[Topology] Problems & Solutions Archive

1. 위상공간의 정의

[Problem 1.0]

$X$가 무한집합이고 $X$ 위의 위상 $\mathcal{T}$가 $X$의 모든 무한 부분집합을 열린 집합으로 갖는다고 하자. $\mathcal{T}$가 이산 위상공간임을 보여라.

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(Proof)

집합 $X$의 임의의 원소 $p\in X$에 대하여 $X\mathrm{\setminus }\{p\}$는 무한집합이므로 이 집합은 가부번집합 $\{x_n:x_n\in X,n\in \mathbb{N}\}$을 부분집합으로 갖는다. 이때 $$A=\{x_{2n-1}:x_{2n-1}\in X,n\in \mathbb{N}\},B=\{x_{2n}:x_{2n},n\in \mathbb{N}\}$$는 서로소인 $X\mathrm{\setminus }\{p\}$의 무한부분집합이므로 $A\cup \{p\}$와 $B\cup \{p\}$는 열린 집합이고, $$(A\cup \{p\})\cap (B\cup \{p\})=\{p\}$$이므로 $\{p\}$는 열린 집합이다. 즉, 각 홑원소집합이 열린 집합이므로 $X$는 이산 위상공간이다.

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[Problem 1.1]

위상공간 $X$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 $(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$임을 보여라. 

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(Proof)

$x$를 포함하는 임의의 열린 집합 $G_x$에 대하여 $$\begin{array}{rl}& x\in (A\cup B{)}^{\prime }\\ & \iff (A\cup B)\cap (G_x\mathrm{\setminus }\{x\})\ne \varnothing \\ & \iff [A\cap (G_x\mathrm{\setminus }\{x\})]\cup [B\cap (G_x\mathrm{\setminus }\{x\})]\ne \varnothing \\ & \iff A\cap (G_x\mathrm{\setminus }\{x\})\ne \varnothing \text{or}B\cap (G_x\mathrm{\setminus }\{x\})\ne \varnothing \\ & \iff x\in A^{\prime }\cup B^{\prime }\end{array}$$

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[Problem 1.2]

위상공간의 두 부분집합 $A$, $B$에 대하여 $\overline{A}\cap \overline{B}=\varnothing$이면 $\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)=\text{Int}(A\cup B)$임을 보여라. 

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(Proof)

($\subset$) $\text{Int}(A)\subset A,\text{Int}(B)\subset B$이므로 $\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)$는 $A\cup B$에 포함되는 한 열린 집합이다. 따라서 내부의 정의에 의하여 $\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)\subset \text{Int}(A\cup B)$이다.

($\supset$) $x\in \text{Int}(A\cup B)$이지만 $x\notin \text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)$라고 하자. $x\notin \text{Int}(A)$이고 $x\in \text{Int}(A\cup B)$이므로 $x$의 임의의 열린 근방 $G_x$에 대하여 $V=\text{Int}(A\cup B)\cap G_x$는 $x$를 포함하는 $A\cup B$의 부분집합인 $x$의 열린 근방이다. 이때 $B\cap G_x=\varnothing$이면 $$G_x\subset B^c\Rightarrow V\subset (A\cup B)\cap B^c\Rightarrow V\subset A$$이므로 $x$는 $A$의 내점이 된다. 이는 가정에 모순이므로 $B\cap G_x\ne \varnothing$이고 $x\in \overline{B}$이다. 비슷한 방법으로 $x\in \overline{A}$를 얻을 수 있다. 따라서 $x\in \overline{A}\cap \overline{B}$이다. 이는 $\overline{A}\cap \overline{B}=\varnothing$이라는 가정에 모순이므로 $x\in \text{Int}(A\cup B)$이면 $x\in \text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)$이다. 

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2. 연속

 

3. 거리공간

 

4. 가산공리과 분리공리

[Problem 4.0]

위상공간 $X$에서 한 점 $x$가 함수 $f:X\to X$에 대하여 $f(x)=x$를 만족시키면 $x$를 함수 $f$의 고정점(fixed point)이라고 한다. 하우스도르프 공간 $X$에서 $X$로의 연속함수의 고정점들의 집합은 닫힌 집합임을 보여라.

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(Proof)

$f:X\to X$를 하우스도르프 공간 $X$에서 정의된 연속함수라고 하자. $g(x)=x$라 할 때, 집합 $$A=\{x\in X|f(x)\ne g(x)\}$$가 열린 집합임을 보이면 충분하다. 임의의 $a\in A$에 대하여 $f(a)=b$라 하자. ($a\ne b$) $X$는 하우스도르프 공간이므로 $a\in G$, $b\in H$인 서로소인 두 열린 집합 $G,H\in X$가 존재한다. 그러면 $f(x),g(x)$는 연속이므로 $f^{-1}(G),g^{-1}(H)$는 $X$의 열린 집합이고, $a\in f^{-1}(G)\cap g^{-1}(H)$이다. 또한, 임의의 $y\in f^{-1}(G)\cap g^{-1}(H)$에 대하여 $$f(y)\in G,g(y)\in H,G\cap H=\varnothing \Rightarrow f(y)\ne g(y)$$가 성립한다. 따라서 $a\in f^{-1}(G)\cap g^{-1}(H)\subset A$이다. $a$는 $A$의 임의의 원소이므로 $A$의 모든 원소는 $A$의 내점이다. 따라서 $A$는 열린 집합이고, $f$의 고정점들의 집합인 $A^c=\{x\in X|f(x)=x\}$는 닫힌 집합이다. $◼$

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5. 컴팩트성

[Problem 5.0] [2019 임용시험 기출]

실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$ 위의 위상 $$\mathrm{\Im }=\{U\subseteq \mathbb{R}|\mathbb{R}-U\text{는 유한집합}\}\cup \{\varnothing \}$$에 대하여 $(\mathbb{R},\mathrm{\Im })$의 두 부분공간(subspace) $A=[0,1]\cup [2,3)$과 $B=\{3,4,5\}$의 위상을 각각 ${\mathrm{\Im }}_A,{\mathrm{\Im }}_B$라 하자. 집합 $X=A\cup B$에서 ${\mathrm{\Im }}_A\cup {\mathrm{\Im }}_B$를 기저(base, basis)로 하는 위상을 ${\mathrm{\Im }}^{\prime }$이라 할 때, 위상공간 $(X,{\mathrm{\Im }}^{\prime })$에서 집합 ${\displaystyle C=\{3-\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}\cup \{3\}}$의 경계(boundary) $b(C)$를 구하시오. 또한 $(X,{\mathrm{\Im }}^{\prime })$이 컴팩트 공간(compact space)임을 보이시오. (단, $[0,1]=\{x\in \mathbb{R}|0\le x\le 1\}$, $[2,3)=\{x\in \mathbb{R}|2\le x<3\}$이고 $\mathbb{N}$은 자연수 전체의 집합이다.) 

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(Proof)

(1) 위상 $\mathrm{\Im }$의 집합 $A$의 위의 상대 위상에서 열린 집합은 여집합이 유한집합인 집합들이고, $B$는 유한집합이므로 $B$ 위의 상대 위상은 이산 위상이다. 따라서 위상공간 $(X,{\mathrm{\Im }}^{\prime })$에서 닫힌 집합은 '$X$의 유한 부분집합' 또는 '$A\cup F(F\subseteq B)$'이다. $C$는 무한집합이므로 $\overline{C}=A\cup \{3\}$이다.

한편, ${\displaystyle a\in \{3-\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}}$인 경우, $a$를 포함하는 열린 집합은 $A$의 유한개를 제외한 모든 원소를 포함하므로 $a\in G\subset C$인 $G\in {\mathrm{\Im }}^{\prime }$은 존재하지 않는다. 따라서 $a\notin \text{Int}(C)$이다. 한편, $3\in C$에 대하여 $3\in \{3\}\subset C$이고 $\{3\}\in {\mathrm{\Im }}^{\prime }$이므로 $3\in \text{Int}(C)$이다. 이로부터 $\text{Int}(C)=\{3\}$이다. 따라서 $b(C)=\overline{C}-\text{Int}(C)=A$이다. 

(2) $\mathcal{G}$를 $(X,{\mathrm{\Im }}^{\prime })$의 한 열린 덮개라고 하자. $0\in X$이므로 $0$을 포함하는 열린 집합 $G\in {\mathrm{\Im }}^{\prime }$가 존재한다. 그러면 $X-G$는 유한집합이므로 $X=G$인 경우 $\{G\}$는 $\mathcal{G}$의 유한 부분덮개이고, $X\ne G$인 경우, $X-G=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$이라 하면 $a_1\in G_1,a_2\in G_2,\cdots ,a_n\in G_n$인 $G_1,G_2,\cdots ,G_n\in \mathrm{\Im }$가 존재한다. 따라서 $\mathcal{G}$는 유한인 부분 덮개 $\{G,G_1,G_2,\cdots ,G_n\}$를 가진다. 따라서 $(X,{\mathrm{\Im }}^{\prime })$은 컴팩트 공간이다. $◼$

[Remark 1] 위상공간 $X$에 대하여 $A\subset X$의 경계를 $b(A)$라 하자. 
(1) $A$의 내부(interior)를 $\text{Int}(A)$, 외부(exterior)를 $\text{ext}(A)$라 할 때, $b(A)=X-(\text{Int}(A)\cup \text{ext}(A))$
(2) $A$의 폐포(closure)를 $\overline{A}$라 할 때, $b(A)=\overline{A}-\text{Int}(A)$이다. 

[Remark 2] 위상공간 $X$를 덮는 임의의 열린 덮개 $\mathcal{G}$가 $X$를 덮는 $\mathcal{G}$의 유한인 부분덮개 ${\mathcal{G}}^{\ast }$를 가지면 $X$를 컴팩트 공간(compact space)이라고 한다.

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6. 곱공간

 

7. 연결성