[Abstract Algebra] Problems & Solutions Archive

1. 군론

[Problem 1.0]

\(H\)와 \(K\)가 군 \(G\)의 극대인 정규부분군(Maximal Normal Subgroup)이라 하자. 이때 \(G/K \simeq H/(H\cap K)\)이고 \(G/H \simeq K/(H\cap K)\)임을 보여라.

# Solution ▶

우선 \(H\)와 \(K\)는 \(G\)의 정규부분군이므로 \(HK=\{hk \mid h\in H, \, k\in K\}\)는 \(G\)의 정규부분군이다. 따라서 준동형사상 \(\gamma: G \to G/K\)에 대하여 \(H\leq G\)이므로 \(\gamma[H] \leq G/K\)이다. 또한 제한함수 \(\gamma \mid _H\)에 대하여 \(\ker(\gamma \mid _H)=H\cap K\)이므로 동형사상 기본 정리에 의하여 \(\gamma[H] \simeq H/(H\cap K)\)이다. 

비슷한 방법으로 제한함수 \(\gamma \mid _{HK}\)에 대하여 \(\ker(\gamma \mid _{HK})=K\)이고 \(\gamma[HK]=\gamma[H]\)이므로 \(\gamma[H] \simeq HK/K\)이다. 따라서 \(HK/K \simeq H/(H\cap K)\)이다.  \(\cdots (*)\)

한편, \(HK\)는 \(H\)와 \(K\)를 포함하는 \(G\)의 정규부분군이고 \(H\)와 \(K\)는 극대인 정규부분군이므로 \(HK=G\)이어야 한다. 따라서 \((*)\)에 의하여 \(G/K \simeq H/(H\cap K)\)이다. 비슷한 방법으로 \(G/H \simeq K/(H\cap K)\)이다. 

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[Problem 1.1]

위수가 \(28\)인 군 \(G\)의 위수가 \(4\)인 정규부분군을 가지면 \(G\)는 가환군임을 보여라.

# Solution ▶

실로우 제3정리에 의하여 위수가 \(28\)인 군 \(G\)의 실로우 7-부분군의 개수는 \(28\)의 약수이면서 \(7\)로 나누었을 때 나머지가 \(1\)이다. 즉, 실로우 7-부분군의 개수는 \(1\)이다. 또한, 실로우 제2정리에 의하여 이 부분군은 \(G\)의 정규부분군이다. 

위수가 \(4\)인 정규부분군을 \(H\), 위의 실로우 7-부분군을 \(K\)라 하자. \(H\)의 모든 원소의 위수는 \(4\)의 약수이고 \(K\)의 모든 원소의 위수는 \(7\)의 약수이므로 \(H\cap K=\{e\}\)이다. 이때 \[|HK|=|H\vee K|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}=28=|G|\]이므로 \(H\vee K=G\)이다. 따라서 \(G\simeq H\times K\)이다. 소수 \(p\)에 대하여 위수가 \(p^2\)인 군은 가환군이므로 \(H\)는 가환군이고 \(K\)는 위수 \(7\)이므로 순환군이다. 따라서 \(G\) 또한 가환군이다. 

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[Problem 1.2] [2021 임용시험 기출]

군 \(G\)는 직접곱(직적, direct product) \(\Bbb Z_{13}^*\times \Bbb C^*\)이다. 위수(order)가 \(18\)인 \(G\)의 원소의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰고, 덧셈군 \(\Bbb Z_{18}\)과 군동형(group isomorphic)이 되는 \(G\)의 부분군의 개수를 구하시오. (단, \(\Bbb Z_{13}^*\)과 \(\Bbb C^*\)은 각각 유한체 \(\Bbb Z_{13}\)과 복소수체 \(\Bbb C\)의 영이 아닌 원소들의 곱셈군이다.)

# Solution ▶

\(a\in \Bbb Z_{13}^*\)이고, \(b\in \Bbb C^*\)를 선택했을 때, \(|(a, b)|=\text{lcm}\,(|a|, |b|)\)이다. 이로부터 \(G\)의 위수가 \(18\)인 원소는 다음과 같은 경우로 나누어 구할 수 있다.

(i) \(|b|=18\)인 경우: \(|\Bbb Z_{13}^*|=12\)이므로 \(|a|=1, \,2, \,3, \,6\)이어야 한다. 이때 \(|a|=k\)인 어떤 군의 원소 \(a\)의 개수는 순환군 \(\Bbb Z_k\)의 생성원의 개수와 같으므로 \(\phi(k)\)와 같다. 따라서 이 경우 문제를 만족시키는 \((a, b)\in G\)의 개수는 \[\phi(18)\cdot (\phi(1)+\phi(2)+\phi(3)+\phi(6))=6\cdot (1+1+2+2)=36\](ii) \(|b|=9\)인 경우: \(|a|=2, \, 6\)이어야 하므로 (i)과 같은 방법으로 \((a, b)\in G\)의 개수는 \[\phi(9)\cdot (\phi(2)+\phi(6))=6\cdot (1+2)=18\] (iii) \(|b|\leq 6\)인 경우: \(|a|\geq 9\)이어야 하므로 문제의 조건을 만족시키는 \((a, b)\in G\)는 존재하지 않는다. 

(i)~(iii)으로부터 위수가 \(18\)인 \(G\)의 원소의 개수는 \(36+18=54\)이다. 한편, \(\Bbb Z_{18}\)과 군동형인 \(G\)의 각 부분군은 \(\phi(18)=6\)개의 생성원을 가진다. 따라서 \(\Bbb Z_{18}\)과 군동형인 \(G\)의 부분군의 개수는 \(54/6=9\)이다. \(\blacksquare\)

[Remark 1] 순환군 \(\Bbb Z_k\)의 생성원의 개수는 \(\phi(k)\)이다. 이때 \(\phi(k)\)는 \(k\) 이하의 자연수 중 \(k\)와 서로소인 것들의 개수이다.

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[Problem 1.3] [2020 임용시험 기출]

대칭군(symmetric group) \(S_5\)와 덧셈 순환군(additive cyclic group) \(\Bbb Z_{12}\)의 직접곱(직적, direct product) \(S_5\times \Bbb Z_{12}\)에 대하여, \(S_5\)의 원소 \(\sigma=\left(\begin{array}{c}1 \ 2 \ 3\ 4\ 5\\  2\ 4 \ 5 \ 1 \ 3\end{array}\right)\)의 위수(order)와 \(S_5\times \Bbb Z_{12}\)의 원소 \((\sigma,  9)\)의 위수를 각각 구하시오.

# Solution ▶

(1) \(\sigma\)를 순환(cycle)의 곱으로 나타내면 \(\sigma=(1 \ 2 \ 4)(3 \ 5)\)이다. \(|(1 \ 2 \ 4)|=3, \; |(3 \ 5)|=2\)이므로 \(|\sigma|=\rm lcm(3, 2)=6\)이다. 

(2) \(\Bbb Z_{12}\)의 원소 \(9\)의 위수는 \(\frac{12}{\gcd(9, 12)}=4\)이므로 \(S_5\times \Bbb Z_{12}\)의 원소 \((\sigma, 9)\)의 위수는 \(\rm lcm(|\sigma|, |9|)=lcm(6, 4)=12\)이다. \(\blacksquare\)

[Remark 1] 직접곱의 원소의 위수는 각 좌표의 원소의 (각 원소가 속한 군에 대한) 위수들의 최소공배수와 같다.
[Remark 2] 덧셈군 \(\Bbb Z_n\)의 원소 \(a\)의 위수 \(m\)은 \(n\, |\, am\)인 최소인 자연수 \(m\)이다. 즉, \(m=\frac{n}{\gcd(a,\, n)}\)이다. 

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[Problem 1.4] [2018 임용시험 기출]

위수(order)가 각각 \(10\)과 \(n\)인 두 순환군(cyclic group) \(\Bbb Z_{10}\)과 \(\Bbb Z_n\)의 직접곱(직적, direct product) \(\Bbb Z_{10}\times \Bbb Z_n\)이 순환군이 되도록 하는 \(10\) 이상이고 \(100\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오.

# Solution ▶

(1) \(\gcd(10, n)=1\)인 경우, \((1, 1)\in G\)의 위수는 \(\mathrm{lcm}(10, n)=10n\)이고 \(|G|=10n\)이므로 \(G\simeq \Bbb Z_{10n}\)이다.

(2) \(\gcd(10, n)>1\)인 경우, \(G\)의 모든 원소의 위수는 \(\mathrm{lcm}(10, n)<10n\)이다. 따라서 \(G\)는 순환군이 아니다. 

따라서 구하는 자연수 \(n\)의 개수는 \(91-46-19+10=36\)이다.  

[Remark 1] \(\gcd(p, q)=1\)일 필요충분조건은 \(\Bbb Z_p\times \Bbb Z_q\simeq \Bbb Z_{pq}\)이다. 

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[Problem 1.5] [2019 임용시험 기출]

\(G\)는 위수가 \(150\)인 군(group)이다. 위수가 \(6\)인 \(G\)의 부분군(subgroup)이 유일하게 존재할 때, 위수가 \(30\)인 \(G\)의 부분군이 존재함을 보이시오.

# Solution ▶

위수가 \(6\)인 \(G\)의 부분군을 \(H\)라 하자. 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gHg^{-1}\)은 위수가 \(6\)인 \(G\)의 부분군이므로 조건에 의하여 \(gHg^{-1}=H\)이다. 따라서 \(H\)는 \(G\)의 정규부분군이다. \(\cdots \cdots \ (*)\)

\(G\)는 위수가 \(150\)인 군이고 \(5 \, | \,150\)이므로 코시의 정리(또는 제1 실로우 정리)에 의하여 \(G\)는 위수가 \(5\)인 순환부분군을 갖는다. 그 순환부분군을 \(K\)라 하면 \((*)\)에 의하여 \(HK=H\vee K\)이고, \(\gcd(5, 6)=1\)이므로 라그랑주 정리에 의하여 \(H\cap K=\{e_G\}\)이다. (단, \(H\vee K\)는 \(H\)와 \(K\)의 결합(join)이다.) 따라서 \[|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}=30\]이므로 \(HK=H\vee K\)는 \(G\)의 위수 \(30\)인 부분군이다. 

[Remark 1] (라그랑주 정리) \(G\)의 모든 원소의 위수는 \(|G|\)의 약수이다.
[Remark 2] (코시의 정리) 소수 \(p\)에 대하여 군 \(G\)의 위수가 \(p\)의 배수이면 \(G\)는 위수 \(p\)인 원소를 갖는다. 즉, \(G\)에는 위수 \(p\)인 순환부분군을 갖는다.
[Remark 3] (제1 실로우 정리) 소수 \(p\)와 군 \(G\)에 대하여 \(|G|=p^n m \; (i\geq 1, \; p \not\mid m)\)이라 하자. 그러면 각 \(k\in \{1, \, 2, \, \cdots, \, n\}\)에 대하여 \(|H_k|=p^k\)이고 \(H_k\triangleleft H_{k+1}\)인 \(G\)의 부분군 \(H_k\)가 존재한다.

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2. 환론

[Problem 2.0]

\(F\)가 체일 때, 주아이디얼 \(<x>\)는 \(F[x]\)의 극대 아이디얼임을 보여라. 또한 이 아이디얼이 \(F[x]\)의 유일한 극대 아이디얼이 아님을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

함수 \(\phi: F[x] \to F\)를 \(\phi(f)=f(0)\)이라 하면, \(\phi\)는 값매김 준동형사상(evaluation homomorphism)이고, \(\phi\)는 자명히 전사이다. 또한 \(\ker\phi=\{f\in F[x] : f(0)=0\}=<x>\)이므로 제1동형정리에 의하여 \(F[x]/<x>\simeq F\)이다. \(F\)는 체이고 \(F[x]\)는 단위원 \(1\)을 갖는 가환환이므로 \(<x>\)는 \(F[x]\)의 극대 아이디얼이다. 

비슷한 방법으로 \(a\neq 0\,\)에 대하여 \(<x-a>\)는 \(F[x]\)의 극대 아이디얼임을 보일 수 있고, 자명히 \(<x-a>\,\neq \,<x>\)이다. 

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[Problem 2.1]

\(\Bbb Z_3[x]/\langle x^3+cx^2+1 \rangle\)가 체가 되도록 하는 모든 \(c\in \Bbb Z_3\)을 구하시오.

# Solution ▶

(Proof)

\(\Bbb Z_3[x]\)는 단위원을 갖는 가환환이므로 주어진 잉여환이 체가 될 필요충분조건은 주아이디얼 \(\langle x^3+cx^2+1 \rangle\)이 극대아이디얼인 것이다. 또한, 이 아이디얼이 극대아이디얼일 필요충분조건은 \(x^3+cx^2+1\)이 \(\Bbb Z_3\) 위에서 기약인 것이다.

\(f(x)=x^3+cx^2+1\)이라 하면 \(f(0)=1, \; f(1)=2+c, \; f(2)=c\)이므로 \(\Bbb Z_3\)에서 \(f(1)\neq 0\), \(f(2)\neq 0\)이 되려면 \(c=2\)이어야 한다. 

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[Problem 2.2]

\(R\)이 나눗셈환(division ring)이면 그 중심(center) \(Z(R)\)은 체임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(Z(R)\)이 \(R\)의 부분환임을 보이는 것을 그렇게 어렵지 않다. \(Z(R)\)은 그 정의로부터 가환환이다. \(Z(R)\)이 체임을 보이기 위해서는 \(0\)이 아닌 \(Z(R)\)이 임의의 원소가 역원을 가짐을 보이면 충분하다.

\(R\)은 나눗셈환이므로 임의의 \(0\neq x\in R\)에 대하여 \(x^{-1}\in R\)이다. 이때 \(0\neq x\in Z(R)\)이라 하면 모든 \(r\in R\)에 대하여 \(r^{-1}x=xr^{-1}\)이 성립한다. 따라서 \((r^{-1}x)^{-1}=(xr^{-1})^{-1} \ \Rightarrow \ x^{-1}r=rx^{-1}\)가 성립한다. 이로부터 \(x^{-1}\in R\)이므로 \(Z(R)\)의 \(0\)이 아닌 원소는 역원을 가진다. 따라서 \(Z(R)\)은 가환인 나눗셈환이므로 체이다. 

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3. 체론

[Problem 3.0]

대수적 정수(algebraic integer)란 최고차항의 계수가 1인 다항식 \(f(x)\in \Bbb Z[x]\)의 근이 되는 복소수를 의미한다. 유리수 \(r\)이 대수적 정수일 때, \(r\)이 정수임을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

\(r\)이 대수적 정수이므로 정수 \(a_0, \, a_1, \cdots, \, a_{n-1}\)이 존재하여 \[r^n+a_{n-1} r^{n-1}+\cdots +a_1 r+a_0=0 \ \ (n\geq 1)\]을 만족시킨다. 서로소인 두 정수 \(p, \, q\,\)에 대하여 \(r=q/p\,\)라 하고 위 방정식의 양변에 \(p^n\)을 곱하면 \[\begin{align}&q^n+a_{n-1}pq^{n-1}+\cdots+a_1p^{n-1}q+a_0p^n=0 \\[.5em]&q^n=-p\left(a_{n-1}q^{n-1}+\cdots+a_1 p^{n-2}q+a_0p^{n-1}\right)\end{align}\]이고 \(\gcd(p, q)=1\)이므로 \(p=\pm 1\)을 얻는다. 따라서 \(r\in \Bbb Z\)이다. 

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[Problem 3.1]

\(\Bbb Q(\sqrt[3]{2})\) 위로의 자기동형사상(automorphism)은 항등사상뿐임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(\sqrt[3]{2}\notin \Bbb Q\,\)이고 \(\sqrt[3]{2}\)는 \(x^3-2\)의 한 근이고 아이젠슈타인 판정법에 의해 \(x^3-2\)는 \(\Bbb Q\) 위에서 기약이다. 따라서 \(\text{irr}(\Bbb Q, \sqrt[3]{2})=x^3-2\,\)이다. 체 위의 자기동형사상은 체의 원소들을 그 원소의 켤레 원소로 대응시키므로 \(\Bbb Q(\sqrt[3]{2})\) 위의 자기동형사상 \(\psi\)는 \(\psi (\sqrt[3]{2})\)의 값에 따라 결정된다. 이때 \(x^3-2\)의 근 중에서 \(\Bbb Q(\sqrt[3]{2})\) 위의 원소는 \(\sqrt[3]{2}\,\)뿐이므로 이 체 위에서의 자기동형사상은 항등사상뿐이다.  

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[Problem 3.2] [2019 임용시험 기출]

\(\Bbb Z_7[x]\)는 유한체(finite field) \(\Bbb Z_7\) 위의 다항식환(polynomial ring)이다. \(\Bbb Z_7[x]\)의 주아이디얼(단항이데알, principal ideal) \(I=\langle x^2-x\rangle\)에 대하여 잉여환(상환, factor ring, quotient ring) \(\Bbb Z_7[x]/I\)의 단원(unit, unit element)의 개수를 구하시오.

# Solution ▶

(Proof)

\(I\)가 이차다항식에 의해 생성된 주아이디얼이므로 \(\Bbb Z_7[x]/I=\{(ax+b)+I\, | \, a, \ b\in \Bbb Z_7\}\)이다. 이때 \((ax+b)+I=1+I\)일 필요충분조건은 \((x^2-x)f(x)+(ax+b)=1\)인 \(f(x)\in \Bbb Z_7[x]\)가 존재하는 것이다. 즉, \(\gcd(x^2-x, \ ax+b)=1\)이어야 한다. 

\(x^2-x=x(x-1)\)에서 \(\gcd(x^2-x, \ ax+b)\neq 1\)이 아닌 경우는 \(ax+b\)가 \(x\) 또는 \(x-1\)를 인수로 가지는 것이다. \(\gcd(x^2-x, ax+b)=x\)인 경우는 \(ax+b=x, \, 2x, \, \cdots, \, 6x\)이고 \(\gcd(x^2-x, ax+b)=x-1\)인 경우는 \(ax+b=x-1, \, 2(x-1), \, \cdots, \, 6(x-1)\)이다. 또한, \(ax+b=0\)인 경우는 \(\gcd(x^2-x, ax+b)=x^2-x\)이다. \(\left|\Bbb Z_7[x]/I\right|=49\)이므로 \(\Bbb Z_7[x]/I\)에서 단원의 개수는 \(49-1-12=36\)이다. \(\blacksquare\)

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4. 갈루아 정리

[Problem 4.0] [2018 임용시험 기출]

유리수체 \(\Bbb Q\) 위의 기약다항식(irreducible polynomial) \(f(x)\)의 \(\Bbb Q\) 위의 분해체(splitting field) \(K\)에 대하여 갈루아 군(Galois group) \(G(K/\Bbb Q)\)가 아벨군(abel group)이다. 이때 \(G(K/\Bbb Q)\)의 위수가 \(f(x)\)의 차수 \(\deg(f(x))\)와 같음을 보이시오. 또, \(\deg(f(x))=2018\)일 때, \(K\)의 모든 부분체(subfield)의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. (참고: \(2018=2\times 1009\)이고 \(1009\)는 소수이다.)

# Solution ▶

(Proof)

\(K\)는 \(\Bbb Q\) 위의 분해체이므로 \(\Bbb Q\)의 정규 확대체(갈루아 확대체)이다. \(f(x)\)의 한 근을 \(\alpha\)라고 하자. 그러면 \(\Bbb Q\leq \Bbb Q(\alpha)\leq K\)이므로 갈루아의 기본 정리에 의하여 \(G(K/\Bbb Q(\alpha))\leq G(K/\Bbb Q)\)이다. 이때 \(G(K/\Bbb Q)\)는 아벨군이므로 이 군의 모든 부분군은 정규부분군이다. 따라서 \(G(K/\Bbb Q(\alpha))\)는 \(G(K/\Bbb Q)\)의 정규부분군이다. 따라서 갈루아의 기본 정리에 의하여 \(\Bbb Q(\alpha)\)는 \(\Bbb Q\)의 정규 확대체이다. 즉, \(\Bbb Q(\alpha)\)는 \(f(x)\)의 모든 근을 포함하므로 \(K=\Bbb Q(\alpha)\)이다. 따라서 \[|G(K/\Bbb Q)|=[K:\Bbb Q]=[\Bbb Q(\alpha): \Bbb Q]=\deg(f(x))\]가 성립한다. 한편, \(K\)의 각 부분체는 \(G(K/\Bbb Q)\)의 각 부분군에 유일하게 대응되므로 \(K\)의 부분체의 개수는 \(G(K/\Bbb Q)\)의 부분군의 개수와 같다. 또한 \(|G(K/\Bbb Q)|=2018\)이고 \(G(K/\Bbb Q)\)는 아벨군이므로 유한 생성 가환군의 기본 정리에 의하여 \[G(K/\Bbb Q)\simeq \Bbb Z_2\times \Bbb Z_{1009}\simeq \Bbb Z_{2018}\]이고, \(G(K/\Bbb Q)\)는 순환군이다. 따라서 \(G(K/\Bbb Q)\)의 부분군의 개수는 위수인 \(2018\)의 약수의 개수인 \(4\)이고, 이에 따라 \(K\)의 부분체의 개수도 \(4\)이다. \(\blacksquare\)

[Remark 1] \(\Bbb Q\)는 완전체이므로 \(\Bbb Q\) 위의 확대체는 분리 가능(separable) 확대체이다. 따라서 \(\Bbb Q\) 위의 어떤 기약다항식의 분해체는 \(\Bbb Q\)의 정규 확대체이다. 

[Remark 2] 체 \(K\)가 체 \(F\)의 정규 확대체이고 \(F\leq L\leq K\)라 하자. 그러면 \(L\)이 \(F\)의 정규 확대체일 필요충분조건은 갈루아 군 \(G(K/L)\)이 \(G(K/F)\)의 정규부분군인 것이다. 또한, 이 경우 \[G(L/F)\simeq G(K/F)\,/\,G(K/L)\]이다. 

[Remark 3] 유한 생성 가환군의 기본 정리
\(G\)가 유한 가환군이면 \(G\)는 적당한 소수 \(p_i\)와 자연수 \(r_i\)가 존재하여 \[G\simeq \Bbb Z_{p_1^{r_1}}\times \Bbb Z_{p_2^{r_1}}\times \cdots \times \Bbb Z_{p_n^{r_n}}\]이다. 이때 각 소수 \(p_i\)가 쌍마다 다를 필요는 없다. 

[Remark 4] 두 자연수 \(p, \,q\)에 대하여 \(\gcd(p, q)=1\)이면 \(\Bbb Z_p\times \Bbb Z_q\simeq \Bbb Z_{pq}\)이다. 

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