[Section 37] Applications of the Sylow Theory

여러 가지 정리들

실로우 정리와 함께 응용되는 여러 가지 정리들은 다음과 같다. 이들은 주로 특정한 위수의 군이 단순군인지 판별할 때 쓰인다.

 

[Theorem 0.0]

유한군 $G$의 두 정규부분군 $H,K$가 $H\cap K=\{e\}$와 $H\vee K=G$을 만족시키면 $G\simeq H\times K$이다. 

증명 ▶ 

(Proof)

우선 임의의 $h\in H,k\in K$에 대하여 $H◃G,K◃G$이므로
$$\begin{array}{rl}& k^{-1}hk{h}^{-1}=(k^{-1}hk)h^{-1}\in H,\\ & k^{-1}hk{h}^{-1}=k^{-1}(hk{h}^{-1})\in K\end{array}$$이다. 즉, $k^{-1}hk{h}^{-1}\in H\cap K$이므로 주어진 조건에 의하여 $k^{-1}hk{h}^{-1}=e$이다. 따라서 $hk=kh$이다. 이때 $\varphi :H\times K\to G$를 $\varphi (h,k)=hk$라 하면 $h_1,h_2\in H,k_1,k_2\in K$에 대하여 $$\begin{array}{rl}\varphi ((h_1,k_1)(h_2,k_2))& =\varphi (h_1{h}_2,k_1{k}_2)\\ & =h_1{h}_2{k}_1{k}_2\\ & =h_1{k}_1{h}_2{k}_2\\ & =\varphi (h_1,k_1)\varphi (h_2,k_2)\end{array}$$이므로 $\varphi$는 $H\times K$에서 $G$로의 준동형사상이다. 또한, $hk=e$이면 $h=k^{-1}\in K,k=h^{-1}\in H$이므로 $h,k\in K\cap H$이고 $h=e,k=e$이다. 따라서 $\ker \varphi =(e,e)$이고, $\varphi$는 일대일이다. 주어진 조건에서 $H\vee K=G$이고 $H\vee K=HK$이므로 $\varphi$는 $H\times K$에서 $G$ 위로의(onto) 사상이다. 이로부터 $\varphi$는 $H\times K$에서 $G$ 위로의 동형사상이다. 따라서 $G\simeq H\times K$이다. 

증명 ▶ 

[Corollary 0.1]

소수 $p$에 대하여 위수가 $p^2$인 군은 아벨군이다.

증명 ▶ 

(Proof)

군 $G$가 위수가 $p^2$인 군이라고 하자.

(1) 만약 $G$에 위수가 $p^2$인 원소가 존재한다면 $G$는 위수가 $p^2$인 순환군이고, 아벨군이다.

(2) $G$에 위수가 $p^2$인 원소가 존재하지 않는다고 하자. 즉, 항등원을 제외한 모든 원소의 위수가 $p$가 된다고 하자. 그러면 $⟨a⟩\ne ⟨b⟩$인 $G$의 두 원소 $a,b$가 존재한다. 그러면 $⟨a⟩\cap ⟨b⟩=\{e\}$이어야 한다. 항등원이 아닌 원소를 공통으로 가지고 있는 두 순환 부분군은 서로 같은 군이기 때문이다. 또한 $|⟨a⟩\vee ⟨b⟩|>p$이고 $G$는 위수가 $p^2$이므로 $⟨a⟩\vee ⟨b⟩=G$이다. 따라서 [Theorem 0.0]에 의하여 $G\simeq ⟨a⟩\vee ⟨b⟩$이고, 유한 생성 아벨군 기본 정리에 의하여 $G\simeq {\mathbb{Z}}_p\times {\mathbb{Z}}_p$이다. 즉, $G$는 아벨군이다.

증명 ▶ 

[Theorem 0.2]

유한군 $G$에 대하여 $H\le G,K\le G$이면 $$|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$$

증명 ▶ 

(Proof)

$h_1,h_2\in H,k_1,k_2\in K$에 대하여 $h_1{k}_1=h_2{k}_2$이면 $h_2^{-1}{h}_1=k_2{k}_1^{-1}$이다.  즉, $a=h_2^{-1}{h}_1=k_2{k}_1^{-1}$이라 하면 $a\in H\cap K$이고, $h_2=h_1{a}^{-1},k_2=a{k}_1$이다. 역으로 임의의 $b\in H\times K$에 대하여, $h_3=h_1{b}^{-1},k_3=b{k}_1$이라 하면 $h_3{k}_3=h_1{b}^{-1}b{k}_1=h_1{k}_1$이다. 따라서 $HK$의 각 원소에서 $H\cap K$의 원소의 개수만큼의 같은 원소가 존재한다. 따라서 주어진 등식이 성립한다.

증명 ▶ 

 

실로우 정리의 활용

다음은 실로우 정리를 활용하여 특정한 위수의 군이 단순군이 아님을 보이는 여러 가지 예시이다.

[Example 1.0]

위수 $20$인 임의의 군은 단순군이 아니다. 제3 실로우 정리에 의하여 실로우 $5$-부분군의 개수는 $20$의 약수이면서 $5$로 나눈 나머지가 $1$이어야 한다. 이 조건을 만족시키는 가능한 실로우 $5$-부분군의 개수는 $1$뿐이다. 또한, 제2 실로우 정리에 의하여 실로우 $5$-부분군은 모두 켤레(conjugate) 관계인데, 그러한 군이 유일하므로 실로우 $5$-부분군의 켤레는 모두 그 자신이다. 따라서 이 실로우 $5$-부분군은 전체 군의 정규 부분군이다.

[Example 1.1]

위수 $30$인 임의의 군은 단순군이 아니다. $G$를 위수 $30$인 군이라고 하자. 제3 실로우 정리에 의하여
가능한 실로우 $3$-부분군의 개수는 $1$ 또는 $10$이고, 
가능한 실로우 $5$-부분군의 개수는 $1$ 또는 $6$이다.

만약 실로우 $3$-부분군의 개수가 $10$이면, 임의의 서로 다른 두 실로우 $3$-부분군 $H,K$에 대하여 $H\cap K=e$이다. 따라서 $G$에는 위수 $3$인 원소가 적어도 $2\times 10=20$개 존재한다. 
같은 방법으로 실로우 $5$-부분군의 개수가 $6$이면, $G$에는 위수 $5$인 원소가 적어도 $4\times 6=24$개 존재한다.

따라서 $G$에는 적어도 $44$개의 위수 $3$ 또는 $5$인 원소가 존재한다. 이는 가능하지 않으므로 실로우 $3$-부분군의 개수가 $1$이거나 실로우 $5$-부분군의 개수가 $1$이다. 즉, $G$에는 위수 $3$ 또는 $5$인 정규 부분군이 존재한다. 이로부터 $G$에는 위수 $15$인 (정규) 부분군이 존재한다는 것도 알 수 있다. 

[Example 1.2]

위수 $36$인 임의의 군은 단순군이 아니다. $G$를 위수 $36$인 군이라고 하자. 제3 실로우 정리에 의하여 가능한 실로우 $3$-부분군의 개수는 $1$ 또는 $4$이다.

만약 실로우 $3$-부분군의 개수가 $1$이라면 그 부분군은 $G$의 정규 부분군이다.

실로우 $3$-부분군의 개수가 $4$라고 하자. $H,K$를 $G$의 서로 다른 두 실로우 $3$-부분군이라고 하면 [Theorem 0.2]에 의하여 $|H\cap K|=3$이어야 한다. 만약 $|H\cap K|=1$이면 $|HK|=81>|G|$이기 때문이다. 이때 [Corollary 0.1]에 의하여 실로우 $3$-부분군은 모두 아벨군이므로 $H\cap K◃H,H\cap K◃K$이다. 따라서 $H\cap K$의 정규화 부분군(normalizer) $N(H\cap K)$은 $H$와 $K$를 포함한다. 즉, $|N(H\cap K)|\ge 18$이다. $|N(H\cap K)|=18$이면 $N(H\cap K)◃G$이고 $|N(H\cap K)|=36$이면 $N(H\cap K)=G$이고 $H\cap K◃G$이다.

[Example 1.3]

위수 $255=(3)(5)(17)$인 임의의 군은 순환군이다. $G$를 위수 $255$인 군이라고 하자. 제3 실로우 정리에 의하여 $G$는 실로우 $17$-부분군의 개수는 $1$이고 그 군은 $G$의 정규 부분군이다. 이 위수 $17$의 군을 $H$라고 하자. 그러면 잉여군 $G/H$은 위수 $15$의 군이고, 이 군도 역시 제3 실로우 정리에 의하여 아벨군이다. 따라서 $H$는 $G$의 교환자 부분군(commutator subgroup) $C$를 부분군으로 갖는다. 라그랑주 정리에 의하여 $|C|=1$ 또는 $|C|=17$이다. $\cdots (1)$

같은 방법으로 제3 실로우 정리에 의하여 실로우 $3$-부분군의 개수는 $1$ 또는 $85$이고 실로우 $5$-부분군의 개수는 $1$ 또는 $51$이다. [Example 1.1]과 같은 방법으로 $G$는 위수 $3$ 또는 $5$인 정규 부분군을 갖는다. $K$를 위수 $3$인 $G$의 정규 부분군이라고 하자. 그러면 잉여군 $G/K$는 위수가 $85$이고, 제3 실로우 정리에 의하여 아벨군이다. 따라서 $K$ 또한 교환자 부분군 $C$를 부분군으로 갖는다. 라그랑주 정리에 의하여 $|C|=1$ 또는 $|C|=3$이다. $\cdots (2)$

(1), (2)에서 $|C|=1\Rightarrow C=\{e\}$이고, $G/C=G/\{e\}\simeq G$이므로 $G$는 아벨군이다. $G$가 위수 $5$인 정규 부분군을 갖는 경우에도 같은 방법으로 동일한 결론을 얻을 수 있다. 유한 생성 아벨군의 기본정리에 의하여 $G\simeq {\mathbb{Z}}_3\times {\mathbb{Z}}_5\times {\mathbb{Z}}_{17}\simeq {\mathbb{Z}}_{255}$이다. 

 

Reference: <A First Course in Abstract Algebra> Jonn B. Fraleigh, 7th Edition.