(x)}\right\}
\end{align}\]이고, \(f'(c)\)의 값이 존재하고 \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{1}{5(f(x))^3+3f(x)}\)의 값은 존재하지 않으므로 \[k'(c)=\lim_{x\to c}\frac{k(x)-k(c)}{x-c}=0\]이다. 따라서 \(a\)는 함수 \(k(x)\)의 극값 중 하나이다.

5. \(f'(2)>0\)이므로 \[f'(x)=\frac{k(x)-a}{ 5\left(f(x)\right)^4+3\left(f(x)\right)^2}\]에서 \(k(2)-a>0\)이다. 따라서 \(a=k(-2)=-\frac{2}{3}\)이다. 

6. (가)의 양변에 \(x=-2\)를 대입하여 \(b\)의 값을 구하면 \(b=\ln \frac{9}{2}-\frac{4}{3}\)이다. 

# ◀ 닫기

위와 같이 풀면 \(f(x)\)가 굳이 이계도함수를 갖는 함수라고 할 필요도 없을 것이다.

(주1) 위의 과정의 8에서 \(f(x)\)의 도함수의 연속만 보장해주어도 충분하다.
(주2) 테일러 정리를 이용하면 \(f(x)\)의 미분가능성만 보장해주어도 충분하다. 

다만, 고등학생들이 접근할 수 있는 수준에서의 풀이(변곡점에서의 접선)를 생각하여 배려해준 것이 아닌가 생각한다.

 

※ (25.7.5.) 다른 풀이 일부에 오류가 있어, 수정하였습니다.