[Chapter 12] 곱공간

곱위상과 곱공간

유클리드 공간 \(\Bbb R^m\)과 같이 특정한 성질을 갖는 여러 위상공간의 데카르트 곱(Cartesian product)을 이용하여 새로운 위상공간을 정의하고, 그 성질을 이용하여 그 공간에서의 구조를 관찰할 수 있다. 실제로 우리가 자주 보는 좌표평면 \(\Bbb R^2\)과 좌표공간 \(\Bbb R^3\)은 거의 \(\Bbb R\)과 동일한 성질을 공유한다. 위상공간은 열린 집합으로 공간의 구조를 정의하기 때문이다. 

곱공간은 그 각자의 위상공간의 성질을 반영하도록 정의한 공간으로, 각 좌표로의 사영을 이용하여 정의한다.

[Definition 0.0] 

\(\{(X_i, \ \mathcal T_i\}\)가 위상공간들의 모임이라 하고, \(X\)를 이 집합 \(X_i\)들의 데카르트 곱이라고 하자. 즉, \(X=\prod_i X_i\)라 하자. \(X\) 위의 위상 \(\mathcal T\)를 각 사영함수 \(\pi_i: X\to X_i\)가 연속이 되도록 하는 가장 엉성한(coarest) 위상이라고 할 때, 이 위상 \(\mathcal T\)를 \(X\)의 곱위상(product topology)이라 하고, 위상공간 \((X,\, \mathcal T)\)를 곱공간(product space)이라고 한다. 

즉, 곱위상은 각 사영함수 \(\pi_i\)에 의해 생성된 위상이고, \[\mathcal S=\bigcup_i\{\pi_i^{-1}[G_i]: G_i\in \mathcal T_i\}\]를 부분기저로 갖는 위상이다. 

\(\Bbb R^2\)에서의 보통 위상은 각 좌표로의 사영이 연속인 공간이므로 보통 위상 \(\Bbb R\)의 곱공간으로 볼 수 있다.

[Example 0.1]

곱공간 \(X=\prod_i \{X_i: i\in I\}\)를 하우스도르프 공간들의 곱이라고 하자. 그러면 \(X\) 또한 하우스도르프 공간이다. \(p, \, q\in X\)를 \(X\)의 서로 다른 두 점이라고 하자. 그러면 \(i_0\in I\)가 존재하여 \(\pi_{i_0}(p)\neq \pi_{i_0}(q)\)를 만족시킨다. \(X_{i_0}\)는 하우스도르프 공간이므로 \[\pi_{i_0}(p)\in G, \ \ \pi_{i_0}(p)\in H, \ \ G\cap H=\varnothing\]인 \(X_{i_0}\)의 두 열린 집합 \(G, \, H\)가 존재한다. 따라서 \[\begin{align}&\pi_{i_0}^{-1}[G]=G\times\prod\{X_i: i\neq i_0\}, \\[.4em] &\pi_{i_0}^{-1}[H]=H\times\prod\{X_i: i\neq i_0\}\end{align}\]는 \(p\)와 \(q\)를 각각 포함하는 서로소인 \(X\)의 열린 집합이므로 \(X\)는 하우스도르프 공간이다. 

부분기저의 정의에 의하여 곱공간은 부분기저의 '유한개'의 원소의 교집합으로 만들어진 집합을 기저의 원소로 갖는다. 따라서 유한개의 위상공간의 곱공간은 단순히 각 공간에서 기저의 원소의 데카르트 곱을 택하면 기저의 원소를 얻을 수 있으나, 무한개의 데카르트 곱으로 정의된 곱공간의 경우 그렇지 않을 수도 있다. 즉,

[Theorem 0.2]

곱공간 \(X=\prod_i X_i\)의 다음 형태의 집합들의 모임은 \(X\)의 기저를 이룬다. \[\begin{align}&\pi_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\, \cap \,\cdots\, \cap \,\pi_{i_m}^{-1}[G_{i_m}]\\[.5em]&=G_{i_1}\times \cdots\times G_{i_m}\times \prod \{X_i: i\neq i_0, \, i_1, \, \cdots , \, i_m\}\end{align}\] (이때, \(G_{i_k}\)는 위상공간 \(X_{i_k}\)의 열린 부분집합이다.) 

특히, \(G_{i_k}\)가 위상공간 \(X_{i_k}\)의 기저의 원소인 경우에도 위의 형태의 집합들의 모임은 \(X\)의 기저를 이룬다.

[Corollary 0.3]

\(X_1, \, \cdots, \, X_m\)을 유한개의 위상공간이라고 하자. \(X=X_1\times \cdots \times X_m\)이라 할 때, \(X_k\)의 열린 집합 \(G_k\)에 대하여 다음 형태의 집합들의 모임은 \(X\)의 기저를 이룬다. \[G_1\times G_2\times \cdots \times G_m\] 이때, \(G_k\)가 \(X_k\)의 기저의 원소인 경우에도 위 형태의 집합들의 모임은 \(X\)의 기저를 이룬다.

실제로 무한개의 위상공간의 데카르트 곱이라도 각 좌표에서 열린 집합들의 데카르트 곱을 모아놓은 집합도 그 곱집합에서의 한 위상의 기저를 이룬다. 그러나 그 위상은 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. 

[Theorem 0.4]

위상공간 \(X_i\)에 대하여 \(X=\prod_i \{X_i: i\in I\}\)를 그 집합들의 데카르트 곱이라고 하자. \(X_i\)의 열린 집합 \(G_i\)에 대하여 다음 형태의 집합들의 모임은 \(X\)에서의 한 위상의 기저를 이룬다. \[\prod \{G_i: i\in I\}\]

# 증명 ▶

(Proof)

\(\mathcal B\)를 \(\prod \{G_i: i\in I\}\)의 형태의 모든 집합들의 모임이라고 하자. 이때 \(X\in \mathcal B\)이므로 \(X=\bigcup \{B: B\in \mathcal B\}\)이다. 이때 \(B_1, \, B_2\in \mathcal B\)에 대하여 \[B_1=\prod_i G_i, \ \ B_2=\prod_i H_i\]라 하면 \[B_1\cap B_2=\prod_i (G_i\cap H_i)\]이고 \(G_i\cap H_i\)는 \(X_i\)의 열린 집합이므로 \(B_1\cap B_2\in \mathcal B\)이다. 따라서 \(\mathcal B\)는 \(X\)의 한 위상의 기저를 이룬다.

# ◀ 닫기

[Example 0.5]

\(I=[0, 1]\)이라 하자. 위상공간들의 집합 \(\{(X_i, \,\mathcal T_i): i\in I\}\)에 대하여 \(X=\prod_i X_i\)라 하고, \(X\) 위의 곱위상을 \(\mathcal T\), [Theorem 0.4]에서의 집합을 기저로 갖는 \(X\) 위의 위상을 \(\mathcal T'\)이라 하자. 그러면 각 위상의 정의로부터 자명히 \(\mathcal T\subset \mathcal T'\)를 얻는다. 

한편, \(p\in X\)에 대하여 \(p\)를 포함하는 \(G\in \mathcal T'\)가 \(G=\prod \{G_i: i\in I, \ G_i\neq X_i\}\)로 주어지는 경우, \(p\) \(p\in H\subset G\)를 만족시키는 \(H\in \mathcal T\)는 존재하지 않는다. \(T\)의 각 원소는 유한개의 좌표를 제외하면 각 좌표가 전체집합이기 때문이다. 따라서 이 경우 \(\mathcal T'\not \subset \mathcal T\)이다. 

 

곱공간의 성질

곱공간은 기본적으로 사영 함수를 이용하여 정의되는 공간이므로 곱공간에서의 위상적 성질이 각 좌표에서의 공간의 성질로부터 비롯되는 경우 각 좌표에서의 성질이 곱공간에서도 유지된다. 우선 사영함수에 대한 논의를 먼저 할 필요가 있는데, 사영함수는 곱공간에서 연속함수일 뿐만 아니라 열린 함수이다. 즉, 쌍연속함수이다.

[Theorem 1.0]

곱공간 \(X=\prod_i X_i\)에서 각 사영함수 \(\pi_i: X\to X_i\)는 열린 함수이다. 따라서 사영함수는 쌍연속함수이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

곱공간 \(X\)에서 부분기저의 각 원소의 사영함수에 대한 상이 열린 집합임을 보이면 충분한다. \(X\)의 임의의 좌표 공간 \(X_{i_0}\)의 임의의 열린 집합 \(G_{i_0}\)에 대하여 \[G=\pi_{i_0}^{-1}[G_{i_0}]=\prod\{X_i: i\neq i_0)\}\times G_{i_0}\]은 곱공간의 위상의 부분기저의 한 원소이고 \[\pi_i[G]=\begin{cases}\,G_{i_0} & (i=i_0)\\[.3em]\,X_{i_0} & (i\neq i_0)\end{cases}\]이므로 곱공간의 부분기저의 원소의 모든 사영함수에 의한 상은 항상 열린 집합이다. 따라서 사영함수는 열린 함수이다.

# ◀ 닫기

곱공간도 위상공간이므로 일반적으로 논의되던 함수의 연속이나 수열의 극한 등도 곱공간에서 논할 수 있는데, 함수의 연속이나 수열의 극한은 각 좌표 공간에 귀속되는 성질이다. 곱공간에서 정의된 함수가 어떤 점에서 연속이려면, 각 좌표 공간에서 해당하는 점의 좌표로 가까이 다가갈 때, 함숫값도 각 좌표에서 가까이 다가가야 한다. 수열의 극한도 각 좌표에서 정의된 수열이 곱공간에서의 점의 각 좌표로 모두 근접해야 할 것이다. (수열 \(\{(a_n, \, b_n, \, c_n)\}\)이 점 \((p, \, q, \, r)\)로 수렴하려면 \(a_n\to p, \; b_n\to q, \; c_n\to r\)이라 생각하는 것이 자연스러울 것이다.) 따라서 다음을 유추할 수 있다.

[Theorem 1.1]

위상공간 \(Y\)에서 곱공간 \(X=\prod_i X_i\)로의 함수 \(f\)가 연속일 필요충분조건은 각 사영함수 \(\pi_i\)에 대하여 합성함수 \(\pi_i\circ f: Y\to X_i\)가 연속인 것이다. (즉, 각 좌표 공간에서 함수가 연속이어야 한다.)

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) \(f\)는 \(Y\)에서 \(X\)로의 연속함수이고 곱공간의 정의에서 사영함수 \(\pi_i\)는 \(X\)에서 \(X_i\)로의 연속함수이므로 합성함수 \(\pi_i\circ f: Y\to X_i\)도 연속이다. 

(\(\Leftarrow\)) 각 사영함수 \(\pi_i\)에 대하여 합성함수 \(\pi_i\circ f\)가 연속이라고 하자. \(X\)의 기저의 임의의 원소 \[G=\pi_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\, \cap \, \pi_{i_2}^{-1}[G_{i_2}]\, \cap \, \cdots\,  \cap \, \pi_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]\]에 대하여 가정에서 각 집합 \(f^{-1}\left[\pi_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]\right]=(\pi_{i_k}\circ f)^{-1}[G_{i_k}]\)은 \(Y\)의 열린 집합이므로 \[\begin{align}f^{-1}[G]&=f^{-1}\left[\pi_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\, \cap \, \pi_{i_2}^{-1}[G_{i_2}]\, \cap \, \cdots\,  \cap \, \pi_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]\right]\\[.4em]&=(\pi_{i_1}\circ f)^{-1}[G_{i_1}]\,\cap\, \cdots\, \cap\,(\pi_{i_n}\circ f)^{-1}[G_{i_n}] \end{align}\]은 \(Y\)의 열린 집합이다. \(X\)의 기저의 각 원소의 \(f\)에 의한 역상이 \(Y\)의 열린 집합이므로 \(f\)는 연속함수이다.

# ◀ 닫기

[Theorem 1.2]

곱공간 \(X\) 위에서의 수열 \(\{p_n\}\)이 \(q\in X\)로 수렴할 필요충분조건은 각 사영함수 \(\pi_i: X\to X_i\)에 대하여 \(\pi_i(p_n)\to \pi_i(q)\)인 것이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\))  \(\pi_i(q)\)을 포함하는 \(X_i\)의 임의의 열린 집합 \(G_i\)에 대하여 \(\pi_{i}^{-1}[G_i]\)는 \(X\)의 열린 집합이므로 가정에 의하여 \[\exists\, n_0\in \Bbb N: \; n>n_0 \ \Rightarrow \ p_n\in \pi_i^{-1}[G_i]\]이다. 따라서 \(n>n_0\)이면 \(\pi_i(p_n)\in G_i\)이므로 \(\pi_i(p_n) \to \pi_i(q)\)이다. 

(\(\Leftarrow\))  \(q\in X\)를 포함하는 임의의 기저의 원소 \(G\)를 \[G=\pi_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\, \cap \, \pi_{i_2}^{-1}[G_{i_2}]\, \cap \, \cdots\,  \cap \, \pi_{i_n}^{-1}[G_{i_m}]\]라 하자. 가정에 의하여 각 \(i_k\)에 대하여 \(G_{i_k}\)는 \(\pi_{i_k}(q)\)를 포함하는 \(X_{i_k}\)의 열린 집합이므로 \[\exists\, n_{i_k}\in \Bbb N: \ n>n_{i_k} \ \Rightarrow \ \pi_{i_k}(p_n)\in G_{i_k}\]이다. 따라서 \(N:=\max\{n_{i_1}, \, n_{i_2}, \, \cdots, \, n_{i_m}\}\)이라 하면 \[\begin{align}n>N \ &\Rightarrow \ \pi_{i_1}(p_n)\in G_{i_1}, \, \cdots, \, \pi_{i_m}(p_n)\in G_{i_m}\\[.4em]& \Rightarrow \ p_n\in \pi_{i_1}^{-1}[G_{i_1}], \, \cdots, \ p_n\in\pi_{i_m}^{-1}[G_{i_m}]\\[.4em] &\Rightarrow \ p_n\in G \end{align}\]이므로 \(p_n\to q\)이다. 

# ◀ 닫기

곱공간의 임의의 집합에 대하여 폐포와 내부에 관하여 다음의 성질도 성립한다.  

[Theorem 1.3]

\(A_i\)를 위상공간 \(X_i\)의 부분집합이라고 하자. 즉, \(\prod_i A_i\subset \prod_i X_i\)이다. 이때 다음이 성립한다.

(i) \(\prod_i \bar A_i=\overline{\prod_i A_i}\)    (ii) \(\text{Int}(\prod_i A_i)\subset \prod_i \text{Int}(A_i)\)

# 증명 ▶

(Proof)

(i) \(\bar A_i\)는 \(A_i\)를 포함하는 닫힌 집합이므로 \(\pi_i^{-1}[\bar A_i]\)는 \(X\)의 닫힌 부분집합이다. 따라서 \(\bigcap_i \pi_i^{-1}[\bar A_i]=\prod_i \bar A_i\)는 \(\prod_i A_i\)를 포함하는 닫힌 집합이므로 \(\overline{\prod_i A_i}\subset \prod_i \bar A_i\)이다. 

이제 \(p\in \prod_i \bar A_i\)이지만 \(p\notin \overline{\prod_i A_i}\)인 \(p\in X\)가 존재한다고 하자. 그러면 \(p\)를 포함하는 열린 집합 \(G_p\)가 존재하여 \(G_p\cap \prod_i A_i=\varnothing\)이다. 그러면 어떤 \(i=i_0\)에 대하여 \(\pi_{i_0}[G_p]\cap A_{i_0}=\varnothing\)이다. 이때 사영함수는 열린 함수이므로 \(\pi_{i_0}[G_p]\)는 \(\pi_{i_0}(p)\)를 포함하는 열린 집합이다. 이는 \[p\in \prod_i \bar A_i \ \Rightarrow \ \pi_{i_0}(p)\in \bar A_{i_0}\]라는 데에 모순이다. 이로부터 \(\prod_i \bar A_i=\overline{\prod_i A_i}\)를 얻는다. 

 

(ii) \(H=\text{Int}(\prod_i A_i)\)라 하자. 그러면 \(H\)는 \(X\)의 열린 집합이고, \(H\subset \prod_i A_i\)이므로 임의의 \(i\)에 대하여 \(\pi_i[H]\)는 \(A_i\)의 열린 부분집합이다. 따라서 \(\pi_i[H]\subset \text{Int}(A_i)\)이다. 이로부터 \(H=\text{Int}(\prod_i A_i)\subset \prod_i \text{Int}(A_i)\)를 얻는다.

[Cf] 보통 위상공간 \(\Bbb R\)과 \(I=[0, 1]\)에 대하여 곱공간 \(X=\prod\{X_i: X_i=\Bbb R, \ i\in I\}\)의 부분집합 \(\prod\{A_i: A_i=[0, 1], i\in I\}\)을 생각하자. \(X\)의 임의의 열린 집합은 유한개의 좌표를 제외한 모든 좌표는 \(\Bbb R\)인 곱집합이므로 \(\text{Int}(\prod_i A_i)=\varnothing\)이다. 한편 \(\prod_i \text{Int}(A_i)=\prod\{\bar A_i: \bar A_i=[0, 1]\}\)이므로 \(\text{Int}(\prod_i A_i)\subsetneq \prod_i \text{Int}(A_i)\)이다. 

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위상공간 중에서 좋은 성질을 가지는 '컴팩트공간'과 '거리공간'도 곱공간에서 그 성질을 유지한다. 그 중 컴팩트공간의 곱공간은 그 곱한 공간의 수와 관계없이 컴팩트공간이 된다. 유한개의 좌표로 이루어진 곱공간은 그 증명이 어렵지 않으나, 일반적인 수의 좌표를 갖는 곱공간의 경우 그 증명을 조른의 보조정리(Zorn's Lemma)를 이용해야 한다. (사실 아래 정리는 조른의 보조정리와 동치이다.)

[Theorem 1.4] [Tychonoff's Theorem]

컴팩트공간의 곱공간은 컴팩트공간이다.

# 증명 ▶

(Proof)

좌표가 유한개인 경우만 증명하도록 한다. 컴팩트공간 \(X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n\)에 대하여 그 곱공간을 \(X=X_1\times X_2\times \cdots \times X_n\)이라 하자. \(X\)의 한 열린 덮개를 \(\mathcal G=\{G_i\}\)라 하자. 그러면 각 \(k=1, \, 2, \, \cdots, \, n\,\)에 대하여 \(\mathcal G_k=\{\pi_k[G_i]: G_i\in \mathcal G\}\)라 하면 \(\mathcal G_k\)는 \(X_k\)의 열린 덮개이다. \(X_k\)는 컴팩트공간이므로 \(\mathcal G_k\)의 열린 유한 부분덮개 \(\mathcal G_k^*\)가 존재한다. 따라서 \[\mathcal G^*=\bigcup_{k=1}^n\{G_i\in \mathcal G:\, \pi_k[G_i]\in \mathcal G_k\}\]는 \(X\)를 덮는 \(\mathcal G\)의 열린 유한 부분덮개이다.

[Cf] 임의의 수의 곱공간의 경우의 증명은 다음 문서를 참고하면 된다.

www.math.tamu.edu/~tanujgupta17/tychonoff.pdf

# ◀ 닫기

거리공간의 경우, 가산개의 거리공간의 곱집합 위로의 거리공간을 기존의 거리 함수를 이용하여 정의할 수 있다. 또한, 그렇게 정의된 거리공간은 그 곱집합 위로의 곱공간이 된다. 

[Theorem 1.5]

(1) \((X_1, d_1), \, (X_2, d_2), \, \cdots, \, (X_m, d_m)\)을 거리공간이라고 하자. 곱집합 \(X=\prod_{i=1}^m X_i\) 위의 두 점 \[p=(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_m), \ \ q=(b_1, \, b_2, \, \cdots, \, b_m)\]에 대하여 다음 함수들은 \(X\) 위의 거리 함수이다. \[\begin{align}&d(p,\, q)=\sqrt{d_1(a_1, b_1)^2+\cdots+d_m(a_m, b_m)^2}\\[.5em] &d(p, \, q)=\max\{d_1(a_1, b_1), \, \cdots, \, d_m(a_m, b_m)\}\\[.6em] &d(p, \, q)=d(a_1, b_1)+\cdots+d_m(a_m, b_m)\end{align}\] 또한, 위의 거리 함수에 의하여 생성되는 위상은 \(X\) 위의 곱위상이다. (즉, 각 사영함수를 연속으로 만드는 가장 엉성한 위상이다.)

 

(2) \(\{(X_1, d_1), \, (X_2, d_2), \, \cdots, \, \}\)를 가산개의 거리공간들의 모임이라고 하자. 곱집합 \(X=\prod_{n=1}^\infty X_n\) 위의 두 점 \(p=(a_1, \, a_2, \, \cdots\, ), \ \ q=(b_1, \, b_2, \, \cdots \, )\)에 대하여 다음 함수는 \(X\) 위의 거리 함수이다. \[d(p, \, q)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\frac{d(a_n, b_n)}{1+d_n(a_n, b_n)}\] 또한, 위의 거리 함수에 의하여 생성되는 위상은 \(X\) 위의 곱위상이다. 

 

여러 가지 문제들

[Problem 2.0]

위상공간 \(\{X_i\}\)들의 모임에 대하여 \(X=\prod_i X_i\)라 하자.

(1) 각 공간 \(X_i\)가 정칙 공간일 때, \(X\)가 정칙 공간임을 보여라.
(2) 각 공간 \(X_i\)가 완비 정칙 공간일 때, \(X\)가 완비 정칙 공간임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

(1) \(p\in X\)라 하고, \(H=\pi_{i_1}^{-1}[H_{i_1}]\, \cap \, \pi_{i_2}^{-1}[H_{i_2}]\, \cap \, \cdots\,  \cap \, \pi_{i_n}^{-1}[H_{i_n}]\)를 \(p\)를 포함하는 임의의 기저의 원소라고 하자. 그러면 각 \(k=1, \, 2, \, \cdots, \, n\,\)에 대하여 \(H_{i_k}\)는 \(\pi_{i_k}(p)\)를 포함하는 열린 집합이고 \(X_{i_k}\)는 정칙 공간이므로 \(\pi_{i_k}(p)\in G_{i_k}\subset \bar G_{i_k}\subset H_{i_k}\)인 \(X_{i_k}\)의 열린 집합 \(G_{i_k}\)가 존재한다. 이로부터 \[\begin{align}&p\in \pi_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]\subset\pi_{i_k}^{-1}[\bar G_{i_k}]\subset \pi_{i_k}^{-1}[H_{i_k}]\\[.2em]&\Rightarrow \, p\in \bigcap_{k=1}^n\pi_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]\subset\bigcap_{k=1}^n\pi_{i_k}^{-1}[\bar G_{i_k}]\subset  \bigcap_{k=1}^n \pi_{i_k}^{-1}[H_{i_k}]\\[.4em] &\Rightarrow \, p\in \bigcap_{k=1}^n\pi_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]\subset\overline{\bigcap_{k=1}^n\pi_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]}\subset  \bigcap_{k=1}^n \pi_{i_k}^{-1}[H_{i_k}] \end{align}\]를 얻는다. \(\displaystyle G=\bigcap_{k=1}^n\pi_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]\)라 하면 \(G\)는 열린 집합의 유한개의 교집합이므로 열린 집합이고, \(p\in G\subset \bar G\subset H\)이므로 \(X\)는 정칙 공간이다.

(2) \(p\in X\)라 하고, \(F\)를 \(p\)를 포함하지 않는 한 닫힌 집합이라 하자. 그러면 \(F^c\)는 \(p\)를 포함하는 한 열린 집합이므로 \(p\in G\subset F^c\)인 \(X\)의 기저의 원소 \[G=\pi_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\, \cap \, \pi_{i_2}^{-1}[G_{i_2}]\, \cap \, \cdots\,  \cap \, \pi_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]\]가 존재한다. 그러면 각 \(k=1, \, 2, \, \cdots, \, n\,\)에 대하여 \(\pi_{i_k}(p)\in G_{i_k}\)이므로 \({G_{i_k}}^c\)는 \(\pi_{i_k}(p)\)를 포함하지 않는 닫힌 집합이다. \(X_{i_k}\)는 완비 정칙 공간이므로 연속함수 \[f_{i_k}: X_{i_k}\to [0, 1], \ \ f_{i_k}(\pi_{i_k}(p))=0 \; \& \; f_{i_k}[{G_{i_k}}^c]=1\]가 존재한다. 이때 \[\begin{align}G\subset F^c &\Rightarrow F\subset G^c=\pi_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]^c\,\cup\, \cdots\, \cup\,\pi_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]^c\\[.4em]&\Rightarrow F\subset {G_{i_1}}^c\times {G_{i_2}}^c\times\cdots \times {G_{i_n}}^c\times \prod_{i\neq i_k}\varnothing\end{align}\]이므로 함수 \(f: X \to [0, 1]\)을 \[f(x)=1-\{1-(f_{i_1}\circ\pi_{i_1})(x)\}\cdots\{1-(f_{i_n}\circ\pi_{i_n})(x)\}\]라 정의하면 \(f\)는 연속함수이고 \(f(p)=0, \; f[F]=1\)을 만족시킨다. 따라서 \(X\)도 완비 정칙 공간이다.

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[Problem 2.1]

\(A=\prod_i A_i\)를 곱공간 \(X=\prod_i X_i\)의 부분집합이라 하고, 함수 \(\pi_{i_A}: A\to X_i\)를 사영함수 \(\pi_i: X \to X_i\)의 \(A\) 위로의 제한함수라고 하자. 이때 \(A\) 위의 상대적 위상이 곱공간임을 보여라. 즉, 이 상대적 위상이 함수 \(\pi_{i_A}\)가 연속이 되도록 하는 가장 엉성한 위상임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

곱공간 \((X, \, \mathcal T)\)의 기저를 \(\mathcal B\)라 하고, \(A\) 위의 상대적 위상과 그 기저를 각각 \(\mathcal T_A, \, \mathcal B_A\)라 하고, \(A\) 위의 곱위상을 \(\mathcal T_A^*, \, \mathcal B_A^*\)라 하자.

(i) \(\left(\mathcal T_A\subset \mathcal T_A^*\right)\)  \(G\in \mathcal B_A\)라고 하면 \(G=A\cap H\)인 \(H\in \mathcal B\)가 존재한다. 이때 \[H=\pi_{i_1}^{-1}[H_{i_1}]\, \cap \, \pi_{i_2}^{-1}[H_{i_2}]\, \cap \, \cdots\,  \cap \, \pi_{i_n}^{-1}[H_{i_n}]\]라 하면 \[\begin{align}A\cap H&=\left(A\cap\pi_{i_1}^{-1}[H_{i_1}]\right) \cap \, \cdots\,  \cap \, \left(A\cap\pi_{i_n}^{-1}[H_{i_n}]\right)\\[.4em]&=\pi_{i_{1_A}}^{-1}[H_{i_1}]\,\cap\, \cdots \,\cap\, \pi_{i_{n_A}}^{-1}[H_{i_n}]\in \mathcal T_A^*  \end{align}\]이다. 따라서 \(\mathcal T_A\subset \mathcal T_A^*\)이다. 

(ii) \(\left(\mathcal T_A^*\subset \mathcal T_A\right)\)  \(G\in \mathcal B_A^*\)라고 하면 \[\begin{align}G&=\pi_{i_{1_A}}^{-1}[G_{i_1}]\, \cap \, \pi_{i_{2_A}}^{-1}[G_{i_2}]\, \cap \, \cdots\,  \cap \, \pi_{i_{n_A}}^{-1}[G_{i_n}]\\[.5em]&=\left(A\cap\pi_{i_{1}}^{-1}[G_{i_1}] \right)\, \cap \cdots \, \cap \, \left(A\cap\pi_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]\right)\\[.5em]&=A\cap \left(\pi_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\, \cap \, \cdots\,  \cap \, \pi_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]\right)\in \mathcal T_A\end{align}\]이므로 \(\mathcal T_A^*\subset \mathcal T_A\)이다. 

(i), (ii)에서 \(\mathcal T_A=\mathcal T_A^*\)이다. 

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[Problem 2.2]

(i) 가산개의 제2가산공간의 곱공간은 제2가산공간임을 보여라.
(ii) 임의의 수의 제2가산공간의 곱공간이 제2가산공간이 아닌 예를 들어라.

# Solution ▶

(Proof)

(i) 가산개의 제2가산공간 \(X_1, \, X_2, \, \cdots, \,\)에 대하여 \(X=\prod_{n=1}^\infty X_n\)라 하고, \(X_k\)의 가산인 기저를 \(\mathcal B_k\)라 하자. 그리고, \(\mathcal S_k=\{\pi_k^{-1}[G]: G\in \mathcal B_k\}\)라 하자. \(\Bbb N\)의 유한부분집합 \(J\)에 대하여 \[\begin{align}&\mathcal G_J=\left\{\bigcap_{k\in J} V_k: \, V_k\in \mathcal S_k \right\}\end{align}\]라 하면 \(G_J\)는 가산집합의 유한 데카르트 곱이므로 가산집합이다. 이때 \[\mathcal B=\bigcup_{J\subset \Bbb N, \, |J|<\infty}G_j\]는 \(X\)의 기저이고, 가산집합의 가산 합집합이므로 가산집합이다.

(ii) \(A=\{a, b\}\)를 이산공간이라 하고, \(X=\prod\{X_i: X_i=A, \, i\in I=[0, 1]\}\)이라 하자. 그러면 \(X\)는 곱공간의 정의에 의하여 모든 \(i\in I\)에 대하여 \(\pi_i^{-1}[\{a\}]\)를 원소로 갖는 부분기저를 갖는다. 기저는 이 부분기저들의 원소를 모두 포함하므로 가산집합일 수 없다.

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[Problem 2.3]

티호노프 정리의 역을 증명하시오: 곱공간 \(X=\prod_i X_i\)가 컴팩트이면 각 좌표 공간 \(X_i\)도 컴팩트이다.

# Solution ▶

(Proof)

\(\mathcal G_i=\{G_j\}\)를 좌표 공간 \(X_i\)의 한 열린 덮개라고 하자. 그러면 \(\mathcal G=\{\pi_i^{-1}[G_j]: G_j\in \mathcal G_i\}\)는 \(X\)의 한 열린 덮개이다. 따라서 \(G_{j_1}, \, G_{j_2}, \, \cdots, \, G_{j_m}\in \mathcal G_i\)가 존재하여 \[X\subset \pi_i^{-1}[G_{j_1}]\cup \pi_i^{-1}[G_{j_2}]\cup \cdots \cup \pi_i^{-1}[G_{j_m}]\]이다. 따라서 \(\mathcal G_i^*=\{G_{j_1}, \, G_{j_2}, \cdots, \, G_{j_m}\}\)은 \(X_i\)를 덮는 \(\mathcal G_i\)의 열린 부분덮개이다. 

[Cf] \(X\)는 컴팩트이고 \(\pi_i: X\to X_i\)는 연속함수이므로 \(\pi_i[X]=X_i\)는 컴팩트이다. 

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[Problem 2.4]

함수 \(f:X\to Y\)에 대하여 \(F: X\to X\times Y\)를 \(F(x)=(x, \, f(x))\)라 하자. 함수 \(f\)가 연속일 필요충분조건은 \(F\)가 \(X\)에서 \(F[X]\)로의 위상동형사상인 것임을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) \(F\)가 일대일대응임은 어렵지 않게 알 수 있다. \(f\)가 연속이므로 \(\pi_x\circ F=\iota\)(항등함수)와 \(\pi_y\circ F=f\)는 모두 연속이다. 따라서 함수 \(F\)는 연속이다. 또한, \(F^{-1}=\pi_x\)는 연속이므로 \(F\)는 \(X\)에서 \(F[X]\)로의 위상동형사상이다.

(\(\Leftarrow\)) \(F\)는 \(X\)에서 \(X\times Y\)로의 연속함수이므로 \(f=\pi_y\circ F\)도 연속이다. 

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.