[Chapter 6] Cauchy's Theorem

코시의 정리

코시의 정리 또는 코시-구르사(Cauchy-Goursat)의 정리라 불리는 정리는 복소해석학의 가장 중심적이고 핵심적인 정리 중 하나이다. 이로부터 코시의 적분 공식, 리우빌 정리, 해석함수의 성질 등 여러 가지를 유도할 수 있다. 얼핏 보면 미적분의 기본 정리와 비슷해 보이지만, 본질적으로 피적분함수의 도함수의 연속성을 가정하지 않는다는 점에서 다르다. 우선 코시의 정리의 진술은 다음과 같다.

[Theorem 6.0] [The Cauchy-Goursat Theorem: 코시-구르사의 정리]

${\gamma }^{\ast }$를 조각마다 매끄러운 함수 $\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$에 의하여 결정되는 폐경로(contour)라 하자. $D$를 $\text{Int}(\gamma )\cup {\gamma }^{\ast }$를 포함하는 열린 집합이라 하고, $f\in H(D)$라 하자. 그러면 ${\int }_{\gamma }f(z)dz=0$이다.

처음 코시는 이 정리에 대한 증명을 더 강한 전제 조건 아래에서 제시하였다. 즉, 

[Theorem 6.1]

${\gamma }^{\ast }$를 조각마다 매끄러운 함수 $\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$에 의하여 결정되는 폐경로(contour)라 하자. $D$를 $\text{Int}(\gamma )\cup {\gamma }^{\ast }$를 포함하는 열린 집합이라 하고, $f\in H(D)$이고 $f^{\prime }\in C(D)f^{\prime }\in C(D)$라 하자. 그러면 ${\int }_{\gamma }f(z)dz=0$이다.

증명 ▶

(Proof)

$z=x+iy$에 대하여 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$라 하자. 그러면 $dz=dz+idy$이므로 다음이 성립한다. $$\begin{array}{rl}{\int }_{\gamma }f(z)dz& ={\int }_{\gamma }(u+iv)(dx+idy)\\ & ={\int }_{\gamma }(udx-vdy)+i{\int }_{\gamma }(vdx+udy)\\ & ={\iint }_{\gamma }(-v_x-u_y)dxdy+i{\iint }_{\gamma }(u_x-v_y)dxdy\cdots \text{(i)}\end{array}$$ 이때 코시-리만 방정식에서 $u_x=v_y,u_y=-v_x$가 성립하므로 위의 식의 값은 $0$이 된다. 따라서 ${\int }_{\gamma }f(z)dz=0$이다.

(Note) 위의 증명에서 $\text{(i)}$가 성립하기 위해서는 $f^{\prime }$가 $D$에서 연속이라는 조건이 필요하다. (그린 정리)

증명 ▶

구르사는 [Theorem 6.0]과 같이 $f$가 $D$에서 연속인 도함수를 갖는다는 전제를 제거한 증명을 제시하였다. 그래서 이를 '코시-구르사의 정리'라고 부른다. [Theorem 6.0]의 증명은 $\text{Int}(\gamma )\cup {\gamma }^{\ast }$의 형태에 따라 다음과 같은 순서로 전개된다.

(1) 삼각형 모양의 경로
(2) 볼록도형
(3) 다각형(볼록성과 관계 없는)
(4) 일반적인 조각마다 매끄러운 곡선

사실 구르사가 증명한 (1)의 내용이 이 코시의 정리에서 가장 중요하다고 할 수 있다. 나머지는 모두 (1)을 이용한 응용과 그 결과라고 할 수 있기 때문이다.

[Theorem 6.2] (코시의 정리: 삼각형 모양의 경로)

$\partial \mathrm{△}$을 삼각형 모양의 폐경로라고 하자. $D$를 $\text{Int}(\mathrm{△})\cup \partial \mathrm{△}$을 포함하는 열린 집합이라 하고, $f\in H(D)$라 하자. 그러면 ${\int }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz=0$이다.

증명 ▶

(Proof)

$D$에 속하는 임의의 삼각형 $\mathrm{△}$에 대하여 ${\displaystyle |{\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz|=0}$임을 보이면 충분하다. 다음 그림과 같이 삼각형 모양의 경로 $\partial \mathrm{△}$에 대하여 이를 사등분한 $\partial {\mathrm{△}}_i(i=1,2,3,4)$를 생각하자.

마주보는 삼각형의 변끼리는 경로 적분에서 적분의 방향이 서로 달라 없어지기 때문에  $${\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz={\oint }_{\partial {\mathrm{△}}_1}f(z)dz+{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}_2}f(z)dz+{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}_3}f(z)dz+{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}_4}f(z)dz$$이 성립한다. 따라서 삼각부등식으로부터 $$|{\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz|\le \sum _{i=1}^4|{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}_i}f(z)dz|$$이 성립하므로 적어도 하나의 $i=1,2,3,4$에 대하여 $$|{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}_i}f(z)dz|\ge \frac{1}{4}|{\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz|$$이다. 이러한 $\partial {\mathrm{△}}_i$ 중 하나를 선택하여 $\partial {\mathrm{△}}^{(1)}$이라 하자. $\partial {\mathrm{△}}^{(1)}$을 사등분하여 위와 같은 과정으로 얻은 삼각형 모양의 경로를 $\partial {\mathrm{△}}^{(2)}$라 하면 $$|{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(2)}}f(z)dz|\ge \frac{1}{4}|{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(1)}}f(z)dz|\ge \frac{1}{4^2}|{\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz|$$이다. 이러한 방법으로 얻은 축소되는 삼각형들의 열 ${\mathrm{△}}^{(1)},{\mathrm{△}}^{(2)},\cdots ,{\mathrm{△}}^{(n)},\cdots$은 다음을 만족시킨다.

(i) $\mathrm{△}\supset {\mathrm{△}}^{(1)}\supset {\mathrm{△}}^{(2)}\supset \cdots \supset {\mathrm{△}}^{(n)}\supset \cdots$

(ii) ${\displaystyle |{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(n)}}f(z)dz|\ge \frac{1}{4^n}|{\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz|}$

(iii) ${\displaystyle \ell \left(\partial {\mathrm{△}}^{(n)}\right)=\frac{1}{2^n}\cdot \ell (\partial \mathrm{△})}$

이제 각 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $\text{Int}({\mathrm{△}}^{(}n)$의 원소 $a_n$을 선택하면 하이네-보렐 정리를 증명할 때와 같은 방법으로 $\{a_n\}$은 코시 수열임을 알 수 있다. (또는 2차원에서의 축소 구간 정리를 이용할 수도 있다.) ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha }$라 하자. $\alpha \in D$이고 $f$는 $\alpha$에서 미분가능하므로 함수 $$g(z)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{f(z)-f(\alpha )}{z-\alpha }-f^{\prime }(\alpha )}& (z\ne \alpha )\\ 0& (z=\alpha )\end{array}$$는 연속이고, 각 $z\in D$에 대하여 $$f(z)=f(\alpha )+f^{\prime }(\alpha )(z-\alpha )+(z-\alpha )g(z)$$이다. 이때 미적분의 기본정리에 의하여 $$\begin{array}{rl}& {\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(n)}}f(\alpha )dz={\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(n)}}{f}^{\prime }(\alpha )(z-\alpha )dz=0\\ & \Rightarrow {\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(n)}}f(z)dz={\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(n)}}(z-\alpha )g(z)dz\end{array}$$가 성립한다. 이로부터 ML 부등식에 의하여  $$\begin{array}{rl}|{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(n)}}f(z)dz|& \le {\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(n)}}|z-\alpha ||g(z)||dz|\\ & \le \underset{z\in \partial {\mathrm{△}}^{(n)}}{max}|g(z)|\cdot \underset{z\in \partial {\mathrm{△}}^{(n)}}{max}|z-\alpha |\cdot \frac{1}{2^n}\cdot \ell (\partial \mathrm{△})\\ & \le \underset{z\in \partial {\mathrm{△}}^{(n)}}{max}|g(z)|\cdot \frac{\ell (\partial \mathrm{△}{)}^2}{4^n}\\ & (\because \mathrm{\forall }z\in \partial {\mathrm{△}}^{(n)}\Rightarrow |z-\alpha |\le \ell (\partial {\mathrm{△}}^{(n)})\end{array}$$이다. 따라서 위의 (iii)에 의하여 $$\frac{1}{4^n}|{\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz|\le |{\oint }_{\partial {\mathrm{△}}^{(n)}}f(z)dz|\le \underset{z\in \partial {\mathrm{△}}^{(n)}}{max}|g(z)|\cdot \frac{\ell (\partial \mathrm{△}{)}^2}{4^n}$$이므로 $$\begin{array}{rl}|{\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz|& \le \underset{z\in \partial {\mathrm{△}}^{(n)}}{max}|g(z)|\cdot \ell (\partial \mathrm{△}{)}^2\\ & \le \underset{|z-\alpha |\le \text{diam}\left({\mathrm{△}}^{(n)}\right)}{max}|g(z)|\cdot \ell (\partial \mathrm{△}{)}^2\\ & =\underset{|z-\alpha |\le \text{diam}\left(\mathrm{△}\right)/2^n}{max}|g(z)|\cdot \ell (\partial \mathrm{△}{)}^2\end{array}$$이다. 한편, $g(z)$는 $\alpha$에서 연속이고 $g(\alpha )=0$이므로 $n\to \mathrm{\infty }$일 때 ${\displaystyle \underset{|z-\alpha |\le \text{diam}\left(\mathrm{△}\right)/2^n}{max}|g(z)|\to 0}$이다. 따라서 ${\displaystyle |{\oint }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz|=0}$이다. 

증명 ▶

위 증명이 약간 길지만 이해하기 어렵지는 않을 것이다. 과정을 요약하면 다음과 같다.

(a) 삼각형 모양의 경로를 사등분해서 작은 네 개의 합동인 삼각형을 만들고, 나누어진 삼각형의 적분의 합이 큰 삼각형의 합이 된다는 사실과 삼각부등식을 이용하여 축소되는 삼각형들의 열을 만든다.

(b) (a)에서 만든 삼각형들의 열은 축소되는 삼각형이므로 그 삼각형들 안의 점으로 만든 점열은 한 점으로 수렴한다.

(c) 그 삼각형들의 점열이 수렴하는 점에서의 미분계수를 이용하여 연속함수를 만들고, ML 부등식과 이 연속함수를 이용하여 큰 삼각형의 적분과 작은 삼각형의 적분 사이의 관계식을 만든다.

(d) (c)에서 만든 연속함수의 연속성을 이용하여 큰 삼각형에서의 적분이 $0$임을 보인다.

(2)와 (3)은 (1)로부터 비롯되는 자명한 결과이므로 증명이 어렵지 않다.

[Theorem 6.3] (코시의 정리: 볼록도형 모양의 경로)

$\gamma$를 볼록한 폐경로(convex contour) ${\gamma }^{\ast }$에 의하여 결정되는 조각마다 매끄러운 함수라고 하자. $D$를 $\text{Int}(\gamma )\cup {\gamma }^{\ast }$를 포함하는 열린 집합이라고 하자. 그러면 ${\displaystyle {\int }_{\gamma }f(z)dz=0}$이다. 

증명 ▶

(Proof)

[Theorem 6.2]에 의하여 $\partial \mathrm{△}\subset \text{Int}(\gamma )\subset D$인 임의의 삼각형 모양의 폐경로 $\partial \mathrm{△}$에 대하여 ${\displaystyle {\int }_{\partial \mathrm{△}}f(z)dz=0}$이다. 따라서 $F\in H(\text{Int}(\gamma ))$이고 $\mathrm{\forall }z\in \text{Int}(\gamma ):F^{\prime }(z)=f(z)$인 $F$가 존재한다. (참고: [Theorem 2.5] - https://greenland.tistory.com/48) 따라서 ${\displaystyle {\int }_{\gamma }f(z)dz={\int }_{\gamma }{F}^{\prime }(z)dz=0}$이 성립한다. 

증명 ▶

(3)의 경우는 다각형을 적절히 여러 개의 삼각형으로 나누어 적분의 합을 구하면 된다. 이때 삼각형의 두 변이 중첩되는 부분에서의 선적분은 방향이 다른 적분이므로 $0$이 된다. [Theorem 6.2]에 의하여 삼각형 경로에서의 적분은 $0$이 되므로 다각형 모양의 경로 적분도 $0$이 된다.

(4)는 다음 보조정리를 이용하여 증명할 수 있다. 증명은 복잡하기 때문에 생략(컴팩트성을 이용한다.)하는데, 미분기하학의 곡선론에서 유한 길이의 곡선을 그 곡선 위의 점들로 이루어진 선분들의 길이의 합으로 나타내어 그 상한으로 정의하는데, 그것과 비슷한 맥락이라고 보면 된다.

[Lemma 6.4] (Approximation Lemma)

$f$가 열린 연결집합 $D$에서 연속이고 $\gamma$를 $D$ 위의 경로라고 하자. 그러면 임의의 $ϵ>0$에 대하여 꼭짓점이 모두 $\gamma$ 위에 있는 꺾은선 모양의 경로 $P\subset D$가 존재하여 $$|{\int }_{\gamma }f(z)dz-{\int }_{P}f(z)dz|<ϵ$$을 만족시킨다.
 

이를 이용하면 (4)의 경우의 증명을 완료할 수 있다. 

증명 ▶

(Proof of Cauchy's Theorem)

[Lemma 6.4]에 의하여 임의의 $ϵ>0$에 대하여 각 꼭짓점이 $\gamma$ 위에 있는 꺾은선 모양의 폐경로(polygonal contour) $P$가 존재하여 $$|{\int }_{\gamma }f(z)dz-{\int }_{P}f(z)dz|<ϵ$$을 만족시킨다. 이때 [Theorem 6.2]에 의하여 ${\displaystyle {\int }_{P}f(z)dz=0}$이므로 ${\displaystyle |{\int }_{\gamma }f(z)dz|<ϵ}$이다. 이때 $ϵ$은 임의의 양수이므로 ${\displaystyle |{\int }_{\gamma }f(z)dz|=0}$을 얻는다. 

증명 ▶

 

변형 정리(The Deformation Theorem)

코시의 정리의 결과로 나오는 중요한 정리 중 하나가 이 변형 정리이다. 그린 정리에서도 비슷한 정리를 논한 적이 있었는데, 그린 정리의 경우 약간 까다로운 조건($Q_x-P_y=0$)을 만족시켜야 하므로 특정한 목적을 가지고 써야 한다. 그러나 복소함수론에서는 조건이 좋은 함수는 경로를 마음껏 변형해도 적분값이 일정하게 된다.

[Theorem 6.5] (변형 정리: The Deformation Theorem)

두 곡선 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$가 폐곡선이고 ${\gamma }_2$가 ${\gamma }_1$ 안에 완전히 포함되어 있다고 하자. $\mathrm{\Omega }$가 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$로 둘러싸인 부분을 포함하는 열린 집합이라 하고, $f\in H(\mathrm{\Omega })$라 하자. 그러면 $${\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz$$이다. 

증명 ▶

(Proof)

${\gamma }_1,{\gamma }_2$로 둘러싸인 부분을 다음과 같이 선분 $AB$와 $CD$를 이용하여 나누자. 

곡선에 $+,-$를 곡선의 윗부분과 아랫부분을 나타낸다고 하자. 그러면 그림에서 $AB+(-{\gamma }_2^{+})+CD+{\gamma }_1^{+}$는 폐경로를 이루고 $f$는 이 경로와 그 내부에서 정칙(미분가능)이므로 $${\int }_{AB+(-{\gamma }_2^{+})+CD+{\gamma }_1^{+}}f(z)dz=0$$이다. 따라서 이로부터 다음을 얻는다. $${\int }_{{\gamma }_1^{+}}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2^{+}}f(z)dz-{\int }_{AB}f(z)dz-{\int }_{CD}f(z)dz\cdots (1)$$ 비슷한 방법으로 폐경로 $DC+(-{\gamma }_2^{-})+BA+{\gamma }_1^{-}$로부터 다음을 얻는다. $${\int }_{{\gamma }_1^{-}}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2^{-}}f(z)dz-{\int }_{BA}f(z)dz-{\int }_{DC}f(z)dz\cdots (2)$$ 따라서 $\text{(1)}$과 $\text{(2)}$의 양변을 변변 더하면 $${\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_1^{+}}f(z)dz+{\int }_{{\gamma }_1^{-}}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2^{+}}f(z)dz+{\int }_{{\gamma }_2^{-}}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz$$

증명 ▶

위의 내용을 확장하면, 다음과 같이 여러 개의 곡선이 있을 때에도 비슷한 정리(일반화된 변형 정리: Extended version of Deformation Theorem)가 성립한다. 가정은 [Theorem 6.5]와 동일하다. 

$${\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(z)dz={\int }_{{\gamma }_1}f(z)dz+{\int }_{{\gamma }_2}f(z)dz+\cdots +{\int }_{{\gamma }_n}f(z)dz$$

이를 응용한 예시는 다음과 같다.

[Example 6.6]

$\gamma$가 $z_0$을 포함하는 임의의 폐경로라고 할 때, 충분히 작은 양수 $r>0$이 존재하여 $C_r:|z-z_0|=r$가 $\gamma$ 내부에 들어가게 할 수 있다. 따라서 [Theorem 6.5]에 의하여 $${\oint }_{\gamma }(z-z_0{)}^{n}dz={\oint }_{C_r}(z-z_0{)}^{n}dz=\{\begin{array}{ll}2\pi i& (n=-1)\\ 0& (n\ne -1)\end{array}$$가 성립한다. 

[Example 6.7]

$\mathrm{\Gamma }$가 다음과 같은 폐경로일 때, ${\displaystyle {\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{3z-2}{z^2-z}dz}$의 값을 구해 보자.

함수 ${\displaystyle \frac{3z-2}{z^2-z}}$는 $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{0,1\}$에서 정칙이다. 충분히 작은 $ϵ>0$에 대하여 변형 정리에 의하여 $${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{3z-2}{z^2-z}dz={\oint }_{|z|=ϵ}\frac{3z-2}{z^2-z}dz+{\oint }_{|z-1|=ϵ}\frac{3z-2}{z^2-z}dz$$가 성립한다. 이때 ${\displaystyle \frac{3z-2}{z^2-z}=\frac{2}{z}+\frac{1}{z-1}}$이다. 이때 $${\oint }_{|z|=ϵ}\frac{3z-2}{z^2-z}dz=\underset{=0\text{since}\frac{1}{z-1}\in H(N(0,ϵ))}{\underbrace{{\oint }_{|z|=ϵ}\frac{1}{z-1}dz}}+{\oint }_{|z|=ϵ}\frac{2}{z}dz=4\pi i$$이고, 비슷한 방법으로 $${\oint }_{|z-1|=ϵ}\frac{3z-2}{z^2-z}dz={\oint }_{|z-1|=ϵ}\frac{1}{z-1}dz\underset{=0\text{since}\frac{2}{z}\in H(N(1,ϵ))}{\underbrace{{\oint }_{|z-1|=ϵ}\frac{2}{z}dz}}+=2\pi i$$을 얻을 수 있다. 따라서 ${\displaystyle {\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{3z-2}{z^2-z}dz=6\pi i}$이다.

[Example 6.8]

변형 정리에 의하여 $a>0,b>0$에 대하여  ${\displaystyle {\oint }_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\frac{1}{z}dz=2\pi i}$이다. 이때 타원 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$의 한 매개변수 표현 $\gamma (t)=a\cos t+ib\sin t$를 이용하면 다음을 얻는다. $$\begin{array}{rl}2\pi i& ={\oint }_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\frac{1}{z}dz\\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{-a\sin t+ib\cos t}{a\cos t+ib\sin t}dt\\ & ={\int }_0^{2\pi }\frac{(-a\sin t+ib\cos t)(a\cos t-ib\sin t)}{a^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}dt\\ & =(b^2-a^2){\int }_0^{2\pi }\frac{\sin t\cos t}{a^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}dt+i{\int }_0^{2\pi }\frac{ab}{a^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}dt\end{array}$$ 양변의 허수 부분을 비교하면 $${\int }_0^{2\pi }\frac{dt}{a^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}=\frac{2\pi }{ab}$$이다. 

 

Reference: <Complex Analysis> John M. Howie, 2003