[Chapter 14~19] Problems

[Problem 1]

닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 연속이고 \(x=0\)에서 미분가능한 함수 \(f\) 중에서 임의의 양수 \(\delta\)에 대하여 임의의 \(0\)의 \(\delta-\)근방에서 미분가능하지 않은 점이 존재하는 함수 \(f\)의 예를 들어라.

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(Proof)

함수 \[f(x)=\begin{cases}x^2 \left|\displaystyle \sin\frac{1}{x} \right| & (x \neq 0)\\[.4em] \quad 0 & (x = 0)\end{cases}\]에 대하여 \(\left|x^2 \sin(1/x) \right|\leq x^2\)이므로 조임 정리에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2 \sin(1/x)=0\)이다. 따라서 \(f(x)\)는 \([-1, 1]\)에서 연속이다. 또한 \[\left|\frac{f(x)}{x}\right|=\left|x\sin(1/x) \right|\leq|x|\]이므로 조임 정리에 의하여 \(\displaystyle f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0\)이다.

그러나 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(1/n\pi)=0\)이고 사인함수가 \(0\)일 때 미분계수는 \(0\)이 되지 않으므로 함수 \(f(x)\)는 \(x=1/n\pi\)에서 미분가능하지 않다. 임의의 양수 \(\delta\)에 대하여 아르키메데스 원리에 의하여 \(1/n_0 \pi<\delta\)인 자연수 \(n_0\)가 존재하므로 함수 \(f\)는 임의의 \(0\)의 \(\delta-\)근방에서 미분가능하지 않다.

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[Problem 2]

실수 \(a_0, \, a_1, \, \cdots, \, a_n\)이 \(a_0/1+a_1/2+\cdots+a_n/(n+1)=0\)을 만족시키면 \(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0\)인 \(0\leq x\leq 1\)인 실수 \(x\)가 적어도 하나 존재함을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

함수 \(\displaystyle f(x)=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)에 대하여 주어진 조건에 의하여 \(f(0)=f(1)=0\)이다. 함수 \(f(x)\)는 다항함수(미분가능)이므로 롤의 정리에 의하여 \(f'(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0\)인 실수 \(x\)가 열린구간 \((0, 1)\)에 적어도 하나 존재한다.

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[Problem 3]

(a) 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(x>1\)일 때 \(\ln x<(x^{\epsilon}-1)/\epsilon\)임을 보여라. 

(b) 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x^{\epsilon}}=0\)임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

(a) \(1\)보다 큰 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(f(t)=x^t\)는 미분가능하고 증가하는 함수이므로 평균값 정리에 의하여 \[\frac{x^{\epsilon}-1}{\epsilon}=x^{c_\epsilon}\ln x>\ln x\]인 실수 \(c_\epsilon\in (0, \epsilon)\)이 존재한다. 따라서 주어진 부등식이 성립한다.

(b) (a)에서 임의의 양수 \(\epsilon\)와 \(t>1\)에 대하여 \[\displaystyle \ln x<(x^{\epsilon/2}-1)/(\epsilon/2) \; \Rightarrow \; \frac{\epsilon}{2}\ln x<x^{\epsilon/2}-1\]이다. 양변을 \(x^\epsilon\)으로 나누면 \(\displaystyle \frac{\epsilon \ln x}{2x^\epsilon}<\frac{x^{\epsilon/2}-1}{x^\epsilon}\)이다. \(\displaystyle \frac{\epsilon \ln x}{2x^\epsilon}>0\)이고 \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^{\epsilon/2}-1}{x^\epsilon}=\lim_{x\to \infty}\frac{1-x^{-\epsilon/2}}{x^{\epsilon/2}}=0\)이므로 조임 정리에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x^\epsilon}=0\)이다.

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[Problem 4]

다항식 \(P(x)\)에 대하여 \(a, \, b, \, c, \, d \; (a<b<c<d)\)가 방정식 \(P(x)=0\)의 네 실근이라고 하자. 방정식 \[P^{(3)}(x)+3P^{(2)}(x)+3P'(x)+P(x)=0\]을 만족시키는 실수 \(x\)가 열린구간 \((a, \,d)\)에 적어도 하나 존재함을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

\(f(x)=P(x)e^x\,\)라 하자. \(f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0\)이므로 롤의 정리에 의하여 \(f'(x_0)=f'(x_1)=f'(x_2)=0\)인 세 실수 \(x_0, \, x_1, \, x_2\)가 열린구간 \((a, b), \,(b, c), \,(c, d)\)에 각각 적어도 하나 존재한다.
같은 방법으로, 롤의 정리에 의하여 \(f''(y_0)=f''(y_1)=0\)인 두 실수 \(y_0, \, y_1\)에 열린구간 \((x_0, x_1), \, (x_1, x_2)\)에 각각 적어도 하나 존재한다. 
마지막으로, 롤의 정리에 의하여 \(f^{(3)}(z_0)=0\)인 실수 \(z_0\)가 열린구간 \((y_0, y_1)\)에 적어도 하나 존재한다. 이때 \[f^{(3)}(x)=\left(P^{(3)}(x)+3P^{(2)}(x)+3P'(x)+P(x)\right)e^x\]이므로 \(z_0\in (a, d)\)가 방정식 \(P^{(3)}(x)+3P^{(2)}(x)+3P'(x)+P(x)=0\)의 근이다.

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[Problem 5]

테일러 정리를 이용하여 모든 \(x\in (0, 1]\)에 대하여 \(e^x>1+x+x^2/2\)이 성립함을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

테일러 정리에 의하여 \[\displaystyle e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{e^c}{3!}x^3\]인 실수 \(c\)가 \(0\)과 \(x\) 사이에 적어도 하나 존재한다. 이때 \(0<x\leq 1\)이고 \(e^c>0\)이므로 \(\displaystyle \frac{e^c}{3!}x^3>0\)이다. 따라서 \(e^x>1+x+x^2/2\)가 성립한다.

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[Problem 6]

함수 \[f(x)=\begin{cases} \sin(1/x) & (x \neq 0)\\[.3em]  0 & (x = 0)\end{cases}\;\]가 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 리만 적분 가능함을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

임의의 양수 \(\epsilon\)이 주어졌다고 하자. \(\delta:=\epsilon/8\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 각각 닫힌구간 \([-1, -\delta], \, [\delta, 1]\)에서 연속이다. 즉, 닫힌구간 \([-1, -\delta]\)의 분할 \(P_1\)이 존재하여 \[U_f(P_1)-L_f(P_1)<\epsilon/4\]을 만족시키고, 닫힌구간 \([\delta, 1]\)의 분할 \(P_2\)가 존재하여 \[U_f(P_2)-L_f(P_2)<\epsilon/4\]을 만족시킨다. 이때 \(P=P_1\cup P_2\)는 닫힌구간 \([-1, 1]\)의 분할이고, \[\begin{align} &U_f(P)-L_f(P) \\[.4em]&\leq U_{f}(P_1)-L_f(P_1)+U_f(P_2)-L_f(P_2)\\[.4em]&\quad\quad\quad\quad\quad\quad+\sup\{|f(x)-f(y)\mid x, y\in[-\delta, \delta]\}\\[.4em]&<\epsilon/4+\epsilon/4+4\delta \\[.4em]&<\epsilon/4+\epsilon/4+4\cdot \epsilon/8=\epsilon\end{align}\]이므로 함수 \(f\)는 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 리만 적분 가능하다.

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[Problem 7]

함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 리만 적분 가능하고, \(x\)가 유리수일 때 \(f(x)=0\)이라고 하자. \(\int_a^b f(x)dx=0\)임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 리만 적분 가능 함수 \(|f(x)|\) 또한 리만 적분 가능하다. 하므로 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 구간 \([a, b]\)의 분할 \(P=\{a=x_0, \, x_1, \, \cdots, \, x_n=b\}\)가 존재하여 \(U_{|f|}(P)-L_{|f|}(P)<\epsilon\)이다.

이때 유리수의 조밀성에 의하여 각 구간 \([x_{i-1}, \, x_i]\)에 유리수가 존재하므로 \(L_{|f|}(P)=0\)이다. 즉, 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(U_{|f|}(P)<\epsilon\)이 성립하므로 \(\overline{\int_a^b}|f(x)|dx=0\)이다. 이때  \[L_{|f|}(P)=0 \ \Rightarrow \ \underline {\int_a^b}|f(x)|dx=0\]이므로 \(\int_a^b |f(x)|dx=0\)이다. 따라서 \(\int_a^b f(x)dx=0\)이다. 

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