기저(Basis)
경험적으로 어떤 위상 공간의 열린 집합을 생각할 때, 우리는 특수한 형태의 열린 집합을 떠올린다. 예를 들어
[Definition 0.0]
위상공간
- 모든
또는
-임의의 열린 집합
[Example 0.1]
[Example 0.2]
이산 위상
(열린) 집합들을 아무렇게나 모아 놓는다고 해서 항상 위상의 기저를 이루는 것은 아니다. 일반적으로 어떤 집합들의 모임이 어떤 위상의 기저를 이룰 필요충분조건은 다음과 같이 알려져 있다.
[Theorem 0.3]
(1)
(2) 임의의
증명 ▶
(Proof)
따라서
[Cf] 위에서
부분기저(Subbase)와 국소기저(Local base)
기저는 어떤 위상의 모든 열린집합을 생성하는 집합들의 모임이다. 이는 원래 위상의 모양을 어느 정도 알고 있는 상태에서 열린 집합들의 표준적인 '예쁜 모양'을 잡아주는 데에 의미가 있다. 반면, 어떤 집합과 그들의 부분집합들의 모임이 주어지면 항상 유일한 위상을 만들어낼 수 있는데, 그러한 집합을 부분기저라고 한다.
[Definition 1.0]
위상공간
부분기저는 위상의 부분집합이라는 것에 의미가 있다기 보다는 서두에서 언급했듯이 어떤 집합이든 어떤 유일한 위상의 기저를 생성해낸다는 것에 의미가 있다.
[Theorem 1.1]
공집합이 아닌 집합
증명 ▶
(Proof)
또한,
국소기저는 어떤 점 주변에서의 열린 집합을 표현하기 위해 만든 개념이다. 수열의 극한, 집적점 등은 그 점에서의 열린 집합을 관찰함으로써 얻어지므로 해당 점 주변에서의 열린 집합을 표현하는 집합들의 모임을 국소기저라 하고, 이를 이용하여 위상공간의 국소적인 특징을 정의할 수 있게 된다.
[Definition 1.2]
위상공간
- 점
국소기저를 이용하여 다음과 같은 성질들을 자명한 결과로서 얻을 수 있다.
[Proposition 1.3]
[Proposition 1.4]
[Proposition 1.5]
위상공간
위 세 가지 명제는 수열의 극한과 집적점에 관하여 논할 때, 해당 점을 포함하는 기저의 원소만 살펴보아도 충분하다는 사실을 알려준다. (사실은 이 내용이 나오기 전에도 직관적으로 그렇게 해왔을 것이다. 극한값이 1인지 판정하는데 10 주변에서의 열린 집합까지 전부 생각할 필요는 없을 것이기 때문이다.)
Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.
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