[Chapter 10] 분리 공리 (2) - Problems

[Problem 1]

위상공간 \(X\)가 \(T_1-\)공간일 필요충분조건은 임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(\{p\}=\bigcap \{G \mid G: \text{open}, \; p\in G\}\)인 것을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) \(X\)가 \(T_1-\)공간이므로 \(p\)가 아닌 임의의 \(q\in X\)에 대하여 \(\{q\}^c\)는 \(p\)를 포함하는 \(X\)가 아닌 가장 큰 열린 집합이다. 즉, \(p\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G\)는 적당한 \(a\in X\)가 존재하여 \(G\subset \{a\}^c\)이다. 따라서 \[\bigcap \{G \mid G:\text{open}, \; p\in G\}\subset \bigcap \{\{q\}^c \mid q\neq p\}=\{p\}\]이다. 

(\(\Leftarrow\)) \(p, \, q\)를 \(X\)의 서로 다른 두 점이라고 하자. 가정에 의하여 \(p\)를 포함하고 \(q\)를 포함하지 않는 열린 집합 \(G_1\)이 존재한다. (그렇지 않으면 \(\bigcap \{G \mid G: \text{open}, \; p\in G\}\supset \{p, \, q\}\)이다.) 비슷하게 \(q\)를 포함하고 \(p\)를 포함하지 않는 열린 집합 \(G_2\)가 존재한다. 따라서 \(X\)는 \(T_1-\)공간이다.

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[Problem 2]

위상공간 \(X\)가 무한인 하우스도르프 공간이라고 하자. 이때 \(X\)에 무수히 많은 서로소인 열린 집합이 존재함을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

집합 \(A\)를 위상공간 \(X\)의 모든 고립점들의 집합이라고 하자. 집합 \(A\)가 무한집합인 경우 집합 \(\mathscr A=\{\{x\} \mid x\in A\}\)이 문제에서 구하는 무한개의 서로소인 열린 집합들의 모임이다. 

집합 \(A\)가 유한집합인 경우, \(A\)는 닫힌 집합이므로(하우스도르프 공간은 \(T_1-\)공간이다.) \(A^c\)는 열린 무한집합이고 단 하나의 고립점도 포함하지 않는다.
이때 서로 다른 두 점 \(x_0, \, x_1\in A^c\)에 대하여 \(X\)는 하우스도르프 공간이므로 \(x_0\in U_0, \; x_1\in V_1\)인 서로소인 열린 집합 \(U_0, \, V_1\)이 존재한다. 이때 \(A^c\)는 고립점을 단 하나도 포함하지 않으므로 \(x_2\in V_1 \, \backslash \, \{x_1\}\)가 존재하고, \(x_1\in U_1\cap V_1, \; x_2\in V_2\)인 두 서로소인 열린 집합 \(U_1, \, V_2\)이 존재한다. 
이러한 방식으로 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(x_{n+1}\in V_n \, \backslash \, \{x_n\}\)가 존재하고, \(x_n\in U_n\cap V_n, \; x_{n+1}\in V_{n+1}\)인 두 서로소인 열린 집합 \(U_n, \, V_{n+1}\)이 존재한다. 이렇게 만들어진 집합들의 모임 \(\{U_n\}\)은 쌍마다 서로소인 무한개의 열린 집합들의 모임이다.

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[Problem 3]

위상공간 \(X\)에서 하우스도르프 공간 \(Y\)로의 두 연속함수 \(f: X \to Y\),  \(g: X \to Y\)에 대하여 집합 \[A=\{x \mid f(x)=g(x)\}\]는 \(X\) 위의 닫힌 집합임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

집합 \(A^c\)가 열린 집합임을 보이자. \(p\in A^c\)라 하면 \(f(p)\neq g(p)\)이다. \(Y\)는 하우스도르프 공간이므로 \(f(p)\)와 \(g(p)\)의 서로소인 열린 근방 \(G,\, H\)가 각각 존재한다. 이때 두 함수 \(f, \, g\)는 연속함수이므로 \(p\in f^{-1}[G]\cap g^{-1}[H]\)이고 \(f^{-1}[G]\cap g^{-1}[H]\)은 열린 집합이다. \(V=f^{-1}[G]\cap g^{-1}[H]\)라 하면 \[\begin{align} &p\in V\subset f^{-1}[G] \; \Rightarrow \; f(p)\in (f\circ f^{-1})[G]\subset G \\[.4em] &p\in V\subset g^{-1}[H] \; \Rightarrow \; g(p)\in(g\circ g^{-1})[H] \subset H\end{align}\]이고 \(G\cap H\neq \varnothing\)이므로 \(f(p)\neq g(p)\)이다. 따라서 \(p\in V\subset A^c\)이다. 즉, \(A^c\)의 임의의 점은 내점이므로 \(A^c\)는 열린 집합이다. 즉, 주어진 집합 \(A\)는 닫힌 집합이다.

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[Problem 4]

집합 \(A\)를 \(T_4-\)공간의 닫힌 부분집합이라고 하자. 이때 부분공간 \(A\) 또한 \(T_4-\)공간임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(T_4-\)공간 \(X\)의 부분공간 \(A\) 위에서 서로소인 두 닫힌 집합 \(F_1, \, F_2\)에 대하여 \(X\)의 닫힌 두 부분집합 \(K_1, \, K_2\)이 존재하여 \[F_1=A\cap K_1, \; F_2=A\cap K_2\]을 만족시킨다. 이때 \(A\)가 닫힌 집합이므로 \(F_1, \, F_2\)는 \(X\)의 닫힌 부분집합이다. \(X\)는 \(T_4-\)공간이므로 서로소인 두 열린 집합 \(G, \, H\)가 존재하여 \(F_1\subset G, \; F_2\subset H\)를 만족시킨다. 즉, \[\begin{align} &F_1=A\cap K_1\subset G \; \Rightarrow \; A\cap F_1=F_1\subset A\cap G \\[.4em] &F_2=A\cap K_2\subset H \; \Rightarrow \; A\cap F_2=F_2\subset A\cap H\end{align}\]이고 \(A\cap G, \; A\cap H\)는 부분공간 \(A\)의 서로소인 열린 부분집합이므로 \(A\) 또한 \(T_4-\)공간이다.

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[Problem 5]

아래 정리를 이용하여 우리손 보조정리(Urysohn's Lemma)를 증명하시오. 

[티체 확장 정리: Tietze Extension Theorem] 
정규 공간 \(X\)의 닫힌 부분집합 \(F\)에 대하여 함수 \(f: F \to [a, b]\, \)가 연속이라고 하자. 이때 \(f\)가 연속인 확장함수 \(f^*: X \to [a, b]\, \)가 존재한다. 

# Solution ▶

(Proof)

임의의 위상공간 위에서의 상수함수는 연속이다. 정규공간 \(X\)의 두 서로소인 닫힌 집합 \(F_1, \, F_2\)에 대하여 두 함수 \[\begin{align} &f_1: F_1 \to [0, 1], \; f_1[F_1]=\{0\} \\[.4em] &f_2: F_2 \to [0, 1], \; f_2[F_2]=\{1\}\end{align}\]는 모두 연속이다. 이때 \(F_1, \, F_2\)는 모두 닫힌 집합이므로 함수 \[\begin{align} &f_1\cup f_2: F_1\cup F_2 \to [0, 1], \\[.5em] &(f_1\cup f_2)(x)=\begin{cases}0 & (x\in F_1)\\[.3em]1 & (x\in F_2)\end{cases}\end{align}\] 또한 연속함수이다. 따라서 티체 확장 정리에 의하여 \(f_1\cup f_2\)의 연속인 확장 함수 \(f: X \to [0, 1]\)가 존재하여 \(f[F_1]=\{0\}, \; f[F_2]=\{1\}\)을 만족시킨다.

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.