[Topics in Analysis] 2. The Real Line

\(\Bbb R\)의 위상

해석학에서 다루는 분야는 크게 보면, 극한과 연속, 미분과 적분가능성, 급수 등이 있다. 이를 자세하기 다루기 위해서는 미적분학이나 대수학 등에서 다루었던 기본적인 실수의 성질이 아니라 \(\Bbb R\)의 구조적인 성질을 이해할 필요가 있다. 위상수학에서는 이로부터 더욱 발전된 논의를 진행하는데, 여기에서는 실해석학에서 필요한 부분만 다룬다.

다음은 기초적인 집합들의 연산과 정의들에 관한 설명이다. 집합에서 어떤 특성을 갖는 원소들의 전체의 집합을 전체집합(universal set)이라 하는데, 여기에서는 당연히 전체집합을 \(\Bbb R\)로 간주한다.

[Definition 2.0]

\(S\)와 \(T\)를 집합이라고 하자.

(a) \(S\)의 모든 원소가 \(T\)의 원소이면 \(S\)가 \(T\)의 부분집합(subset)이라 하고, 기호로 \(S\subset T\) 또는 \(T\supset S\)와 같이 표기한다. 

(b) \(S\)의 원소 중에서 \(T\)의 원소가 아닌 것들의 집합을 \(S\)와 \(T\)의 차집합(difference set)이라 하고, 기호로 \(S-T\) 또는 \(S\ \backslash \ T\)와 같이 표기한다.  

(c) \(S\subset T\)이고 \(T\subset S\)이면, 즉 두 집합의 모든 원소가 같으면 \(S=T\)라 하고, 두 집합은 서로 같다(equal)고 한다. 

(d) \(S\subset T\)이고 \(T\not \subset S\)이면 \(S\)가 \(T\)의 진부분집합(proper subset)이라 한다. 

(e) 전체집합의 원소 중에서 \(S\)에 속하지 않는 원소들의 집합을 \(S\)의 여집합(complement)이라 하고, 기호로 \(S^c\)와 같이 표기한다. 

(f) 원소를 단 하나도 갖지 않는 집합을 공집합(the empty set)이라 하고, 기호로 \(\varnothing\)와 같이 나타낸다.

(g) \(S\)의 원소이거나 \(T\)의 원소인 것들의 집합을 \(S\)와 \(T\)의 합집합(union)이라 하고, 기호로 \(S\cup T\)와 같이 표기한다.

(h)  \(S\)의 원소이고 \(T\)의 원소인 것들의 집합을 \(S\)와 \(T\)의 교집합(intersection)이라 하고, 기호로 \(S\cap T\)와 같이 표기한다. 또한 \(S\cap T=\varnothing\)이면 \(S\)와 \(T\)를 서로소(disjoint)라고 한다. 

(i) 하나의 원소 \(x_0\)로만 이루어진 집합을 한원소집합 또는 홑원소집합(singleton set)이라 하고, 기호로 \(\{x_0\}\)와 같이 표기한다.

[Example 2.1]

유리수 전체의 집합을 \(\Bbb Q\)라 하면 무리수 전체의 집합은 \(\Bbb Q^c\)이다. 또한 \(\Bbb Q\subset \Bbb R\)이고 \(\Bbb Q^c\subset \Bbb R\)이다. \(\Bbb Q\cap \Bbb Q^c=\varnothing\)이다. 그리고 \(\Bbb Q\cup \Bbb Q^c=\Bbb R\)이다. 

여러 집합의 교집합과 합집합은 합의 기호 \(\sum\)이나 \(\prod\)와 같이 다음의 기호로 표현할 수 있다. 

[Definition 2.2]

(1) 집합 \(I\)에서 \(X\)로의 함수 \(x\)를 \[x: I\to X, \quad i\mapsto x_i=x(i)\]라 하자. 이때 \(x_i\)들의 집합을 \(I\)에 의하여 첨수(번호, 지표)가 부여된 집합(a family of \(X\) indexed by \(I\))이라 한다. 이 집합을 \(\{x_i\}_{i\in I}\)와 같이 표기한다. 예를 들어 \(I=\Bbb N\)인 경우, \(\{x_i\}_{i\in I}=\{x_1, \, x_2, \, \cdots, \, x_n\}\)이다. 

(2) 집합들의 모임 \(\{A_i\}_{i\in I}\)에 대하여 이 집합들의 교집합과 합집합을 각각 \[\bigcap \{A_i: i\in I\} \, \left(=\bigcap_i A_i\right), \ \ \bigcup \{A_i: i\in I\} \, \left(=\bigcup_i A_i \right)\]과 같이 표기한다. 특히, \(I=\{1, \, 2, \, \cdots, \, n\}\)인 경우 위의 집합을 \[\bigcap_{k=1}^n A_k=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n, \ \ \bigcup_{k=1}^n A_k=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\]과 같이 표기하고, \(I=\Bbb N\)인 경우 위의 집합을 각각 다음과 같이 표기하기도 한다. \[\bigcap_{n=1}^\infty A_n=A_1\cap A_2\cap \cdots , \ \ \bigcup_{n=1}^\infty A_n=A_1\cup A_2\cup \cdots\]

(3) \(\mathcal F\)를 어떤 집합들의 모임이라고 하자. 이때 \(F\)의 각 원소(집합)들의 교집합과 합집합을 각각 \[\bigcap \{S: S\in \mathcal F\}, \ \ \bigcup \{S: S\in \mathcal F\}\]과 같이 표기한다. 

[Example 2.3]

집합 \(S_a=\{x: a<x\leq 1+a\}\)에 대하여 \(\mathcal F=\{S_a: 0<a\leq 1/2\}\)라 하자. 이때 \[\begin{align} &\bigcup \{S_a: S_a\in \mathcal F\}=\{x: 0<x\leq 3/2\},\\[.4em] & \bigcap \{S_a: S_a\in \mathcal F\}=\{x: 1/2<x\leq 1\}\end{align}\]이다. 

실수 전체의 집합의 구조적 성질은 '열린 구간'이라고 대표되는 '열린 집합'이라는 개념을 통해 구성된다. 이 집합들의 연산을 이용하여 \(\Bbb R\)의 위상(topology)을 구성한다. 이들을 이용하여 해석학에서의 여러 개념을 엄밀하게 정의한다. 우선 구간이란 다음의 성질을 가지는 \(\Bbb R\)의 부분집합이다.

[Definition 2.4]

\(\Bbb R\)의 부분집합 \(E\)가 \(x, \, y\in E\)이고 \(x<z<y\)일 때마다 \(z\in E\)를 만족시키면 \(E\)를 구간(interval)이라 한다. 

즉, 구간은 어떤 범위에 속하는 모든 실수들의 집합이다. 구간의 종류는 다음과 같이 열린구간, 닫힌구간, 반열린(닫힌)구간이라 분류할 수 있다.

(i) 열린구간(open interval): \[\begin{align} &(a,\, b)=\{x: a<x<b\}, \\[.4em] &(-\infty,\, a)=\{x: x<a\}, \ \ (a,\, \infty)=\{x:x>a\}\end{align}\] (ii) 닫힌구간(closed interval): \[[a, b]=\{x: a\leq x\leq b\}\] (iii) 반열린(닫힌)구간(half-closed or half-open interval): \[[a, b)=\{x: a\leq x<b\}, \ \ (a, b]=\{x: a<x\leq b\}\] 이를 이용하여 열린 집합과 닫힌 집합을 정의한다. 

[Definition 2.5]

(1) 실수 \(x_0\)와 \(\epsilon>0\)에 대하여 열린구간 \((x_0-\epsilon, \, x_0+\epsilon)\)을 \(x_0\)의 \(\epsilon-\)근방 (\(\epsilon-\)neighborhood)라 한다. 또, \(x_0\)의 열린 근방의 원소 중에서 \(x_0\)를 제외한 원소들의 집합 \(\{x: 0<|x-x_0|<\epsilon\}\)을 삭제된 \(\epsilon-\)근방(deleted \(\epsilon-\)neighborhood)이라 한다. 

(2) 집합 \(S\)가 \(x_0\)의 \(\epsilon-\)근방을 포함하면 \(S\)를 \(x_0\)의 근방(neighborhood)라 하고 \(x_0\)의 집합 \(S\)의 내점(interior point)라 한다. 집합 \(S\)의 모든 내점들의 집합을 \(S\)의 내부(interior)라 하고, 기호로 \(\text{Int}S\) 또는 \(S^\circ\)라 표기한다. 

(3) \(S\)의 모든 원소가 \(S\)의 내점이면 \(S\)를 열린 집합(open set)이라 하고, \(S^c\)가 열린 집합이면 \(S\)를 닫힌 집합(closed set)이라 한다. 

다음과 같이 \(S\)를 선분으로 나타내고 \(S\)의 내점 \(x_0\)를 이 선분 위의 점으로 나타내면, \(x_0\)과 그 근방은 다음 그림과 같다. 

 

근방이라는 용어는 일상적인 언어에서의 의미와 같이 어떤 점과 '가까운' 집합을 의미한다. \(\epsilon\)도 아주 작은 양수라는 의미로 자주 이용한다. 즉, \(x_0\)의 근방은 \(x_0\)와 거리가 충분히 가까운 점들의 집합을 의미한다. 

[Example 2.6]

열린구간 (\(a, b\))는 열린 집합이다. 임의의 \(x_0\in (a, b)\)에 대하여 \(\epsilon=\min\{x_0-a, \, b-x_0\}\)이라 하면 \[(x_0-\epsilon, \, x_0+\epsilon)\subset (a, b)\]이기 때문이다. 비슷한 방법으로 \(\Bbb R\)은 열린 집합이고, \(\varnothing=\Bbb R^c\)은 닫힌 집합이다. 그러나 \(\varnothing\)에는 아무 원소도 존재하지 않으므로 \(\varnothing\)은 열린 집합이다. (빈참명제) 따라서 \(\Bbb R\)은 닫힌 집합이다. 이로써 \(\varnothing, \, \Bbb R\)은 \(\Bbb R\)에서 열린 집합이면서 닫힌 집합이다. 이러한 집합을 열린 닫힌 집합(clopen set)이라 한다. (참고로 \(\Bbb R\)의 열린 닫힌 집합은 \(\Bbb R\)과 \(\varnothing\)뿐이다.) 

\(\Bbb R\)의 열린 집합에 대해 다음 정리가 성립한다. (다음 정리는 일반위상수학에서는 위상공간의 '정의'로 간주된다.)

[Theorem 2.7]

(1) 열린 집합들의 합집합은 열린 집합이다.
(2) 두 열린 집합의 교집합은 열린 집합이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

(1) \(\{G_i\}_{i\in I}\)를 열린 집합들의 모임이라고 하자. \(G=\bigcup_i G_i\)라 하고 \(x_0\in G\)이라 하면, \(i_0\in I\)가 존재하여 \(x_0\in G_{i_0}\)이다. 열린 집합의 정의에 의하여 어떤 \(\epsilon>0\)에 대하여 \((x_0-\epsilon, \, x_0+\epsilon)\subset G_{i_0}\)이고, \(G_{i_0}\subset G\)이므로 \((x_0-\epsilon, \, x_0+\epsilon)\subset G\)이다. 따라서 \(x_0\)은 \(G\)의 내점이다. \(x_0\)은 \(G\)에서 선택한 임의의 원소이므로 \(G\)는 열린 집합이다.

(2) \(G\), \(H\)를 두 열린 집합이라고 하자. \(G\cap H=\varnothing\)이면 \(G\cap H\)는 열린 집합이다. \(G\cap H\neq \varnothing\)이라 하자. \(x_0\in G\cap H\)이라 하면 \(x_0\in G\)이고 \(x_0\in H\)이므로 두 양수 \(\epsilon_1, \ \epsilon_2\)가 존재하여 \[(x_0-\epsilon_1, \, x_0+\epsilon_1)\subset G, \ \ (x_0-\epsilon_2, \, x_0+\epsilon_2)\subset H\]를 만족시킨다. 따라서 \(\epsilon=\min\{\epsilon_1, \, \epsilon_2\}\)이라 하면 \[(x_0-\epsilon, \, x_0+\epsilon)\subset G\cap H\]이다. 즉, \(G\cap H\)는 열린 집합이다. 

# ◀ 닫기

참고로, (1)은 '임의의 수의' 열린 집합들의 합집합을 의미하고 (2)의 '두 열린 집합'이라는 의미는 '유한개'의 열린 집합을 의미하기도 한다. 유한개의 교집합은 두 집합의 교집합을 여러 번 함으로써 얻어질 수 있기 때문이다. 한편, 드 모르간 법칙(De Morgan's Law)에 의하여 위 정리는 다음과 동치이다. 

[Corollary 2.8]

(1) 닫힌 집합들의 교집합은 닫힌 집합이다.
(2) 두 닫힌 집합의 합집합은 닫힌 집합이다. 

다음은 무한개의 열린 집합의 교집합은 열린 집합이 되지 않을 수도 있다는 것을 보여준다.

[Example 2.9]

자연수 \(n\)에 대하여 \(G_n=\displaystyle \left(-\frac{1}{n}, \, \frac{1}{n}\right)\)은 열린 집합이다. 그러나 \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty G_n=\{0\}\)이고, 홑원소집합 \(\{0\}\)은 \(0\)의 어떤 근방도 포함하지 않으므로 이는 열린 집합이 아니다. 

다음은 위상공간과 관련된 여러 개념에 대한 설명이다. \(\Bbb R\)에서는 수의 집합을 수직선으로, 각 실수를 점으로 생각하면 직관적으로 이해하기가 쉽다. 

[Definition 2.10]

(1) \(x_0\)의 임의의 삭제된 근방이 집합 \(S\)의 점을 포함하면 \(x_0\)를 \(S\)의 집적점 또는 극한점(limit point, accumulation point)이라고 한다. 즉, \(x_0\)가 집합 \(S\)의 집적점이라는 것은 \(x_0\)가 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \[\{(x_0-\epsilon, \, x_0+\epsilon)\, \backslash \, \{x_0\}\}\cap S\neq \varnothing\]을 만족시키는 것이다. 집합 \(S\)의 모든 집적점들의 집합을 유도집합(derived set)이라 하고, \(S'\)이라 표기한다. 

(2) \(x_0\)의 임의의 근방이 두 집합 \(S\)와 \(S^c\)의 점을 포함하면 \(x_0\)을 \(S\)의 경계점(boundary point)이라 한다. 즉, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \[(x_0-\epsilon, \, x_0+\epsilon)\cap S\neq \varnothing, \ \ (x_0-\epsilon, \, x_0+\epsilon)\cap S^c\neq \varnothing\]이면 \(x_0\)를 \(S\)의 경계점이라고 한다. 집합 \(S\)의 모든 경계점들의 집합을 경계(boundary)라 하고, 기호로는 \(\partial S\)라 표기한다. 

(3) 집합 \(S\)의 폐포(closure)란 집합 \(S\)를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합이다. 즉, \(S\)를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다. \(S\)의 폐포를 기호로 \(\overline S\)라 표기한다.

(4) \(x_0\)가 자기 자신만을 원소로 갖는 근방을 가지면, 즉, \(x_0\)의 어떤 근방이 자기 자신을 제외한 \(S\)의 어떤 점도 포함하지 않으면 이를 고립점(isolated point)이라 한다. 

(5) \(x_0\)가 집합 \(S^c\)의 내점이면 \(x_0\)를 \(S\)의 외점(exterior point)이라 한다. \(S\)의 외점들의 집합을 \(S\)의 외부(exterior)라 하고, 기호로 \(\text{Ext}(S)\)라 표기한다. 

실제로 \(\Bbb R\)의 임의의 열린 집합은 '가산 개의' 열린 구간의 합집합으로 나타낼 수 있음이 알려져 있는데 닫힌 집합은 이러한 방식으로 관찰하기 힘든 경우가 많다. 이때 다음 정리가 유용하게 이용될 수 있다.

[Theorem 2.11]

(1) 집합 \(S\)가 닫힌 집합일 필요충분조건은 \(S'\subset S\)인 것이다. 
(2) \(\overline S=S\cup \partial S\)

# 증명 ▶

(Proof)

(1): (\(\Rightarrow\)) \(S\)가 닫힌 집합이라 하고 \(x_0\in S'\)이라 하자. 만약 \(x_0\in S^c\)이면 \(S^c\)는 열린 집합이므로 \(x_0\)의 어떤 열린 근방은 \(S^c\)에 완전히 포함된다. 이는 \(x_0\in S'\)이라는 데에 모순이다. 따라서 \(x_0\in S'\)이면 \(x_0\in S\)이다. 

(\(\Leftarrow\)) \(x_0\in S^c\)라 하면 \(S'\subset S \ \Rightarrow \ x_0\notin S'\)이다. 따라서 \(x_0\)의 어떤 열린 근방 \(D\)는 \(S\)의 원소를 하나도 포함하지 않는다. 따라서 \(x_0\in D\subset S^c\)이므로 \(S^c\)는 열린 집합이다. 이로써 \(S\)는 닫힌 집합이다.

(2): (\(\subset\)) \(x_0\notin \partial S\)라 하자. 그러면 경계의 정의에 의하여 \(x_0\)의 어떤 근방은 \(S\) 또는 \(S^c\)의 원소를 하나도 포함하지 않는다. 즉, \(x_0\)의 근방이 \(S\)에 속하거나 \(S^c\)에 속하므로 \(x_0\)은 \(S\)의 내점이거나 \(S^c\)의 내점이다. 따라서 \(x_0\in A^\circ\cup \text{Ext}(S)\)이고, \(x_0\in (S\cup \partial S)^c\)이면 \(x_0\in S^c\cap (\partial S)^c \ \Rightarrow \ x_0\in \text{Ext}(S)\)이다. 즉, \(S\cup \partial S\)는 \(S\)를 포함하는 닫힌 집합이므로 \(\bar S \subset S \cup \partial S\)이다. 

(\(\supset\)) \(x_0\in \partial S\)라 하자. 그러면 \(x_0\)의 임의의 \(\epsilon-\)근방은 \(S\)의 원소를 포함한다. (1)에 의하여 \(x_0\in S'\subset \bar S\)이다. 

# ◀ 닫기

[Example 2.12]

자연수 \(n\)에 대하여 집합 \(I_n\)과 \(S\)를 \[I_n=\left[\frac{1}{2n+1}, \, \frac{1}{2n}\right], \quad S=\bigcup_{n=1}^\infty I_n \]이라 하자. 그러면

(a) 각 \(I_n\)의 모든 점의 임의의 근방은 \(I_n\)의 점을 포함하므로 \(S\)의 모든 점은 \(S\)의 집적점이다. 그리고, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 아르키메데스 원리에 의하여 \((2n+1)\epsilon>1 \ \Rightarrow \ \epsilon>1/(2n+1)\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 따라서 이 \(n\)에 대하여 \((-\epsilon, \, \epsilon)\cap I_n\neq \varnothing\)이므로 \(0\)은 \(S\)의 집적점이다. 따라서 \(S'=S\cup \{0\}\)이다. 

(b) \(S\)의 경계점은 각 \(I_n\)의 끝점을 포함한다. 또한, \(a\)에서 \(0\)의 임의의 근방은 \(S\)의 원소와 \(S^c\)의 원소(음수)를 포함한다. 이로부터 \(\partial S=\{x: x=0 \; \text{or} \; x=1/n \ (n\geq2)\}\)를 얻는다. 또한 \(\bar S=S\cup S'=S\cup \{0\}\)이다. 

(c) \(S\)는 한 점만을 포함하는 열린 근방을 가지지 않는다. 즉, \(S\)의 고립점은 존재하지 않는다.

(d) \(S\)의 외부는 \(S^c\)에 속하는 가장 큰 열린 집합이므로 \[\text{Ext}(S)=(-\infty, \, 0)\cup \left[\bigcup_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2n+2}, \, \frac{1}{2n+1}\right)\right]\cup \left(\frac{1}{2}, \, \infty\right)\]이다. 

 

컴팩트집합과 하이네 - 보렐 정리

\(\Bbb R\)의 위상적 구조에서 가장 중요하게 다뤄지는 것 중 하나가 '컴팩트'라는 개념이다. 컴팩트란 충분히 성긴 공간(점들이 충분히 모여 있는 공간)을 의미하는데, 컴팩트집합에서 정의된 함수나 급수는 여러 좋은 성질을 갖는다. 하이네 - 보렐 정리는 \(\Bbb R\)에서의 컴팩트집합에 대한 완벽한 설명을 한다. 우선 이 집합을 설명하기 위해서 덮개라는 개념이 필요하다.

[Definition 2.13] 

\(\Bbb R\)의 열린 집합들의 모임을 \(\mathcal H\)라 하자. 집합 \(S\)의 각 점이 \(\mathcal H\)에 속하는 집합의 원소이면 (즉, \(S\subset \bigcup\{G: G\in \mathcal H\}\)이면) \(\mathcal H\)를 \(S\)의 열린 덮개(open cover, open covering)이라 한다. 

[Example 2.14]

집합 \(S=[0, 1]\)에 대하여

(1) \(\mathcal H=\{(-1/2,\, 1/2), \ (1/4, \,3/4), \ (1/2,\, 3/2)\}\)라 하면 \(H\)는 \(S\)의 유한 열린 덮개(finite open cover)이다. 
(2) \(\mathcal G=\left\{\left(x-\frac{1}{2n},\, x+\frac{1}{2n}\right): x\in \Bbb Q\cap(0, 1), \; n\in \Bbb N \right\}\)은 \(S\)의 가산 열린 덮개(countable open cover)이다. 

컴팩트집합이란 공간의 밀도를 설명하는 개념으로, 다음 그림과 같이 집합의 어떤 열린 덮개이든지 항상 유한개로 줄일 수 있을 정도로 점들이 충분히 모여 있는 집합을 의미한다.

[Definition 2.15]

(1) 집합 \(S\)의 열린 덮개 \(\mathcal G\)에 대하여 \(\mathcal G^*\subset \mathcal G\)이고 \(\mathcal G^*\)가 \(S\)의 열린 덮개이면 \(\mathcal G^*\)를 \(\mathcal G\)의 열린 부분덮개(open subcover)라고 한다. 특히 \(G^*\)가 유한집합인 경우 이를 유한 열린 부분덮개(finite open subcover)라고 한다. 

(2) 집합 \(S\)의 임의의 열린 덮개 \(\mathcal G\)에 대하여 \(S\)가 항상 \(G\)의 유한 열린 부분덮개를 가지면 \(S\)를 컴팩트집합(compact set)이라 한다. 

컴팩트집합의 성질 때문에 컴팩트집합을 정의역으로 갖는 함수는 좋은 성질을 가진다. 최대, 최소 정리나 균등연속에 관련된 내용에서 컴팩트집합의 성질을 이용할 수 있다.

일반적인 위상 공간에서는 컴팩트집합을 간단히 분류하기 쉽지 않으나 \(\Bbb R\)에서는 컴팩트집합을 다음과 같이 간단하게 분류할 수 있다.

[Theorem 2.16] [Heine-Borel Theorem: 하이네-보렐 정리]

\(\Bbb R\)의 부분집합 \(S\)가 컴팩트일 필요충분조건은 \(S\)가 유계이고 닫힌 집합인 것이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) \(S\)가 유계가 아니라고 하면 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(|n|<a\)인 \(a\in S\)가 존재하므로 \(\mathcal G=\{(-n, \, n): n\in \Bbb N\}\)은 유한 열린 부분덮개를 가지지 않는다. 따라서 \(S\)는 컴팩트가 아니다. 또한, \(S\)가 닫힌 집합이 아닌 경우 집합 \(S\)의 집적점 \(\lambda\) 중에서 \(\lambda\notin S\)인 \(\lambda\)가 존재한다. 이때 집합 \(S\)의 열린 덮개 \(\mathcal G\) 중에서 \[\left\{\left(\lambda-\frac{1}{n}, \, \lambda-\frac{1}{n+1}\right)\cup \left(\lambda+\frac{1}{n+1}, \, \lambda+\frac{1}{n}\right): n\in \Bbb N\right\}\subset \mathcal G\]인 것을 택하자. 만약 \(\mathcal G\)가 유한 열린 부분덮개를 가진다면 \[\left(\lambda-\frac{1}{n_0}, \, \lambda-\frac{1}{n_0+1}\right)\cup \left(\lambda+\frac{1}{n_0+1}, \, \lambda+\frac{1}{n_0}\right)\in \mathcal G\]인 최대의 자연수 \(n_0\)가 존재한다. 즉, \(S\cap \left(\lambda-\frac{1}{n_0+1}, \, \lambda+\frac{1}{n_0+1}\right)=\varnothing\)이다. 이는 \(\lambda\)가 \(S\)가 집적점이라는 데에 모순이다. 

(\(\Leftarrow\)) \(S\)가 유계집합이므로 \(S\)는 하한 \(\alpha\)와 상한 \(\beta\)를 갖는다. 이때 \(S\)가 닫힌 집합이고, \(\alpha, \, \beta\)는 \(S\)의 집적점이므로 \(\alpha, \,\beta\in S\)이다. 이때 집합 \(S\)의 임의의 열린 덮개 \(\mathcal G\)에 대하여 \(S_t\)를 \[S_t=S\cap [\alpha, \,t]\,, \quad t\geq \alpha\]라 하자. 집합 \(F\)를 \(t\in [\alpha, \beta]\)이고 \(S_t\)가 \(\mathcal G\)의 유한개의 원소에 의하여 덮히는 \(t\)의 값들의 집합이라고 하자. 이때 \(\beta\in F\)임을 보이면 된다. \(S_\alpha=\{\alpha\}\)는 한 점 집합이므로 자명히 \(\mathcal G\)에 속하는 하나의 열린 집합의 부분집합이 된다. 따라서 \(\alpha\in F\)이다. 즉, \(F\)는 공집합이 아니므로 실수의 완비성에 의하여 상한 \(\gamma\)를 갖는다. \(F\)의 정의로부터 \(\gamma\leq \beta\)이므로 결론을 부정하여 \(\beta\notin F\)라 하면 \(\gamma<\beta\)이다. 이때 다음과 같은 두 가지 경우가 가능하다.

(i) \(\gamma<\beta\)이고 \(\gamma\notin S\)인 경우

\(S\)는 닫힌 집합이므로 \(\gamma\)는 \(S\)의 집적점이 아니다. 즉, \(\epsilon>0\)이 존재하여 \((\gamma-\epsilon, \, \gamma+\epsilon)\cap S=\varnothing\)이다. 그러면 \(S_{\gamma-\epsilon}=S_{\gamma+\epsilon}\)이다. 이때 \(F\)의 정의로부터 \(S_{\gamma-\epsilon}\)은 \(\mathcal G\)으로부터 유한 열린 덮개를 갖지만, \(S_{\gamma+\epsilon}\)은 유한 열린 덮개를 가지지 않아야 한다. 이는 모순이다.

(ii) \(\gamma<\beta\)이고 \(\gamma\in S\)인 경우

\(\gamma\in S\)이고 \(\mathcal G\)는 \(S\)의 열린 덮개이므로 \(\gamma\in G\)인 \(G\in \mathcal G\)가 존재한다. \(G\)는 열린 집합이므로 \((\gamma-\epsilon, \, \gamma+\epsilon)\subset G\)인 \(\epsilon>0\)이 존재한다. \(\gamma-\epsilon\in F\)이므로 \(S_{\gamma-\epsilon}\)을 덮는 \(\mathcal G\)의 유한 열린 덮개 \(\{G_1, \, G_2, \, \cdots, \, G_n\}\)이 존재한다. 이때 \(\{G_1, \, G_2, \, \cdots, \, G_n, \, G\}\)는 \(S_{\gamma+\epsilon/2}\)를 덮는 \(\mathcal G\)의 유한 열린 덮개이므로 \(\gamma+\epsilon/2\in F\)이다. 이는 \(\gamma\)의 정의에 모순이다. 

(i), (ii)로부터 \(\sup F=\beta\in S\)이다. 또한, (ii)와 같은 방법으로 \(\beta \in F\)임을 보일 수 있다. 이로써 주어진 정리의 증명이 끝난다. 

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Reference: <Introduction to real analysis> William F. Trench, 2003