[Section 55] Cyclotomic Extensions

원분확대체(Cyclotomic Extension)

원분(圓分)이란 말 그대로 원을 나눈다는 것이다. 다항식 $x^n-1$의 $n$개의 복소수의 근은 복소평면 위에서 단위원 $|z|=1$의 둘레를 $n$등분한다. 이런 점에서 일반적인 다항식의 정규 확대보다는 더욱 좋은 성질을 갖는다. 

[Definition 0.0]

체 $F$ 위의 다항식 $x^n-1$의 분해체(splitting field)를 $n$차 원분확대체($n$th cyclotomic extension)라고 한다. 

다항식 $x^n-1$의 한 근을 $\alpha$라 하면 $$g(x)=(x^n-1)/(x-\alpha )=x^{n-1}+\alpha x^{n-2}+\cdots +{\alpha }^{n-1}$$이므로 $g(\alpha )=(n\cdot 1)(1/\alpha )$이므로 $F$의 표수(characteristic)가 $n$을 나누지 않으면 $g(\alpha )\ne 0$이고 원분다항식의 분해체는 분리 가능한 확대체가 된다. 즉, 정규 확대체가 된다.

한편, 실제로 다항식 $x^n-1$의 모든 근은 $$e^{(2m\pi /n)i}=\cos \frac{2m\pi }{n}+i\sin \frac{2m\pi }{n}(0\le m\le n-1)$$이고, ($m$이 $n$과 서로소인 경우에 다항식 $x^n-1$의 모든 근을 생성할 수 있다. 이러한 근들을 $n$차 원시근(primitive $n$th roots of unity)이라 한다. 

[Definition 0.1]

$\overline{F}$에서의 $n$차 원시근 ${\alpha }_i$에 대하여 다항식 $${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_n(x)=\prod _{i=1}^{\phi (n)}(x-{\alpha }_i)}$$를  $F$ 위에서의 $n$차 원분다항식($n$th cyclotomic polynomial)이라고 한다. 

$\mathbb{Q}$ 아래에서의 각 원시근은 다항식 $x^n-1$의 모든 근을 생성하므로 $n$차 원분다항식의 분해체는 $n$차 원분확대체와 같다. 이때 이 확대체에 대한 갈루아 그룹은 법(modulo) $n$ 아래에서의 곱셈군과 동형이 된다.

[Theorem 0.2]

$\mathbb{Q}$ 위에서의 $n$차 원분 확대체 $K$에 대하여 갈루아 그룹 $G(K/\mathbb{Q})$은 위수 $\phi (n)$의 곱셈군 $G_n$과 동형이다. 즉, $n$ 이하의 자연수 중 $n$과 서로소인 것들을 원소로 갖는 곱셈군과 동형이다.

증명 ▶

(Proof)

$n$차 원시근 $\zeta =\cos (2\pi /n)+i\sin (2\pi /n)$에 대하여 ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$는 $\mathbb{Q}$ 위에서 기약이므로(이는 증명 없이 받아들이도록 한다.) 자기동형사상의 성질에서 $G(K/\mathbb{Q})$의 각 원소는 $\zeta$를 ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$의 다른 근인 ${\zeta }^m$으로 대응시키고, 이 근의 대응에 의하여 $G(K/\mathbb{Q})$의 각 원소가 결정된다. $${\sigma }_m,{\sigma }_r\in G(K/\mathbb{Q}):{\sigma }_m(\zeta )={\zeta }^m,{\sigma }_r(\zeta )={\zeta }^r$$인 각 ${\sigma }_m,{\sigma }_r$에 대하여 $${\sigma }_m{\sigma }_r(\zeta )={\sigma }_m({\zeta }^r)=({\zeta }^r{)}^m=({\zeta }^m{)}^r={\sigma }_r({\zeta }^m)={\sigma }_r{\sigma }_m(\zeta )$$이고 ${\zeta }^m=1$인 자연수 $m$의 최솟값은 $n$이므로 $G(K/\mathbb{Q})$는 곱셈군 $G_n$과 동형이다.

증명 ▶

특히, 소수 $p$에 대하여 $K$가 $p$차 원시근인 경우 $G(K/\mathbb{Q})$는 위수 $p-1$의 순환군과 동형이 된다. $p$ 이하의 모든 자연수는 $p$와 서로소이기 때문이다.

 

작도가능한 정다각형

정$n$각형의 한 각의 크기는 $2\pi /n$이고, $\theta$가 작도 가능할 필요충분조건은 $\cos \theta$가 작도 가능한 것이므로 정$n$각형이 작도 가능하기 위해서는 $\cos (2\pi /n)$이 작도 가능해야 한다. 이는 $n$차 원시근과 관련이 있다. 왜냐하면 $n$차 원시근을 $\zeta =e^{2\pi i/n}$라 하면 $\zeta +1/\zeta =2\cos (2\pi /n)$이기 때문이다. 한편, 실수 $\alpha$가 작도 가능하기 위해서는 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=2^r(r\in {\mathbb{Z}}^{+}\cup \{0\})$이어야 한다. 이를 종합하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

[Definition 1.0]

음이 아닌 정수 $k$에 대하여 $2^{(2^k)}+1$ 꼴의 소수를 페르마 소수(Fermat prime)라고 한다.

[Theorem 1.1]

정$n$각형이 작도 가능할 필요충분조건은 $n$을 나누는 모든 홀수인 소수가 페르마 소수이고, 각 페르마 소수인 소인수의 제곱이 $n$의 약수가 아닌 것이다.

증명 ▶

(Proof)

($\to$) 정$n$각형이 작도 가능하다고 하자. $n$차 원시근 $\zeta =e^{2\pi i/n}$에 대하여 $\zeta$는 다항식 $x^2-(\zeta +1/\zeta )x+1$의 근이므로 $\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}(\zeta +1/\zeta )=2$이다. 또한, $\zeta +1/\zeta =2\cos (2\pi /n)$이고 $$[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\zeta ):\mathbb{Q}(\zeta +1/\zeta )][\mathbb{Q}(\zeta +1/\zeta ):\mathbb{Q}]$$이므로 $\phi (n)=2\mathrm{deg}(\cos (2\pi /n),\mathbb{Q})$이다. 즉, $\phi (n)=2^r(r\in \mathbb{N})$이다. 

자연수 $n$을 소인수분해한 것을 $n=2^{e_0}\cdot p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_m^{e_m}$이라 두면 $$\phi (n)=2^{e_0-1}\cdot p_1^{e_1-1}{p}_2^{e_2-1}\cdots p_m^{e_m-1}\cdot (p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_m-1)$$이므로 $e_1=e_2=\cdots =e_m=1$이어야 하고, $p_i-1(1\le i\le m)$은 모두 $2$의 제곱수여야 한다. 이때 $p_i-1=2^{s_i}$라 하고 $s_i=u_i{q}_i$, $q_i$는 홀수인 경우 $p_i=2^{u_i{q}_i}+1^{u_i{q}_i}$는 $2^{u_i}+1$의 배수이므로 소수가 아니다. 즉, $s$는 $2$만을 소인수로 가져야 한다. 따라서 $p_i=2^{(2^{k_i})}+1$이어야 한다. 즉, $n$의 홀수인 소수는 모두 페르마 소수이고 그 제곱은 $n$을 나누지 않는다.

($\leftarrow )$ $\phi (n)=2^r(r\in \mathbb{N})$이라고 하자. $[\mathbb{Q}(\cos 2\pi /n):\mathbb{Q}]=|G(\mathbb{Q}(\cos 2\pi /n)/\mathbb{Q})|=2^{r-1}$이므로 $H_0=\{0\},H_{r-1}=G(\mathbb{Q}(\cos 2\pi /n)/\mathbb{Q})$ 실로우 정리에 의하여 $$H_0<H_1<\cdots <H_{r-1}$$인 위수가 $2^i$인 군 $H_i(0\le i\le r-1)$가 각각 존재한다. 즉, 갈루아 정리에 의하여 $$\mathbb{Q}=K_{H_{r-1}}<K_{H_{r-2}}<\cdots <K_{H_0}=\mathbb{Q}(\cos 2\pi /n)$$이고 $[K_{H_{j-1}}:K_{H_j}]=2$이다. 이때 작도 가능한 수들의 체의 확대 차수가 $2$인 확대체의 모든 원소는 작도 가능하고 $\mathbb{Q}$의 모든 원소는 작도 가능하므로 $\cos (2\pi /n)$도 작도 가능하다. 

[Cf] $K_{H_{j-1}}=K_{H_j}({\alpha }_j)$이면 ${\alpha }_j$는 적당한 이차다항식 $a_j{x}^2+b_{j}x+c_j\in K_{H_j}[x]$의 근이고 이차방정식의 근의 공식에 의하여  $K_{H_{j-1}}=K_{H_j}(\sqrt{b_j^2-4a_j{c}_j})$이다. 

증명 ▶

 

여러 가지 문제들

[Problem 2.0]

$\mathbb{Q}$ 위의 다항식 $x^{20}-1$에 대한 갈루아 군을 유한 생성 아벨군의 기본 정리에 따라 분류하시오.

증명 ▶

(Proof)

$20$차 원시근 $\zeta$에 대하여 $K=\mathbb{Q}(\zeta )$라 하면 다항식 $x^{20}-1$의 갈루아 군은 $G(K/\mathbb{Q})$이고 $\phi (20)=2\cdot 4=8$이므로 $G(K/\mathbb{Q})$는 위수 $8$인 아벨군이고 곱셈군 $G_{20}=\{1,3,7,9,11,13,17,19\}$과 동형이다. 이때 $3^4=81$이고 $81$은 법 $20$에 대하여 $1$과 합동이므로 원소 $3$의 위수는 $4$이다. 나머지 원소들에 대하여 계산하면 모든 원소의 위수가 $4$ 이하임을 알 수 있다. 따라서 주어진 갈루아 군은 ${\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_2$와 동형이다.

증명 ▶

 

[Problem 2.1]

체 $F$의 표수가 $n$의 약수가 아니라고 하자. 이때 $$x^n-1={\displaystyle \prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d(x)}$$임을 보여라.

증명 ▶

(Proof)

$n$차 원시근 $\zeta$에 대하여 $x^n-1$의 $\overline{F}$ 위에서의 모든 근은 $1,\zeta ,{\zeta }^2,\cdots {\zeta }^{n-1}$이다. 이들의 집합은 덧셈군 ${\mathbb{Z}}_n$과 동형이다. 이때 ${\mathbb{Z}}_n$의 각 원소는 모두 $n$의 약수인 위수 $d$를 가지므로 $x^n-1$의 모든 근은 각각 $n$의 약수인 위수 $d$를 갖는다. 즉, 각각은 $d$차 원시근이다. 따라서 주어진 등식이 성립한다.

증명 ▶

 

[Problem 2.2]

두 자연수 $n,m$이 서로소라고 하자. $\mathbb{C}$ 위에서 다항식 $x^{nm}-1\in \mathbb{Q}[x]$의 분해체가 다항식 $(x^n-1)(x^m-1)$의 분해체와 같음을 보여라.

증명 ▶

(Proof)

$\mathbb{C}$에서의 $nm$차 원시근을 $\zeta$라 하자. 이때 $gcd(m,n)=1$이므로 $({\zeta }^m{)}^r$이 $1$이 되는 $r$의 최솟값은 $n$이다. 즉, ${\zeta }^m$은 $n$차 원시근이다. 같은 방법으로 ${\zeta }^n$은 $m$차 원시근이다. 따라서 $\mathbb{Q}(\zeta )$는 다항식 $(x^n-1)(x^m-1)$의 모든 근을 포함한다. 

반대로 $n$차 원시근과 $m$차 원시근을 각각 $\alpha ,\beta$라 하면 $(\alpha \beta {)}^s=1$이 되는 자연수 $s$의 값은 $m$과 $n$의 공배수이다. 즉, $n$과 $m$이 서로소이므로 이러한 $s$의 최솟값은 $mn$이다. 즉, $\alpha \beta$는 $mn$차 원시근이다. 따라서 $\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$는 $x^{nm}-1$의 모든 근을 포함한다. 

이로부터 $\mathbb{Q}(\zeta )=\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$이다. 

증명 ▶