[Chapter 20~23] Problems

[Problem 1]

함수 \(f\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 리만 적분 가능하고 \(a<x_0<b\)라 하자. \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^{\ +}}f(x)\)와 \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^{\ -}}f(x)\)가 각각 존재하고 \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^{\ +}}f(x)\neq \lim_{x \to x_0^{\ -}}f(x)\)라 하자. 이때 함수 \(\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)dt\)가 \(x_0\)에서 미분가능하지 않음을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(\displaystyle \lim_{x \to x_0^{\ +}}f(x)=L\)이라 하자. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여 \[0<x-x_0<\delta \; \Rightarrow \; L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon\]을 만족시킨다. 양변을 \(x_0\)부터 \(x\)까지 적분하면 \[\begin{align}\displaystyle &(L-\epsilon)(x-x_0)<\int_{x_0}^x f(x)dx < (L+\epsilon)(x-x_0) \\[.5em] & \Rightarrow \; L-\epsilon<\frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(x)dx<L+\epsilon \end{align}\] 따라서 \(0<x-x_0<\delta\)일 때마다 \(\displaystyle L-\epsilon<\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}<L+\epsilon\)을 만족시킨다. 즉, \(F'({x_0}^+)=L\)이다. 

비슷한 방법으로 \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^{\ -}}f(x)=L'\)이라 하면 \(F'({x_0}^-)=L'\)이다. \(L\neq L'\)이므로 \(F(x)\)는 \(x_0\)에서 미분가능하지 않다. 

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[Problem 2]

다음 특이적분이 수렴하는지 판정하시오.

(i) \(\displaystyle \int_1^{\infty} \sin (1/x)dx\)

(ii) \(\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{1+x^3}}dx\)

# Solution ▶

(Proof)

(i) \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\sin (1/x)}{1/x}=1\)이고 \(\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x}dx=\infty\)이므로 주어진 특이적분도 양의 무한대로 발산한다.

[Cf] 두 함수 \(f(x),\; g(x)\)가 \([a, \infty)\)에서 연속이고 \(f(x)>0,\;  g(x)>0\)이라고 하자. \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=k(\neq 0)\)이면 \[\displaystyle \int_a^{\infty} f(x)dx: \text{conv} \; \Leftrightarrow \; \int_a^{\infty} g(x)dx: \text{conv}\]

(ii) \(\displaystyle \left|\frac{\cos x}{\sqrt{1+x^3}}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\)이고 \(\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}dx\)은 \(p-\)급수 판정법에 의하여 수렴하므로 주어진 특이적분은 비교판정법에 의하여 (절대)수렴한다. 

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[Problem 3]

함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=0\), \(f'(x)\in C^1[a, \infty)\)이고, \(\int_a^{\infty} f'(x)dx\)가 절대수렴한다고 하자. \(\int_a^{\infty}f(x)\sin xdx\)가 수렴함을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

부분적분법에 의하여 \(\displaystyle \int_a^{\infty}f(x)\sin xdx=\Bigl[-f(x)\cos x\Bigr]^{\infty}_{a}+\int_a^{\infty}f'(x)\cos xdx\)이고 \(|f(x)\cos x|\leq |f(x)|\)에서 주어진 조건과 조임 정리에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)\cos x=0\)이다. 또한 \(|f'(x)\cos x|\leq |f'(x)|\)이고 \(\displaystyle \int_a^{\infty} f'(x)dx\)가 절대수렴하므로 비교판정법에 의하여 \(\displaystyle \int_a^{\infty}f'(x)\cos xdx\)는 절대수렴한다. 따라서 주어진 적분은 수렴한다.

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[Problem 4]

함수열 \(\{f_n\}\)의 각 항이 구간 \(I\)에서 균등연속이고 \(I\)에서 \(f_n \rightrightarrows f\)이라 하자. \(f\)가 구간 \(I\)에서 균등연속임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f_n \rightrightarrows f\)이므로 자연수 \(m\)이 존재하여 \(||f_m-f||_I<\epsilon/3\)을 만족시킨다. 또한 함수열 \(\{f_n\}\)의 각 항이 모두 균등연속이므로 \(\delta>0\)이 존재하여 \(|x-y|<\delta\)이고 \(x,\, y\in I\)일 때마다 \(|f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon/3\)을 만족시킨다. 따라서 \(|x-y|<\delta\)이고 \(x, \, y\in I\)일 때마다 \[\begin{align} |f(x)-f(y)| &\leq|f(x)-f_m(x)|+|f_m(x)+f_m(y)|+|f_m(y)-f(y)| \\[.5em] &<\epsilon/3+\epsilon/3+\epsilon/3=\epsilon \end{align}\]을 만족시킨다. 따라서 \(f\)는 \(I\)에서 균등연속이다.

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[Problem 5]

\(\displaystyle f(x)=\sum_1^{\infty} \frac{\cos nx}{(n-1)!}\)이라 하자. \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(x)dx\,\)의 값이 존재함을 보이고 그 값을 계산하시오.

# Solution ▶

(Proof)

\(\displaystyle \left|\frac{\cos nx}{(n-1)!}\right|\leq \left|\frac{1}{(n-1)!}\right|\)이고 \(\displaystyle \sum_1^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}=e\)이므로 \(f(x)\)는 주어진 급수에 균등수렴한다. 이때 함수급수 \(f(x)\)의 각 항은 구간 \([0,\, \pi/2]\)에서 적분가능하므로 \[\begin{align}\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(x)dx&=\sum_1^{\infty}\left(\int_0^{\pi/2}\frac{\cos nx}{(n-1)!}dx\right)\\[.4em]&=\sum_1^{\infty}\frac{1}{n!}\sin\frac{n\pi}{2}\\[.4em]&=\sum_1^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}=\sin1\end{align}\]이다. 

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[Problem 6]

함수급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\)가 구간 \([0, 1)\)에서 균등수렴하는지 판정하시오.

# Solution ▶

(Proof)

\(x\)가 \(1\)에 가까우면 주어진 급수가 조화급수에 가까워짐에 착안한다. 자연수 \(n\)에 대하여 \(x=1-1/(n+1)\)이라 하면 \(x^n=(1-1/(n+1))^n\)이다. 베르누이 부등식에 의하여 \(n\ge 2\)일 때 \[\begin{align}\displaystyle \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\ge 1-\frac{1}{n} \; &\Rightarrow \; \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\geq\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\\[.4em] &\Rightarrow \frac{1}{e}\leq \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\leq \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1} \end{align}\]이다. 따라서 \[x^n=(1-1/(n+1))^n \ge 1/e\]이므로 \(\displaystyle \sum \frac{x^n}{n}\ge \sum \frac {1}{en}\)이다. 즉, 주어진 급수는 유계가 아니므로 균등수렴하지 않는다. 

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