[Chapter 8] 거리 공간과 노름 공간

거리 함수(Metric)

일반적인 위상 공간은 \(\Bbb R\)의 열린구간을 추상화하여 만든 공간이다. 반대로 위상 공간 중에서 \(\Bbb R\)이나 \(\Bbb R^2\)과 같이 '거리'와 같은 역할을 하는 것이 거리 함수(Metric)이다. 좌표평면에서 두 점 \(\mathrm{A} (x_1, y_1),\; \mathrm{B} (x_2, y_2)\) 사이의 거리는 \(\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)로 주어지는데, 이는 좌표평면 위의 두 점을 양의 실수로 대응시키는 함수로 볼 수 있다. 이와 같이 거리는 특정한 조건을 만족시키는 함수이다.

[Definition 0.0]

\(X\)를 공집합이 아닌 집합이라고 하자. 함수 \(d: X\times X \to \Bbb R\)가 임의의 \(a, \, b, \, c\in X\)에 대하여 다음 조건을 만족시키면 함수 \(d\)를 거리(metric) 또는 거리 함수(metric, distance function)라고 한다. 

\([\text{M}_1]\) \(d(a, b)\geq 0\,\)이고 \(d(a, a)=0\,\)이다. 
\([\text{M}_2]\) (대칭률) \(d(a, b)=d(b, a)\)
\([\text{M}_3]\) (삼각부등식) \(d(a, c)\leq d(a, b)+d(b, c)\)
\([\text{M}_4]\) \(a\neq b\)이면 \(d(a, b)>0\)이다. 

[Example 0.1]

\(\mathcal C[0, 1]\)을 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속인 모든 함수들의 집합이라고 하자. 함수 \(\mathcal C[0, 1]\) 위의 함수 \(d\)를 \[d(f, g)=\sup \{|f(x)-g(x)| \mid x\in [0, 1]\}\]라 하자. 이때

\([\mathrm{M_1}]\) 임의의 \(f, g\in \mathcal C[0, 1]\)에 대하여 \(|f(x)-g(x)|\geq 0\)이므로 \(d(f, g)\geq 0\)이고 \(d(f, f)=0\)이다.

\([\mathrm{M_2}]\) \(|f(x)-g(x)|=|g(x)-f(x)|\)이므로 \(d(f, g)=d(g, f)\)이다.

\([\mathrm{M_3}]\) 상한의 정의에 의하여 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(x_0\in [0, 1]\)이 존재하여 \[\begin{align} \sup|f(x)-h(x)|&<|f(x_0)-h(x_0)|+\epsilon \\[.4em] &\leq |f(x_0)-g(x_0)|+|g(x_0)-h(x_0)|+\epsilon \\[.4em] &\leq \sup|f(x)-g(x)|+\sup|g(x)-h(x)|+\epsilon\end{align}\]이므로 \(d(f, h)\leq d(f, g)+d(g, h)\)이다. 

\([\mathrm{M_4}]\) \(f(x)\neq g(x)\)이면 \(|f(x_0)-g(x_0)|>0\)인 \(x_0\in [0, 1]\)이 존재한다. 따라서 \(f\neq g\)이면 \(d(f, g)>0\)이다.

[Example 0.2]

공집합이 아닌 집합 \(X\)에 대하여 함수 \(d\)를 \[d(a, b)=\begin{cases}0 & a = b\\[.3em]1 & a\neq b\end{cases}\]이라 하자. 이 또한 \(X\) 위에서의 거리 함수이고, 이를 자명한 거리 함수(trivial metric)이라 한다.

거리는 집합의 원소 사이의 관계이므로 이를 이용하면 두 집합 사이의 거리와 집합의 크기를 정의할 수 있다. 거리는 보통 '최단 거리'를 의미하고, 크기는 '최장 거리'를 의미한다.

[Definition 0.3] 

집합 \(X\) 위의 거리 함수를 \(d\)라 하자. 

(1) \(p\in X\)와 집합 \(A\subset X\) 사이의 거리는 \(d(p, A)=\inf \{d(p, a) \mid a\in A\}\)이다.

(2) 두 집합 \(A, B\subset X\) 사이의 거리는 \(d(A, B)=\inf\{d(a, b) \mid a\in A,\ b\in B\}\)이다.

(3) 집합 \(A\)의 지름(diameter)은 \(d(A)=\sup \{d(a, a') \mid a, a'\in A\}\)이다. 특히 \(d(A)<\infty\)인 경우 집합 \(A\)를 유계(bounded)라 하고, 그렇지 않은 경우 유계가 아니라고(unbounded) 한다.

 

열린 구(Open Sphere)와 거리 위상(Metric Topology)

공간에서 두 점 사이의 거리를 정의할 수 있으면, \(\Bbb R\)의 열린구간과 같은 기저를 생성할 수 있다. 이렇게 거리 함수를 이용한 위상은 \(\Bbb R^2\)에서의 열린 원판과 정확히 성질이 같고, 도식화하기 쉬우므로 기하적으로 표현할 때는 원을 이용하면 좋다.

[Definition 1.0]

집합 \(X\) 위의 거리 함수 \(d\)에 대하여 \[S(p, \delta)=\{x\in X \mid d(p, x)<\delta\}\]를 \(p\in X\)를 중심으로 하고 반지름이 \(\delta>0\)인 열린 구(open sphere)라고 한다. 

[Example 1.1]

\(\Bbb R\)에서 열린구간 \((p-\delta, \ p+\delta)\)은 중심이 \(p\)이고 반지름이 \(\delta\)인 열린 구이다.

[Example 1.2]

집합 \(X\) 위에서의 거리 함수 \[d(a, b)=\begin{cases}0 & a = b\\[.3em]1 & a\neq b\end{cases}\]에 대하여 \[S(p, \delta)=\begin{cases}\{p\} & \delta\leq 1\\[.3em] X & \delta > 1\end{cases}\]이다. 

[Example 1.3]

\(\mathcal C[0, 1]\) 위의 거리 \(d\)를 \[d(f, g)=\sup \{|f(x)-g(x)| \mid x\in [0, 1]\}\]라 하자. 이때 열린 구 \(S(f_0, \delta)\)는 그래프가 두 함수 \(f_0-\delta\)와 \(f_0+\delta\) 사이에 그려지는 연속함수들의 집합이다. 

\(\Bbb R\)의 보통 위상은 열린구간을 기저로 하는 위상이다. 같은 방법으로 열린 구를 기저로 하는 위상을 만들어낼 수 있다. 그것을 거리 위상이라고 한다. 실제로 어렵지 않게 열린 구들의 집합이 어떤 위상의 기저를 이룬다는 것을 알 수 있다.

[Theorem 1.4] 

집합 \(X\) 위에서의 거리 함수 \(d\)에 대한 열린 구들의 모임은 한 위상의 기저를 이룬다. 이 위상을 거리 위상(metric topology) 또는 \(d\)로부터 유도된 위상이라 하고, 거리 위상을 갖는 위상 공간을 거리 위상(metric space)이라고 한다.

# 증명 ▶

(Proof)

－ 집합 \(X\) 위에서의 열린 구들의 집합은 \(X\)의 각 점을 중심으로 하는 열린 구들을 포함한다. 따라서 모든 열린 구들의 합집합은 \(X\)이다.

－ \(X\) 위에서의 두 열린 구 \(S_1,\, S_2\)에 대하여 \(S_1\cap S_2\neq \varnothing\)이라 하자. \(p\in S_1\cap S_2\)라 하고, \(S_1= S(x_1, \ \delta_1)\)과 \(S_2=S(x_2, \ \delta_2)\)이라 하자. \(\epsilon_1:=\delta_1-d(p, x_1)\)이라 하고, \(\epsilon_2:=\delta_2-d(p, x_2)\)에 대하여 \(\epsilon=\min\{\epsilon_1, \ \epsilon_2\}\)이라 하자. 임의의 \(x\in S(p, \ \epsilon)\)에 대하여 \[\begin{align}d(x, x_1)\leq d(x, p)+d(p, x_1)<\epsilon+d(p, x_1)\leq \delta_1 \\[.4em] d(x, x_2)\leq d(x, p)+d(p, x_2)<\epsilon+d(p, x_2)\leq \delta_2 \end{align}\]이므로 \(S(p, \ \epsilon)\subset S_1\)이고 \(S(p, \ \epsilon)\subset S_2\)이다. 따라서 \(p\in S(p, \ \epsilon) \subset S_1\cap S_2\)이다. 

이로부터 \(X\) 위에서의 거리 함수 \(d\)에 대한 열린 구들의 모임은 \(X\) 위에서의 한 위상의 기저를 이룬다.

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거리 위상은 \(\Bbb R\)과 대부분의 성질을 공유한다. 실제로도 \(\Bbb R\) 또한 거리 \(|\cdots|\)로부터 유도된 위상이다. 다음과 같은 성질은 직관적으로 이해하기 어렵지 않은 내용이다.

[Theorem 1.5]

거리 공간 \(X\) 위의 한 점 \(p\)에 대하여 다음 가산집합은 점 \(p\)에서의 국소기저를 이룬다. \[\{S(p, 1), \ S(p, 1/2), \ S(p, 1/3), \ \cdots\}\]

# 증명 ▶

(Proof)

거리 공간에서 열린 구들의 집합은 거리 위상의 기저를 이룬다. 따라서 \(p\in X\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \(p \in S(p, \delta) \subset G\)를 만족시킨다. 아르키메데스 성질에 의하여 \(N\delta>1 \Rightarrow 1/N<\delta\)를 만족시키는 자연수 \(N\)이 존재한다. 따라서 \(p \in S(p, 1/N) \subset S(p, \delta) \subset G\)이다. 즉, 주어진 집합은 점 \(p\)에서의 국소 기저이다.

# ◀ 닫기

[Theorem 1.6]

거리 공간 \(X\)에서 집합 \(A\subset X\)의 폐포 \(\bar A\)는 다음과 같다.  \(\bar A=\{x\in X \mid d(x, A)=0\}\)

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\subset\)) \(x\in \bar A\)라 하자. 폐포의 정의에서 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(A\cap S(x, \epsilon)\neq \varnothing\)이므로 \(d(x, a)<\epsilon\)인 \(a\in A\)가 항상 존재한다. 이로부터 \(\inf \{d(x, a)\mid a\in A\}=0\)을 얻는다. 따라서 \(x\in \{x\in X \mid d(x, A)=0\}\)이다. 

(\(\supset\)) \(x\in \{x\in X \mid d(x, A)=0\}\)이라 하자. 그러면 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(d(x, a)<\epsilon\)을 만족시키는 \(a\in A\)가 존재한다. 즉, \(a\in S(x, \epsilon)\)이다. 따라서 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(A\cap S(x, \epsilon)=\varnothing\)이므로 \(x\in \bar A\)이다. 

# ◀ 닫기

[Theorem 1.6]으로부터 거리 공간에서 임의의 홑원소집합(singleton set)은 닫힌 집합임을 알 수 있다.

거리 위상에서는 \(\Bbb R\)에서의의 수열의 극한의 정의나 연속의 정의와 비슷하게 두 개념을 \(\epsilon-\delta\) 논법을 이용하여 정의한다.

[Definition 1.7]

거리 공간 \((X, d)\) 위에서의 수열 \(\{a_n\}\)과 \(b\in X\)에 대하여 임의의 양수 \(\epsilon\)가 주어졌을 때, \(n_0\in \Bbb N\)이 존재하여 \[n>n_0 \; \Rightarrow \; d(a_n, \,b)<\epsilon\]을 만족시키면 수열 \(\{a_n\}\)이 \(b\)로 수렴한다고 한다. 

[Definition 1.8]

거리 공간 \((X, d)\)와 \((Y, e)\)가 있다. 함수 \(f: X \to Y\)가 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 양수 \(\delta\)가 존재하여 \[d(p, x)<\delta \; \Rightarrow \; e(f(p), f(x))<\epsilon\]을 만족시키면 함수 \(f\)가 \(p\in X\)에서 연속이라고 한다.

 

거리 동형(Isometry)

열린 구의 모양이 다르더라도, 생성하는 위상은 같은 경우가 더러 있다. 예를 들면 \(\Bbb R^2\)에서 열린 원판과 열린 정사각형, 열린 마름모들의 집합은 모두 보통 위상의 기저를 이룬다. 

[Definition 2.0] 

\(X\) 위의 두 거리 함수 \(d, \ d^*\)가 같은 위상을 유도하는 경우, 두 거리 함수를 서로 동등하다(equivalent)고 한다.

정의 상 서로 동등한 거리 함수에 대한 열린 구들의 집합은 같은 위상의 기저이므로 다음과 같은 결론을 어렵지 않게 얻을 수 있다.

[Theorem 2.1]

두 거리 함수 \(d, \ d^*\)가 동등할 필요충분조건은 임의의 \(p\in X\)와 \(r>0\)에 대하여 \[S_d(p, r')\subset S_{d^*}(p, r), \;\; S_{d^*}(p, r'')\subset S_d(p, r)\]인 두 양수 \(r', \ r''\)가 존재하는 것이다. 

거리 공간은 위상 공간에서도 상당히 좋은 형태를 가진 공간이다. (\(\Bbb R\)이 얼마나 좋은 성질을 가진 집합인지 생각해 보자.) 따라서 자연스럽게 어떤 공간이 주어졌을 때 그것이 거리 공간이 되는지 생각해보는 것이 유리하다. 

[Definition 2.2]

어떤 거리 함수 \(d\)가 위상공간 \(X, \mathcal T\)를 생성하면 거리화 가능(metrizable)하다고 한다.

실수 집합의 보통 위상, 임의의 집합 위의 이산 위상은 모두 거리화 가능하다. 그러나 일반적으로 어떤 공간이 거리화 가능한지 판정하는 것은 상당히 까다로운 일이다. 학부 수준에서 어떤 공간이 거리화 가능한지 판정하는 방법은 유리존 보조정리(Uryshon's Lemma) 정도를 다룬다. 

거리 공간은 상당히 좋은 공간이기 때문에, 두 거리 공간이 서로 동형인지 판단하려면 거리 함수만 관찰해보면 된다. 일반적으로 두 공간이 위상적으로 동형인 것은 알아보기 어렵지만, 거리 함수만 다루는 것은 상대적으료 용이하기 때문에 등거리라는 개념을 도입한다.

[Definition 2.3]

두 거리 공간 \((X, d)\)와 \((Y, e)\)에 대하여 거리를 보존하는 일대일대응 \(f: X \to Y\)이 존재하면, 즉 일대일대응 \(f\)가 임의의 \(p, q\in X\)에 대하여 \[d(p, q)=e(f(p), f(q))\]를 만족시키면 두 거리 공간은 등거리(isometric)라고 한다. 또한 위의 함수 \(f\)를 등거리사상(isometric mapping)이라고 한다.

앞에서 언급한 것과 같이 다음이 성립한다.

[Theorem 2.4]

두 거리 공간 \((X, d)\), \((Y, e)\)가 등거리이면 두 거리 공간은 위상동형이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(f: X \to Y\)가 등거리사상이라고 하자. \(f\)는 일대일대응이므로 \(f\)와 \(f^{-1}\)가 연속인 것만 보이면 된다. 임의의 \(y\in Y\)에 대하여 \(y\)를 포함하는 임의의 열린 구 \(S_e(y, r')\)에 대하여 \(e(y, y')=d(f^{-1}(y), f^{-1}(y'))\)이므로 \[\begin{align}f^{-1}[S_e(y, r')]&=\{x\in X \mid e(y, f(x))<r'\}\\[.4em] &=\{x\in X \mid d(f^{-1}(y), x)<r'\} \\[.4em] &=S_d(f^{-1}(y), r')\end{align}\]이다. 따라서 \(Y\)의 임의의 열린 구의 \(f^{-1}\)에 의한 상은 \(X\)에서의 열린 집합이다. 즉, \(f\)는 연속이다. 

비슷한 방법으로 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(x\)를 포함하는 임의의 열린 구 \(S_d(x, r)\)에 대하여 \(f[S_d(x, r)]=S_e(f(x), r)\)이므로 \(f^{-1}\) 또한 연속이다. 이로부터 \(f\)가 \(X\)에서 \(Y\)로의 위상동형사상이다. 

# ◀ 닫기

 

노름 공간(Normed Space)

많은 종류의 위상 공간은 \(\Bbb R\)을 바탕으로 정의된다. 특히 선형 실벡터 공간(real linear vector space)은 해석학을 바탕으로 풀어갈 수 있는 여지가 많다. \(\Bbb R\)은 자연스러운 거리 위상을 유도하기 때문에, 특정한 조건을 만족시키는 벡터 공간 위의 실함수는 거리 위상을 유도한다.

[Definition 3.0]

\(\mathbf V\)를 선형 실벡터 공간이라고 하자. 각 \(v\in \mathbf V\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 \(||v||\)를 공간 \(\mathbf V\) 위에서의 노름(norm)이라고 한다. 노름이 존재하는 벡터 공간을 노름 공간(normed space)이라고 한다.

모든 \(v, \,w\in \mathbf V\)와 \(k\in \Bbb R\)에 대하여

\(\mathrm {[N_1]}\) \(||v||\geq 0\)이고 \(||v||=0 \Leftrightarrow v=\mathbf 0\)
\(\mathrm {[N_2]}\) \(||v+w||\leq ||v||+||w||\)
\(\mathrm {[N_3]}\) \(||kv||=|k|||v||\)

[Example 3.1]

\(\Bbb R\) 위에서의 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속인 모든 실함수들의 집합을 \(\mathcal C[0, 1]\)이라 하면 \(\mathcal C[0, 1]\)은 선형 벡터 공간이다. 연속함수의 실수배와 연속함수끼리의 합은 다시 연속함수가 되기 때문이다. 이때 \(f\in \mathcal C[0, 1]\)에 대하여 \[||f||=\int_0^1 |f(x)|dx\]는 \(\mathcal C[0, 1]\) 위에서의 노름이다.

노름은 거리함수가 만족시키는 조건의 모두를 만족시킨다. 이는 거리 함수의 조건과 맞추어보면 어렵지 않게 알 수 있다.

[Theorem 3.2]

\(\mathbf V\)를 선형 실벡터 공간이라고 하자. \(v, w\in \mathbf V\)에 대하여 함수 \(d\)를 \[d(v, \, w)=||v-w||\]라 하면 \(d\)는 \(\mathbf V\) 위에서의 거리 함수이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(\mathrm {[N_1]}\)으로부터 \(d(v, w)=0 \Leftrightarrow v=w\)이다. 즉, \(d\)는 \(\mathrm {[M_1]}\)과 \(\mathrm {[M_4]}\)를  만족시킨다. 또한 \(\mathrm {[N_3]}\)에서 \[d(v, w)=||v-w||=|-1|||w-v||=||w-v||=d(w, v)\]이다. 따라서 \(d\)는 \(\mathrm {[M_2]}\)를 만족시킨다. 또한 \(\mathrm {[N_2]}\)로부터 \[d(v, u)=||v-u||\leq||v-w|+||w-u||=d(v, w)+d(w, u)\]이므로 \(\mathrm {[M_3]}\)를 만족시킨다. 따라서 \(d\)는 \(\mathbf V\) 위에서의 거리 함수이다.

# ◀ 닫기

다음은 \(\Bbb R\)을 기반으로 한 노름 공간의 두 중요한 예이다.

[Theorem 3.3]

집합 \(\Bbb R^m\)은 \(m\)개의 실수의 순서쌍들의 집합이다. \(\Bbb R^m\)의 임의의 한 점 \((a_1, \, a_2, \, \cdots\, , \, a_m)\)에 대하여 \[||(a_1, \, a_2, \, \cdots\, , \, a_m)||=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_m}^2}\]은 \(\Bbb R^m\) 위에서의 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 한다. 이러한 노름 공간 \(\Bbb R^m\)을 유클리드 \(m-\)공간(Euclidean \(m-\)space)이라고 한다.

[Theorem 3.4]

합이 수렴하는 모든 수열 \(\{a_n\}\)의 집합, 즉 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_n}^2<\infty\)인 수열 \(\{a_n\}\)의 집합을 \(\Bbb R^{\infty}\)이라 한다. 이때 \(\Bbb R^{\infty}\) 위의 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \[||(a_1, \, a_2, \, \cdots \,)||=\sqrt{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{a_n}^2}\]은 \(\Bbb R^{\infty}\) 위의 노름이다. 이러한 노름공간 \(\Bbb R^{\infty}\)을 힐베르트 공간(Hilbert space) 또는 \(l_2-\)공간 (\(l_2-\)space)이라고 한다. 

두 공간에서 정의된 함수가 노름이라는 것은 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz Inequality)과 민코스키 부등식(Minkowski's Inequality)을 이용하여 보일 수 있다.