[Chapter 6] 기저와 부분기저 (2) (Problems)

[Problem 0.0]

$\mathbb{R}$ 위에서의 반닫힌구간 $(a,b]$들을 기저의 원소로 갖는 상극한 위상(upper limit topology) $\mathcal{T}$와 보통 위상 $\mathcal{U}$에 대하여 $\mathcal{U}\subset \mathcal{T}$임을 보여라.

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(Proof)

임의의 두 실수 $a,b$ $(a<b)$에 대하여 $$(a,b)=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}(a,b-1/n]$$이므로 $\mathcal{U}$의 각 기저의 원소는 $\mathcal{T}$의 각 기저의 원소의 합집합으로 표현된다. 따라서 임의의 $G\in \mathcal{U}$ 또한 $\mathcal{T}$의 각 기저의 원소의 합집합으로 표현된다. 따라서 $G\in \mathcal{U}$이면 $G\in \mathcal{T}$이다. 즉, $\mathcal{U}\subset \mathcal{T}$이다. 

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[Problem 0.1]

$a>0$이고 $b<1$인 임의의 두 실수 $a,b$에 대하여 구간 $(a,1]$과 $[0,b)$들의 모임 ${\mathcal{S}}^{\ast }$가 $I=[0,1]$에서의 상대적 보통 위상의 부분기저를 이룸을 보여라.

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(Proof)

먼저 위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저 $\mathcal{S}$에 대하여 ${\mathcal{S}}^{\ast }=\{A\cap S\mid S\in \mathcal{S}\}$은 부분공간 $(A,{\mathcal{T}}_A)$의 부분기저를 이룸을 보이자. $\cdots (\ast )$
임의의 $G_A\in {\mathcal{T}}_A$에 대하여 $G_A=A\cap G$인 $G\in \mathcal{T}$가 존재한다. 이때 부분기저의 정의에서 $$G=\bigcup _i(S_{i_1}\cap S_{i_2}\cap \cdots \cap S_{i_k})$$이고, $$\begin{array}{rl}{G}_A& =A\cap G\\ & =A\cap [\bigcup _i(S_{i_1}\cap S_{i_2}\cap \cdots \cap S_{i_k})]\\ & =\bigcup _i[(A\cap S_{i_1})\cap (A\cap S_{i_2})\cap \cdots \cap (A\cap S_{i_k})]\end{array}$$이다. 이때 임의의 $i,k$에 대하여 $A\cap S_{i_k}\in {\mathcal{S}}^{\ast }$이므로 임의의 ${\mathcal{T}}_A-$열린 집합은 집합 ${\mathcal{S}}^{\ast }$의 원소들의 유한개의 교집합의 합집합으로 나타낼 수 있으므로 ${\mathcal{S}}^{\ast }$은 위상 ${\mathcal{T}}_A$의 부분기저이다. 

$\mathcal{S}=\{(-\mathrm{\infty },a)\mid a\in \mathbb{R}\}\cup \{(b,\mathrm{\infty })\mid b\in \mathbb{R}\}$은 보통 위상의 부분기저이다. 이때 $(\ast )$로부터 $$\begin{array}{rl}{\mathcal{S}}^{\ast }& =\{I\cap S\mid S\in \mathcal{S}\}\\ & =\{(a,1]\mid a>0\}\cup \{[0,b)\mid b<1\}\end{array}$$은 부분공간 $I$의 부분기저를 이룬다. 

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[Problem 0.2]

임의의 유리수 $a$와 무리수 $b$ $(a<b)$에 대하여 닫힌구간 $[a,b]$들의 모임이 $\mathbb{R}$의 한 위상의 기저를 이룸을 증명하여라.

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(Proof)

명백하게 위와 같은 형태의 모든 닫힌구간들의 합집합은 $\mathbb{R}$이다. 또한, 위와 같은 형태의 임의의 두 닫힌구간들의 교집합은 $\varnothing$이거나 다시 위와 같은 형태의 닫힌구간이 된다. 따라서 주어진 닫힌구간들의 모임은 $\mathbb{R}$의 한 위상의 기저를 이룬다.

[Cf] 실제로 위와 같은 닫힌구간들의 모임을 $\mathcal{B}$라 하면 이를 기저로 하는 위상 $\mathcal{T}$는 $\mathcal{T}=\mathcal{B}\cup \{\varnothing ,\mathbb{R}\}$이다. 

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[Problem 0.3]

위상공간 $X$의 한 점 $p$가 유한집합 ${\mathcal{B}}_p$을 국소기저로 가질 때, $p$가 단 하나의 집합으로만 이루어진 국소기저를 가짐을 보여라.

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(Proof)

${\mathcal{B}}_p$는 $X$의 유한개의 열린 집합으로 이루어진 집합이므로 $$B=\cap \{H\mid H\in {\mathcal{B}}_p\}$$는 $X$의 한 열린 집합이다. 이때 임의의 열린 집합 $G$에 대하여 $$p\in G\Rightarrow p\in B\subset H\subset G$$인 $H\in {\mathcal{B}}_p$가 존재하므로 $\{B\}$는 점 $p$의 국소 기저이다. 

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[Problem 0.4]

위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T})$를 $\mathcal{S}=\{[a,b]\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$를 부분기저로 하는 위상이라고 하자. $\mathbb{R}$의 임의의 유한집합이 $\mathcal{T}-$닫힌 집합임을 보여라. 

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(Proof)

임의의 실수 $r$에 대하여 홑원소집합 $\{r\}$이 닫힌 집합임을 보이자.

(1) $r$이 유리수인 경우, 임의의 자연수 $n$에 대하여 $G_n=[r-n,r-1/n]\cup [r+1/n,r+n]$은 열린 집합이다. 이때 $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{r\}=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{G}_n$이므로 $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{r\}$은 열린 집합이다. 따라서 $\{r\}=(\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{r\}{)}^c$은 닫힌 집합이다. 

(2) $r$이 무리수인 경우, 두 집합 $$\begin{array}{rl}& A=\bigcup \{(-\mathrm{\infty },p]\mid p<r,p\in \mathbb{Q}\}\\ & B=\bigcup \{[q,\mathrm{\infty })\mid q>r,q\in \mathbb{Q}\}\end{array}$$는 각각 열린 집합이므로 $(A\cup B{)}^c=\{r\}$은 닫힌 집합이다. 

(1), (2)로부터 $\mathbb{R}$의 홑원소집합은 $\mathcal{T}-$닫힌 집합이므로 그 유한개의 합집합인 $\mathbb{R}$의 유한 부분집합은 닫힌 집합이다. 

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.