[Chapter 9] 가산 공리 (1)

제1가산공리와 제2가산공리

가산성이란 집합론에서도 중요하게 다루어지는 성질이다. 대강 말하면 가산집합이란 가장 작은 크기의 무한집합이므로 가산집합은 사이즈가 작은 집합이라고 볼 수 있다. 위상공간에서도 충분히 작은 공간의 개념으로 콤팩트집합을 이야기하고, 그것보다 약간 큰 공간의 개념으로 '가산 공리'를 도입하여 그러한 조건을 만족하는 공간의 성질을 엿볼 수 있다. 

위상공간에서는 가산성을 다음과 같은 두 가지 종류로 나누어 분류한다.

[Definition 0.0] 

다음 공리를 제1가산공리(First Axiom of Countability)라 하고, 다음 공리를 만족시키는 위상공간 \(X\)를 제1가산공간(First Countable Space)이라고 한다.

\(\mathrm{[C_1]}\) 임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(p\)를 포함하는 가산인 국소 기저 \(\mathcal B_p\)가 존재한다. 

즉, 제1가산공리는 각 점에서 성립하는 국소적 성질이고, 각 점에서의 근방에 의존하는 성질이다. 대표적인 예로 거리 공간과 임의의 집합 위에서 정의된 이산 위상공간은 제1가산공간이다.

[Example 0.1]

거리 공간 \(X\)의 임의의 점 \(p\in X\)에서 다음 집합은 \(p\)에서의 국소 기저이다. 즉, 임의의 거리 공간은 제1가산공간이다.

\[\{S(p, 1), \, S(p, 1/2), \, S(p, 1/3), \, \cdots\}\]

[Example 0.2]

임의의 공집합이 아닌 집합 \(X\) 위에서 정의된 이산 위상은 제1가산공간이다. 각 \(p\in X\)에 대하여 \(\{\{p\}\}\)는 \(p\)에서의 국소 기저이기 때문이다. 

제1가산공간의 대표적인 성질은 다음과 같다. 

[Theorem 0.3]

제1가산공간 \(X\)에 대하여 각 \(p\in X\)에서의 축소 국소기저(nested local base)가 존재한다.

# 증명 ▶

(Proof)

제1가산공간 \(X\)에서 점 \(p\in X\)에서의 가산인 국소 기저를 \(\mathcal B_p=\{G_n \mid n\in \Bbb N\}\)라 하자. 이때 자연수 \(n\)에 대하여 집합 \(B_n\)을 \(B_n=\bigcap_{k=1}^{n}G_k\)라 하자. 그러면 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(B_{n+1} \subset B_n\)이고 각 \(B_n\)은 열린 집합이다. 또한, \(p\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \(p\in B_n \subset G_n \subset G\)이므로 \(\mathcal B^*_p=\{B_n \mid n\in \Bbb N\}\)은 \(p\)에서의 축소 국소기저이다.

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[Theorem 0.4]

제1가산공간 \(X\)에서 위상공간 \(Y\)로의 함수 \(f\)가 \(p\in X\)에서 연속일 필요충분조건은 \(f\)가 \(p\in X\)에서 점열 연속인 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(X\)가 임의의 위상 공간일 때 함수 \(f: X \to Y\)가 \(p\in X\)에서 연속이면 연속함수의 성질에 의하여 \(f\)는 \(p\in X\)에서 점열 연속이다. 역으로, 함수 \(f\)가 \(p\in X\)에서 연속이 아니라고 하자. \(X\)는 제1가산공간이므로 \(p\in X\)에서의 축소 국소기저 \(\mathcal B^*_p=\{B_n\mid n\in \Bbb N\}\)가 존재한다.

이때 \(f(p)\in Y\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G\)와 자연수 \(n\)에 대하여 \(X\)의 원소 \(a_n\in B_n\, \backslash \, f^{-1}[G]\)가 존재한다. 이때 수열의 극한의 정의에 의하여 \(a_n \to p\)이지만 \(f(a_n)\notin G\)이므로 \(f(a_n) \not \to f(p)\)이다. 즉, 함수 \(f\)는 \(p\in X\)에서 점열 연속이 아니다. 따라서 함수 \(f\)가 \(p\in X\)에서 점열 연속이면 \(f\)는 \(p\in X\)에서 연속이다.

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제2가산공리는 점에 구애받지 않는 공간 그 자체의 성질에 의존하는 대역적 성질이다. 그 내용은 다음과 같다.

[Definition 0.5] 

다음 공리를 제2가산공리(Second Axiom of Countability)라 하고, 다음 공리를 만족시키는 위상공간 \(X\)를 제2가산공간(Second Countable Space)이라고 한다.

\(\mathrm{[C_2]}\) 위상공간 \(X\)의 가산인 기저가 존재한다.

[Example 0.6]

\(\Bbb R\)에서 \(a, b\in \Bbb Q\)에 대하여 \(\mathcal B\)를 모든 열린구간 \((a, b)\)들의 모임이라고 하자. 그러면 \(\mathcal B\)는 보통 위상의 가산인 기저이다. 즉, \((\Bbb R,\, \mathcal U)\)는 제2가산공간이다.

기저의 원소 중에서 점 \(p\)를 포함하는 원소들은 점 \(p\)에서의 국소 기저를 이루므로 다음 사실을 어렵지 않게 유도할 수 있다.

[Theorem 0.7]

제2가산공간은 제1가산공간이다.

 

분리 가능 공간과 린델뢰프 공간

공간의 사이즈나 그 공간을 이루는 각 열린 집합들이 얼마나 세밀한지 따질 때, 덮개(cover)라는 개념을 이용한다. 콤팩트집합은 덮개를 유한 개만 써도 충분한 작은 사이즈(덜 세밀한)의 집합이고, 그것보다 조금 큰 공간의 예로 린델뢰프 공간이 있다.

[Definition 1.0] 

(1) 공집합이 아닌 집합 \(X\)의 부분집합 \(A\)에 대하여 \(X\)의 부분집합의 모임 \(\mathscr A\)가 \[A\subset \bigcup\{E \mid E\in \mathscr A\}\]를 만족시키면 \(\mathscr A\)를 집합 \(A\)의 덮개(cover, covering)라고 한다. \(\mathscr A\)가 열린 집합들의 모임인 경우, \(\mathscr A\)를 \(A\)의 열린 덮개(open cover)라고 한다.

(2) 덮개 \(\mathscr A\)가 \(A\)의 덮개가 되는 가산인(또는 유한인) 부분집합을 갖는 경우, \(\mathscr A\)는 가산인 (또는 유한인) 부분덮개를 갖는다(reducible to countable(finite) cover)고 한다.

린델뢰프 공간이란 다음을 의미한다.

[Definition 1.1]

위상공간 \(X\)에서 집합 \(X\)를 덮는 임의의 열린 덮개가 가산인 열린 부분덮개를 가지면 \(X\)를 린델뢰프 공간(Lindel\(\ddot {\textrm o}\)f Space)이라고 한다. 

제2가산공간의 경우 기저 자체가 가산집합이므로 자연스럽게 린델뢰프 공간이 될 것이라는 추측을 할 수 있다. 

[Theorem 1.2]

집합 \(A\)를 제2가산공간 \(X\)의 임의의 부분집합이라고 하자. 그러면 집합 \(A\)의 임의의 열린 덮개는 가산인 부분덮개를 갖는다. (따라서 제2가산공간은 린델뢰프 공간이다.)

# 증명 ▶

(Proof)

\(\mathcal G=\{G_i \mid i\in I\}\)를 집합 \(A\)의 임의의 열린 덮개라 하고, \(\mathcal B=\{B_n \mid n\in \Bbb N\}\)를 \(X\)의 가산인 기저라고 하자. 임의의 \(a\in A\)에 대하여 \(G_{i_a}\in \mathcal G\)가 존재하고, 기저의 정의에 의하여 \(B_{n_a}\in \mathcal B\)가 존재하여 \(a\in B_{n_a}\subset G_{i_a}\)를 만족시킨다. 따라서 \[A \subset \bigcup\{B_{n_a} \mid a\in A\} \subset \bigcup \{G_{i_a} \mid a\in A\}\]이다. 이때 \(\mathcal B\)는 가산집합이므로 \(\mathcal G^*=\{G_{i_a} \mid a\in A\}\)은 \(G\)의 가산인 열린 부분덮개이다. 즉, 집합 \(A\)의 임의의 열린 덮개는 항상 가산인 부분덮개를 갖는다.

# ◀ 닫기

제2가산공간은 린델뢰프 공간보다 더 강한 조건을 만족하는 공간이다. 린델뢰프 공간은 전체집합의 덮개를 가산 개로 줄일 수 있는 공간이지만 제2가산공간은 임의의 기저를 가산 개로 줄일 수 있다.

[Theorem 1.3]

제2가산공간의 임의의 기저는 가산 개의 기저로 축소할 수 있다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(\mathcal B=\{B_n \mid n\in \Bbb N\}\)를 제2가산공간 \(X\)의 가산인 기저라고 하고, \(\mathcal B^*=\{G_i \mid i\in I\}\)를 \(X\)의 임의의 한 기저라고 하자. 임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(p\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \(G_{i_p}\in \mathcal B^*\)가 존재하여 \(p\in G_{i_p}\subset G\)를 만족시킨다. 또한 \(\mathcal B\)도 \(X\)의 기저이므로 \(B_{n_p}\in \mathcal B\)가 존재하여 \(p\in B_{n_p} \subset G_{i_p} \subset G\)를 만족시킨다. 따라서 \(\{G_{i_p} \mid p\in X\}\)는 \(\mathcal B^*\)의 가산인 기저이고 \(\mathcal B^*\)의 부분집합이다.

# ◀ 닫기

다음은 린델뢰프 공간이 항상 제2가산공간이 아님을 보여주는 좋은 예이다.

[Example 1.4]

\(\Bbb R\) 위에서의 아래끝 위상(lower limit topology) 즉, 반닫힌구간 \([a, b)\)에 의하여 생성되는 위상을 \(\mathcal T\)라 하자. \(\mathcal B\)를 \(\mathcal T\)의 임의의 기저라고 하자. 실수 \(r\)에 대하여 \([r,\, \infty)\)는 \(\mathcal T-\)열린 집합이므로 기저의 정의에 의하여 \(r\)를 포함하는 \(B_r\in \mathcal B\)가 존재하여 \(r\in B_r \subset [r, \, \infty)\)를 만족시킨다. 이때 \(\min B_r=r\)이므로 \(\mathcal B\)는 비가산집합이다. 따라서 \((\Bbb R, \, \mathcal T)\)는 제2가산공간이 아니다. 

한편, \((\Bbb R, \, \mathcal T)\)는 린델뢰프 공간이다. (과정이 복잡하므로 아래 내용은 읽지 않아도 좋다.) 이때 모든 열린 덮개가 아니라 기저의 원소로만 이루어진 열린 덮개가 가산의 부분덮개를 갖는다는 것만 보이면 된다. 임의의 열린 덮개의 각 열린 집합의 원소를 포함하는 기저의 원소가 존재하기 때문이다.

\(\mathscr A=\{[a_{\alpha}, \, b_{\alpha}) \mid \alpha \in J\}\)를 \(\Bbb R\)의 기저의 원소에 의한 한 열린 덮개라고 하고, 집합 \(C\)를 \(C=\bigcup_{\alpha\in J} (a_{\alpha}, \, b_{\alpha})\)라 하자. (여기서 \(\Bbb R \, \backslash \, C\)가 가산집합임을 보이는 것이 목표이다.) \(x\)를 \(\Bbb R \,  \backslash \, C\)의 한 점이라고 하자. 임의의 \(\alpha\in J\)에 대하여 \(x\notin (a_{\alpha}, \, b_{\alpha})\)이므로 적당한 \(\beta\in J\)에 대하여 \(x=a_{\beta}\)이다. 이때 열린구간 \((a_{\beta}, \, b_{\beta})\)에 속하는 유리수 \(q_x\)을 선택하자. \((a_{\beta}, \, b_{\beta})\)가 \(C\)에 속하므로 \((a_{\beta}, \, q_x)=(x, \, q_x)\)도 \(C\)에 속한다. 따라서 \(x, y\in \Bbb R \, \backslash \, C\)이고 \(x<y\)이면 \(q_x<q_y\)이다. (그렇지 않다면 \(x<y<q_y\leq q_x\)이므로 \(y\in (x, \, q_x)\)이고 \(y\in C\)이다.) 따라서 \(x\)와 \(q_x\)는 일대일대응된다. 즉, \(\Bbb R \, \backslash \, C\)는 \(\Bbb Q\)의 부분집합과 대등하므로 \(\Bbb R \, \backslash \, C\)는 가산집합이다. 

이때 \(\mathscr A^*=\{(a_{\alpha}, \, b_{\alpha}) \mid \alpha \in J\}\)는 \(C\)의 보통 위상에서의 열린 덮개이다. \(\Bbb R\)의 보통 위상공간은 제2가산공간이므로 \(C\)는 가산인 부분덮개 \(\{(a_{\alpha_n}, \, b_{\alpha_n}) \mid \alpha \in J, \, n\in \Bbb N\}\)를 갖는다. 즉, \(C\)를 덮는 \(\mathscr A\)의 가산인 부분덮개 \(\mathscr A_1=\{[a_{\alpha_n}, \, b_{\alpha_n}) \mid \alpha \in J, \, n\in \Bbb N\}\)가 존재한다. 또한 \(\Bbb R \, \backslash \, C\)는 가산집합이므로 이를 덮는 \(\mathscr A\)의 가산인 부분덮개 \(\mathscr A_2\)를 갖는다. 따라서 \(\mathscr A_1\cup \mathscr A_2\)는 \(\Bbb R\)을 덮는 \(\mathscr A\)의 가산인 부분덮개이다. 

마지막으로 분리 공간이란 가산 개의 열린 집합으로 정확히 덮을 수는 없을지라도 직관적으로는 '덮인 것처럼' 보이는 공간을 의미한다. 즉 가산 개의 집합이 조밀 집합이 될 정도로 작은 집합이다.

[Definition 1.5]

위상공간 \(X\)가 가산인 조밀한 부분집합을 가지면 \(X\)를 분해 가능한 공간(Separable Space)라고 한다.

대표적으로는 \(\Bbb R\) 위의 보통 위상과 아래끝 위상에서 \(\Bbb Q\)가 조밀집합이므로 \(\Bbb R\)은 분해 가능한 공간이다. (즉, 아래끝 위상은 린델뢰프 공간이면서 분해 가능한 공간이지만 제2가산공간은 아니다.)

예상할 수 있겠지만, 제2가산공간은 기저가 가산 개인 작은 집합이므로 분해 가능하다.

[Theorem 1.6]

\(X\)가 제2가산공간이면 \(X\)는 분해 가능한 공간이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(\mathcal B=\{B_n \mid n\in \Bbb N\}\)를 \(X\)의 가산인 기저라고 하자. 집합 \(A\)를 \(A=\{a_n\in B_n \mid n\in \Bbb N\}\)이라 하자. \(G\)를 \(X\)에서의 임의의 열린 집합이라 하고, \(p\in G\)라고 하자. 기저의 정의에 의하여 \(B_{n_0}\in \mathcal B\)가 존재하여 \(p\in B_{n_0}\subset G\)를 만족시킨다. 따라서 \(A\cap G\neq \varnothing\)이다. 따라서 \(\bar A=X\)이다. 즉, \(A\)는 \(X\)에서의 가산인 조밀 집합이므로 \(X\)는 분해 가능하다.

# ◀ 닫기

일반적으로 분해 가능한 공간이 제2가산공간은 아니지만(ex. 아래끝 위상) 다음과 같은 특별한 경우에는 제2가산공간이 된다.

[Theorem 1.7]

분해 가능한 거리 공간은 제2가산공간이다.

# 증명 ▶

(Proof)

위상공간 \(X\)의 가산인 조밀 집합을 \(A\)라고 하자. 집합 \(\mathcal B=\{S(a,\, \delta) \mid a\in A, \, \delta\in \Bbb Q^+\}\)이 가산인 기저임을 보이자. 임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(G\)를 \(p\)를 포함하는 임의의 열린 집합이라고 하자. \(G\)는 열린 집합이므로 \(p\)를 포함하는 열린 원판 \(S(p, \epsilon)\)이 존재하여 \(p\in S(p,\, \epsilon)\subset G\)이다. \(A\)는 조밀한 집합이므로 \(A\cap S(p,\, \epsilon) \neq \varnothing\)이다. \(a_0\in A\cap S(p, \, \epsilon)\)이라 하고 \(d(a_0, \, p)=r\)이라 하자. \(\delta\in \Bbb Q^+\)를 \(\epsilon-r\)보다 작은 수라고 하자. 이때 \(x\in S(a_0, \, \delta)\)이라 하면 \[d(x, p)\leq d(x, a_0)+d(a_0, p)<\delta+r<\epsilon\]이므로 \(S(a_0, \delta)\subset S(p, \, \epsilon)\subset G\)이다. 따라서 주어진 집합 \(\mathcal B\)는 \(X\)의 가산인 기저이므로 \(X\)는 제2가산공간이다.

# ◀ 닫기

[Example 1.8]

\(C[0, 1]\)을 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속인 모든 함수와 다음 노름으로 정의된 노름 공간이라고 하자. \[||f||=\sup \{|f(x)| \mid 0\leq x\leq 1\}\] 바이어슈트라스 근사 정리에 의하여 임의의 \(f\in C[0, 1]\)에 대하여 \(f\)로 균등수렴하는 다항함수열 \(\{P_n\}\)이 존재한다. 특히, 계수가 유리수인 다항함수열 \(\{P^*_n\}\)이 존재한다. (각 실수인 계수로 수렴하는 유리수열로 계수를 구성하면 된다.)

즉, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 각 계수가 유리수인 다항함수 \(p\)가 존재하여  \(||f-p||_{[0, 1]}<\epsilon\)을 만족시킨다. 따라서 모든 계수가 유리수인 다항함수들의 집합 \(\mathcal P\)는 \(C[0, 1]\)에서 조밀하다. 이때 유한 개의 가산집합의 곱집합의 가산 합집합으로서 \(\mathcal P\)는 가산집합이므로 \(C[0, 1]\)은 분해 가능한 공간이다. \(C[0, 1]\)은 거리 공간이므로 [Theorem 1.7]에 의하여 제2가산공간이다.

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.