[Chapter 10] 분리 공리 (2) - Problems

[Problem 1]

위상공간 $X$가 $T_1-$공간일 필요충분조건은 임의의 $p\in X$에 대하여 $\{p\}=\bigcap \{G\mid G:\text{open},p\in G\}$인 것을 보여라.

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(Proof)

($\Rightarrow$) $X$가 $T_1-$공간이므로 $p$가 아닌 임의의 $q\in X$에 대하여 $\{q{\}}^c$는 $p$를 포함하는 $X$가 아닌 가장 큰 열린 집합이다. 즉, $p$를 포함하는 임의의 열린 집합 $G$는 적당한 $a\in X$가 존재하여 $G\subset \{a{\}}^c$이다. 따라서 $$\bigcap \{G\mid G:\text{open},p\in G\}\subset \bigcap \{\{q{\}}^c\mid q\ne p\}=\{p\}$$이다. 

($\Leftarrow$) $p,q$를 $X$의 서로 다른 두 점이라고 하자. 가정에 의하여 $p$를 포함하고 $q$를 포함하지 않는 열린 집합 $G_1$이 존재한다. (그렇지 않으면 $\bigcap \{G\mid G:\text{open},p\in G\}\supset \{p,q\}$이다.) 비슷하게 $q$를 포함하고 $p$를 포함하지 않는 열린 집합 $G_2$가 존재한다. 따라서 $X$는 $T_1-$공간이다.

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[Problem 2]

위상공간 $X$가 무한인 하우스도르프 공간이라고 하자. 이때 $X$에 무수히 많은 서로소인 열린 집합이 존재함을 보여라.

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(Proof)

집합 $A$를 위상공간 $X$의 모든 고립점들의 집합이라고 하자. 집합 $A$가 무한집합인 경우 집합 $\mathcal{A}=\{\{x\}\mid x\in A\}$이 문제에서 구하는 무한개의 서로소인 열린 집합들의 모임이다. 

집합 $A$가 유한집합인 경우, $A$는 닫힌 집합이므로(하우스도르프 공간은 $T_1-$공간이다.) $A^c$는 열린 무한집합이고 단 하나의 고립점도 포함하지 않는다.
이때 서로 다른 두 점 $x_0,x_1\in A^c$에 대하여 $X$는 하우스도르프 공간이므로 $x_0\in U_0,x_1\in V_1$인 서로소인 열린 집합 $U_0,V_1$이 존재한다. 이때 $A^c$는 고립점을 단 하나도 포함하지 않으므로 $x_2\in V_1\mathrm{\setminus }\{x_1\}$가 존재하고, $x_1\in U_1\cap V_1,x_2\in V_2$인 두 서로소인 열린 집합 $U_1,V_2$이 존재한다. 
이러한 방식으로 임의의 자연수 $n$에 대하여 $x_{n+1}\in V_n\mathrm{\setminus }\{x_n\}$가 존재하고, $x_n\in U_n\cap V_n,x_{n+1}\in V_{n+1}$인 두 서로소인 열린 집합 $U_n,V_{n+1}$이 존재한다. 이렇게 만들어진 집합들의 모임 $\{U_n\}$은 쌍마다 서로소인 무한개의 열린 집합들의 모임이다.

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[Problem 3]

위상공간 $X$에서 하우스도르프 공간 $Y$로의 두 연속함수 $f:X\to Y$,  $g:X\to Y$에 대하여 집합 $$A=\{x\mid f(x)=g(x)\}$$는 $X$ 위의 닫힌 집합임을 보여라.

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(Proof)

집합 $A^c$가 열린 집합임을 보이자. $p\in A^c$라 하면 $f(p)\ne g(p)$이다. $Y$는 하우스도르프 공간이므로 $f(p)$와 $g(p)$의 서로소인 열린 근방 $G,H$가 각각 존재한다. 이때 두 함수 $f,g$는 연속함수이므로 $p\in f^{-1}[G]\cap g^{-1}[H]$이고 $f^{-1}[G]\cap g^{-1}[H]$은 열린 집합이다. $V=f^{-1}[G]\cap g^{-1}[H]$라 하면 $$\begin{array}{rl}& p\in V\subset f^{-1}[G]\Rightarrow f(p)\in (f\circ f^{-1})[G]\subset G\\ & p\in V\subset g^{-1}[H]\Rightarrow g(p)\in (g\circ g^{-1})[H]\subset H\end{array}$$이고 $G\cap H\ne \varnothing$이므로 $f(p)\ne g(p)$이다. 따라서 $p\in V\subset A^c$이다. 즉, $A^c$의 임의의 점은 내점이므로 $A^c$는 열린 집합이다. 즉, 주어진 집합 $A$는 닫힌 집합이다.

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[Problem 4]

집합 $A$를 $T_4-$공간의 닫힌 부분집합이라고 하자. 이때 부분공간 $A$ 또한 $T_4-$공간임을 보여라.

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(Proof)

$T_4-$공간 $X$의 부분공간 $A$ 위에서 서로소인 두 닫힌 집합 $F_1,F_2$에 대하여 $X$의 닫힌 두 부분집합 $K_1,K_2$이 존재하여 $$F_1=A\cap K_1,F_2=A\cap K_2$$을 만족시킨다. 이때 $A$가 닫힌 집합이므로 $F_1,F_2$는 $X$의 닫힌 부분집합이다. $X$는 $T_4-$공간이므로 서로소인 두 열린 집합 $G,H$가 존재하여 $F_1\subset G,F_2\subset H$를 만족시킨다. 즉, $$\begin{array}{rl}& F_1=A\cap K_1\subset G\Rightarrow A\cap F_1=F_1\subset A\cap G\\ & F_2=A\cap K_2\subset H\Rightarrow A\cap F_2=F_2\subset A\cap H\end{array}$$이고 $A\cap G,A\cap H$는 부분공간 $A$의 서로소인 열린 부분집합이므로 $A$ 또한 $T_4-$공간이다.

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[Problem 5]

아래 정리를 이용하여 우리손 보조정리(Urysohn's Lemma)를 증명하시오. 

[티체 확장 정리: Tietze Extension Theorem] 
정규 공간 $X$의 닫힌 부분집합 $F$에 대하여 함수 $f:F\to [a,b]$가 연속이라고 하자. 이때 $f$가 연속인 확장함수 $f^{\ast }:X\to [a,b]$가 존재한다. 

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(Proof)

임의의 위상공간 위에서의 상수함수는 연속이다. 정규공간 $X$의 두 서로소인 닫힌 집합 $F_1,F_2$에 대하여 두 함수 $$\begin{array}{rl}& f_1:F_1\to [0,1],f_1[F_1]=\{0\}\\ & f_2:F_2\to [0,1],f_2[F_2]=\{1\}\end{array}$$는 모두 연속이다. 이때 $F_1,F_2$는 모두 닫힌 집합이므로 함수 $$\begin{array}{rl}& f_1\cup f_2:F_1\cup F_2\to [0,1],\\ & (f_1\cup f_2)(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x\in F_1)\\ 1& (x\in F_2)\end{array}\end{array}$$ 또한 연속함수이다. 따라서 티체 확장 정리에 의하여 $f_1\cup f_2$의 연속인 확장 함수 $f:X\to [0,1]$가 존재하여 $f[F_1]=\{0\},f[F_2]=\{1\}$을 만족시킨다.

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.