[Topology] Problems & Solutions Archive

1. 위상공간의 정의

[Problem 1.0]

\(X\)가 무한집합이고 \(X\) 위의 위상 \(\mathcal T\)가 \(X\)의 모든 무한 부분집합을 열린 집합으로 갖는다고 하자. \(\mathcal T\)가 이산 위상공간임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

집합 \(X\)의 임의의 원소 \(p \in X\)에 대하여 \(X\  \backslash \ \{p\}\)는 무한집합이므로 이 집합은 가부번집합 \(\{x_n: x_n\in X, \ n\in \Bbb N\}\)을 부분집합으로 갖는다. 이때 \[A=\{x_{2n-1}: x_{2n-1}\in X, \ n\in \Bbb N\}, \quad B=\{x_{2n}: x_{2n}, \ n\in \Bbb N\}\]는 서로소인 \(X \ \backslash \ \{p\}\)의 무한부분집합이므로 \(A\cup \{p\}\)와 \(B\cup \{p\}\)는 열린 집합이고, \[(A\cup \{p\})\cap (B\cup \{p\})=\{p\}\]이므로 \(\{p\}\)는 열린 집합이다. 즉, 각 홑원소집합이 열린 집합이므로 \(X\)는 이산 위상공간이다.

# ◀ 닫기

 

[Problem 1.1]

위상공간 \(X\)의 두 부분집합 \(A\), \(B\)에 대하여 \((A\cup B)'=A'\cup B'\)임을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

\(x\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G_x\)에 대하여 \[\begin{align} & x\in (A\cup B)' \\[.5em] & \Leftrightarrow (A\cup B) \cap (G_x \ \backslash \ \{x\})\neq \varnothing \\[.5em] & \Leftrightarrow [A\cap (G_x \ \backslash \ \{x\})]\cup [B\cap (G_x \ \backslash \ \{x\})]\neq \varnothing \\[.5em] &\Leftrightarrow A\cap (G_x \ \backslash \ \{x\})\neq \varnothing \ \ \text{or} \ \ B\cap (G_x \ \backslash \ \{x\})\neq \varnothing \\[.5em] &\Leftrightarrow x\in A'\cup B' \end{align}\]

# ◀ 닫기

 

[Problem 1.2]

위상공간의 두 부분집합 \(A\), \(B\)에 대하여 \(\bar A\cap \bar B=\varnothing\)이면 \(\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)=\text{Int}(A\cup B)\)임을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

(\(\subset\)) \(\text{Int}(A)\subset A, \ \text{Int}(B)\subset B\)이므로 \(\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)\)는 \(A\cup B\)에 포함되는 한 열린 집합이다. 따라서 내부의 정의에 의하여 \(\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)\subset \text{Int}(A\cup B)\)이다.

(\(\supset\)) \(x\in \text{Int}(A\cup B)\)이지만 \(x\notin \text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)\)라고 하자. \(x\notin \text{Int}(A)\)이고 \(x\in \text{Int}(A\cup B)\)이므로 \(x\)의 임의의 열린 근방 \(G_x\)에 대하여 \(V=\text{Int}(A\cup B)\cap G_x\)는 \(x\)를 포함하는 \(A\cup B\)의 부분집합인 \(x\)의 열린 근방이다. 이때 \(B\cap G_x=\varnothing\)이면 \[G_x\subset B^c \ \Rightarrow \ V\subset (A\cup B)\cap B^c \ \Rightarrow \ V\subset A\]이므로 \(x\)는 \(A\)의 내점이 된다. 이는 가정에 모순이므로 \(B\cap G_x \neq \varnothing\)이고 \(x\in \bar B\)이다. 비슷한 방법으로 \(x\in \bar A\)를 얻을 수 있다. 따라서 \(x\in \bar A\cap \bar B\)이다. 이는 \(\bar A\cap \bar B=\varnothing\)이라는 가정에 모순이므로 \(x\in \text{Int}(A\cup B)\)이면 \(x\in \text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)\)이다. 

# ◀ 닫기

 

2. 연속

 

3. 거리공간

 

4. 가산공리과 분리공리

[Problem 4.0]

위상공간 \(X\)에서 한 점 \(x\)가 함수 \(f: X\to X\)에 대하여 \(f(x)=x\)를 만족시키면 \(x\)를 함수 \(f\)의 고정점(fixed point)이라고 한다. 하우스도르프 공간 \(X\)에서 \(X\)로의 연속함수의 고정점들의 집합은 닫힌 집합임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(f: X\to X\)를 하우스도르프 공간 \(X\)에서 정의된 연속함수라고 하자. \(g(x)=x\)라 할 때, 집합 \[A=\{x\in X\, |\, f(x)\neq g(x)\}\]가 열린 집합임을 보이면 충분하다. 임의의 \(a\in A\)에 대하여 \(f(a)=b\)라 하자. (\(a\neq b\)) \(X\)는 하우스도르프 공간이므로 \(a\in G\), \(b\in H\)인 서로소인 두 열린 집합 \(G, \, H\in X\)가 존재한다. 그러면 \(f(x), \, g(x)\)는 연속이므로 \(f^{-1}(G), \, g^{-1}(H)\)는 \(X\)의 열린 집합이고, \(a\in f^{-1}(G)\cap g^{-1}(H)\)이다. 또한, 임의의 \(y\in f^{-1}(G)\cap g^{-1}(H)\)에 대하여 \[f(y)\in G, \; g(y)\in H, \; G\cap H=\varnothing \ \Rightarrow \ f(y)\neq g(y)\]가 성립한다. 따라서 \(a\in f^{-1}(G)\cap g^{-1}(H)\subset A\)이다. \(a\)는 \(A\)의 임의의 원소이므로 \(A\)의 모든 원소는 \(A\)의 내점이다. 따라서 \(A\)는 열린 집합이고, \(f\)의 고정점들의 집합인 \(A^c=\{x\in X \, | \, f(x)=x\}\)는 닫힌 집합이다. \(\blacksquare\)

# ◀ 닫기

 

 

5. 컴팩트성

[Problem 5.0] [2019 임용시험 기출]

실수 전체의 집합 \(\Bbb R\) 위의 위상 \[\Im=\{U\subseteq\Bbb R\,|\, \Bbb R-U\text{는 유한집합}\}\cup \{\varnothing\}\]에 대하여 \((\Bbb R, \, \Im)\)의 두 부분공간(subspace) \(A=[0, 1]\cup [2, 3)\)과 \(B=\{3, 4, 5\}\)의 위상을 각각 \(\Im_A, \, \Im_B\)라 하자. 집합 \(X=A\cup B\)에서 \(\Im_A\cup \Im_B\)를 기저(base, basis)로 하는 위상을 \(\Im'\)이라 할 때, 위상공간 \((X, \, \Im')\)에서 집합 \(\displaystyle C=\left\{\left.3-\frac{1}{n}\right|\, n\in \Bbb N\right\} \cup \{3\}\)의 경계(boundary) \(b(C)\)를 구하시오. 또한 \((X, \, \Im')\)이 컴팩트 공간(compact space)임을 보이시오. (단, \([0, 1]=\{x\in \Bbb R \, | \, 0\le x\le 1\}\), \([2, 3)=\{x\in \Bbb R \, | \, 2\le x<3\}\)이고 \(\Bbb N\)은 자연수 전체의 집합이다.) 

# Solution ▶

(Proof)

(1) 위상 \(\Im\)의 집합 \(A\)의 위의 상대 위상에서 열린 집합은 여집합이 유한집합인 집합들이고, \(B\)는 유한집합이므로 \(B\) 위의 상대 위상은 이산 위상이다. 따라서 위상공간 \((X, \, \Im')\)에서 닫힌 집합은 '\(X\)의 유한 부분집합' 또는 '\(A\cup F \; (F\subseteq B)\)'이다. \(C\)는 무한집합이므로 \(\bar {C}=A\cup \{3\}\)이다.

한편, \(\displaystyle a\in \left\{\left.3-\frac{1}{n}\right|\, n\in \Bbb N\right\}\)인 경우, \(a\)를 포함하는 열린 집합은 \(A\)의 유한개를 제외한 모든 원소를 포함하므로 \(a\in G\subset C\)인 \(G\in \Im'\)은 존재하지 않는다. 따라서 \(a\notin \text{Int}(C)\)이다. 한편, \(3\in C\)에 대하여 \(3\in \{3\}\subset C\)이고 \(\{3\}\in \Im'\)이므로 \(3\in \text{Int}(C)\)이다. 이로부터 \(\text{Int}(C)=\{3\}\)이다. 따라서 \(b(C)=\bar C-\text{Int}(C)=A\)이다. 

(2) \(\mathcal G\)를 \((X,\, \Im')\)의 한 열린 덮개라고 하자. \(0\in X\)이므로 \(0\)을 포함하는 열린 집합 \(G\in \Im'\)가 존재한다. 그러면 \(X-G\)는 유한집합이므로 \(X=G\)인 경우 \(\{G\}\)는 \(\mathcal G\)의 유한 부분덮개이고, \(X\neq G\)인 경우, \(X-G=\{a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n\}\)이라 하면 \(a_1\in G_1, \ a_2\in G_2, \ \cdots, \ a_n\in G_n\)인 \(G_1, \ G_2, \ \cdots, \ G_n\in \Im\)가 존재한다. 따라서 \(\mathcal G\)는 유한인 부분 덮개 \(\{G, \, G_1, \, G_2, \, \cdots, \, G_n\}\)를 가진다. 따라서 \((X, \, \Im')\)은 컴팩트 공간이다. \(\blacksquare\)

[Remark 1] 위상공간 \(X\)에 대하여 \(A\subset X\)의 경계를 \(b(A)\)라 하자. 
(1) \(A\)의 내부(interior)를 \(\text{Int}(A)\), 외부(exterior)를 \(\text{ext}(A)\)라 할 때, \(b(A)=X-(\text{Int}(A)\cup \text{ext}(A))\)
(2) \(A\)의 폐포(closure)를 \(\bar A\)라 할 때, \(b(A)=\bar A-\text{Int}(A)\)이다. 

[Remark 2] 위상공간 \(X\)를 덮는 임의의 열린 덮개 \(\mathcal G\)가 \(X\)를 덮는 \(\mathcal G\)의 유한인 부분덮개 \(\mathcal G^*\)를 가지면 \(X\)를 컴팩트 공간(compact space)이라고 한다.

# ◀ 닫기

 

6. 곱공간

 

7. 연결성