[Topics in Analysis] 1. Real Number System

실수체의 구조

실수체 \(\Bbb R\)에는 다음 성질이 있다. 실제로 다음을 만족시키는 임의의 체는 \(\Bbb R\)과 동형임이 알려져 있다.

(1) 두 연산 \(+,\, \cdot\)에 대하여 체를 이룬다.
(2) 순서체이다.
(3) 완비 공리를 만족시킨다. 

체는 사칙연산이 자유로운 대수적 구조이고, 이에 관한 관한 내용은 추상대수학을 조금만 공부하면 알 수 있다. 순서체란 쉽게 말하여 임의의 체의 두 원소 간의 순서를 줄 수 있다는 의미이다. 임의의 두 실수는 항상 '대소 비교'가 가능하다. 이는 순서 관계 '\(<\)'에 따라 각 원소에 순서가 주어진 것이다. 즉,

[Property 1.0] 

실수 전체의 집합은 순서 관계 \(<\)가 주어진 순서체(ordered field)이다. 즉, 임의의 세 실수 \(a, \, b, \, c\)에 대하여 

(1) 다음 중 하나만 성립한다. \[a=b, \quad a<b, \quad b<a\] (2) \(a<b\)이고 \(b<c\)이면 \(a<c\)이다.
(3) \(a<b\)이면 \(a+c<b+c\)이고, \(0<c\)일 때에는 \(ac<bc\)이다. 

실수계에서 부등식에 관한 여러 정리를 다룰 때, 다음의 부등식을 가장 많이 이용한다. 특히 극한에 관련된 내용에서 많이 이용된다.

[Theorem 1.1] (Triangle Inequality: 삼각부등식)

임의의 두 실수 \(a, \, b\)에 대하여 다음이 성립한다. 

(1) \(|a+b|\leq |a|+|b|\)
(2) \(|a-b|\geq ||a|-|b||\)
(3) \(|a+b|\geq ||a|-|b||\)

# 증명 ▶

(Proof)

(1) 다음과 같은 네 가지 경우로 나누어 생각하여 계산하면 된다. (자세한 과정은 생략) \[(i) \; a\geq 0, \, b\geq 0, \ \ (ii) \; a\leq 0, \, b\leq 0, \ \ (iii) \; a\leq 0, \, b\geq 0, \ \ (iv) \; a\geq 0, \, b\leq 0 \] (2) & (3) (1)에 의하여 \(|a|\leq |a-b|+|b|\)이 성립하므로 \(|a-b|\geq |a|-|b|\)이다. 이는 \(a\)와 \(b\)의 자리를 바꾸어도 성립하고 \(|a-b|=|b-a|\)이므로 \(|a-b|\geq |b|-|a|\)가 성립한다. 따라서 \(|a-b|\geq ||a|-|b||\)가 성립한다. 이 부등식에 \(b\) 대신 \(-b\)를 대입하면 (3)을 얻는다. 

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마지막으로 완비 공리란 간단히 말해서 '빈틈없이 가득 메울 수 있다'는 이야기이다. 수직선은 실수로 빈틈없이 가득 메울 수 있다는 것과 같은 내용이다. 이는 다음과 같은 내용으로 구체화된다. 

[Definition 1.2]

(1) \(\Bbb R\)의 부분집합 \(S\)에 대하여 어떤 실수 \(b\)가 존재하여 모든 \(x\in S\)에 대하여 \(x\leq b\)를 만족시키면 \(S\)를 위로 유계(bounded above)라 하고, \(b\)를 \(S\)의 상계(upper bound)라고 한다. 실수 \(\beta\)가 \(S\)의 상계이고 \(S\)의 임의의 상계 \(b\)가 \(\beta\leq b\)를 만족시키면 \(\beta\)를 \(S\)의 최소 상계 또는 상한(least upper bound, supremum)라고 하고, \(\beta=\sup S\)라 표기한다.

(2) \(\Bbb R\)의 부분집합 \(S\)에 대하여 어떤 실수 \(a\)가 존재하여 모든 \(x\in S\)에 대하여 \(x\geq a\)를 만족시키면 \(S\)를 아래로 유계(bounded below)라 하고, \(a\)를 \(S\)의 하계(lower bound)라고 한다. 실수 \(\alpha\)가 \(S\)의 하계이고 \(S\)의 임의의 하계 \(a\)가 \(\alpha\geq a\)를 만족시키면 \(\alpha\)를 \(S\)의 최대 하계 또는 하한(greatest lower bound, infimum)라고 하고, \(\alpha=\inf S\)라 표기한다.

[Property 1.3] (Completeness: 완비성)

공집합이 아닌 \(\Bbb R\)의 부분집합 \(S\)가 위로 유계이면 \(S\)는 상한을 갖는다.

위에서 언급한 것과 같이, 실수는 직선 위의 점과 대응시킬 수가 있다. 상한은 그 집합의 원소와 대응되는 점들의 모임에서 가장 오른쪽에 있는 것'처럼' 보이는 점이다.

직관적으로는 선분 위에 어떤 점을 찍으면 거기에 대응되는 실수가 존재할 것이다. 이것이 완비성이고 그것을 상한이라는 내용으로 구체화한 것이다. 상한의 경우 집합 \(S\)에서 가장 '큰' 원소처럼 보이는데 실제로는 그 집합의 원소의 최댓값(\(=\max S\))과는 다르다. 예를 들어

[Example 1.4]

집합 \(A=(1, 2]\)에 대하여 \(\max A=\sup A=2\)이지만 \(B=(1, 2)\)에 대하여 \(\sup B=2\)이지만 \(\max B\)는 존재하지 않는다. 

상한은 다음과 같이 구체화하여 기술할 수 있다. 예상할 수 있듯이 상한은 특정한 조건을 만족시키는 '유일한' 실수이다.

[Theorem 1.5]

공집합이 아닌 \(\Bbb R\)의 부분집합 \(S\)가 위로 유계일 때 \(\beta=\sup S\)는 다음 조건을 만족시키는 유일한 실수이다.

(i) 모든 \(x\in S\)에 대하여 \(x\leq \beta\)이다.
(ii) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(x_0>\beta-\epsilon\)인 \(x_0\in S\)가 존재한다. 

# 증명 ▶

(Proof)

(i)은 상한의 정의에 의하여 자명히 성립한다. 이제 어떤 \(\epsilon_0>0\)이 존재하여 \(\beta-\epsilon_0\)보다 큰 \(S\)의 원소가 존재하지 않는다고 하자. 그러면 모든 \(x\in S\)에 대하여 \(x\leq \beta-\epsilon_0\)이므로 \(\beta-\epsilon_0\)은 \(S\)의 한 상계이다. 이는 \(\beta\)가 상한이라는 데에 모순이다. 

마지막으로, 집합 \(S\)가 (i), (ii)를 만족시키는 서로 다른 실수 \(\beta, \, \beta'\)을 갖는다고 하자. \(\beta<\beta'\)라 하면 \(\epsilon=\beta'-\beta\)에 대하여 \(x_0>\beta'-\epsilon=\beta\)인 \(x_0\in S\)가 존재한다. 이는 \(\beta\)가 (i)을 만족한다는 데에 모순이다. 

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사실 위의 내용(완비성)은 굳이 상한을 가지고 다룰 필요가 없다. 완비성은 하한을 이용해서도 설명될 수 있다. 즉, [Property 1.3]과 다음은 서로 동치이다. 

[Theorem 1.6] (Completeness: 완비성)

공집합이 아닌 \(\Bbb R\)의 부분집합 \(S\)가 아래로 유계이면 \(S\)는 하한을 갖는다.

# 증명 ▶

(Proof)

집합 \(S\)가 아래로 유계라 하고, 집합 \(-S\)를 \(-S=\{-x: x\in S\}\)이라 하자. 그러면 \[\exists b\in \Bbb R:\, \forall x\in S, \;  b\geq x \; \Rightarrow \; -x\geq -b\]이므로 \(-S\)는 위로 유계이다. 따라서 집합 \(-S\)는 상한 \(\beta\)를 갖는다. 그러면 모든 \(x\in S\)에 대하여 \(x\geq -\beta\)이고 \(a\)가 \(S\)의 한 하계라고 하면 \(-a\)는 \(-S\)의 한 상계이므로 \(-a\geq \beta \ \Rightarrow  -\beta\geq a\)이므로 \(-\beta\)는 집합 \(S\)의 하한이다. 

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아르키메데스 원리와 조밀성

\(\Bbb R\)의 완비성이라는 성질로부터 비롯되는 대표적인 두 가지 결과가 아르키메데스의 원리와 유(무)리수의 조밀성이다. 이러한 \(\Bbb R\)의 여러 성질은 위상수학에서 일반화되어 여러 종류의 위상공간을 정의하고 분류하기도 한다.

먼저, 아르키메데스 원리는 임의의 양수에 적당히 큰 자연수를 곱하면 어떤 실수보다 크게 할 수 있다는 당연한 듯 보이는 내용이다. 이는 실제로 \(\Bbb R\)의 완비성과 동치이다. 보통은 완비성을 이용하여 아르키메데스 원리를 설명한다.

[Theorem 1.7] (The Archimedean Property: 아르키메데스 원리)

\(a\)와 \(\epsilon\)이 임의의 양수일 때, \(n\epsilon>a\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 

# 증명 ▶

(Proof)

어떤 두 양수 \(a_0, \, \epsilon_0\)가 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(n\epsilon_0\leq a_0\)를 만족시킨다고 하자. 그러면 집합 \(S=\{n\epsilon_0: n\in \Bbb N\}\)은 위로 유계이다. 따라서 \(\beta=\sup S\)가 존재한다. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(n\epsilon_0\leq \beta\)이므로 \((n+1)\epsilon_0\leq \beta\)이고 이는 \(n\epsilon_0 \leq \beta-\epsilon_0\)임을 의미한다. 그러면 \(\beta-\epsilon_0\)은 집합 \(S\)의 상계이고 이는 \(\beta\)가 \(S\)의 상한이라는 데에 모순이다.

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조밀성은 말 그대로 수가 빽빽하게 존재한다는 것이다. 완비성은 빈틈없이 가득 메울 수 있다는 것이므로 내용이 약간 다르다. 일반적으로 위상수학에서 조밀하다는 것은 다음과 같다. 

[Definition 1.8] (Density: 조밀성)

위상공간 \(X\)의 부분집합 \(A\)가 \(\bar A=X\)를 만족시키면 \(A\)가 \(X\)에서 조밀하다(dense)고 한다. 즉, 집합 \(X\)의 임의의 원소 \(a\)에 대하여 \(a\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G\)가 \(A\cap G\neq\varnothing\)를 만족시키면 \(A\)가 \(X\)에서 조밀하다고 한다. 

즉, 어떤 공간 내의 조밀 집합은 그 공간 내의 임의의 원소를 포함하는 열린 집합과 항상 겹치는 집합이다. \(\Bbb R\)은 열린구간은 \(\Bbb R\)의 기저를 이루므로 \(\Bbb R\)의 조밀성은 다음과 같이 기술된다.

[Definition 1.9] (Density in \(\Bbb R\): \(\Bbb R\)에서의 조밀성)

\(\Bbb R\)의 임의의 열린구간 \((a, b)\)가 \(D\)의 원소를 포함하면 집합 \(D\)가 \(\Bbb R\)에서 조밀하다고 한다.

\(\Bbb Q\)은 \(\Bbb R\)의 소체(prime field)로써, \(0\)과 \(1\)을 이용하여 구성할 수 있는 가장 작은 체이다. 이는 \(\Bbb Q\)의 대수적인 성질이다. 위상적인 성질은 여기서 다루는 조밀성이다. \(\Bbb Q\)는 \(\Bbb R\)에서 조밀한 집합이다. 즉,

[Theorem 1.10] (Density of \(\Bbb Q\): 유리수의 조밀성)

임의의 열린구간 \((a, b)\)에는 유리수가 존재한다. 

# 증명 ▶

(Proof)

(i) \(a\geq 0\)인 경우: 아르키메데스 원리에 의하여 \(q(b-a)>1)\)인 자연수 \(q\)가 존재한다. 또한 다시 아르키메데스 원리에 의하여 \(j/q>a\)를 만족시키는 자연수 \(j\)가 존재한다. 그러한 자연수 \(j\) 중에서 가장 작은 자연수를 \(p\)라고 하자. 그러면 \[\frac{p-1}{q}\leq a<\frac{p}{q}, \; b-a>\frac{1}{q} \ \Rightarrow \ b>a+\frac{1}{q}\geq \frac{p}{q}\]이므로 \(\displaystyle a<\frac{p}{q}<b\)이다. 

(ii) \(a<0<b\)인 경우: \(0\)은 유리수이므로 주어진 정리가 성립한다.

(iii) \(a<b<0\)인 경우: \(0<-b<-a\)이므로 (i)에 의하여 \(-b<r<-a\)인 유리수 \(r\)이 존재한다. 따라서 \(a<-r<b\)이고 주어진 정리가 성립한다. 

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유리수는 \(\Bbb R\)에서 조밀하지만, 완비는 아니다. 예를 들어 집합 \(S=\{r\in \Bbb Q: r^2<2\}\)는 [Theorem 1.5]에 의하여 상한 \(\sqrt{2}\)를 갖는다. 또한, 비슷하게 무리수의 집합 또한 조밀집합임을 보일 수 있다.

[Corollary 1.11] (Density of \(\Bbb Q^c\): 무리수의 조밀성)

임의의 열린구간 \((a, b)\)에는 무리수가 존재한다.

# 증명 ▶

(Proof)

[Theorem 1.10]에 의하여 \((\sqrt{2}-1)a<r<(\sqrt{2}-1)b\)이 만족시키는 유리수 \(r\)이 존재한다. 양변에 \(\sqrt{2}+1\)을 곱하면 \(a<(\sqrt{2}+1)r<b\)이고 \((\sqrt{2}+1)r\)은 무리수이므로 주어진 정리가 성립한다.

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Reference: <Introduction to real analysis> William F. Trench, 2003