[Chapter 14~19] Problems

[Problem 1]

닫힌구간 $[-1,1]$에서 연속이고 $x=0$에서 미분가능한 함수 $f$ 중에서 임의의 양수 $\delta$에 대하여 임의의 $0$의 $\delta -$근방에서 미분가능하지 않은 점이 존재하는 함수 $f$의 예를 들어라.

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(Proof)

함수 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\left|{\displaystyle \sin \frac{1}{x}}\right|& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}$$에 대하여 $|x^2\sin (1/x)|\le x^2$이므로 조임 정리에 의하여 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{x}^2\sin (1/x)=0}$이다. 따라서 $f(x)$는 $[-1,1]$에서 연속이다. 또한 $$\left|\frac{f(x)}{x}\right|=|x\sin (1/x)|\le |x|$$이므로 조임 정리에 의하여 ${\displaystyle f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=0}$이다.

그러나 임의의 자연수 $n$에 대하여 $f(1/n\pi )=0$이고 사인함수가 $0$일 때 미분계수는 $0$이 되지 않으므로 함수 $f(x)$는 $x=1/n\pi$에서 미분가능하지 않다. 임의의 양수 $\delta$에 대하여 아르키메데스 원리에 의하여 $1/n_0\pi <\delta$인 자연수 $n_0$가 존재하므로 함수 $f$는 임의의 $0$의 $\delta -$근방에서 미분가능하지 않다.

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[Problem 2]

실수 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$이 $a_0/1+a_1/2+\cdots +a_n/(n+1)=0$을 만족시키면 $a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n=0$인 $0\le x\le 1$인 실수 $x$가 적어도 하나 존재함을 보여라.

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(Proof)

함수 ${\displaystyle f(x)=a_{0}x+\frac{a_1}{2}{x}^2+\cdots +\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}}$에 대하여 주어진 조건에 의하여 $f(0)=f(1)=0$이다. 함수 $f(x)$는 다항함수(미분가능)이므로 롤의 정리에 의하여 $f^{\prime }(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n=0$인 실수 $x$가 열린구간 $(0,1)$에 적어도 하나 존재한다.

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[Problem 3]

(a) 임의의 양수 $ϵ$에 대하여 $x>1$일 때 $\ln x<(x^{ϵ}-1)/ϵ$임을 보여라. 

(b) 임의의 양수 $ϵ$에 대하여 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln x}{x^{ϵ}}=0}$임을 보여라.

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(Proof)

(a) $1$보다 큰 실수 $x$에 대하여 함수 $f(t)=x^t$는 미분가능하고 증가하는 함수이므로 평균값 정리에 의하여 $$\frac{x^{ϵ}-1}{ϵ}=x^{c_{ϵ}}\ln x>\ln x$$인 실수 $c_{ϵ}\in (0,ϵ)$이 존재한다. 따라서 주어진 부등식이 성립한다.

(b) (a)에서 임의의 양수 $ϵ$와 $t>1$에 대하여 $${\displaystyle \ln x<(x^{ϵ/2}-1)/(ϵ/2)\Rightarrow \frac{ϵ}{2}\ln x<x^{ϵ/2}-1}$$이다. 양변을 $x^{ϵ}$으로 나누면 ${\displaystyle \frac{ϵ\ln x}{2x^{ϵ}}<\frac{x^{ϵ/2}-1}{x^{ϵ}}}$이다. ${\displaystyle \frac{ϵ\ln x}{2x^{ϵ}}>0}$이고 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{ϵ/2}-1}{x^{ϵ}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-x^{-ϵ/2}}{x^{ϵ/2}}=0}$이므로 조임 정리에 의하여 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln x}{x^{ϵ}}=0}$이다.

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[Problem 4]

다항식 $P(x)$에 대하여 $a,b,c,d(a<b<c<d)$가 방정식 $P(x)=0$의 네 실근이라고 하자. 방정식 $$P^{(3)}(x)+3P^{(2)}(x)+3P^{\prime }(x)+P(x)=0$$을 만족시키는 실수 $x$가 열린구간 $(a,d)$에 적어도 하나 존재함을 보여라. 

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(Proof)

$f(x)=P(x)e^x$라 하자. $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0$이므로 롤의 정리에 의하여 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_2)=0$인 세 실수 $x_0,x_1,x_2$가 열린구간 $(a,b),(b,c),(c,d)$에 각각 적어도 하나 존재한다.
같은 방법으로, 롤의 정리에 의하여 $f^{″}(y_0)=f^{″}(y_1)=0$인 두 실수 $y_0,y_1$에 열린구간 $(x_0,x_1),(x_1,x_2)$에 각각 적어도 하나 존재한다. 
마지막으로, 롤의 정리에 의하여 $f^{(3)}(z_0)=0$인 실수 $z_0$가 열린구간 $(y_0,y_1)$에 적어도 하나 존재한다. 이때 $$f^{(3)}(x)=(P^{(3)}(x)+3P^{(2)}(x)+3P^{\prime }(x)+P(x))e^x$$이므로 $z_0\in (a,d)$가 방정식 $P^{(3)}(x)+3P^{(2)}(x)+3P^{\prime }(x)+P(x)=0$의 근이다.

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[Problem 5]

테일러 정리를 이용하여 모든 $x\in (0,1]$에 대하여 $e^x>1+x+x^2/2$이 성립함을 보여라.

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(Proof)

테일러 정리에 의하여 $${\displaystyle e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{e^c}{3!}{x}^3}$$인 실수 $c$가 $0$과 $x$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 이때 $0<x\le 1$이고 $e^c>0$이므로 ${\displaystyle \frac{e^c}{3!}{x}^3>0}$이다. 따라서 $e^x>1+x+x^2/2$가 성립한다.

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[Problem 6]

함수 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin (1/x)& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}$$가 닫힌구간 $[-1,1]$에서 리만 적분 가능함을 보여라. 

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(Proof)

임의의 양수 $ϵ$이 주어졌다고 하자. $\delta :=ϵ/8$에 대하여 함수 $f(x)$는 각각 닫힌구간 $[-1,-\delta ],[\delta ,1]$에서 연속이다. 즉, 닫힌구간 $[-1,-\delta ]$의 분할 $P_1$이 존재하여 $$U_f(P_1)-L_f(P_1)<ϵ/4$$을 만족시키고, 닫힌구간 $[\delta ,1]$의 분할 $P_2$가 존재하여 $$U_f(P_2)-L_f(P_2)<ϵ/4$$을 만족시킨다. 이때 $P=P_1\cup P_2$는 닫힌구간 $[-1,1]$의 분할이고, $$\begin{array}{rl}& U_f(P)-L_f(P)\\ & \le U_f(P_1)-L_f(P_1)+U_f(P_2)-L_f(P_2)\\ & +sup\{|f(x)-f(y)\mid x,y\in [-\delta ,\delta ]\}\\ & <ϵ/4+ϵ/4+4\delta \\ & <ϵ/4+ϵ/4+4\cdot ϵ/8=ϵ\end{array}$$이므로 함수 $f$는 닫힌구간 $[-1,1]$에서 리만 적분 가능하다.

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[Problem 7]

함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 리만 적분 가능하고, $x$가 유리수일 때 $f(x)=0$이라고 하자. ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$임을 보여라.

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(Proof)

함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 리만 적분 가능 함수 $|f(x)|$ 또한 리만 적분 가능하다. 하므로 임의의 양수 $ϵ$에 대하여 구간 $[a,b]$의 분할 $P=\{a=x_0,x_1,\cdots ,x_n=b\}$가 존재하여 $U_{|f|}(P)-L_{|f|}(P)<ϵ$이다.

이때 유리수의 조밀성에 의하여 각 구간 $[x_{i-1},x_i]$에 유리수가 존재하므로 $L_{|f|}(P)=0$이다. 즉, 임의의 양수 $ϵ$에 대하여 $U_{|f|}(P)<ϵ$이 성립하므로 $\overline{{\int }_a^b}|f(x)|dx=0$이다. 이때  $$L_{|f|}(P)=0\Rightarrow \underset{―}{{\int }_a^b}|f(x)|dx=0$$이므로 ${\int }_a^b|f(x)|dx=0$이다. 따라서 ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$이다. 

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