[Chapter 7] 함수의 연속 (1)

함수의 연속

해석학에서 함수의 연속은 국소적인 (한 점에서의) 성질로 도입하고, 그것을 이용하여 대역적 성질(구간에서의 연속)을 유도하게 된다. 일반 위상수학에서는 이와 다르게 '열린 집합'으로 도입하고, 이후에 한 점에서의 연속과 연결짓는다. 위상수학의 특성 상 '열린 집합'이라는 개념을 주로 이용하기 때문이다. 위상수학에서도 함수의 연속은 해석학의 $ϵ-\delta$ 논법과 비슷하게 정의한다.

[Definition 0.0] 

두 위상공간 $(X,\mathcal{T})$, $(Y,{\mathcal{T}}^{\ast })$와 함수 $f:X\to Y$가 있다. 임의의 ${\mathcal{T}}^{\ast }-$열린 집합 $H$에 대하여 $f^{-1}(H)$가 $\mathcal{T}-$열린 집합이면 함수 $f$를 ($\mathcal{T}-{\mathcal{T}}^{\ast }$)연속 또는 단순히 연속이라고 한다. 

[Example 0.1]

임의의 이산 위상 공간 $(X,\mathfrak{D})$과 임의의 위상 공간 $(Y,\mathcal{T})$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 모든 함수는 연속이다. $X$의 임의의 부분집합은 $\mathfrak{D}-$열린 집합이기 때문이다.

예상한 것과 같이 모든 열린집합의 역상이 열린 집합인 것을 확인할 필요는 없다. 기저의 원소들에 대해서만 확인해주어도 충분하다. 역상은 집합의 연산이 매우 자유롭기 때문이다. 

[Theorem 0.2]

함수 $f:X\to Y$가 연속일 필요충분조건은 $Y$의 기저 $\mathcal{B}$의 각 원소의 역상이 $X$의 열린 집합인 것이다.

증명 ▶

(Proof)

$Y$의 기저 $\mathcal{B}$의 임의의 원소 $B$에 대하여 $f^{-1}(B)$은 $X$에서 열린 집합이다. $Y$의 임의의 열린 집합 $H$에 대하여 $H={\cup }_i{B}_i$이고 $$f^{-1}(H)=f^{-1}({\cup }_i{B}_i)={\cup }_i{f}^{-1}(B_i)$$이므로 $f^{-1}(H)$는 $X$의 열린 집합이다. 

증명 ▶

부분기저에 대해서도 같은 성질이 성립한다. 부분기저의 각 원소의 유한개의 교집합에 합집합을 하여 각 열린 집합의 원소를 얻을 수 있기 때문이다.

[Theorem 0.3]

위상공간 $Y$의 부분기저를 $\mathcal{S}$라 하자. 함수 $f:X\to Y$가 연속일 필요충분조건은 $\mathcal{S}$의 각 원소의 역상이 $X$의 열린 집합인 것이다. 

[Example 0.4]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}|x|& x\ne 0\\ 1& x=0\end{array}$$ 는 불연속이다. 열린구간 ${\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{3}{2})}$은 $\mathbb{R}$의 열린 집합이지만 ${\displaystyle f^{-1}\left[(\frac{1}{2},\frac{3}{2})\right]=(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},\frac{3}{2})\cup \{0\}}$은 $\mathbb{R}$의 열린 집합이 아니다.

열린 집합의 여집합은 닫힌 집합이고, 역함수에 대해서는 여집합 연산도 자유로우므로 닫힌 집합을 이용하여 함수의 연속을 정의할 수 있다. 

[Theorem 0.5]

함수 $f:X\to Y$가 연속일 필요충분조건은 $Y$의 임의의 닫힌 집합의 역상이 $X$의 닫힌 집합이 되는 것이다.

증명 ▶

(Proof)

함수 $f$가 연속이라고 하자. $Y$의 임의의 닫힌 집합 $F$에 대하여 $f^{-1}(F^c)=(f^{-1}(F){)}^c$은 $X$의 열린 집합이다. 따라서 $f^{-1}(F)$는 $X$에서의 닫힌 집합이다. 반대의 경우에도 비슷하게 증명할 수 있다.

증명 ▶

[Theorem 0.6]

함수 $f:X\to Y$가 연속일 필요충분조건은 임의의 $A\subset X$에 대하여 $f[\overline{A}]\subset \overline{f[A]}$가 성립하는 것이다.

증명 ▶

(Proof)

$(\to )$ 함수 $f$가 연속이므로 [Theorem 0.5]에 의하여 $f^{-1}(\overline{f[A]})$는 $X$의 닫힌 집합이다. 이때 $$A\subset f^{-1}(f[A])\subset f^{-1}(\overline{f[A]})$$이므로 폐포의 정의에 의하여 $\overline{A}\subset f^{-1}(\overline{f[A]})$이다. 따라서 $f[\overline{A}]\subset \overline{f[A]}$이다. 

$(\leftarrow )$ $F$를 $Y$의 임의의 닫힌 집합이라고 하자. $H=f^{-1}(F)$라 하면 주어진 조건에 의하여 $$f[\overline{H}]\subset \overline{f[H]}\subset \overline{F}=F$$이므로 $$\overline{H}\subset (f^{-1}\circ f)[\overline{H}]\subset f^{-1}(F)=H$$이므로 $H=f^{-1}(F)$는 닫힌 집합이다. 

증명 ▶

 

점에서의 연속과 여러 가지 사상

점에서의 연속은 그 점 주변의 열린 집합을 이용하여 정의한다. 이에 자연스럽게 국소 기저와 연결지어서 확인할 수 있음을 유도할 수도 있다.

[Definition 1.0]

함수 $f:X\to Y$가 $f(p)\in Y$를 포함하는 임의의 $Y$의 열린 집합 $H_{f(p)}$에 대하여 $p\in X$를 포함하는 $X$의 열린 집합 $G_p$이 존재하여 $p\in G_p\subset f^{-1}(H_{f(p)})$를 만족시키면 함수 $f$는 $p$에서 연속이라고 한다.

[Theorem 1.1]

함수 $f:X\to Y$가 $p\in X$에서 연속일 필요충분조건은 $Y$의 $f(p)$에서의 국소 기저의 각 원소의 역상이 $X$의 $p$에서의 국소 기저의 원소가 그 부분집합으로서 존재하는 것이다. 즉, [Definition 1.0]의 열린 집합을 모두 '국소 기저의 원소'로 바꾸었을 때에도 성립하는 것이다.

해석학에서는 어떤 구간의 모든 점에서 연속인 함수를 그 구간에서의 연속인 함수라고 정의하는데, 여기서는 그것이 명제로 등장한다. 여기서는 열린 집합으로 연속성을 정의하기 때문이다.

[Theorem 1.2]

위상공간 $X,Y$에 대하여 함수 $f:X\to Y$가 연속일 필요충분조건은 함수 $f$가 $X$의 각 점에서 연속인 것이다.

증명 ▶

(Proof)

($\to$) 함수 $f$가 연속이므로 임의의 $Y$의 열린 집합 $G$에 대하여 $f^{-1}(G)$가 $X$에서 열린 집합이다. 특히, 임의의 $p\in X$에 대하여 $f(p)$를 포함하는 임의의 열린 집합에 대해서도 위 내용이 성립하므로 함수 $f$는 $X$의 각 점에서 연속이다.

($\leftarrow$) $G$를 $Y$의 임의의 열린 집합이라고 하자. 임의의 $p\in f^{-1}(G)$에 대하여 함수 $f$는 $X$의 각 점에서 연속이므로 $p$를 포함하는 $X$의 열린 집합 $H_p$가 존재하여 $p\in H_p\subset f^{-1}(G)$을 만족시킨다. 따라서 $f^{-1}(G)=\cup \{H_p\mid p\in f^{-1}(G)\}$는 $X$의 열린 집합의 합집합이므로 열린 집합이 된다. 따라서 함수 $f$는 연속이다.

증명 ▶

$\mathbb{R}$에서 함수가 연속인 것은 점열 연속(sequentially continuous)인 것과 동치이다. 이는 $\mathbb{R}$이 거리 공간(metric space) [또는 제2가산공간(2nd countable space)]이기 때문인데, 일반적으로 그렇지는 않다.

[Definition 1.3] 

함수 $f:X\to Y$가 $p\in X$로 수렴하는 임의의 $X$ 위의 수열 $\{a_n\}$에 대하여 수열 $\{f(a_n)\}$이 $f(p)$로 수렴하면 함수 $f$가 $p\in X$에서 점열 연속(sequentially continuous)이라고 한다.

[Theorem 1.4]

함수 $f:X\to Y$가 $p\in X$에서 연속이면 $p\in X$에서 점열 연속이다.

증명 ▶

(Proof)

함수 $f$가 연속이므로 $f(p)$를 포함하는 임의의 열린 집합 $H_{f(p)}$에 대하여 $p\in G_p\subset f^{-1}(H_{f(p)})$인 $p$를 포함하는 $X$의 열린 집합 $G_p$가 존재한다. 이때 $p\in X$로 수렴하는 $X$ 위의 임의의 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $n_0\in \mathbb{N}$이 존재하여 $n>n_0$일 때마다 $a_n\in G_p$를 만족시킨다. 따라서 $n>n_0$일 때마다 $f(a_n)\in H_{f(p)}$를 만족시킨다. 즉, $f(a_n)\to f(p)$이다. 

증명 ▶

일반적으로 [Theorem 1.4]의 역은 성립하지 않는다.

[Example 1.5]

$\mathbb{R}$ 위의 여유한 위상(cofinite topology) $\mathcal{T}$를 생각하자. 이 위상 위에서 $p\in X$로 수렴하는 수열 $\{a_n\}$은 어느 항부터 계속 $p$가 등장하는 수열이다. 즉, $$\{a_n\}:a_1,a_2,\cdots ,a_N,p,p,\cdots$$의 형태의 수열만 $p$로 수렴한다. 따라서 임의의 위상 공간 $(X,\mathcal{T})$과 임의의 함수 $f:\mathbb{R}\to X$에 대하여 $$\{f(a_n)\}:f(a_1),f(a_2),\cdots ,f(a_N),f(p),f(p),\cdots$$이므로 함수 $f$는 $p\in \mathbb{R}$에서 점열 연속이다. 그러나 $$f:(\mathbb{R},\mathcal{T})\to (\mathbb{R},\mathcal{U}),f(x)=x$$로 정의된 함수 $f$에 대하여 $(0,1)\in \mathcal{U}$이지만 $f^{-1}[(0,1)]=(0,1)$은 $\mathcal{T}-$열린 집합이 아니다. 즉, 함수 $f$는 연속이 아니다.

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.