[Chapter 7] 함수의 연속 (2)

위상동형사상(Homeomorphism)

집합론에서 일대일대응은 두 집합 간의 관계를 나타낼 때 이용하곤 한다. 추상대수학의 동형사상 또한 두 군이나 체가 구조적으로 동일하다는 것을 알려준다. 위상동형사상이라 불리는 위상공간에서의 함수 또한 두 위상공간의 구조가 동일함을 알려준다. 우선 동형사상을 정의하기 위해서는 열린 사상과 닫힌 사상에 대한 정의가 필요하다.

[Definition 2.0]

(1) 함수 \(f: X \to Y\)와 \(X\)의 임의의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \(f[G]\)가 \(Y\)의 열린 집합이면(즉, 함수 \(f^{-1}\)가 연속이면) 함수 \(f\)를 열린 함수(open function)이라고 한다.

(2) 함수 \(f: X \to Y\)와 \(X\)의 임의의 닫힌 집합 \(F\)에 대하여 \(f[F]\)가 \(Y\)의 닫힌 집합이면 함수 \(f\)를 닫힌 함수(closed function)이라고 한다.

위상동형은 열린 집합에 의한 위상의 구조가 같다는 것을 보여주는 함수이므로 이런 식으로 열린 집합의 상이 열린 집합이 되는 함수의 개념이 필요한 것이다. 이때 일반적으로 열린 함수와 닫힌 함수와의 특별한 관계는 없다.

[Example 2.1]

사영 사상(projection mapping) \[\pi: \Bbb R^2 \to \Bbb R, \; \pi(x,\, y)=x\]는 열린 사상이다. \(\Bbb R^2\)의 보통 위상에서의 기저를 이루는 열린 원판 \(S(p, \delta)\)에 대하여 \(\pi[S(p, \delta)]=(p-\delta, \,p+\delta)\)이기 때문이다. 

그러나 \(\Bbb R^2\)의 닫힌 집합 \(A=\{(x, y)\in \Bbb R \mid xy\geq 1,\, x>0\}\)에 대하여 \(\pi[A]=(0, \infty)\)이므로 \(\pi\)는 닫힌 함수가 아니다. 

위상동형사상은 일대일대응이고 연속이면서 열린 함수를 의미한다. 즉, 위상동형사상은 열린 집합의 구조를 유지하는 사상이다.

[Definition 2.2] 

두 위상 공간 \(X, \, Y\)에 대하여 함수 \(f: X \to Y\)가 일대일대응이고 연속이면서 열린 함수이면 함수 \(f\)를 위상동형사상(homeomorphism)이라 하고, 위상동형사상이 존재하는 두 위상공간 \(X\)와 \(Y\)을 위상동형(homeomorphic, topologically equivalent)이라 한다.

[Example 2.3]

구간 \(I=(-1, 1)\)에서 정의된 함수 \(f(x)=\tan \frac{1}{2}\pi x\,\)는 일대일대응이면서 연속이다. 또한, \(f^{-1}\) 또한 어렵지 않게 연속임을 확인할 수 있다. 따라서 \(I\)와 \(\Bbb R\)은 위상동형이다. 

위상동형은 열린 집합에 의한 구조를 유지하므로, 위상적인 여러 성질을 보존하는 경우가 있다. 그렇게 위상동형에 의하여 보존되는 성질을 위상적 성질(topological property)이라 한다. 예를 들어 열린 집합, 닫힌 집합, 집적점, 콤팩트성, 연결성 등은 위상동형에 의하여 유지된다. 그러나 다음과 같은 성질들은 보존되지 않는다.

[Example 2.4]

[Example 2.3]에서 본 것과 같이 위상동형에 의하여 길이는 유지되지 않는다. 즉, 길이는 위상적 성질이 아니다. 비슷하게 넓이 또한 위상적 성질이 아니다.

[Example 2.5]

\(X=(0, \infty)\)에서 \(X\)로의 함수 \(f(x)=1/x\)는 자명히 위상동형사상이다. \(X\) 위에서의 수열 \(\{a_n\}=1/n\)은 코시 수열이지만 수열 \(\{f(a_n)\}=n\)은 코시 수열이 아니다. 즉, 코시 수열이라는 성질은 위상적 성질이 아니다. 

[Example 2.6]

위상공간이 \(X\)의 기저가 가산집합인 경우 \(X\)를 제2가산공간(Second countable space)이라고 한다. \(f\)가 \(X\)에서 \(Y\)로의 위상동형사상이고 \(X\)의 가산인 기저를 \(\mathcal B=\{B_n\mid n\in \Bbb N\}\)라 하면 \(\mathcal B^*=\{f[B_n]\mid B_n\in \mathcal B\}\)은 \(Y\)의 가산인 기저이다. 따라서 제2가산공간이라는 성질은 위상적 성질이다. 

한편, 연속함수의 역함수에 의한 상은 열린 집합이므로 연속함수를 이용하여 위상을 만들 수도 있다. 

[Definition 2.7]

\(\{Y_i, \, \mathcal T_i\}\)를 임의의 위상공간의 모임이라고 하자. 이때 위상공간 \(X\)와 각 \(Y_i\)에 대하여 함수 \(f_i: X \to Y_i\)에 의한 \(Y_i\)의 열린 집합들의 역상을 모두 모은 집합 \[\mathcal S=\bigcup_i \{f_i^{-1}[H] \mid H\in \mathcal T_i\}\]에 의하여 생성되는 위상 \(\mathcal T\)를 \(f_i\)에 의하여 유도된(생성된) 위상이라고 한다. 

이러한 연속함수에 의한 위상은 추후에 많은 역할을 한다.

 

여러 가지 문제들

[Problem 3.0]

함수 \(f: (X, \mathcal T) \to (Y, \mathcal T^*)\)가 연속이라고 하자. 이때 \(A\subset X\)에 의한 제한 함수(restriction) \(f_A: (A, \mathcal T_A) \to (Y, \mathcal T^*)\) 또한 연속임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

임의의 \(G\in T^*\)에 대하여 \(f_A^{-1}[G]=A\cap f^{-1}[G]\)이고 \(f^{-1}[G]\in \mathcal T\)이므로 \(f_A^{-1}[G]\in \mathcal T_A\)이다. 따라서 함수 \(f_A\)는 연속이다. 

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[Problem 3.1]

함수 \(f: (X, \mathcal T) \to (Y, \mathcal T^*)\)가 위상동형사상이라고 하자. \((A, \mathcal T_A)\)은 \((X, \mathcal T)\)의 부분공간이고 \(f[A]=B\)에 대하여 \((B, \mathcal T_B^*)\)은 \((Y, \mathcal T^*)\)의 부분공간이라 할 때, 제한함수 \(f_A: (A, \mathcal T_A) \to (B, \mathcal T_B^*)\) 또한 위상동형사상임을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

함수 \(f\)가 \(X\)에서 \(Y\)로의 일대일대응이고, \(f[A]=B\)이므로 함수 \(f_A\)는 \(A\)에서 \(B\)로의 일대일대응이다. [Problem 3.0]에 의하여 함수 \(f\)는 연속이다. 한편, \(X\)의 기저 \(\mathcal B\)에 대하여 부분공간 \(A\)의 기저는 \(\mathcal B^*=\{A\cap G \mid G\in \mathcal B\}\)이고, 함수 \(f\)는 일대일대응이므로 \(f[A\cap G]=f[A]\cap f[G]=B\cap f[G]\)이므로 \(A\)의 각 열린 집합의 상은 \(B\)의 열린 집합이다. 따라서 함수 \(f_A\)는 \(A\)에서 \(B\)로의 위상동형사상이다. 

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[Problem 3.2]

\(\mathcal T\)를 \(\Bbb R\) 위에서의 아래끝 위상(lower limit topology), 즉, \(\Bbb R\) 위의 반닫힌구간 \([a, b)\)에 의하여 생성되는 위상이라고 하자. \(\Bbb R\) 위에서의 위상 \(\mathcal T^*\)를 함수 \[f: \Bbb R \to (\Bbb R, \mathcal T), \; \; f(x)=ax+b, \; \; a, b\in \Bbb R\]에 의하여 생성되는 위상이라고 하자. 이때 \(\mathcal T^*\)은 \(\Bbb R\) 위에서의 이산 위상임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

두 함수 \(f_1(x)=x, \; f_2(x)=-x\, \)를 생각하자. 임의의 실수 \(r\)에 대하여 두 반닫힌구간 \([r, \,r+1)\)과 \([-r, -r+1)\)은 \(\mathcal T\)의 원소이다. 이때 \(f_1^{-1}[[r, \, r+1)]=[r, \, r+1)\)이고 \(f_2^{-1}[[-r, -r+1)]=(r-1,\, r]\)이므로 \([r-1, \, r)\cap [r, \, r+1)=\{r\}\)은 \(\mathcal T^*\)의 원소이다. 따라서 \(\Bbb R\)의 임의의 홑원소집합이 열린 집합이므로 \(\mathcal T^*\)은 이산 위상이다.

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[Problem 3.3]

위상공간 \(X\)에 대하여 함수 \(\mathcal \chi_A: X \to \Bbb R\)을 \(A\subset X\)에 대한 특성함수라고 하자. 함수 \(\mathcal \chi_A\)가 \(p \in X\)에서 연속일 필요충분조건이 \(p\notin \partial A\)인 것임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

(\(\rightarrow\)) \(p\in A\)인 경우 \(f(p)=1\)을 포함하는 \(\Bbb R\)의 열린집합 \((1/2, 3/2)\)에 대하여 \(f^{-1}[(1/2, 3/2)]=A\)이므로 \(p\)를 포함하는 열린집합이 존재하여 \(A\)의 부분집합이 되려면 \(p\in \text{Int}(A)\)이어야 한다. 같은 방법으로 \(p\in A^c\)인 경우 \(p\in \text{Int}(A^c)\)이어야 한다. 따라서 어떤 경우라도 \(p \notin \partial A\)이다.

(\(\leftarrow\)) \(p\notin \partial A\)라 하면 \(p\in \text{Int}(A)\)이거나 \(p\in \text{Int}(A^c)\)이다. \(p\in \text{Int}(A)\)인 경우 \(f(p)=1\)을 포함하는 임의의 열린집합 \(G\)에 대하여 \(f^{-1}[G]\)은 \(X\) 또는 \(A\)이다. 이때 어떤 경우라도 \(p\in \text{Int}(A) \subset f^{-1}[G]\)이므로 함수 \(f\)는 \(p\in X\)에서 연속이다. 같은 방법으로 \(p\in \text{Int}(A^c)\)인 경우라도 함수 \(f\)는 \(p\in X\)에서 연속이다. 

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[Problem 3.4]

함수 \(f\)가 \(X\)에서 \(Y\)로의 위상동형사상이라고 하자. \(p\in X\)가 \(A\subset X\)의 집적점일 때, \(f(p)\in Y\)가 \(B=f[A]\)의 집적점임을 보여라. 즉, 집적점이라는 성질은 위상적 성질임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(f(p)\)를 포함하는 임의의 \(Y\)의 열린 집합 \(G_{f(p)}\)에 대하여 \(f^{-1}[G_{f(p)}]\)는 \(p\in X\)를 포함하는 열린집합이다. 집적점의 정의에 의하여 \(A\cap (f^{-1}[G_{f(p)}]\, \backslash \, \{p\}) \neq \varnothing\)이다. \(f\)는 동형사상이므로 \[\begin{align} & f\left[A\cap (f^{-1}[G_{f(p)}]\, \backslash \, \{p\})\right] \neq \varnothing \\[.3em] &\Rightarrow f[A]\cap \left[(f\circ f^{-1})[G_{f(p)}\, \backslash \, \{f(p)\}\right]\neq \varnothing \\[.3em] &\Rightarrow B\cap [G_{f(p)} \, \backslash \, \{f(p)\}]\neq \varnothing \end{align}\]이다. 따라서 \(f(p)\)는 \(f[A]\)의 집적점이다.

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.