[Chapter 8] 거리 공간과 노름 공간 (Problems)

[Problem 1]

거리공간 $X$의 서로소인 닫힌 집합 $A,B$에 대하여 $A\subset G$이고 $B\subset H$인 두 서로소인 열린 집합 $G,H$가 존재함을 보여라. 

[Cf] 이를 통해 거리 공간은 정규 공간임을 알 수 있다.

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(Proof)

일반성을 잃지 않고, $A$와 $B$가 각각 공집합이 아니라고 하자. $A$, $B$가 서로소인 닫힌 집합이므로 $d(A,B):=\delta >0$이라 둘 수 있다. 이때 ${\displaystyle G=\bigcup _{a\in A}S(a,\delta /3)}$, ${\displaystyle H=\bigcup _{b\in B}S(b,\delta /3)}$라 하자.

그러면 명백히 $A\subset G$이고 $B\subset H$이다. 이제 $G\cap H=\varnothing$임을 보이자. 만약 $p\in G\cap H$이라 하면 $a_0\in A$, $b_0\in B$가 존재하여 $$d(A,B)=\delta \le d(a_0,b_0)\le d(a_0,p)+d(p,b_0)<\delta /3+\delta /3=2\delta /3$$이다. 이는 모순이므로 $G\cap H=\varnothing$이다. 

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[Problem 2]

$\mathcal{C}[a,b]$를 닫힌구간 $[a,b]$에서 정의된 모든 연속함수들의 모임이라고 하자. $\mathcal{C}[a,b]$에서 정의된 두 거리 함수 $d,e$를 $$\begin{array}{rl}& d(f,g)=sup\{|f(x)-g(x)|\mid x\in X\},\\ & e(f,g)={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx\end{array}$$이라 하자. 두 거리 함수 $d,e$에 의하여 생성된 두 위상 ${\mathcal{T}}_d,{\mathcal{T}}_e$에 대하여 ${\mathcal{T}}_e\subset {\mathcal{T}}_d$임을 보여라. 

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(Proof)

양수 $ϵ$이 임의로 주어졌다고 하자. $\delta :=ϵ/(b-a)$이라 하면 $f\in \mathcal{C}[a,b]$에 대하여 $g\in S_d(f,\delta )$이면 $$\begin{array}{rl}sup\{|f(x)-g(x)|\}<\delta \Rightarrow & {\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx\\ & \le {\int }_a^{b}sup\{|f(x)-g(x)|\}dx\\ & <{\int }_a^b\delta dx=(b-a)\cdot ϵ/(b-a)=ϵ\end{array}$$이므로 $g\in S_e(f,ϵ)$이다. 따라서 임의의 $e-$열린 구가 주어졌을 때, 그 안에 속하는 $d-$열린 구가 존재하므로 ${\mathcal{T}}_e\subset {\mathcal{T}}_d$이다. 

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[Problem 3] (Cauchy-Schwarz Inequality)

${\mathbb{R}}^m$의 두 점 $p=(a_1,a_2,\cdots ,a_m)$과 $q=(b_1,b_2,\cdots ,b_m)$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. $${\displaystyle \sum _{i=1}^m|a_i{b}_i|\le ||p||||q||=\sqrt{\sum _{i=1}^m|a_i{|}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^m|b_i{|}^2}}$$

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(Proof)

이차방정식 ${\displaystyle \sum _{i=1}^m(a_{i}x-b_i{)}^2=0}$은 실수의 성질에 의하여 많아야 한 개의 실근을 갖는다. 이 이차방정식의 판별식 $D$에 대하여 $${\displaystyle \frac{D}{4}={\left(\sum _{i=1}^m|a_i{b}_i|\right)}^2-||p|{|}^2||q|{|}^2\le 0}$$이므로 주어진 부등식이 성립한다.

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[Problem 4]

확장된 실수체 ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\cup \{\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$에 대하여 함수 $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to [-1,1]$을 $$f(x)=x/(1+|x|)(x\in \mathbb{R}),f(\mathrm{\infty })=1,f(-\mathrm{\infty })=-1$$이라 정의하자. 다음 함수가 ${\mathbb{R}}^{\ast }$ 위에서의 거리 함수임을 보여라. $$d:{\mathbb{R}}^{\ast }\times {\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R},d(x,y)=|f(x)-f(y)|$$

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(Proof)

$[{\mathrm{M}}_1]$: $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$에 대하여 $d(a,a)=|f(a)-f(a)|=0$이다. 

$[{\mathrm{M}}_2]$: $a,b\in {\mathbb{R}}^{\ast }$에 대하여 $d(a,b)=|f(a)-f(b)|=|f(b)-f(a)|=d(b,a)$이다. 

$[{\mathrm{M}}_3]$: $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{\ast }$에 대하여 $$\begin{array}{rl}d(a,c)& =|f(a)-f(c)|\\ & \le |f(a)-f(b)|+|f(b)-f(c)|\\ & =d(a,b)+d(b,c)\end{array}$$이다. 

$[{\mathrm{M}}_4]$: 함수 $f$는 ${\mathbb{R}}^{\ast }$에서 일대일대응이므로 $a,b\in {\mathbb{R}}^{\ast }$이고 $a\ne b$이면 $d(a,b)\ne 0$이다.

따라서 주어진 함수는 거리 함수의 조건을 모두 만족시킨다.

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[Problem 5]

집합 $X$ 위에서 정의된 거리 함수 $d$와 $X$의 임의의 부분집합 $A$에 대하여 함수 $f:X\to \mathbb{R}$,  $f(x)=d(x,A)$가 연속임을 보여라. 

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(Proof)

$\mathbb{R}$의 열린구간 $a,b$에 대하여

(i) $b\le 0$인 경우 $f^{-1}[(a,b)]=\varnothing$이다. 

(ii) $a\le 0,b>0$인 경우 $x\in f^{-1}[(a,b)]$이라 하자. $d(x,A)=\delta >0$이라 하면 $x\in S(x,\delta /2)\subset f^{-1}[(a,b)]$이므로 $f^{-1}[(a,b)]$는 열린 집합이다. 

(iii) $a>0$인 경우 $x\in f^{-1}[(a,b)]$이라 하자. $a<d(x,A)<b$에서 $\delta :=min\{d(x,A)-a,b-d(x,A)\}$라 하면 $x\in S(x,\delta /2)\subset f^{-1}[(a,b)]$이므로 $f^{-1}[(a,b)]$는 열린 집합이다.

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[Problem 6]

거리 공간 $X$ 위의 두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여 $lim{a}_n=p,$$lim{b}_n=q$라 하자. 이때 실수열 $\{d(a_n,b_n)\}$이 $d(p,q)\in \mathbb{R}$로 수렴함을 보여라. 

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(Proof)

임의의 양수 $ϵ$에 대하여 $lim{a}_n=p$, $lim{b}_n=q$이므로 두 자연수 $n_1,n_2$가 존재하여 $n>n_1$일 때마다 $d(a_n,p)<ϵ/2$이고 $n>n_2$일 때마다 $d(b_n,q)<ϵ/2$이다. 이때 $N:=max\{n_1,n_2\}$이라 하면 $n>N$일 때, $$\begin{array}{rl}& d(a_n,b_n)\le d(a_n,p)+d(p,q)+d(q,b_n)\\ & \Rightarrow d(a_n,b_n)-d(p,q)\le d(a_n,p)+d(q,b_n)<ϵ/2+ϵ/2=ϵ\end{array}$$이므로 $limd(a_n,b_n)=d(p,q)$이다. 

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[Problem 7]

집합 $$I=\{\{a_n\}\mid 0\le a_n\le 1/n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\}$$을 힐베르트 입방체(Hilbert cube)라고 한다. 이때 집합 $I$가 힐베르트 공간 ${\mathbb{R}}^{\mathrm{\infty }}$의 유계인 닫힌 부분집합임을 보여라. 

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(Proof)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a_n}^2\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1/n^2=\frac{{\pi }^2}{6}<\mathrm{\infty }}$이므로 $I$는 힐베르트 공간의 원소이다. 위에서 계산한 것과 같이 $I$는 유계인 집합이다. 이때 ${\mathbb{R}}^{\mathrm{\infty }}$의 한 원소인 $\{x_n\}$에 대하여 $d(\{x_n\},I)=0$이라 하고, $\{x_n\}\notin I$이라 하자. 그러면 어떤 $m\in \mathbb{N}$에 대하여 $x_m<0$이거나 $x_m>1/m$이다.

양수 $\delta$에 대하여 $x_m=-\delta$이거나 $x_m=1/m+\delta$라 하자. 그러면 임의의 $\{y_n\}\in I$에 대하여 $${\displaystyle \sqrt{\sum |x_i-y_i{|}^2}\ge \delta }$$이므로 임의의 $\{y_n\}\in I$에 대하여 $d(\{x_n\},\{y_n\})\ge \delta$이다. 이는 $d(\{x_n\},I)=0$이라는 데에 모순이다. 따라서 $I=\{\{x_n\}\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{\infty }}\mid d(\{x_n\},I)=0\}$이므로 $I$는 닫힌 집합이다.

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.