[Chapter 6] 기저와 부분기저 (1)

기저(Basis)

경험적으로 어떤 위상 공간의 열린 집합을 생각할 때, 우리는 특수한 형태의 열린 집합을 떠올린다. 예를 들어 $\mathbb{R}$에서의 열린구간이나 ${\mathbb{R}}^2$의 열린 원판과 같은 것이다. 이들은 그 자체로 열린 집합의 모든 종류를 보여주진 않지만, 적당한 연산을 통해 모든 열린 집합을 표현할 수 있게 된다. 이렇게 특수한 조건을 만족시키는 열린 집합들의 모임을 기저라고 하고, 기저의 원소들을 이용하여 모든 열린 집합을 표현할 수 있게 된다.

[Definition 0.0]

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에서 다음 조건을 만족시키는 열린 집합들의 모임 $\mathcal{B}$를 기저(basis)라고 한다.

－ 모든 $G\in \mathcal{T}$는 $\mathcal{B}$의 어떤 원소들의 합집합이다.
또는 
－임의의 열린 집합 $G$의 임의의 원소 $p$에 대하여 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $p\in B\subset G$이다. 

[Example 0.1]

$\mathbb{R}$에서의 열린구간 $(a,b)$의 집합은 $(\mathbb{R},\mathcal{U})$의 기저를 이룬다. 또한, ${\mathbb{R}}^2$의 열린 원판 $D_r(a)$들의 집합도 $({\mathbb{R}}^2,\mathcal{U})$의 기저를 이룬다.

[Example 0.2]

이산 위상 $(X,\mathfrak{D})$의 모든 기저는 집합 $\mathcal{B}=\{\{p\}\mid p\in X\}$을 부분집합으로 갖는다. 또한, $\mathcal{B}$는 이산 위상 $(X,\mathfrak{D})$의 가장 크기가 작은 기저이다. 

(열린) 집합들을 아무렇게나 모아 놓는다고 해서 항상 위상의 기저를 이루는 것은 아니다. 일반적으로 어떤 집합들의 모임이 어떤 위상의 기저를 이룰 필요충분조건은 다음과 같이 알려져 있다.

[Theorem 0.3]

$\mathcal{B}$를 $X$의 공집합이 아닌 집합들의 모임이라고 하자. $\mathcal{B}$가 $X$ 위의 어떤 위상의 기저가 될 필요충분조건은 다음과 같다.

(1) $X=\bigcup \{B\mid B\in \mathcal{B}\}$
(2) 임의의 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대하여 $B_1\cap B_2$이 $\mathcal{B}$의 원소들의 합집합으로 표현된다. 즉, $p\in B_1\cap B_2$이면 $p\in B_p\subset B_1\cap B_2$인 $B_p\in \mathcal{B}$가 존재한다. 

증명 ▶

(Proof)

$(\to )$ $\mathcal{B}$가 $X$ 위의 위상의 기저이므로 열린집합 $X$는 모든 $\mathcal{B}$의 원소들의 합집합과 같다. 또한 임의의 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대하여 $B_1\cap B_2$는 열린 집합이므로 기저의 정의에 의하여 $B_1\cap B_2$는 $\mathcal{B}$의 원소들의 합집합으로 표현된다.

$(\leftarrow )$ $X$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{T}$를 $\mathcal{B}$의 원소들의 모든 합집합들의 모임이라고 하자. $\mathcal{T}$가 $X$ 위의 위상임을 보이자.

$[{\mathrm{O}}_1]$ $\mathcal{B}$의 정의로부터 $X\in \mathcal{T}$이고, $\varnothing =\bigcup \{B\mid B\in \varnothing \subset \mathcal{B}\}\in \mathcal{T}$이다.
$[{\mathrm{O}}_2]$ 임의의 $G_i\in \mathcal{T}$는 $\mathcal{B}$의 원소들의 합집합이므로 $\cup G_i$ 또한 $\mathcal{B}$의 원소들의 합집합이다. 따라서 $\cup G_i\in \mathcal{T}$이다.
$[{\mathrm{O}}_3]$ 임의의 $G_1,G_2\in \mathcal{T}$에 대하여 $G_1=\cup B_{m_i},G_2=\cup B_{n_j}$이라 하면 $$\begin{array}{rl}{G}_1\cap G_2& =(\cup B_{m_i})\cap (\cup B_{n_j})\\ & =\cup (B_{m_i}\cap B_{n_j})\end{array}$$이고 각 $i,j$에 대하여 주어진 조건으로부터 $B_{m_i}\cap B_{n_j}$가 $\mathcal{B}$의 원소들의 합집합으로 표현되므로 $G_1\cap G_2\in \mathcal{T}$이다. 

따라서 $\mathcal{T}$는 $X$ 위에서의 위상이다.  

[Cf] 위에서 $[{\mathrm{O}}_3]$이 기저의 조건 (2)를 넣어야 하는 이유이다. 

증명 ▶

 

부분기저(Subbase)와 국소기저(Local base)

기저는 어떤 위상의 모든 열린집합을 생성하는 집합들의 모임이다. 이는 원래 위상의 모양을 어느 정도 알고 있는 상태에서 열린 집합들의 표준적인 '예쁜 모양'을 잡아주는 데에 의미가 있다. 반면, 어떤 집합과 그들의 부분집합들의 모임이 주어지면 항상 유일한 위상을 만들어낼 수 있는데, 그러한 집합을 부분기저라고 한다.

[Definition 1.0]

위상공간 $X,\mathcal{T}$의 열린집합들의 모임 $\mathcal{S}$의 유한개의 원소의 교집합이 $\mathcal{T}$의 기저를 생성하면, $\mathcal{S}$를 위상 $\mathcal{T}$의 부분기저(subbase)라고 한다. 

부분기저는 위상의 부분집합이라는 것에 의미가 있다기 보다는 서두에서 언급했듯이 어떤 집합이든 어떤 유일한 위상의 기저를 생성해낸다는 것에 의미가 있다.

[Theorem 1.1]

공집합이 아닌 집합 $X$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{A}$에 대하여 $\mathcal{A}$의 유한개의 원소들의 교집합은 $X$ 위의 유일한 위상 $\mathcal{T}$의 기저를 생성한다. 

증명 ▶

(Proof)

$\mathcal{B}$를 $\mathcal{A}$의 유한개의 원소들의 모든 교집합들을 모은 모임이라고 하자. 우선 $X=\cap \{B\mid B\in \varnothing \subset \mathcal{B}\}$이므로 $X\in \mathcal{B}$이다. 즉, $X=\cup \{B\mid B\in \mathcal{B}\}$이다. 또한 임의의 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대하여 $B_1\cap B_2$은 $\mathcal{B}$의 정의에 따라 $\mathcal{A}$의 유한개의 원소들의 교집합이므로 $B_1\cap B_2\in \mathcal{B}$이다. 따라서 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{A}$를 부분기저로 갖는 위상 $\mathcal{T}$의 기저이다.

또한, $\mathcal{T}$의 각 열린 집합은 $\mathcal{A}$의 유한개의 원소들의 교집합을 합집합하여 얻어지므로 $\mathcal{A}$을 부분기저로 생성되는 $\mathcal{T}$는 유일하다. 

증명 ▶

국소기저는 어떤 점 주변에서의 열린 집합을 표현하기 위해 만든 개념이다. 수열의 극한, 집적점 등은 그 점에서의 열린 집합을 관찰함으로써 얻어지므로 해당 점 주변에서의 열린 집합을 표현하는 집합들의 모임을 국소기저라 하고, 이를 이용하여 위상공간의 국소적인 특징을 정의할 수 있게 된다.

[Definition 1.2]

위상공간 $X$의 임의의 점 $p$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $p$를 포함하는 열린 집합들의 모임 ${\mathcal{B}}_p$를 점 $p$에서의 국소기저(local base)라고 한다. 

－ 점 $p$를 포함하는 임의의 열린 집합 $G_p$에 대하여 ${\mathcal{B}}_p$의 원소 $B$가 존재하여 $p\in B\subset G_p$를 만족시킨다.

국소기저를 이용하여 다음과 같은 성질들을 자명한 결과로서 얻을 수 있다. 

[Proposition 1.3]

$B$를 위상공간 $X,\mathcal{T}$의 기저라고 하자. $B$의 원소 중 $p\in X$를 포함하는 원소들은 $p$의 국소기저를 이룬다.

[Proposition 1.4]

$p$가 $X$의 부분집합 $A$의 집적점일 필요충분조건은 임의의 $B\in {\mathcal{B}}_p$에 대하여 $A\cap (B\mathrm{\setminus }\{p\})\ne \varnothing$인 것이다. 

[Proposition 1.5]

위상공간 $X$ 위에서의 수열 $\{a_n\}$이 $p\in X$로 수렴할 필요충분조건은 임의의 $B\in {\mathcal{B}}_p$가 수열 $\{a_n\}$의 대부분의 항을 포함하고 있는 것이다. 즉, 자연수 $N$이 존재하여 $n>N$일 때마다 $a_n\in B$인 것이다. 

위 세 가지 명제는 수열의 극한과 집적점에 관하여 논할 때, 해당 점을 포함하는 기저의 원소만 살펴보아도 충분하다는 사실을 알려준다. (사실은 이 내용이 나오기 전에도 직관적으로 그렇게 해왔을 것이다. 극한값이 1인지 판정하는데 10 주변에서의 열린 집합까지 전부 생각할 필요는 없을 것이기 때문이다.)

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.