[Chapter 10] 분리 공리 (1)

분리 공리와 여러 가지 공간

위상공간의 성질은 공간에서 열린 집합의 분포에 따라 결정된다. 예를 들어 열린 집합의 개수가 적을 수록 분해 가능하거나 제1, 제2가산공간이 될 가능성이 크고, 열린 집합의 개수가 많을 수록 그 위에서의 함수가 연속이 될 가능성이 크다. 분리 공리는 얼마나 많은 열린 집합이 공간에 존재하는지 묘사한다.

공간의 종류에는 크게 \(T_1-\)공간, 하우스도르프(\(T_2\)) 공간, 정칙(Regular) 공간 (또는 \(T_3-\)공간), 정규(Normal) 공간 (또는 \(T_4-\)공간)이 있고, 그 사이에 티호노프 공간도 다룬다. 다음은 \(T_1-\)공간에 대한 설명이다. 

[Definition 0.0] 

위상공간 \(X\)가 다음 공리를 만족시키면 \(T_1-\)공간(\(T_1-\)Space)이라고 한다. 

[\(\mathbf T_1\)] 임의의 서로 다른 두 \(a, b\in X\)에 대하여 \(a\in G\), \(b\notin G\)이고 \(b\in H\), \(a\notin H\)인 두 열린 집합 \(G, \, H\)가 존재한다. 

다음 정리들은 \(T_1-\)공간의 성질을 묘사한다.

[Theorem 0.1]

위상공간 \(X\)가 \(T_1-\)공간일 필요충분조건은 \(X\)의 임의의 홑원소집합 \(\{p\}\)가 닫힌 집합인 것이다.

[cf] 즉, \((X,\, \mathcal T)\)가 \(T_1-\)공간일 필요충분조건은 \(\mathcal T\)가 \(X\) 위의 여유한 위상(cofinite topology)을 포함하는 것이다. 이런 의미에서 여유한 위상은 \(T_1-\)위상(\(T_1-\)topology)이라고 하기도 한다.

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) \(X\)가 \(T_1-\)공간이므로 임의의 \(p\in X\)와 \(q\in \{p\}^2\)에 대하여 열린 집합 \(G_q\)가 존재하여 \(q\in G_q\)이고 \(p\notin G_q\)를 만족시킨다. 즉, \[\{p\}^c=\bigcup\{G_q \mid q\in \{p\}^c\}\]이므로 \(\{p\}^c\)은 열린 집합이다. 따라서 \(\{p\}\)는 닫힌 집합이다.

(\(\Leftarrow\)) 가정에 의하여 임의의 \(a, b\in X\)에 대하여 \(\{a\}^c, \, \{b\}^c\)은 열린 집합이다. 또한 \(a\in \{b\}^c, \, b\notin \{b\}^c\)이고 \(b\in \{a\}^c, \, a\notin \{a\}^c\)이므로 \(X\)는 \(T_1-\)공간이다. 

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다음은 \(T_2-\)공간에 대한 설명이다. 이는 보통 하우스도르프 공간이라고 불린다.

[Definition 0.2]

위상공간 \(X\)가 다음 공리를 만족시키면 \(T_2-\)공간(\(T_2-\)Space) 또는 하우스도르프 공간(Hausdorff Space)이라 한다.

[\(\mathbf T_2\)] 임의의 서로 다른 \(a, b\in X\)에 대하여 \(a\in G\), \(b\in H\)이고 \(G\cap H=\varnothing\)인 두 열린 집합 \(G, \, H\)가 존재한다.

거리공간의 경우 충분히 작은 반지름을 갖는 서로소인 두 원판 안에 두 점을 각각 가둘 수 있으므로 하우스도르프 공간이다. 또한 하우스도르프 공간은 수열의 극한이 유일한 값으로 존재하는 공간이기도 하다. 이게 하우스도르프 공간을 대표하는 성질이다.

[Theorem 0.3]

\(X\)가 하우스도르프 공간이면 \(X\)에서 수렴하는 모든 수열은 유일한 극한값을 갖는다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(X\) 위에서의 어떤 수열 \(\{a_n\}\)이 서로 다른 두 점 \(p, \, q\in X\)로 각각 수렴한다고 하자. 수열의 극한의 정의에서

점 \(p\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G_p\)에 대하여 \(n_1\in \Bbb N\)이 존재하여 \[n>n_1 \; \Rightarrow \; a_n\in G_p\]이다. 또한 점 \(q\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G_q\)에 대하여 \(n_2\in \Bbb N\)이 존재하여 \[n>n_2 \; \Rightarrow \; a_n\in G_q\]이다. 따라서 \(n>\max\{n_1, \, n_2\}\)일 때마다 \(a_n\in G_p\cap G_q\)이다. 즉, \(p\)와 \(q\)를 각각 포함하는 서로소인 두 열린 집합이 존재하지 않는다. 이는 \(X\)가 하우스도르프 공간이 아님을 의미한다. 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제 또한 참이다.

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일반적으로 위의 명제의 역은 성립하지 않지만 추가적인 조건을 부여하면 역도 성립한다.

[Theorem 0.4]

\(X\)가 제1가산공간이라고 하자. 그러면 \(X\)가 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 \(X\) 위에서의 모든 수렴하는 수열이 유일한 극한값을 갖는 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

[Theorem 0.3]에서 \(X\)가 하우스도르프 공간이면 \(X\) 위에서의 모든 수렴하는 수열이 유일한 극한을 가진다.

역으로 \(X\) 위에서의 수렴하는 수열이 유일한 극한을 가지면 \(X\)가 하우스도르프 공간임을 보이자. \(X\)가 하우스도르프 공간이 아니라고 하자. 그러면 어떤 서로 다른 두 점 \(p, q\in X\)가 존재하여 \(p\in G\)이고 \(q\in H\)인 서로소인 두 열린 집합 \(G, \, H\)가 존재하지 않는다. \(\cdots (*)\)

이때 \(X\)가 제1가산공간이므로 두 가산인 \(p, q\)에서의 축소 국소 기저(nested local base) \[\mathcal B_p=\{G_n \mid n\in \Bbb N\}, \; \; \mathcal B_q=\{H_n \mid n\in \Bbb N\}\]가 존재한다. 이때 \((*)\)에 의하여 모든 \(n\in \Bbb N\)에 대하여 \(G_n\cap H_n\neq \varnothing\)이다. 즉, \(x_n\in G_n\cap H_n\)인 \(x_n\in X\)를 택할 수 있다. 이렇게 구성된 수열 \(\{x_n\}\)은 수열의 극한의 정의에 의하여 \(p\)와 \(q\)로 각각 수렴하는 수열이 된다. 따라서 \(X\) 위에서 서로 다른 두 점으로 수렴하는 수열이 존재한다.

따라서 \(X\)가 제1가산공간이면 \(X\)가 하우스도르프 공간일 필요충분조건은 \(X\) 위에서의 모든 수렴하는 수열이 유일한 극한값을 갖는 것이다.

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자명하게 하우스도르프 공간은 \(T_1-\)공간이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 일례로 여유한 공간은 하우스도르프 공간이 아니다. 참고로 \(T_1-\)공간은 분리 공리에서 다루는 다른 공간들의 부속품같은 느낌이 있다. 따라서 앞으로 나오는 정칙 공간이나 정규 공간에도 \(T_1-\) 공간이 포함된 공간을 \(T-3, \, T_4\) 공간이라고 한다.

다음은 정칙 공간에 대한 설명이다.

[Definition 0.5]

\(F\)가 위상공간 \(X\)의 한 닫힌 부분집합이고 \(p\in X\)를 \(F\)에 속하지 않는 한 점이라고 하자. 이때 \(X\)가 다음 공리를 만족시키면 \(X\)를 정칙 공간(Regular Space)이라 한다.

[\(\mathbf R\)] 서로소인 두 열린 집합 \(G, \, H\)가 존재하여 \(p\in G\)와 \(F\subset H\)를 만족시킨다.

또한, 정칙 공간 \(X\)가 \(T_1-\)공간이면 \(X\)를 \(T_3-\)공간(\(T_3-\)Space) 또는 정칙 \(T_1-\)공간(Regular \(T_1-\)Space)이라 한다.

\(T_3-\)공간은 하우스도르프 공간이다. \(T_1-\)공간에서 홑원소집합은 닫힌 집합이기 때문이다. 그러나 정칙 공간이 하우스도르프 공간이 되지는 않는다. 다음 정리는 \(T_3-\)공간을 표현하는 다른 방법으로, 쓰임새가 많다.

[Theorem 0.6]

위상공간 \(X\)가 정칙 공간일 필요충분조건은 임의의 \(p\in X\)와 \(p\)를 포함하는 임의의 열린집합 \(H\)에 대하여 \(p\in G \subset \bar G \subset H\)를 만족시키는 열린 집합 \(G\)가 존재하는 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) \(p\)를 \(X\)의 한 점이라 하고, \(H\)를 \(p\)를 포함하는 한 열린 집합이라고 하자. \(X\)는 정칙 공간이고 \(p\notin H^c\)이고 \(H^c\)는 닫힌 집합이므로 두 서로소인 열린 집합 \(G, \, G'\)이 존재하여 \(p\in G\)이고 \(H^c\subset G'\)를 만족시킨다. 이때 \((G')^c\)는 닫힌 집합이고 폐포의 정의에 의하여 \[G\cap G'=\varnothing \; \Rightarrow \; G\subset \bar G \subset (G')^c\]이다. 따라서 \(p \in G \subset \bar G \subset H\)이다. 

(\(\Leftarrow\)) \(p\)를 \(X\)의 한 점이라 하고, \(F\)를 \(p\)를 포함하지 않는 한 닫힌 집합이라고 하자. 그러면 \(F^c\)는 \(p\)를 포함하는 한 열린 집합이다. 따라서 가정에 의하여 \(p\in G\subset \bar G \subset F^c\)인 열린 집합 \(G\)가 존재한다. 이때 \[\bar G \subset F^c \; \Rightarrow \; F\subset (\bar G)^c, \quad G\cap (\bar G)^c\subset G\cap G^c =\varnothing\]이므로 정칙 공간의 공리를 만족시키는 두 열린 집합 \(G, \, (\bar G)^c\)가 존재한다. 

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마지막으로 닫힌 집합이 항상 열린 근방에 의하여 구별되는 정규 공간이 있다.

[Definition 0.7] 

위상공간 \(X\)가 다음 공리를 만족시키면 \(X\)를 정규 공간(Normal Space)이라고 한다. 

[\(\mathbf N\)] 임의의 서로소인 두 닫힌 집합 \(F_1, \, F_2\)에 대하여 서로소인 두 열린 집합 \(G,\, H\)가 존재하여 \(F_1\subset G\)이고 \(F_2\subset H\)를 만족시킨다.

또한, 정규 공간 \(X\)가 \(T_1-\)공간이면 \(X\)를 \(T_4-\)공간(\(T_4-\)Space) 또는 정규 \(T_1-\)공간(Normal \(T_1-\)Space)이라 한다.

거리 공간의 서로소인 두 닫힌 집합은 서로소인 두 열린 집합에 의하여 분리되므로 정규 공간이다. (그만큼 거리 공간은 상당히 좋은 공간이다.) 또한 \(T_1-\)공간에서 홑원소집합은 닫힌 집합이므로 \(T_4-\)공간은 정칙 공간이 된다. 그러나 정규 공간이 항상 정칙 공간이 되는 것은 아니다.

정칙 공간에서의 성질과 비슷하게, 정규 공간에서도 비슷한 성질이 성립한다. 증명은 [Theorem 0.6]과 동일하다.

[Theorem 0.8]

위상공간 \(X\)가 정규 공간일 필요충분조건은 모든 닫힌 집합 \(F\)와 \(F\)를 포함하는 열린 집합 \(H\)에 대하여 열린 집합 \(G\)가 존재하여 \(F\subset G\subset \bar G \subset H\)를 만족시키는 것이다.

다음 그림은 위에서의 논의를 정리한 것이다.

 

우리손 보조 정리와 거리화 문제

위에서 보았듯이 거리 공간은 상당히 좋은 공간이므로 어떤 위상 공간이 거리화 가능한지 생각하는 것은 자연스럽다. 우리손은 이에 대한 일부의 해법을 제시하였다. 이에 대한 증명은 링크로 대체한다. (길다.)

[Theorem 1.0] (Uryshon's Lemma)

\(F_1, \, F_2\)를 정규 공간 \(X\)의 서로소인 두 닫힌 부분집합이라고 하자. 그러면 \(f[F_1]=\{0\}\)이고 \(f[F_2]=\{1\}\)을 만족시키는 연속함수 \(f: X \to [0, 1]\)이 존재한다.

# 증명 ▶

(Proof)

다음 링크를 참고하면 된다. (중간에 '우리손 보조정리의 증명' 을 보면 된다.)

정규 공간 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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위 증명의 핵심은 정규 공간의 정의를 이용하여 조밀한 열린집합열을 생성하여 연속함수를 만드는 것이다. 우리손의 보조정리를 이용하여 우리손의 거리화 정리를 보일 수 있다. 이 또한 증명은 간략하게만 기술하도록 한다.

[Theorem 1.1]

모든 제2 가산 정칙공간은 거리화 가능하다.

# 증명 ▶

(Illustration of the Proof)

(1) 제2 가산 정칙 공간은 정규 공간이다. 

(2) \(X\)는 제2 가산 공간이므로 가산인 기저 \(\mathcal B=\{G_n \mid n\in \Bbb N\}\)가 존재한다. 정규 공간의 성질에 의하여 임의의 \(G_i\in \mathcal B\, \)에 대하여 \(G_j\in \mathcal B\, \)가 존재하여 \(\bar {G_j} \subset G_i\)를 만족시킨다. 이때 이러한 열린 집합들의 순서쌍 \((G_j, \, G_i)\)은 가산개이다. 우리손 보조 정리에 의하여 모든 자연수 \(n\in \Bbb N\)에 대하여 연속함수 \(f_n: X \to [0, 1]\)가 존재하여 \(f_n[\overline {G_{j_n}}]=\{0\}\)이고 \(f_n[G_{i_n}^c]=\{1\}\)을 만족시킨다.

(3) 함수 \(f: X \to \mathbf I\, \)를 (\(\, \mathbf I \)는 힐베르트 입방체이다.) \[f(x)=\left(\frac{f_1(x)}{2}, \ \frac{f_2(x)}{2^2}, \  \frac{f_3(x)}{2^3}, \ \cdots\, \right)\]라 정의하면 \(f\)는 \(X\)에서 \(f[X]\)로의 위상동형사상이다. 즉, \(X\)는 힐베르트 입방체의 어떤 부분공간과 위상동형이다. 힐베르트 공간은 거리 공간이고, 그 부분공간 또한 거리 공간이므로 따라서 \(X\)는 거리화 가능하다.

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마지막으로 정칙 공간과 정규 공간 사이의 성질을 갖는 완비 정칙 공간이 있다.

[Definition 1.2]

위상공간 \(X\)가 다음 공리를 만족시키면 \(X\)를 완비 정칙 공간(Completely Regular Space)이라 한다.

[\(\mathbf {CR}\)] \(F\)가 \(X\)의 임의의 닫힌 부분집합이고 \(p\in X\)가 \(F\)에 속하지 않는 한 점일 때, 연속함수 \(f(p)=0\)이고 \(f[F]=\{1\}\)인 연속함수 \(f: X \to [0, 1]\)가 존재한다. 

\(T_1-\)공간인 완비 정칙 공간을 티호노프 공간(Tychonoff Space) 또는 \(T_{3_{1/2}}-\)공간이라 한다. 

티호노프 공간을 \(T_{3_{1/2}}-\)공간이라고 하는 이유는 다음과 같다.

[Theorem 1.3]

완비 정칙 공간은 정칙 공간이다.

# 증명 ▶

(Proof)

임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(F\)를 \(p\)를 포함하지 않는 한 닫힌 집합이라고 하자. \(X\)는 완비 정칙 공간이므로 정의에 의하여 연속함수 \(f: X \to [0, 1]\)가 존재하여 \(f(p)=0\)이고 \(f[F]=\{1\}\)을 만족시킨다. 이때 \([0, 1]\)은 \(\Bbb R\)의 보통 위상의 부분공간으로 하우스도르프 공간이다. 따라서 \([0, 1]\)에서 \(0\in G\)이고 \(1\in H\)인 서로소인 두 열린 집합 \(G, \, H\)이 존재한다. \(f\)는 연속함수이므로 \[\begin{align} &p\in f^{-1}[{f(p)}]\subset f^{-1}[G], \;\; F\subset (f^{-1}\circ f)[F] \subset f^{-1}[H], \\[.5em] &f^{-1}[G]\cap f^{-1}[H]=\varnothing, \; \; f^{-1}[G], \, f^{-1}[H]: \text{open} \end{align}\]을 만족시킨다. 따라서 \(X\)는 정칙 공간이다.

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.