[Chapter 7~13] Problems #2 (2)

[Problem 1.0]

함수 \(f(x)=x-\tan x\)가 무수히 많은 양의 실근 \(x_1, \, x_2, \, \cdots \,\)을 가짐을 보이시오. 또한, \(n \to \infty\)일 때 \(x_n-g(n) \to 0\)인 간단한 함수 \(g(n)\)을 하나 찾으시오.

# 증명 ▶

(Proof)

\(f(n\pi)>0, \, \displaystyle \lim_{x \to (n+1/2)\pi^+}f(x) \to -\infty\)이므로 사잇값 정리에 의하여 \(n\pi < x_n < (n+1/2)\pi\)인 것을 알 수 있다.

이때 \(x_n=\tan x_n\)이고 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\infty\)이므로 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\tan x_n=\infty\)이다. 따라서 \(g(n)=(n+1/2)\pi\)라 두면 \(n\to \infty\)일 때 \(x_n-g(n) \to 0 \)이다. 

[Cf] \(n\to \infty\)일 때, \[\begin{align}\tan (x_n-g(n))&=\tan(x_n-(n+1/2)\pi) \\[.3em]&=\cot(x_n)\\[.3em]&=1/x_n  \to 0\end{align}\]이고 \(-\pi/2<x_n-g(n)<0\)이므로 \(x_n-g(n) \to 0\)이다.

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[Example 1.1]

함수 \(f(x)\)는 \(\Bbb R\)에서 연속, \(f(x)>0\)이고 \(\displaystyle \lim_{n\to \pm \infty} f(x)=0\)을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)가 \(\Bbb R\)에서 최솟값은 가지지 않고, 최댓값을 가진다는 것을 보여라.

# 증명 ▶

(Proof)

\(\displaystyle \lim_{n\to \pm \infty} f(x)=0\)이므로 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 양수 \(M_1\)이 존재하여 \(|x|>M_1\)일 때마다 \(f(x)<\epsilon\)을 만족시킨다. 또, 닫힌구간 \([-M_1,\, M_1]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 \(m\)이라 하면 양수 \(M_2\)가 존재하여 \(|x|>M_2\)일 때마다 \(f(x)<m/2\)를 만족시킨다. 따라서 \(|x|>M:=\max\{M_1, \, M_2\}\)일 때마다 \(f(x)<\min\{\epsilon,\, m/2\}\)를 만족시킨다. 즉, \(\inf\{f(x): x\in \Bbb R\}=0\)이다. 이때 \(f(x)>0\)이므로 함수 \(f(x)\)는 최솟값을 갖지 않는다. 

비슷한 방법으로, 어떤 양수 \(K\)에 대하여 닫힌구간 \([-K, \, K]\)에서의 최댓값을 \(M^*\)이라 하면 양수 \(K'\geq K\)가 존재하여 \(|x|>K'\)일 때마다 \(f(x)<M^*/2\)을 만족시킨다. 따라서 닫힌구간 \([-K', \, K']\)에서의 함수 \(f(x)\)의 최댓값이 \(\Bbb R\)에서의 최댓값이다. 

[Cf] \(\Bbb R\)의 유계이고 닫힌 집합 \(D\)에서(즉, 콤팩트집합에서) 연속인 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다.

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[Example 1.2]

함수 \(f(x)\)가 구간 \(I\)와 \(J\)에서 균등연속(uniformly continuous)이고 \(I\cap J\neq \varnothing\)일 때, \(f(x)\)는 구간 \(I\cup J\)에서 균등연속임을 보여라. 

# 증명 ▶

(Proof)

\(x, \, y\in I\cup J\)라고 하자. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여

(1) \(x, \, y \in I \)인 경우 (또는 \(x, \, y \in J\)인 경우)
함수 \(f(x)\)는 구간 \(I\)와 \(J\)에서 각각 균등연속이므로 \(\delta>0\)이 존재하여 \(|x-y|<\delta\)일 때마다 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon/2<\epsilon\)을 만족시킨다.

(2) \(x\in I,\, y\in J\)인 경우 (또는 \(x\in J, \, y\in I\)인 경우) 
(1)의 \(\delta>0\)에 대하여 \(|x-y|<\delta\)라 하면 \(z\in I\cap J\)가 존재하여 \(|x-z|<\delta\)이고 \(|z-y|<\delta\)이므로 \[|f(x)-f(z)|<\epsilon/2, \, |f(z)-f(y)|<\epsilon/2\]를 만족시킨다. 따라서 \(|x-y|<\delta\)라 하면 \[\begin{align}|f(x)-f(y)|&\leq |f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|\\[.3em]&<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \end{align}\]이다.

(1), (2)로부터 임의의 \(x, \, y\in I\cup J\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(|x-y|<\delta\)일 때마다 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)을 만족시키므로 함수 \(f(x)\)는 구간 \(I\cup J\)에서 균등연속이다.

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[Example 1.3]

(1) 함수 \(f(x)\)가 구간 \(I\)에서 균등연속이고, 수열 \(\{a_n\}\)이 \(I\) 위에서의 코시 수열이면, \(\{f(a_n)\}\)도 코시 수열임을 보여라.
(2) (1)을 이용하여 함수 \(f(x)\)가 \(I=(a, b)\)에서 균등연속이면 \(I\)에서 유계임을 보여라.

# 증명 ▶

(Proof)

(1) 함수 \(f(x)\)가 \(I\)에서 균등연속이므로 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여 \(|x-y|<\delta\)일 때마다 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)을 만족시킨다. 한편 수열 \(\{a_n\}\)이 코시 수열이므로 자연수 \(n_0\)이 존재하여 \(m, \,n>n_0\)일 때마다 \(|a_m-a_n|<\delta\)를 만족시킨다. 따라서 \(|f(a_m)-f(a_n)|<\epsilon\)이므로 수열 \(\{f(a_n)\}\)은 코시 수열이다.

(2) \(f(x)\)가 위로 유계가 아니라고 가정하자. 그러면 함수 \(f(x)\)가 \(I\)에서 연속이므로 \(\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=\infty\) 또는 \(\displaystyle \lim_{x\to b-}f(x)=\infty\)이다. \(\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=\infty\)이라 가정하자. 이때 수열 \[\{x_n\}: x_n=a+1/n\]은 \(I\) 위에서의 코시 수열이지만 수열 \(\{f(x_n)\}\)은 명백히 코시 수열이 아니다. 이는 (1)과 모순이다. 따라서 \(f(x)\)는 위로 유계이다. 비슷한 방법으로 \(f(x)\)가 아래로 유계임도 보일 수 있다.

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[Example 1.4]

Strengthened version of [Example 1.3]: 함수 \(f: K \to \Bbb R\)이 연속이고 \(K\)가 콤팩트집합이면 \(f[K]\)도 콤팩트집합임을 보여라.

# 증명 ▶

(Proof)

\(\Bbb R\) 위의 보통 위상 \(\mathcal U\)에 대하여 \(\mathcal G=\{G \mid G\in \mathcal U\}\)를 \(f[K]\)의 한 열린 덮개라고 하자. 함수 \(f\)가 연속이므로 \(f^{-1}[\mathcal G]=\{f^{-1}[G] \mid G \in \mathcal U\}\)는 \(K\)의 한 열린 덮개이다. \(K\)는 콤팩트집합이므로 \(f^{-1}[G]\)는 유한인 열린부분덮개 \(\mathcal G^*=\{f^{-1}[G_1], \, f^{-1}[G_2], \, \cdots, \, f^{-1}[G_m]\}\)를 갖는다. 이때 \[\begin{align} f[K] &\subset f\left(\displaystyle \bigcup_{k=1}^{m}f^{-1}[G_k]\right) \\[.3em] &=\displaystyle \bigcup_{k=1}^{m}f(f^{-1}[G_k])\subset \displaystyle \bigcup_{k=1}^{m}G_k\end{align}\]이므로 \(\{G_1, \, G_2, \, \cdots, G_m\}\)은 \(\mathcal G\)의 유한인 열린부분덮개이다. 즉, \(f[K]\)의 임의의 열린덮개는 유한인 부분덮개를 가지므로 \(f[K]\)는 콤팩트집합이다. 

[Cf] 이 명제의 자명한 결과로 <최대, 최소의 정리>를 얻는다. 

'닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f\)는 그 구간에서 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다.'

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Reference: <Introduction to Analysis> Arthur Mattuck, 1999.