[Chapter 4] Differentiation

미분가능성

복소함수는 기본적으로 \(\Bbb C\)(\(\Bbb R\)와 비슷한)에서의 함수이므로 연속성이나 미분가능성을 얘기할 때 실함수와 다르게 여러 방향에서의 극한을 생각할 수밖에 없다. 다만, 미분계수의 정의는 모두 실함수에서와 동일하다. 즉,

[Definition 0.0]

복소함수 \(f\)가 \(c\in \Bbb C\)에 대하여 \[f'(c)=\displaystyle \lim_{z\to c} \frac{f(z)-f(c)}{z-c}=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\]가 존재하면 함수 \(f\)가 \(c\in \Bbb C\)에서 미분가능하다고 하고, \(f'(c)\)의 값을 \(c\)에서의 미분계수라고 한다.

극한은 유일하게 존재해야 하므로, 경로와 관계없이 \(z\to c\)이면 위의 극한은 일정한 값으로 수렴해야 한다. 복소함수에서 미분계수의 정의는 실함수와 동일하므로 실함수에서의 미분의 성질과 대부분 비슷한 성질을 공유한다.

[Theorem 0.1]

\(f\)가 \(c\in \Bbb C\)에서 미분가능하면 \(f\)는 \(c\)에서 연속이다.

# 증명 ▶

(Proof)

다음으로부터 성립한다: \(\displaystyle f(z)-f(c)=\frac{f(z)-f(c)}{z-c}\cdot (z-c) \to f'(c)\cdot 0=0\)

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[Theorem 0.2]

두 함수 \(f, \, g\)가 \(c\in \Bbb C\)에서 미분가능하다고 하자. 그러면 다음 함수도 \(c\)에서 미분가능하다. \[f\pm g, \ \ kf, \ \ fg, \ \ f/g \ (g(c)\neq 0)\] 또한 다음이 성립한다. \[\begin{align} &(f\pm g)'(c)=f'(c)\pm g'(c) \\[.5em] & (kf)'(c)=kf'(c) \\[.5em] &(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c) \\[.5em] & (f/g)'(c)=\frac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{(g(c))^2}\end{align}\]

# 증명 ▶

(Proof)

실함수에서의 증명과 동일하다. 

# ◀ 닫기

[Theorem 0.3] (Chain rule)

함수 \(g\)가 \(z_0\in \Bbb C\)에서 미분가능하고 \(f\)가 \(g(z_0)\)에서 미분가능하면 함수 \(f\circ g\)은 \(z_0\in \Bbb C\)에서 미분가능하고 \((f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))\cdot g'(z_0)\)이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

실함수에서의 증명과 동일하다.

# ◀ 닫기

복소함수에서는 실함수에서와 다르게, 모든 점에서 미분가능하지 않은 함수 또는 한 점에서만 미분가능하지 않은 함수 등 특이한 함수를 어렵지 않게 찾을 수 있다. 물론 실함수에서도 모든 점에서 미분가능하지 않은 함수가 존재하지만 상상하기 쉽지 않다는 게 다른 점이다.

[Example 0.4]

함수 \(f(z)=|z|^2\)는 \(z=0\)에서 미분가능하다. \(h\to 0\)일 때, \[\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h \overline h}{h}=\overline {h} \to 0\]이므로 \(f'(0)=0\)이다. 그러나 \(z_0\neq 0\)일 때, \[\begin{align}\displaystyle \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}&=\frac{z_0\overline h+\overline {z_0}h+h\overline h}{h}\\[.1em]&=(\overline {z_0}+\overline{h})+z_0\cdot \frac{\overline h}{h} \\[.4em] &\to \begin{cases}\overline{z_0}+z_0 & (h = x+0i\to 0)\\[.5em] \overline {z_0}-z_0 & (h=0+yi\to 0)\end{cases}\end{align}\]이므로 \(f\)는 \(z_0\)에서 미분가능하지 않다. 즉, \(f\)는 \(0\)에서만 미분가능하다. 

[Example 0.5]

[Example 0.4]와 비슷한 방법으로 함수 \(f(z)=\mathrm {Re}(z)\)와 \(f(z)=\mathrm {Im}(z)\)는 \(\Bbb C\)의 어느 점에서도 미분가능하지 않다는 것을 알 수 있다. 

따라서 단순히 실함수에서 '어떤 집합에서 미분가능'하다는 의미와는 다르게 복소함수에서는 한 점에서 미분가능하다는 것과 어떤 영역에서 미분가능하다는 것의 의미가 다르다. 그래서 다음과 같이 용어를 정의한다.

[Definition 0.6]

\(U\)를 \(\Bbb C\)의 열린 집합이라고 하자. 함수 \(f\)가 \(U\)의 모든 점에서 미분가능하면 \(f\)를 \(U\)에서 정칙(holomorphic)이라고 한다. 또한, \(f\)가 \(\Bbb C\)의 모든 점에서 미분가능하면 \(f\)를 전해석적(entire) 함수라고 한다.

 

코시 - 리만 방정식

복소함수의 미분에서 가장 핵심적인 내용은 코시 - 리만 방정식이다. 위에서와 같이 복소함수의 미분가능성은 한 점으로 접근하는 방법에 관계없이 미분계수가 하나의 값으로 결정되는지에 따라 결정된다. 그 중에서 가장 표준적인 방향이 \(x\)축 방향과 \(y\)축 방향으로의 미분계수를 관찰하여 미분가능성을 판단하는 것이 코시 - 리만 방정식의 내용이다. 

[Theorem 1.0] (Cauchy - Riemann Equations)

복소함수 \(f(z)=u(x, y)+i v(x, y) \ (z=x+yi)\)가 \(c=a+ib\)에서 미분가능하면 \((a, b)=a+ib=c\)에서 \(u_x, \, u_y, \, v_x, \, v_y\)가 존재하고 \(u_x=v_y, \; u_y=-v_x\)가 성립한다. 이 방정식을 코시 - 리만 방정식(Cauchy - Riemann Equation)이라고 한다. 

# 증명 ▶

(Proof)

미분계수의 정의로부터 \[f'(c)=\displaystyle \lim_{z=x+ib\to c}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}=\lim_{z=a+iy\to c}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}\]이다. 이때 \[\begin{align} \displaystyle \lim_{z=x+ib\to c}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}&=\lim_{z=x+ib\to c}\frac{u(x, b)+iv(x, b)-(u(a, b)+iv(a, b))}{(x+ib)-(a+ib)}\\[.5em]&=\lim_{x\to a}\frac{u(x, b)-u(a, b)+i(v(x, b)-v(a, b))}{x-a} \\[.5em] &=u_x(a, b)+iv_x(a, b)\end{align}\]이고 \[\begin{align} \displaystyle \lim_{z=a+iy\to c}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}&=\lim_{z=a+iy\to c}\frac{u(a, y)+iv(a, y)-(u(a, y)+iv(a, y))}{(a+iy)-(a+ib)}\\[.5em]&=\lim_{y\to b}\frac{u(a, y)-u(a, b)+i(v(a, y)-v(a, b))}{i(y-b)} \\[.5em] &=v_y(a, b)-iu_y(a, b)\end{align}\]이다. 위의 두 극한이 존재하므로 극한의 성질로부터 \(u_x, \, u_y, \, v_x, \, v_y\)가 존재함을 알 수 있다. 

또한 위의 두 극한은 일치하므로 \[\begin{align}&u_x(a, b)+iv_x(a, b)=v_y(a, b)-i u_y(a, b) \\[.4em] &\Rightarrow \ u_x(a, b)=v_y(a, b), \; \; u_y(a, b)=-v_x(a, b)\end{align}\]이다. 

# ◀ 닫기

위의 표현은 \(f\)를 드러내어 다음과 같이 나타낼 수도 있다. \[\begin{align} f'(c)&=u_x(a, b)+iv_x(a, b) \pmb{:=f_x(a+ib)} \\[.4em] &=\frac{1}{i}(u_y(a, b)+i v_y(a, b))\pmb{:= \frac{1}{i}f_y(a+ib)}\end{align}\] 즉, 코시 - 리만 방정식은 다음과 같이 기술될 수 있다. \[f_x=\frac{1}{i}f_y \quad \text{or} \quad f_x=-if_y\] 함수가 코시 - 리만 방정식을 만족시키는 것은 함수가 한 점에서 미분가능하기 위한 필요조건으로, 충분조건은 아니다. 즉, 코시 - 리만 방정식을 한 점에서 만족시키지만 그 점에서 미분가능하지 않은 함수가 존재한다.

[Example 1.1]

함수 \(f(z)\)를 \[f(z)=\begin{cases}\displaystyle \ \frac{x^3-3xy^2}{x^2+y^2}+i\frac{x^3-3x^2y}{x^2+y^2} & (x, y)\neq (0, 0)\\[1em] \; 0 & (x, y)=(0, 0)\end{cases}\]이라 하자. 그러면 \[f(x+i0)=x, \; f(0+iy)=iy \ \Rightarrow \ f_x(0)=1=\frac{1}{i} f_y(0)\]이므로 \(z=0\)에서 \(f\)는 코시 - 리만 방정식을 만족시킨다. 그러나 \(z\neq 0\)일 때, \[f(z)=\frac{(x-iy)^3}{x^2+y^2}=\frac{\bar z^3}{|z|^2}=\frac{\bar z^2}{z}\]이므로 \(\displaystyle \frac{f(z)-f(0)}{z}=\left(\frac{\bar z}{z}\right)^2\)이다. 따라서 \[\begin{align} \frac{f(z)}{z}\to \begin{cases} \ 1 & (z=x+ i0 \to 0)\\[.5em] -1 & (z=x+ix\to 0)\end{cases} \end{align}\]이므로 함수 \(f\)는 \(z=0\)에서 미분가능하지 않다. 

이 코시 - 리만 방정식은 어떤 점에서의 \(x\)축 방향, \(y\)축 방향으로의 미분에 관한 정보만 제공하므로, 이 방정식이 모든 방향에서의 미분에 대한 정보를 담기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이는 다음 정리로 묘사된다.

[Theorem 1.2]

함수 \(f(z)=u(x, y)+iv(x, y)\)가 열린 원판 \(D:= N(c, R)\)에서 정의된 복소함수라고 하자. \(D\)에서 \(u_x, \, u_y, \, v_x, \, v_y\)이 각각 연속이고 점 \(c\in D\)에서 \(u_x=v_y, \; u_y=-v_x\)가 성립하면 (즉, 코시 - 리만 방정식이 만족되면) \(f\)는 \(c\)에서 미분가능하다.

증명 과정은 길어서 생략하겠지만, 아이디어는 크게 어렵지 않다. 평면 상의 모든 벡터는 평행하지 않은 두 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있다는 것을 이용하는 것이다. 또한 \(x\) 방향으로의 도함수와 \(y\) 방향으로의 도함수가 연속이므로 그 두 일차결합으로 표현된 방향으로의 미분 또한 두 방향에서의 미분과 같은 값을 가지게 된다는 것이다.

사실 이는 \(\Bbb R^2\)에서의 미분과 동일한 내용이기도 하다. 어떤 \(\Bbb R^2\)에서의 열린 집합 \(O\)에서 정의된 함수 \(f\)가 \(\mathrm a=(a, b)\in O\)에서 미분가능하다는 것은 두 실수 \(c_1, \, c_2\)가 존재하여 \[\lim_{(h, k)\to (0, 0)}\frac{f(a+h, b+k)-f(a, b)-c_1h-c_2k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]을 만족시킴을 의미한다. 

코시 - 리만 방정식과 미분가능성의 관계는 다음과 같이 요약될 수 있다.

[Theorem 1.3]

\(f(z)=u(x, y)+iv(x, y)\)가 \(\Bbb C\)의 열린 집합 \(U\)에서 정의된 함수이고 \(U\)에서 \(u_x, \, u_y, \, v_x, \, v_y\)가 연속이라고 하자. 그러면 \(f\)가 \(c\in U\)에서 미분가능할 필요충분조건은 \(c\)에서 \(f\)가 코시 - 리만 방정식을 만족하는 것이다. 

한편, 복소함수가 \(x, y\)로의 함수로만 표현될 수 있는 것은 아니므로 코시 - 리만 방정식 또한 \(x,\, y\)가 아닌 다른 변수를 이용하여 표현될 수 있다. 앞에서 미분가능하지 않은 복소함수들의 특징을 보면, 모두 \(\bar z\)가 포함된 식이라는 공통점이 있다. 이로부터 다음을 유도할 수 있다.

[Theorem 1.4]

복소함수 \(f(x, y)\)를 \(z, \bar z\)에 대한 함수인 \(f(z, \bar z)\)로 나타낼 때, 코시 - 리만 방정식이 만족될 필요충분조건은 \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \bar z}=0\)인 것이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

\(z=x+iy\)에 대하여 \(\displaystyle x=\frac{z+\bar z}{2}, \ y=\frac{z-\bar z}{2i}\)이므로 \[\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{1}{2}, \ \ \frac{\partial x}{\partial \bar z}=\frac{1}{2}, \ \ \frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{2i}, \ \ \frac{\partial y}{\partial \bar z}=-\frac{1}{2i}\]이다. 따라서 이변수함수의 연쇄법칙에 의하여 \[\begin{align}&\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{2}(f_x-if_y)\\[.4em] &\frac{\partial f}{\partial \bar z}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \bar z}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \bar z}=\frac{1}{2}(f_x+if_y)\end{align}\]이다. 따라서 \[\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0 \ \Leftrightarrow \ f_x=-i f_y \ \Leftrightarrow \ \begin{cases}\, u_x=v_y\\[.4em]\, u_y=-v_x \end{cases}\]이다. 

# ◀ 닫기

이를 이용하면 여러 가지 함수의 미분가능성을 좀 더 용이하게 판단할 수 있다.

[Example 1.5]

(1) 함수 \(f(z)=|z|^2=z\bar z\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\bar z, \; \frac{\partial f}{\partial \bar z}=z\)이므로 \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}, \, \frac{\partial f}{\partial \bar z}\)는 \(\Bbb C\)에서 연속이다. 이때 \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \bar z}=0\)이 되는 점은 \(z=0\)뿐이므로 \(f\)는 \(0\)에서만 미분가능하다.

(2) 함수 \(f(z)=\text{Re}(z), \; g(z)=\text{Im}(z)\)에 대하여 \[\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}, \; \frac{\partial f}{\partial \bar z}=\frac{1}{2}, \; \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2i}, \; \frac{\partial f}{\partial \bar z}=-\frac{1}{2i}\]이므로 두 함수 \(f, \, g\)는 \(\Bbb C\)의 어느 점에서도 미분가능하지 않다.

비슷한 방법으로, 복소수는 오일러의 정리에 따라 \(z=re^{i\theta}\)와 같이 나타낼 수 있으므로, [Theorem 1.4]와 같은 방법으로 코시 - 리만 방정식은 다음과 같이 표현될 수도 있다.

[Theorem 1.6]

복소함수 \(f(x, y)\)를 \(r, \theta\)에 대한 함수로 나타낼 때, 코시 - 리만 방정식이 만족될 필요충분조건은 \[\frac{\partial f}{\partial \theta}=ir\frac{\partial f}{\partial r}\]인 것이다. 

 

멱급수와 여러 가지 함수

실해석학에서는 여러 가지 함수를 급수 전개를 이용하여 정의한다. 멱급수(거듭제곱급수)는 그 수렴반경 내에서 여러 가지 연산이 자유롭기 때문에, 여러 함수를 해석적(아주 좋은 형태로)으로 정의하고 이용할 수 있게 된다. \(\Bbb C\) 또한 완비이기 때문에, 여러 함수를 실함수와 동일하게 멱급수를 이용하여 정의하고 이용할 수 있게 된다.

기초적인 용어나 정의는 실함수에서와 동일하므로 정리 위주로 서술하겠다. 앞으로 급수라고 하면 각 항이 복소수인 급수를 의미한다.

[Theorem 2.0]

급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty z_n\)이 수렴하면 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} z_n=0\)이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

주어진 급수의 부분합을 \(\{S_n\}\)이라 하면 \(S_n \to S\)이므로 \[\lim_{n\to \infty} z_n=\lim_{n\to \infty}(S_n-S_{n-1})=S-S=0\]

# ◀ 닫기

기하급수(등비급수)는 복소급수나 멱급수에 대한 논의를 진행할 때 많이 이용하고, 성질이 정확히 실수에서와 동일하다.

[Theorem 2.1]

복소수 \(c\)에 대하여 \[\sum_{n=0}^\infty c^n=\begin{cases}\displaystyle \, \frac{1}{1-c} & (|c|<1)\\[1em] \; \text{diverge} & (|c|\geq 1)\end{cases}\]

# 증명 ▶

(Proof)

위 급수의 부분합을 \(S_n\)이라 하면 \(S_n=\displaystyle \frac{1-c^n}{1-c}\)이므로 

(1) \(|c|<1\)인 경우 \(|c|^n\to 0\)이므로 \(c^n\to 0\)이다. 따라서 \(S_n \to \displaystyle \frac{1}{1-c}\)이다. 
(2) \(|c|\geq 1\)인 경우 \(|c|^n\geq 1 \; \Rightarrow \; c^n \not \to 0\)이므로 급수는 발산한다.

# ◀ 닫기

복소수의 절댓값은 실수부와 허수부의 절댓값보다 항상 크거나 같기 때문에 실수열에서와 같이 절대수렴하는 급수는 수렴한다.

[Theorem 2.2]

급수 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |z_n|\)이 수렴하면 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty z_n\)도 수렴한다. (즉, 절대수렴하는 급수는 수렴한다.)

# 증명 ▶

(Proof)

\(z_n=x_n+iy_n\)이라 하자. 그러면 \(|x_n|\leq |z_n|, \; |y_n|\leq |z_n|\)이므로 실항급수에서의 비교 판정법에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |x_n|\)과 \(\displaystyle \sum_{n=0} |y_n|\)이 수렴한다. 따라서 실항급수에서의 절대 수렴 정리에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty x_n\)과 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty y_n\)도 수렴한다. 따라서 복소수의 극한의 성질에서 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty z_n=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (x_n+iy_n)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty x_n+i\sum_{n=0}^\infty y_n\)도 수렴한다. 

# ◀ 닫기

[Example 2.3]

\(n\)이 자연수일 때, \(\left|n(\ln n+\pi i/2)^2\right|=n((\ln n)^2+\pi^2/4)\geq n(\ln n)^2\)이므로 \[\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n|\ln n+\pi i/2|^2}\leq \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^2}\]이다. 우변이 수렴하므로(적분 판정법 또는 코시 응집 판정법 이용) [Theorem 2.2]에 의하여 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n+\pi i/2)^2}\)은 수렴한다. 

각 항이 복소수인 멱급수에 대해서도 실함수와 같은 성질이 성립한다. 즉, 수렴 반경 내의 모든 값에 대해서 멱급수는 모두 수렴하고, 그 밖의 값에 대해서는 모두 발산한다. 또한, 수렴 반경을 결정하는 수렴 반지름은 유일하게 존재한다. 증명은 실함수에서와 정확히 동일하므로(비교판정법과 [Theorem 2.2] 등을 이용) 생략한다.

[Theorem 2.4]

멱급수 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n\)에 대하여 다음 중 하나만 성립한다.

(1) 모든 \(z\in \Bbb C\)에 대하여 수렴한다.
(2) \(z=a\)일 때에만 수렴한다.
(3) \(|z-a|<R\)일 때에는 수렴하고, \(|z-a|>R\)일 때에는 발산하게 되는 양수 \(R\)이 유일하게 존재한다.

멱급수로 정의된 함수는 수렴 반경 내에서 수렴할 뿐만 아니라 수렴 반경에서 항별로 미분하는 것도 가능하다. 실해석학에서는 이를 '균등 수렴'의 성질을 이용하여 밝히지만, 여기서는 미분계수의 정의를 직접적으로 이용하여, 복소수의 성질과 함께 증명한다.

[Theorem 2.5]

멱급수 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n\)가 양수인 수렴 반지름 \(R\)을 갖는다고 하자. \[f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n \ \ (|z-a|<R)\]라 하면 \(f(z)\)는 열린 원판 \(D(a, R)\)에서 정칙이고, \[f'(z)=\sum_{n=1}^\infty nc_n(z-a)^{n-1} \ \ (|z-a|<R)\]이다. (즉, 멱급수로 정의된 함수는 수렴 반경 내에서 항별 미분 가능하다.)

위 정리를 증명할 때에는 \(a=0\)인 경우만 언급해도 충분하다. 여기서 \(f(z)\)의 도함수가 \(f'(z)\)라는 것은 \[\left|\frac{f(z+h)-f(z)}{h}-f'(z)\right| \to 0 \ \ \text{as} \ \ h\to 0\]와 같이 표현할 수 있는데, 위 정리 또한 \[\begin{align}&\left|\frac{f(z+h)-f(z)}{h}-\sum_{n=1}^\infty nc_n z^{n-1}\right|\\[.5em] &=\left|\sum_{n=2}^\infty c_n\left(\frac{(z+h)^n-z^n}{h}-nz^{n-1}\right)\right| \\[.5em] &\color{blue}{\leq \sum_{n=2}^\infty |c_n|\left|\frac{(z+h)^n-z^n}{h}-nz^{n-1}\right| \to 0 \ \ \text{as} \ \ h\to 0}\end{align}\]임을 보임으로써 증명된다. 이때 위의 파란색으로 표시된 부분을 이항정리와 근사를 이용하여 보이는 것이 관건이다. 

멱급수의 수렴반경을 판정하는 방법 또한 실함수에서와 같은데, 보통 다음 두 가지를 많이 이용한다.

[Theorem 2.6]

멱급수 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n\)의 수렴반경을 \(R\)이라 하자. 그러면 \[R=\frac{1}{\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|}, \ \ \text{or} \ \ R=\frac{1}{\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}\] 이다. (단, 우변의 극한이 \(\Bbb R^*\)에서 존재해야 한다.)

마지막으로, 멱급수를 이용하여 다음과 같은 초등 함수를 정의한다.

[Definition 2.7] 

(1) \(\exp z=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots \)
(2) \(\cos z=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\cdots\)
(3) \(\sin z=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots\)
(4) \(\cosh z=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\)
(5) \(\sinh z=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots\)

위 함수들에 대해서도 실함수에서일 때와 같은 성질이 성립한다. 예를 들어 \(\exp z\)의 수렴 반경은 \(\infty\)이고 항별 미분에 의하여 \[\frac{d}{dz} \exp z=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{nz^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=\exp z \ \ \forall z\in \Bbb C\] 또한, 임의의 \(w\in \Bbb C\)에 대하여 \(F_w(z)=\exp(z+w)/\exp z\)라고 하자. 그러면 \[\begin{align}F'_w(z)&=\frac{(\exp(z+w))' \exp z+\exp(z+w) (\exp z)'}{(\exp z)^2}\\[.5em] &=\frac{\exp(z+w)\exp z-\exp(z+w) \exp z}{(\exp z)^2}=0\end{align}\]이므로 \(F_w(z)\)는 상수함수이다. 따라서 \[\begin{align} &F_w(z)=F_w(0)=\exp w \\[.4em] &\Rightarrow \exp(z+w)=\exp z \exp w \end{align}\]가 성립한다. 이는 \(e^z\)의 지수법칙과 동일한 성질이다. 실제로 이것을 이용하면 \[\begin{align}\exp z&=\exp(x+iy)\\[.5em]&=(\exp x)(\exp iy) \\[.5em]&=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(iy)^n}{n!}\\[.5em]&=e^x e^{iy}=e^x (\cos y+i\sin y)=e^z\end{align}\]임을 알 수 있다. (\(e^z\)의 정의가 \(e^x (\cos y+i\sin y)\)임을 상기하자.)

이와 비슷한 방법으로 초등함수의 정의에 따라 다음과 같은 성질들이 성립한다. (양이 많아서 인용한다: Schaum's outline: Complex Variables, 2nd edition: p.43~44)

 

 

Reference: <Complex Analysis> John M. Howie, 2003