[Chapter 6] 기저와 부분기저 (2) (Problems)

[Problem 0.0]

\(\Bbb R\) 위에서의 반닫힌구간 \((a, b]\)들을 기저의 원소로 갖는 상극한 위상(upper limit topology) \(\mathcal T\)와 보통 위상 \(\mathcal U\)에 대하여 \(\mathcal U \subset \mathcal T\)임을 보여라.

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(Proof)

임의의 두 실수 \(a, b\) \((a<b)\)에 대하여 \[(a, b)=\bigcup_{n\in \Bbb N} (a, b-1/n]\]이므로 \(\mathcal U\)의 각 기저의 원소는 \(\mathcal T\)의 각 기저의 원소의 합집합으로 표현된다. 따라서 임의의 \(G\in \mathcal U\) 또한 \(\mathcal T\)의 각 기저의 원소의 합집합으로 표현된다. 따라서 \(G\in \mathcal U\)이면 \(G\in \mathcal T\)이다. 즉, \(\mathcal U \subset \mathcal T\)이다. 

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[Problem 0.1]

\(a>0\)이고 \(b<1\)인 임의의 두 실수 \(a, b\)에 대하여 구간 \((a, 1]\)과 \([0, b)\)들의 모임 \(\mathcal S^*\)가 \(I=[0, 1]\)에서의 상대적 보통 위상의 부분기저를 이룸을 보여라.

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(Proof)

먼저 위상공간 \((X, \mathcal T)\)의 부분기저 \(\mathcal S\)에 대하여 \(\mathcal S^*=\{A\cap S \mid S\in \mathcal S\}\)은 부분공간 \((A, \mathcal T_A)\)의 부분기저를 이룸을 보이자. \(\cdots (*)\)
임의의 \(G_A\in \mathcal T_A\)에 대하여 \(G_A=A\cap G\)인 \(G\in \mathcal T\)가 존재한다. 이때 부분기저의 정의에서 \[G=\bigcup_i (S_{i_1}\cap S_{i_2} \cap \cdots \cap S_{i_k})\]이고, \[\begin{align} G_A&=A\cap G \\[.3em] &=A\cap\left[\bigcup_i (S_{i_1}\cap S_{i_2} \cap \cdots \cap S_{i_k})\right]\\[.3em]&=\bigcup_i\left[(A\cap S_{i_1})\cap(A\cap S_{i_2})\cap \cdots\cap (A\cap S_{i_k})\right]\end{align}\]이다. 이때 임의의 \(i, k\)에 대하여 \(A\cap S_{i_k} \in \mathcal S^*\)이므로 임의의 \(\mathcal T_A-\)열린 집합은 집합 \(\mathcal S^*\)의 원소들의 유한개의 교집합의 합집합으로 나타낼 수 있으므로 \(\mathcal S^*\)은 위상 \(\mathcal T_A\)의 부분기저이다. 

\(\mathcal S=\{(-\infty, a) \mid a\in \Bbb R\}\cup \{(b, \infty) \mid b \in \Bbb R\}\)은 보통 위상의 부분기저이다. 이때 \((*)\)로부터 \[\begin{align}\mathcal S^*&=\{I\cap S \mid S\in \mathcal S\}\\[.3em]&=\{(a, 1] \mid a>0\}\cup \{[0, b) \mid b<1\}\end{align}\]은 부분공간 \(I\)의 부분기저를 이룬다. 

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[Problem 0.2]

임의의 유리수 \(a\)와 무리수 \(b\) \((a<b)\)에 대하여 닫힌구간 \([a, b]\)들의 모임이 \(\Bbb R\)의 한 위상의 기저를 이룸을 증명하여라.

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(Proof)

명백하게 위와 같은 형태의 모든 닫힌구간들의 합집합은 \(\Bbb R\)이다. 또한, 위와 같은 형태의 임의의 두 닫힌구간들의 교집합은 \(\varnothing\)이거나 다시 위와 같은 형태의 닫힌구간이 된다. 따라서 주어진 닫힌구간들의 모임은 \(\Bbb R\)의 한 위상의 기저를 이룬다.

[Cf] 실제로 위와 같은 닫힌구간들의 모임을 \(\mathcal B\)라 하면 이를 기저로 하는 위상 \(\mathcal T\)는 \(\mathcal T=\mathcal B\cup \{\varnothing, \Bbb R\}\)이다. 

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[Problem 0.3]

위상공간 \(X\)의 한 점 \(p\)가 유한집합 \(\mathcal B_p\)을 국소기저로 가질 때, \(p\)가 단 하나의 집합으로만 이루어진 국소기저를 가짐을 보여라.

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(Proof)

\(\mathcal B_p\)는 \(X\)의 유한개의 열린 집합으로 이루어진 집합이므로 \[B=\cap \{H \mid H\in \mathcal B_p\}\]는 \(X\)의 한 열린 집합이다. 이때 임의의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \[p\in G \; \Rightarrow \; p\in B \subset H \subset G\]인 \(H\in \mathcal B_p\)가 존재하므로 \(\{B\}\)는 점 \(p\)의 국소 기저이다. 

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[Problem 0.4]

위상공간 \((\Bbb R, \mathcal T)\)를 \(\mathcal S=\{[a, b] \mid a, b\in \Bbb Q\}\)를 부분기저로 하는 위상이라고 하자. \(\Bbb R\)의 임의의 유한집합이 \(\mathcal T-\)닫힌 집합임을 보여라. 

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(Proof)

임의의 실수 \(r\)에 대하여 홑원소집합 \(\{r\}\)이 닫힌 집합임을 보이자.

(1) \(r\)이 유리수인 경우, 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(G_n=[r-n, r-1/n]\cup [r+1/n, r+n]\)은 열린 집합이다. 이때 \(\Bbb R\, \backslash \, \{r\}=\bigcup_{n\in \Bbb N}G_n\)이므로 \(\Bbb R \, \backslash \, \{r\}\)은 열린 집합이다. 따라서 \(\{r\}=(\Bbb R \, \backslash \{r\})^c\)은 닫힌 집합이다. 

(2) \(r\)이 무리수인 경우, 두 집합 \[\begin{align}&A=\bigcup\{(-\infty, \,p\,]\mid p<r, \, p\in \Bbb Q\}\\[.3em]&B=\bigcup\{[\,q,\, \infty)\mid q>r, \, q\in \Bbb Q\}\end{align}\]는 각각 열린 집합이므로 \((A\cup B)^c =\{r\}\)은 닫힌 집합이다. 

(1), (2)로부터 \(\Bbb R\)의 홑원소집합은 \(\mathcal T-\)닫힌 집합이므로 그 유한개의 합집합인 \(\Bbb R\)의 유한 부분집합은 닫힌 집합이다. 

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.