[Chapter 8] 거리 공간과 노름 공간 (Problems)

[Problem 1]

거리공간 \(X\)의 서로소인 닫힌 집합 \(A, \, B\)에 대하여 \(A\subset G\)이고 \(B\subset H\)인 두 서로소인 열린 집합 \(G, \, H\)가 존재함을 보여라. 

[Cf] 이를 통해 거리 공간은 정규 공간임을 알 수 있다.

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(Proof)

일반성을 잃지 않고, \(A\)와 \(B\)가 각각 공집합이 아니라고 하자. \(A\), \(B\)가 서로소인 닫힌 집합이므로 \(d(A, B):=\delta>0\)이라 둘 수 있다. 이때 \(\displaystyle G=\bigcup_{a\in A}S(a, \delta/3)\), \(\displaystyle H=\bigcup_{b\in B}S(b, \delta/3)\)라 하자.

그러면 명백히 \(A\subset G\)이고 \(B\subset H\)이다. 이제 \(G\cap H= \varnothing\)임을 보이자. 만약 \(p\in G\cap H\)이라 하면 \(a_0\in A\), \(b_0\in B\)가 존재하여 \[d(A, B)=\delta \leq d(a_0, b_0)\leq d(a_0, p)+d(p, b_0)<\delta/3+\delta/3=2\delta/3\]이다. 이는 모순이므로 \(G\cap H=\varnothing\)이다. 

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[Problem 2]

\(\mathcal C[a, b]\)를 닫힌구간 \([a, b]\)에서 정의된 모든 연속함수들의 모임이라고 하자. \(\mathcal C[a, b]\)에서 정의된 두 거리 함수 \(d, \, e\)를 \[\begin{align}&d(f, g)=\sup\{|f(x)-g(x)| \mid x\in X\}, \\[.4em] &e(f, g)=\int_a^b |f(x)-g(x)|dx \end{align}\]이라 하자. 두 거리 함수 \(d, \, e\)에 의하여 생성된 두 위상 \(\mathcal T_d, \, \mathcal T_e\)에 대하여 \(\mathcal T_e\subset \mathcal T_d\)임을 보여라. 

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(Proof)

양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\delta:=\epsilon/(b-a)\)이라 하면 \(f\in \mathcal C[a, b]\)에 대하여 \(g\in S_d(f, \delta)\)이면 \[\begin{align} \sup\{|f(x)-g(x)|\}<\delta \; \Rightarrow \; & \int_a^b |f(x)-g(x)|dx \\[.4em] & \leq \int_a^b \sup\{|f(x)-g(x)|\}dx \\[.4em] & <\int_a^b \delta dx=(b-a)\cdot \epsilon/(b-a)=\epsilon \end{align}\]이므로 \(g\in S_e(f, \epsilon)\)이다. 따라서 임의의 \(e-\)열린 구가 주어졌을 때, 그 안에 속하는 \(d-\)열린 구가 존재하므로 \(\mathcal T_e \subset \mathcal T_d\)이다. 

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[Problem 3] (Cauchy-Schwarz Inequality)

\(\Bbb R^m\)의 두 점 \(p=(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_m)\)과 \(q=(b_1, \, b_2, \, \cdots, \, b_m)\)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. \[\displaystyle \sum_{i=1}^m |a_i b_i| \leq ||p||\, ||q|| = \sqrt{\sum_{i=1}^m |a_i|^2} \, \sqrt{\sum_{i=1}^m |b_i|^2}\]

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(Proof)

이차방정식 \(\displaystyle \sum_{i=1}^m (a_i x- b_i)^2=0\, \)은 실수의 성질에 의하여 많아야 한 개의 실근을 갖는다. 이 이차방정식의 판별식 \(D\)에 대하여 \[\displaystyle \frac{D}{4}= \left(\sum_{i=1}^m |a_i b_i|\right)^2-||p||^2\, ||q||^2\leq 0\]이므로 주어진 부등식이 성립한다.

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[Problem 4]

확장된 실수체 \(\Bbb R^*=\Bbb R\cup \{\infty, -\infty\}\)에 대하여 함수 \(f: \Bbb R^* \to [-1, 1]\)을 \[f(x)=x/(1+|x|) \,(x\in \Bbb R), \;\; f(\infty)=1, \;\ f(-\infty)=-1\]이라 정의하자. 다음 함수가 \(\Bbb R^*\) 위에서의 거리 함수임을 보여라. \[d: \Bbb R^*\times \Bbb R^* \to \Bbb R, \;\ d(x, y)=|f(x)-f(y)|\]

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(Proof)

\(\mathrm{[M_1]}\): \(\, a\in \Bbb R^*\)에 대하여 \(d(a, a)=|f(a)-f(a)|=0\)이다. 

\(\mathrm{[M_2]}\): \(\, a, b \in \Bbb R^*\)에 대하여 \(d(a, b)=|f(a)-f(b)|=|f(b)-f(a)|=d(b, a)\)이다. 

\(\mathrm{[M_3]}\): \(\, a, b, c \in \Bbb R^*\)에 대하여 \[\begin{align} d(a, c)&=|f(a)-f(c)| \\[.4em] &\leq |f(a)-f(b)|+|f(b)-f(c)| \\[.4em] &=d(a, b)+d(b, c)\end{align}\]이다. 

\(\mathrm{[M_4]}\): 함수 \(f\)는 \(\Bbb R^*\)에서 일대일대응이므로 \(a, b\in \Bbb R^*\)이고 \(a \neq b\)이면 \(d(a, b)\neq 0\)이다.

따라서 주어진 함수는 거리 함수의 조건을 모두 만족시킨다.

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[Problem 5]

집합 \(X\) 위에서 정의된 거리 함수 \(d\)와 \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여 함수 \(f: X \to \Bbb R\),  \(f(x)=d(x, A)\)가 연속임을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

\(\Bbb R\)의 열린구간 \(a, b\)에 대하여

(i) \(b\leq 0\)인 경우 \(f^{-1}[(a, b)]=\varnothing\)이다. 

(ii) \(a\leq 0,\, b>0\)인 경우 \(x\in f^{-1}[(a, b)]\)이라 하자. \(d(x, A)=\delta>0\)이라 하면 \(x\in S(x, \delta/2)\subset f^{-1}[(a, b)]\)이므로 \(f^{-1}[(a, b)]\)는 열린 집합이다. 

(iii) \(a>0\)인 경우 \(x\in f^{-1}[(a, b)]\)이라 하자. \(a<d(x, A)<b\)에서 \(\delta:=\min\{d(x, A)-a, \, b-d(x, A)\}\)라 하면 \(x\in S(x, \delta/2)\subset f^{-1}[(a, b)]\)이므로 \(f^{-1}[(a, b)]\)는 열린 집합이다.

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[Problem 6]

거리 공간 \(X\) 위의 두 수열 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)에 대하여 \(\lim a_n=p,\;\)\(\lim b_n=q\)라 하자. 이때 실수열 \(\{d(a_n, \, b_n)\}\)이 \(d(p, \, q)\in \Bbb R\)로 수렴함을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\lim a_n=p\), \(\lim b_n=q\)이므로 두 자연수 \(n_1, n_2\)가 존재하여 \(n>n_1\)일 때마다 \(d(a_n, p)<\epsilon/2\)이고 \(n>n_2\)일 때마다 \(d(b_n, q)<\epsilon/2\)이다. 이때 \(N:=\max\{n_1, n_2\}\)이라 하면 \(n>N\)일 때, \[\begin{align} & d(a_n, b_n)\leq d(a_n, p)+d(p, q)+d(q, b_n) \\[.5em] &\Rightarrow d(a_n, b_n)-d(p, q)\leq d(a_n, p)+d(q, b_n)<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \end{align}\]이므로 \(\lim d(a_n, b_n)=d(p, q)\)이다. 

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[Problem 7]

집합 \[I=\{\{a_n\} \mid 0\leq a_n \leq 1/n,\, \forall n\in \Bbb N\}\]을 힐베르트 입방체(Hilbert cube)라고 한다. 이때 집합 \(I\)가 힐베르트 공간 \(\Bbb R^{\infty}\)의 유계인 닫힌 부분집합임을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {a_n}^2\leq \sum_{n=1}^{\infty}1/n^2=\frac{\pi^2}{6}<\infty\)이므로 \(I\)는 힐베르트 공간의 원소이다. 위에서 계산한 것과 같이 \(I\)는 유계인 집합이다. 이때 \(\Bbb R^{\infty}\)의 한 원소인 \(\{x_n\}\)에 대하여 \(d(\{x_n\}, I)=0\)이라 하고, \(\{x_n\}\notin I\)이라 하자. 그러면 어떤 \(m\in \Bbb N\)에 대하여 \(x_m<0\)이거나 \(x_m>1/m\)이다.

양수 \(\delta\)에 대하여 \(x_m=-\delta\)이거나 \(x_m=1/m+\delta\)라 하자. 그러면 임의의 \(\{y_n\} \in I\)에 대하여 \[\displaystyle \sqrt{\sum |x_i-y_i|^2}\geq \delta\]이므로 임의의 \(\{y_n\}\in I\)에 대하여 \(d(\{x_n\}, \{y_n\})\geq \delta \)이다. 이는 \(d(\{x_n\}, I)=0\)이라는 데에 모순이다. 따라서 \(I=\{\{x_n\}\in \Bbb R^{\infty} \mid d(\{x_n\}, I)=0\}\)이므로 \(I\)는 닫힌 집합이다.

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.