[Chapter 7] 함수의 연속 (1)

함수의 연속

해석학에서 함수의 연속은 국소적인 (한 점에서의) 성질로 도입하고, 그것을 이용하여 대역적 성질(구간에서의 연속)을 유도하게 된다. 일반 위상수학에서는 이와 다르게 '열린 집합'으로 도입하고, 이후에 한 점에서의 연속과 연결짓는다. 위상수학의 특성 상 '열린 집합'이라는 개념을 주로 이용하기 때문이다. 위상수학에서도 함수의 연속은 해석학의 \(\epsilon-\delta\) 논법과 비슷하게 정의한다.

[Definition 0.0] 

두 위상공간 \((X, \mathcal T)\), \((Y, \mathcal T^*)\)와 함수 \(f: X \to Y\)가 있다. 임의의 \(\mathcal T^*-\)열린 집합 \(H\)에 대하여 \(f^{-1}(H)\)가 \(\mathcal T-\)열린 집합이면 함수 \(f\)를 (\(\mathcal T-\mathcal T^*\))연속 또는 단순히 연속이라고 한다. 

[Example 0.1]

임의의 이산 위상 공간 \((X, \mathfrak D)\)과 임의의 위상 공간 \((Y, \mathcal T)\)에 대하여 \(X\)에서 \(Y\)로의 모든 함수는 연속이다. \(X\)의 임의의 부분집합은 \(\mathfrak D-\)열린 집합이기 때문이다.

예상한 것과 같이 모든 열린집합의 역상이 열린 집합인 것을 확인할 필요는 없다. 기저의 원소들에 대해서만 확인해주어도 충분하다. 역상은 집합의 연산이 매우 자유롭기 때문이다. 

[Theorem 0.2]

함수 \(f: X\to Y\)가 연속일 필요충분조건은 \(Y\)의 기저 \(\mathcal B\)의 각 원소의 역상이 \(X\)의 열린 집합인 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(Y\)의 기저 \(\mathcal B\)의 임의의 원소 \(B\)에 대하여 \(f^{-1}(B)\)은 \(X\)에서 열린 집합이다. \(Y\)의 임의의 열린 집합 \(H\)에 대하여 \(H=\cup_i B_i\)이고 \[f^{-1}(H)=f^{-1}(\cup_i\, B_i)=\cup_i\, f^{-1}(B_i)\]이므로 \(f^{-1}(H)\)는 \(X\)의 열린 집합이다. 

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부분기저에 대해서도 같은 성질이 성립한다. 부분기저의 각 원소의 유한개의 교집합에 합집합을 하여 각 열린 집합의 원소를 얻을 수 있기 때문이다.

[Theorem 0.3]

위상공간 \(Y\)의 부분기저를 \(\mathcal S\)라 하자. 함수 \(f:X \to Y\)가 연속일 필요충분조건은 \(\mathcal S\)의 각 원소의 역상이 \(X\)의 열린 집합인 것이다. 

[Example 0.4]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \[f(x)=\begin{cases}|x| & x \neq 0\\[.3em]\;1 & x = 0\end{cases}\] 는 불연속이다. 열린구간 \(\displaystyle \left(\frac{1}{2},\, \frac{3}{2}\right)\)은 \(\Bbb R\)의 열린 집합이지만 \(\displaystyle f^{-1}\left[\left(\frac{1}{2},\, \frac{3}{2}\right)\right]=\left(-\frac{3}{2},\, -\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},\, \frac{3}{2}\right) \cup \{0\}\)은 \(\Bbb R\)의 열린 집합이 아니다.

열린 집합의 여집합은 닫힌 집합이고, 역함수에 대해서는 여집합 연산도 자유로우므로 닫힌 집합을 이용하여 함수의 연속을 정의할 수 있다. 

[Theorem 0.5]

함수 \(f: X \to Y\)가 연속일 필요충분조건은 \(Y\)의 임의의 닫힌 집합의 역상이 \(X\)의 닫힌 집합이 되는 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

함수 \(f\)가 연속이라고 하자. \(Y\)의 임의의 닫힌 집합 \(F\)에 대하여 \(f^{-1}(F^c)=(f^{-1}(F))^c\)은 \(X\)의 열린 집합이다. 따라서 \(f^{-1}(F)\)는 \(X\)에서의 닫힌 집합이다. 반대의 경우에도 비슷하게 증명할 수 있다.

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[Theorem 0.6]

함수 \(f: X \to Y\)가 연속일 필요충분조건은 임의의 \(A\subset X\)에 대하여 \(f[\bar A]\subset \overline{f[A]}\)가 성립하는 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\((\to)\) 함수 \(f\)가 연속이므로 [Theorem 0.5]에 의하여 \(f^{-1}(\overline {f[A]})\)는 \(X\)의 닫힌 집합이다. 이때 \[A\subset f^{-1}(f[A]) \subset f^{-1}(\overline {f[A]})\,\]이므로 폐포의 정의에 의하여 \(\bar A \subset f^{-1}(\overline {f[A]})\)이다. 따라서 \(f[\bar A]\subset \overline {f[A]}\)이다. 

\((\leftarrow)\) \(F\)를 \(Y\)의 임의의 닫힌 집합이라고 하자. \(H=f^{-1}(F)\)라 하면 주어진 조건에 의하여 \[f[\bar H] \subset \overline {f[H]} \subset \bar F=F\]이므로 \[\bar H \subset (f^{-1} \circ f)[\bar H] \subset f^{-1}(F)=H\]이므로 \(H=f^{-1}(F)\)는 닫힌 집합이다. 

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점에서의 연속과 여러 가지 사상

점에서의 연속은 그 점 주변의 열린 집합을 이용하여 정의한다. 이에 자연스럽게 국소 기저와 연결지어서 확인할 수 있음을 유도할 수도 있다.

[Definition 1.0]

함수 \(f: X \to Y\)가 \(f(p)\in Y\)를 포함하는 임의의 \(Y\)의 열린 집합 \(H_{f(p)}\)에 대하여 \(p\in X\)를 포함하는 \(X\)의 열린 집합 \(G_p\)이 존재하여 \(p \in G_p \subset f^{-1}(H_{f(p)})\)를 만족시키면 함수 \(f\)는 \(p\)에서 연속이라고 한다.

[Theorem 1.1]

함수 \(f: X \to Y\)가 \(p\in X\)에서 연속일 필요충분조건은 \(Y\)의 \(f(p)\)에서의 국소 기저의 각 원소의 역상이 \(X\)의 \(p\)에서의 국소 기저의 원소가 그 부분집합으로서 존재하는 것이다. 즉, [Definition 1.0]의 열린 집합을 모두 '국소 기저의 원소'로 바꾸었을 때에도 성립하는 것이다.

해석학에서는 어떤 구간의 모든 점에서 연속인 함수를 그 구간에서의 연속인 함수라고 정의하는데, 여기서는 그것이 명제로 등장한다. 여기서는 열린 집합으로 연속성을 정의하기 때문이다.

[Theorem 1.2]

위상공간 \(X, \, Y\)에 대하여 함수 \(f: X \to Y\)가 연속일 필요충분조건은 함수 \(f\)가 \(X\)의 각 점에서 연속인 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\to\)) 함수 \(f\)가 연속이므로 임의의 \(Y\)의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \(f^{-1}(G)\)가 \(X\)에서 열린 집합이다. 특히, 임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(f(p)\)를 포함하는 임의의 열린 집합에 대해서도 위 내용이 성립하므로 함수 \(f\)는 \(X\)의 각 점에서 연속이다.

(\(\leftarrow\)) \(G\)를 \(Y\)의 임의의 열린 집합이라고 하자. 임의의 \(p\in f^{-1}(G)\)에 대하여 함수 \(f\)는 \(X\)의 각 점에서 연속이므로 \(p\)를 포함하는 \(X\)의 열린 집합 \(H_p\)가 존재하여 \(p \in H_p \subset f^{-1}(G)\)을 만족시킨다. 따라서 \(f^{-1}(G)=\cup \{H_p \mid p \in f^{-1}(G)\}\)는 \(X\)의 열린 집합의 합집합이므로 열린 집합이 된다. 따라서 함수 \(f\)는 연속이다.

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\(\Bbb R\)에서 함수가 연속인 것은 점열 연속(sequentially continuous)인 것과 동치이다. 이는 \(\Bbb R\)이 거리 공간(metric space) [또는 제2가산공간(2nd countable space)]이기 때문인데, 일반적으로 그렇지는 않다.

[Definition 1.3] 

함수 \(f: X \to Y\)가 \(p\in X\)로 수렴하는 임의의 \(X\) 위의 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 수열 \(\{f(a_n)\}\)이 \(f(p)\)로 수렴하면 함수 \(f\)가 \(p\in X\)에서 점열 연속(sequentially continuous)이라고 한다.

[Theorem 1.4]

함수 \(f: X \to Y\)가 \(p\in X\)에서 연속이면 \(p\in X\)에서 점열 연속이다.

# 증명 ▶

(Proof)

함수 \(f\)가 연속이므로 \(f(p)\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(H_{f(p)}\)에 대하여 \(p \in G_p \subset f^{-1}(H_{f(p)})\)인 \(p\)를 포함하는 \(X\)의 열린 집합 \(G_p\)가 존재한다. 이때 \(p\in X\)로 수렴하는 \(X\) 위의 임의의 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(n_0\in \Bbb N\)이 존재하여 \(n>n_0\)일 때마다 \(a_n\in G_p\)를 만족시킨다. 따라서 \(n>n_0\)일 때마다 \(f(a_n)\in H_{f(p)}\)를 만족시킨다. 즉, \(f(a_n) \to f(p)\)이다. 

# ◀ 닫기

일반적으로 [Theorem 1.4]의 역은 성립하지 않는다.

[Example 1.5]

\(\Bbb R\) 위의 여유한 위상(cofinite topology) \(\mathcal T\)를 생각하자. 이 위상 위에서 \(p\in X\)로 수렴하는 수열 \(\{a_n\}\)은 어느 항부터 계속 \(p\)가 등장하는 수열이다. 즉, \[\{a_n\}: a_1, \ a_2, \ \cdots, \ a_N, \ p, \ p, \ \cdots\]의 형태의 수열만 \(p\)로 수렴한다. 따라서 임의의 위상 공간 \((X, \mathcal T)\)과 임의의 함수 \(f: \Bbb R \to X\)에 대하여 \[\{f(a_n)\}: f(a_1), \, f(a_2), \, \cdots, \, f(a_N), \, f(p), \, f(p), \cdots\]이므로 함수 \(f\)는 \(p\in \Bbb R\)에서 점열 연속이다. 그러나 \[f: (\Bbb R, \mathcal T) \to (\Bbb R, \mathcal U), \; \; f(x)=x\]로 정의된 함수 \(f\)에 대하여 \((0, 1)\in \mathcal U\)이지만 \(f^{-1}[(0, 1)]=(0, 1)\)은 \(\mathcal T-\)열린 집합이 아니다. 즉, 함수 \(f\)는 연속이 아니다.

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.