[Chapter 13] 연결성 - (1)

연결집합과 비연결집합

위상수학에서의 공간에 대한 논의는 모두 열린 집합으로부터 비롯된다. 연결성도 마찬가지인데, 크게 보면 연결집합이란 두 개의 서로소인 열린 집합으로 떼어낼 수 없는 집합을 의미한다. $\mathbb{R}$에서 예를 들어 집합 $A=[-1,1]$은 연결집합이지만 $A\cap \mathbb{Q}$는 연결집합이 아니다. $A\cap \mathbb{Q}$는 두 열린구간 $(-2,1/\sqrt{2}),(1/\sqrt{2},2)$로 분리할 수 있기 때문이다. 

연결성을 논의하기 위해 맨 처음 두 집합의 '분리'에 대해 얘기해야 한다. 위의 예시로부터 확장하여 분리된 두 개의 열린 집합에 의하여 나눌 수 있는 집합을 비연결집합이라고 하기 때문이다.

[Definition 1.0]

위상공간 $X$의 두 부분집합 $A,B$가 $$A\cap \overline{B}=\varnothing ,\overline{A}\cap B=\varnothing$$을 만족시키면 두 집합 $A,B$가 서로 분리된(seperated) 집합이라고 한다.

분리된 집합과 서로소인 집합은 의미가 다르다. 분리된 집합이 더 강한 의미를 갖는다.

[Example 1.1]

$\mathbb{R}$의 세 부분집합 $A=(0,1)$, $B=(1,2)$, $C=[2,3)$에 대하여 $\overline{A}=[0,1]$, $\overline{B}=[1,2]$이므로 $A\cap \overline{B}=\overline{A}\cap B=\varnothing$이다. 따라서 두 집합 $A$와 $B$는 서로소이면서 서로 분리된 집합이다. 

반면, $B\cap C=\varnothing$이고 $\overline{B}\cap C\ne \varnothing$이므로 $B$와 $C$는 서로소이나 서로 분리된 집합은 아니다.

[Example 1.2]

${\mathbb{R}}^2$의 두 부분집합 $A$, $B$을 $$\begin{array}{rl}& A=\{(0,y):1/2\le y\le 1\}\\ & B=\{(x,y):y=\sin (1/x),0<x\le 1\}\end{array}$$라 하면 이 둘은 서로소이다. 그러나 집합 $B$의 집적점들은 모두 집합 $A$에 속하므로 ($y$축의 근방에서 함수 $y=\sin (1/x)$의 그래프가 딱 붙어서 그려지는 것을 볼 수 있다.) 따라서 두 집합 $A$와 $B$는 서로 분리된 집합이 아니다.

이를 이용하여 연결집합의 정의를 할 수 있다. 참고할 것은, 연결집합은 '비연결'이라는 것을 이용하여 정의된다는 것에 초점을 맞추면 좋다. 즉, '연결'이 무엇이라 정의하는 것이 아니라 '비연결'이 무엇인지 정의하고 그것이 아닌 것을 '연결'이라고 하는 것이다.

[Definition 1.3] 

위상공간 $X$의 부분집합 $A$이 다음 조건을 만족시키면 $A$를 비연결인(disconnected) 집합이라고 하고, $A$가 비연결인 집합이 아닌 경우, $A$를 연결된(connected) 집합이라고 하자.

[Condition] $A\cap G\ne \varnothing$, $A\cap H\ne \varnothing$, $(A\cap G)\cap (A\cap H)=\varnothing$, $(A\cap G)\cup (A\cap H)=A$인 두 열린 집합 $G$, $H$가 존재한다.

이때 $G\cup H$를 집합 $A$의 비연결(disconnection)이라고 한다. 

즉, 비연결집합이란 서로소인 두 열린 집합(부분공간의 측면에서)을 이용하여 분리할 수 있는 집합을 의미한다. 그러나 두 열린 집합이 전체 공간에서 서로소일 필요는 없다.

[Example 1.4]

집합 $X=\{a,b,c,d,e\}$ 위의 위상 $\mathcal{T}$가 $$\mathcal{T}=\{X,\varnothing ,\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{e\}\}$$로 주어졌다고 하자. $A=\{a,d,e\}$는 비연결집합이다. 두 열린 집합 $G=\{a,b,c\}$와 $H=\{c,d,e\}$에 대하여 $A\cap G=\{a\}$, $A\cap H=\{d,e\}$이고 이 둘은 서로소이면서 합집합은 $A$가 된다. 이때 $G\cap H\ne \varnothing$이다. 

이때 비연결집합은 (부분공간에서) 서로소인 열린 집합의 합집합으로 나타나는 집합이므로, 닫힌 집합의 성질에 의하여 두 열린 집합은 (부분공간에서) 분리된 집합이 된다.

[Theorem 1.5]

어떤 집합이 비연결집합일 필요충분조건은 그 집합이 서로 분리된 공집합이 아닌 두 집합의 합집합인 것이다.

증명 ▶

(Proof)

($\Rightarrow$) 위상공간 $X$의 부분집합 $A$가 비연결집합이라고 하자. 그러면 두 열린 집합 $G$, $H$이 존재하여 집합 $A$의 비연결을 이룬다. 이때 $G_A=A\cap G$, $H_A=A\cap H$라 하면 $$G_A\cap H_A=\varnothing \Rightarrow G_A\subset A\cap H^c$$이고 $H^c$은 닫힌 집합이므로 $\overline{G_A}=A\cap \overline{G}\subset A\cap H^c$이 성립한다. 따라서 $\overline{G_A}\cap H_A=\varnothing$이다. 

($\Leftarrow$) $G$와 $H$가 공집합이 아닌 서로 분리된 집합이라 하고, $A=G\cup H$라 하자. 그러면 $$G\cap \overline{H}=\varnothing ,\overline{G}\cap H=\varnothing \Rightarrow G\subset (\overline{H}{)}^c,H\subset (\overline{G}{)}^c$$이므로 $A\cap (\overline{G}{)}^c=H$, $A\cap (\overline{H}{)}^c=G$이므로 $(\overline{G}{)}^c$와 $(\overline{H}{)}^c$는 $A$의 비연결을 이룬다. 

증명 ▶

위의 정리의 증명과 비슷한 방법으로 다음을 어렵지 않게 얻어낼 수 있다.

[Proposition 1.6]

두 집합 $A$, $B$가 연결집합이고 서로 분리되지 않은 집합일 때, $A\cup B$은 연결집합이다. 

[Example 1.7]

[Example 1.2]의 두 집합 $A$, $B$는 서로 연결된 집합이고('길연결'을 이용하여 보일 수 있다.) 분리되지 않은 집합이다. 따라서 $A\cup B$는 연결집합이다. 

 

연결공간

어떤 위상공간 $X$가 그 집합 자체로서 연결집합이면 $X$를 연결공간(connected space)이라 한다. 마찬가지로, 그 위상공간이 그 집합 자체로서 비연결집합이면 $X$를 비연결공간(disconnected space)이라고 한다. 다음 정리로부터 연결집합은 부분공간의 관점에서 그 자체로 연결공간이 되기 때문에 위상공간의 부분집합인 연결집합이 아니라 그 집합 자체가 위상공간으로서 연결공간이라고 간주하고 내용을 논해도 문제가 없다.

[Theorem 2.0]

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분집합을 $A$라 하자. 집합 $A$가 $\mathcal{T}$에서 연결된 집합일 필요충분조건은 $A$가 ${\mathcal{T}}_A$에서 연결된 집합인 것이다. 

위 정리의 증명은 부분공간 $A$의 열린 집합은 위상공간 $X$의 열린 집합 $G$에 대하여 $A\cap G$의 형태로 표현된다는 것을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. 다만, 위 정리가 연결공간의 부분공간이 연결공간이라던가 비연결공간의 부분공간이 비연결공간이라는 것은 아니다.

[Example 2.1]

집합 $X=\{a,b,c,d,e\}$ 위의 위상 $\mathcal{T}=\{X,\varnothing ,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e\}\}$에 대하여 위상공간 $X$는 비연결공간이다. $\{a\}$와 $\{b,c,d,e\}$가 $X$의 비연결을 이루기 때문이다.

그러나 $A=\{b,d,e\}$ 위의 부분공간의 위상은 ${\mathcal{T}}_A=\{A,\varnothing ,\{d\}\}$이므로 $A$는 그 부분공간의 두 서로소인 열린 집합의 합집합으로 나타낼 수 없다. 따라서 부분공간 $A$는 연결공간이다.  

또한 [Theorem 2.0]에서 확장하여, 연결공간의 특성을 다음 정리로 요약할 수 있다.

[Theorem 2.2]

다음 두 가지는 위상공간 $X$가 연결공간인 것과 필요충분조건이다.

(i) 집합 $X$는 서로소인 두 열린 집합의 합집합으로 나타낼 수 없다.
(ii) $X$의 열린 닫힌 집합(clopen set)은 $X$와 $\varnothing$뿐이다. (Note: 열린 닫힌 집합은 열린 집합이면서 닫힌 집합인 집합이다.)

증명 ▶

(Proof)

(i)은 연결집합의 정의로부터 자명하다. 이제 $X$가 연결공간인 것이 (ii)와 필요충분조건인 것을 보이자. 이를 증명하기 위해서는 본 명제의 대우를 이용하면 된다. 

($\Rightarrow$) 위상공간 $X$에 $X$와 $\varnothing$이 아닌 열린 닫힌 집합 $G$가 존재한다고 하자. 그러면 $G$와 $G^c$는 공집합이 아닌 열린 집합이고, $$G\cap G^c=\varnothing ,G\cup G^c=X$$이므로 $G$와 $G^c$가 $X$의 비연결을 이룬다. 따라서 $X$는 비연결공간이다. 

($\Leftarrow$) 위상공간 $X$가 비연결공간이라고 하자. 그러면 두 서로소인 공집합이 아닌 열린 집합 $G,H$가 존재하여 $G\cup H=X$를 만족시킨다. 따라서 $H=G^c$이므로 $G,H$는 공집합도 아니고 $X$도 아닌 열린 닫힌 집합이다. 

증명 ▶

[Example 2.3]

$\mathbb{R}$의 보통 위상공간은 연결공간이다. $\mathbb{R}$의 열린 닫힌 집합은 $\mathbb{R}$과 $\varnothing$뿐이기 때문이다. 

연결성은 연속성과도 관련이 있다. 연속성은 열린 집합의 성질을 대부분 유지하기 때문에 연결집합의 연속함수에 의한 상도 연결집합이 된다. 후에 언급하겠지만, $\mathbb{R}$에서의 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)가 이 성질을 보여주는 대표적인 정리이다.

[Theorem 2.4]

연결집합의 연속함수에 의한 상은 연결집합이다.

증명 ▶

(Proof)

$X$가 연결공간이고 $Y$가 위상공간일 때, $f:X\to Y$를 연속함수라고 하자. $f[X]$가 비연결집합이라고 가정하자. 그러면 서로소인 $Y$의 열린 집합 $G$, $H$가 존재하여 $f[X]=G\cup H$를 만족시킨다. $f$는 연속함수이므로 $f^{-1}[G]$와 $f^{-1}[H]$는 $X$의 열린 집합이고, $$f^{-1}[G\cup H]=f^{-1}[G]\cup f^{-1}[H]=X$$이므로 $X$는 비연결공간이 된다. 이는 모순이다. 따라서 $X$가 연결집합이면 $f[X]$도 연결집합이다. 

증명 ▶

위 정리의 자명한 결과로 다음을 얻을 수 있다.

[Corollary 2.5]

위상공간 $X$가 연결공간일 필요충분조건은 $X$에서 이산 위상공간 $Y=\{0,1\}$로의 연속함수는 상수함수뿐인 것이다. 

한편, 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$ 위의 보통 위상공간에서의 연결집합은 '구간'이라는 특성으로 나타난다. 일반적으로 구간이란 다음과 같이 정의할 수 있다. (책마다 다르지만, 우리 책에서는 다음과 같이 서술하고 있다.)

[Definition 2.6]

$\mathbb{R}$의 부분집합 $I$가 임의의 $a,b\in I$에 대하여 $a<x<b$이면 $x\in E$를 만족시키면 $I$를 구간(interval)이라 한다.

위에서 언급한 것과 같이 $\mathbb{R}$의 연결집합은 구간과 같다. 이는 실해석학의 여러 정리에 응용될 수 있는 유용한 성질이다.

[Theorem 2.7]

$\mathbb{R}$의 부분집합 $I$가 적어도 두 개의 원소를 가지고 있다고 하자. $I$가 연결집합일 필요충분조건은 $I$가 구간인 것이다.

증명 ▶

(Proof)

($\Rightarrow$) $I$가 구간이 아니라고 하자. 그러면 어떤 $a,b\in I$와 $a<x<b$인 $x\in \mathbb{R}$에 대하여 $x\notin I$이다. 그러면 $(-\mathrm{\infty },x)$와 $(x,\mathrm{\infty })$는 $I$의 비연결을 이루므로 $I$는 비연결집합이다. 

($\Leftarrow$) $I$가 구간이지만 비연결집합이라고 하고, $G\cup H$를 $I$의 비연결이라 하자. 일반성을 잃지 않고, $a\in G$, $b\in H$, $a<b$라 하면 상한 공리에 의하여 $c=sup([a,b]\cap G)$가 존재한다. 구간의 정의로부터 $c\in I$이고 $G,H$가 $I$의 비연결이므로 $c\in G$ 또는 $c\in H$이다. 

$c\in G$라 하면 $c$는 $G$의 내점이므로 $(c-ϵ,c+ϵ)\subset G$인 $ϵ>0$이 존재한다. 그러면 $c+ϵ/2\in G$이므로 $c=sup([a,b]\cap G)$라는 데에 모순이다. 

$c\in H$라 하면 $c$는 $H$의 내점이므로 $(c-\delta ,c+\delta )\subset H\cdots (\ast )$인 $\delta >0$이 존재한다. 또한 $c\notin G$이므로 $c$의 정의로부터 $c-\delta <x_0<c$인 $x_0\in G$가 존재한다. 이때 $(\ast )$에 의하여 $x_0\in H$이다. 이는 모순이다. 

따라서 $I$가 구간이면 $I$는 연결집합이다. 

증명 ▶

위 정리의 결과로 일반화된 사잇값의 정리를 얻을 수 있다.

[Theorem 2.8] (Generalized IVT: 일반화된 사잇값 정리)

연결집합 $X$에서 정의된 연속함수 $f:X\to \mathbb{R}$와 임의의 $p,q\in X$에 대하여 함수 $f$는 $f(p)$와 $f(q)$ 사이의 모든 값을 취한다. 즉, $f(p)$와 $f(q)$ 사이의 임의의 실수 $k$에 대하여 $f(c)=k$인 $c\in X$가 존재한다.

증명 ▶

(Proof)

$X$는 연결집합이고 $f$는 연속함수이므로 [Theorem 2.4]에 의하여 $f[X]$는 연결집합이다. $f[X]\in \mathbb{R}$이므로 [Theorem 2.7]에 의하여 $f[X]$는 구간이다. 따라서 주어진 정리가 성립한다.

증명 ▶

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.