[Chapter 12] 곱공간

곱위상과 곱공간

유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^m$과 같이 특정한 성질을 갖는 여러 위상공간의 데카르트 곱(Cartesian product)을 이용하여 새로운 위상공간을 정의하고, 그 성질을 이용하여 그 공간에서의 구조를 관찰할 수 있다. 실제로 우리가 자주 보는 좌표평면 ${\mathbb{R}}^2$과 좌표공간 ${\mathbb{R}}^3$은 거의 $\mathbb{R}$과 동일한 성질을 공유한다. 위상공간은 열린 집합으로 공간의 구조를 정의하기 때문이다. 

곱공간은 그 각자의 위상공간의 성질을 반영하도록 정의한 공간으로, 각 좌표로의 사영을 이용하여 정의한다.

[Definition 0.0] 

$\{(X_i,{\mathcal{T}}_i\}$가 위상공간들의 모임이라 하고, $X$를 이 집합 $X_i$들의 데카르트 곱이라고 하자. 즉, $X=\prod _i{X}_i$라 하자. $X$ 위의 위상 $\mathcal{T}$를 각 사영함수 ${\pi }_i:X\to X_i$가 연속이 되도록 하는 가장 엉성한(coarest) 위상이라고 할 때, 이 위상 $\mathcal{T}$를 $X$의 곱위상(product topology)이라 하고, 위상공간 $(X,\mathcal{T})$를 곱공간(product space)이라고 한다. 

즉, 곱위상은 각 사영함수 ${\pi }_i$에 의해 생성된 위상이고, $$\mathcal{S}=\bigcup _i\{{\pi }_i^{-1}[G_i]:G_i\in {\mathcal{T}}_i\}$$를 부분기저로 갖는 위상이다. 

${\mathbb{R}}^2$에서의 보통 위상은 각 좌표로의 사영이 연속인 공간이므로 보통 위상 $\mathbb{R}$의 곱공간으로 볼 수 있다.

[Example 0.1]

곱공간 $X=\prod _i\{X_i:i\in I\}$를 하우스도르프 공간들의 곱이라고 하자. 그러면 $X$ 또한 하우스도르프 공간이다. $p,q\in X$를 $X$의 서로 다른 두 점이라고 하자. 그러면 $i_0\in I$가 존재하여 ${\pi }_{i_0}(p)\ne {\pi }_{i_0}(q)$를 만족시킨다. $X_{i_0}$는 하우스도르프 공간이므로 $${\pi }_{i_0}(p)\in G,{\pi }_{i_0}(p)\in H,G\cap H=\varnothing$$인 $X_{i_0}$의 두 열린 집합 $G,H$가 존재한다. 따라서 $$\begin{array}{rl}& {\pi }_{i_0}^{-1}[G]=G\times \prod \{X_i:i\ne i_0\},\\ & {\pi }_{i_0}^{-1}[H]=H\times \prod \{X_i:i\ne i_0\}\end{array}$$는 $p$와 $q$를 각각 포함하는 서로소인 $X$의 열린 집합이므로 $X$는 하우스도르프 공간이다. 

부분기저의 정의에 의하여 곱공간은 부분기저의 '유한개'의 원소의 교집합으로 만들어진 집합을 기저의 원소로 갖는다. 따라서 유한개의 위상공간의 곱공간은 단순히 각 공간에서 기저의 원소의 데카르트 곱을 택하면 기저의 원소를 얻을 수 있으나, 무한개의 데카르트 곱으로 정의된 곱공간의 경우 그렇지 않을 수도 있다. 즉,

[Theorem 0.2]

곱공간 $X=\prod _i{X}_i$의 다음 형태의 집합들의 모임은 $X$의 기저를 이룬다. $$\begin{array}{rl}& {\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_m}^{-1}[G_{i_m}]\\ & =G_{i_1}\times \cdots \times G_{i_m}\times \prod \{X_i:i\ne i_0,i_1,\cdots ,i_m\}\end{array}$$ (이때, $G_{i_k}$는 위상공간 $X_{i_k}$의 열린 부분집합이다.) 

특히, $G_{i_k}$가 위상공간 $X_{i_k}$의 기저의 원소인 경우에도 위의 형태의 집합들의 모임은 $X$의 기저를 이룬다.

[Corollary 0.3]

$X_1,\cdots ,X_m$을 유한개의 위상공간이라고 하자. $X=X_1\times \cdots \times X_m$이라 할 때, $X_k$의 열린 집합 $G_k$에 대하여 다음 형태의 집합들의 모임은 $X$의 기저를 이룬다. $$G_1\times G_2\times \cdots \times G_m$$ 이때, $G_k$가 $X_k$의 기저의 원소인 경우에도 위 형태의 집합들의 모임은 $X$의 기저를 이룬다.

실제로 무한개의 위상공간의 데카르트 곱이라도 각 좌표에서 열린 집합들의 데카르트 곱을 모아놓은 집합도 그 곱집합에서의 한 위상의 기저를 이룬다. 그러나 그 위상은 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. 

[Theorem 0.4]

위상공간 $X_i$에 대하여 $X=\prod _i\{X_i:i\in I\}$를 그 집합들의 데카르트 곱이라고 하자. $X_i$의 열린 집합 $G_i$에 대하여 다음 형태의 집합들의 모임은 $X$에서의 한 위상의 기저를 이룬다. $$\prod \{G_i:i\in I\}$$

증명 ▶

(Proof)

$\mathcal{B}$를 $\prod \{G_i:i\in I\}$의 형태의 모든 집합들의 모임이라고 하자. 이때 $X\in \mathcal{B}$이므로 $X=\bigcup \{B:B\in \mathcal{B}\}$이다. 이때 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대하여 $$B_1=\prod _i{G}_i,B_2=\prod _i{H}_i$$라 하면 $$B_1\cap B_2=\prod _i(G_i\cap H_i)$$이고 $G_i\cap H_i$는 $X_i$의 열린 집합이므로 $B_1\cap B_2\in \mathcal{B}$이다. 따라서 $\mathcal{B}$는 $X$의 한 위상의 기저를 이룬다.

증명 ▶

[Example 0.5]

$I=[0,1]$이라 하자. 위상공간들의 집합 $\{(X_i,{\mathcal{T}}_i):i\in I\}$에 대하여 $X=\prod _i{X}_i$라 하고, $X$ 위의 곱위상을 $\mathcal{T}$, [Theorem 0.4]에서의 집합을 기저로 갖는 $X$ 위의 위상을 ${\mathcal{T}}^{\prime }$이라 하자. 그러면 각 위상의 정의로부터 자명히 $\mathcal{T}\subset {\mathcal{T}}^{\prime }$를 얻는다. 

한편, $p\in X$에 대하여 $p$를 포함하는 $G\in {\mathcal{T}}^{\prime }$가 $G=\prod \{G_i:i\in I,G_i\ne X_i\}$로 주어지는 경우, $p$ $p\in H\subset G$를 만족시키는 $H\in \mathcal{T}$는 존재하지 않는다. $T$의 각 원소는 유한개의 좌표를 제외하면 각 좌표가 전체집합이기 때문이다. 따라서 이 경우 ${\mathcal{T}}^{\prime }\not\subset \mathcal{T}$이다. 

 

곱공간의 성질

곱공간은 기본적으로 사영 함수를 이용하여 정의되는 공간이므로 곱공간에서의 위상적 성질이 각 좌표에서의 공간의 성질로부터 비롯되는 경우 각 좌표에서의 성질이 곱공간에서도 유지된다. 우선 사영함수에 대한 논의를 먼저 할 필요가 있는데, 사영함수는 곱공간에서 연속함수일 뿐만 아니라 열린 함수이다. 즉, 쌍연속함수이다.

[Theorem 1.0]

곱공간 $X=\prod _i{X}_i$에서 각 사영함수 ${\pi }_i:X\to X_i$는 열린 함수이다. 따라서 사영함수는 쌍연속함수이다. 

증명 ▶

(Proof)

곱공간 $X$에서 부분기저의 각 원소의 사영함수에 대한 상이 열린 집합임을 보이면 충분한다. $X$의 임의의 좌표 공간 $X_{i_0}$의 임의의 열린 집합 $G_{i_0}$에 대하여 $$G={\pi }_{i_0}^{-1}[G_{i_0}]=\prod \{X_i:i\ne i_0)\}\times G_{i_0}$$은 곱공간의 위상의 부분기저의 한 원소이고 $${\pi }_i[G]=\{\begin{array}{ll}{G}_{i_0}& (i=i_0)\\ X_{i_0}& (i\ne i_0)\end{array}$$이므로 곱공간의 부분기저의 원소의 모든 사영함수에 의한 상은 항상 열린 집합이다. 따라서 사영함수는 열린 함수이다.

증명 ▶

곱공간도 위상공간이므로 일반적으로 논의되던 함수의 연속이나 수열의 극한 등도 곱공간에서 논할 수 있는데, 함수의 연속이나 수열의 극한은 각 좌표 공간에 귀속되는 성질이다. 곱공간에서 정의된 함수가 어떤 점에서 연속이려면, 각 좌표 공간에서 해당하는 점의 좌표로 가까이 다가갈 때, 함숫값도 각 좌표에서 가까이 다가가야 한다. 수열의 극한도 각 좌표에서 정의된 수열이 곱공간에서의 점의 각 좌표로 모두 근접해야 할 것이다. (수열 $\{(a_n,b_n,c_n)\}$이 점 $(p,q,r)$로 수렴하려면 $a_n\to p,b_n\to q,c_n\to r$이라 생각하는 것이 자연스러울 것이다.) 따라서 다음을 유추할 수 있다.

[Theorem 1.1]

위상공간 $Y$에서 곱공간 $X=\prod _i{X}_i$로의 함수 $f$가 연속일 필요충분조건은 각 사영함수 ${\pi }_i$에 대하여 합성함수 ${\pi }_i\circ f:Y\to X_i$가 연속인 것이다. (즉, 각 좌표 공간에서 함수가 연속이어야 한다.)

증명 ▶

(Proof)

($\Rightarrow$) $f$는 $Y$에서 $X$로의 연속함수이고 곱공간의 정의에서 사영함수 ${\pi }_i$는 $X$에서 $X_i$로의 연속함수이므로 합성함수 ${\pi }_i\circ f:Y\to X_i$도 연속이다. 

($\Leftarrow$) 각 사영함수 ${\pi }_i$에 대하여 합성함수 ${\pi }_i\circ f$가 연속이라고 하자. $X$의 기저의 임의의 원소 $$G={\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\cap {\pi }_{i_2}^{-1}[G_{i_2}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]$$에 대하여 가정에서 각 집합 $f^{-1}[{\pi }_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]]=({\pi }_{i_k}\circ f{)}^{-1}[G_{i_k}]$은 $Y$의 열린 집합이므로 $$\begin{array}{rl}{f}^{-1}[G]& =f^{-1}[{\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\cap {\pi }_{i_2}^{-1}[G_{i_2}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]]\\ & =({\pi }_{i_1}\circ f{)}^{-1}[G_{i_1}]\cap \cdots \cap ({\pi }_{i_n}\circ f{)}^{-1}[G_{i_n}]\end{array}$$은 $Y$의 열린 집합이다. $X$의 기저의 각 원소의 $f$에 의한 역상이 $Y$의 열린 집합이므로 $f$는 연속함수이다.

증명 ▶

[Theorem 1.2]

곱공간 $X$ 위에서의 수열 $\{p_n\}$이 $q\in X$로 수렴할 필요충분조건은 각 사영함수 ${\pi }_i:X\to X_i$에 대하여 ${\pi }_i(p_n)\to {\pi }_i(q)$인 것이다. 

증명 ▶

(Proof)

($\Rightarrow$)  ${\pi }_i(q)$을 포함하는 $X_i$의 임의의 열린 집합 $G_i$에 대하여 ${\pi }_i^{-1}[G_i]$는 $X$의 열린 집합이므로 가정에 의하여 $$\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow p_n\in {\pi }_i^{-1}[G_i]$$이다. 따라서 $n>n_0$이면 ${\pi }_i(p_n)\in G_i$이므로 ${\pi }_i(p_n)\to {\pi }_i(q)$이다. 

($\Leftarrow$)  $q\in X$를 포함하는 임의의 기저의 원소 $G$를 $$G={\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\cap {\pi }_{i_2}^{-1}[G_{i_2}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_n}^{-1}[G_{i_m}]$$라 하자. 가정에 의하여 각 $i_k$에 대하여 $G_{i_k}$는 ${\pi }_{i_k}(q)$를 포함하는 $X_{i_k}$의 열린 집합이므로 $$\mathrm{\exists }{n}_{i_k}\in \mathbb{N}:n>n_{i_k}\Rightarrow {\pi }_{i_k}(p_n)\in G_{i_k}$$이다. 따라서 $N:=max\{n_{i_1},n_{i_2},\cdots ,n_{i_m}\}$이라 하면 $$\begin{array}{rl}n>N& \Rightarrow {\pi }_{i_1}(p_n)\in G_{i_1},\cdots ,{\pi }_{i_m}(p_n)\in G_{i_m}\\ & \Rightarrow p_n\in {\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}],\cdots ,p_n\in {\pi }_{i_m}^{-1}[G_{i_m}]\\ & \Rightarrow p_n\in G\end{array}$$이므로 $p_n\to q$이다. 

증명 ▶

곱공간의 임의의 집합에 대하여 폐포와 내부에 관하여 다음의 성질도 성립한다.  

[Theorem 1.3]

$A_i$를 위상공간 $X_i$의 부분집합이라고 하자. 즉, $\prod _i{A}_i\subset \prod _i{X}_i$이다. 이때 다음이 성립한다.

(i) $\prod _i{\overline{A}}_i=\overline{\prod _i{A}_i}$    (ii) $\text{Int}(\prod _i{A}_i)\subset \prod _i\text{Int}(A_i)$

증명 ▶

(Proof)

(i) ${\overline{A}}_i$는 $A_i$를 포함하는 닫힌 집합이므로 ${\pi }_i^{-1}[{\overline{A}}_i]$는 $X$의 닫힌 부분집합이다. 따라서 $\bigcap _i{\pi }_i^{-1}[{\overline{A}}_i]=\prod _i{\overline{A}}_i$는 $\prod _i{A}_i$를 포함하는 닫힌 집합이므로 $\overline{\prod _i{A}_i}\subset \prod _i{\overline{A}}_i$이다. 

이제 $p\in \prod _i{\overline{A}}_i$이지만 $p\notin \overline{\prod _i{A}_i}$인 $p\in X$가 존재한다고 하자. 그러면 $p$를 포함하는 열린 집합 $G_p$가 존재하여 $G_p\cap \prod _i{A}_i=\varnothing$이다. 그러면 어떤 $i=i_0$에 대하여 ${\pi }_{i_0}[G_p]\cap A_{i_0}=\varnothing$이다. 이때 사영함수는 열린 함수이므로 ${\pi }_{i_0}[G_p]$는 ${\pi }_{i_0}(p)$를 포함하는 열린 집합이다. 이는 $$p\in \prod _i{\overline{A}}_i\Rightarrow {\pi }_{i_0}(p)\in {\overline{A}}_{i_0}$$라는 데에 모순이다. 이로부터 $\prod _i{\overline{A}}_i=\overline{\prod _i{A}_i}$를 얻는다. 

 

(ii) $H=\text{Int}(\prod _i{A}_i)$라 하자. 그러면 $H$는 $X$의 열린 집합이고, $H\subset \prod _i{A}_i$이므로 임의의 $i$에 대하여 ${\pi }_i[H]$는 $A_i$의 열린 부분집합이다. 따라서 ${\pi }_i[H]\subset \text{Int}(A_i)$이다. 이로부터 $H=\text{Int}(\prod _i{A}_i)\subset \prod _i\text{Int}(A_i)$를 얻는다.

[Cf] 보통 위상공간 $\mathbb{R}$과 $I=[0,1]$에 대하여 곱공간 $X=\prod \{X_i:X_i=\mathbb{R},i\in I\}$의 부분집합 $\prod \{A_i:A_i=[0,1],i\in I\}$을 생각하자. $X$의 임의의 열린 집합은 유한개의 좌표를 제외한 모든 좌표는 $\mathbb{R}$인 곱집합이므로 $\text{Int}(\prod _i{A}_i)=\varnothing$이다. 한편 $\prod _i\text{Int}(A_i)=\prod \{{\overline{A}}_i:{\overline{A}}_i=[0,1]\}$이므로 $\text{Int}(\prod _i{A}_i)⊊\prod _i\text{Int}(A_i)$이다. 

증명 ▶

위상공간 중에서 좋은 성질을 가지는 '컴팩트공간'과 '거리공간'도 곱공간에서 그 성질을 유지한다. 그 중 컴팩트공간의 곱공간은 그 곱한 공간의 수와 관계없이 컴팩트공간이 된다. 유한개의 좌표로 이루어진 곱공간은 그 증명이 어렵지 않으나, 일반적인 수의 좌표를 갖는 곱공간의 경우 그 증명을 조른의 보조정리(Zorn's Lemma)를 이용해야 한다. (사실 아래 정리는 조른의 보조정리와 동치이다.)

[Theorem 1.4] [Tychonoff's Theorem]

컴팩트공간의 곱공간은 컴팩트공간이다.

증명 ▶

(Proof)

좌표가 유한개인 경우만 증명하도록 한다. 컴팩트공간 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$에 대하여 그 곱공간을 $X=X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$이라 하자. $X$의 한 열린 덮개를 $\mathcal{G}=\{G_i\}$라 하자. 그러면 각 $k=1,2,\cdots ,n$에 대하여 ${\mathcal{G}}_k=\{{\pi }_k[G_i]:G_i\in \mathcal{G}\}$라 하면 ${\mathcal{G}}_k$는 $X_k$의 열린 덮개이다. $X_k$는 컴팩트공간이므로 ${\mathcal{G}}_k$의 열린 유한 부분덮개 ${\mathcal{G}}_k^{\ast }$가 존재한다. 따라서 $${\mathcal{G}}^{\ast }=\bigcup _{k=1}^n\{G_i\in \mathcal{G}:{\pi }_k[G_i]\in {\mathcal{G}}_k\}$$는 $X$를 덮는 $\mathcal{G}$의 열린 유한 부분덮개이다.

[Cf] 임의의 수의 곱공간의 경우의 증명은 다음 문서를 참고하면 된다.

www.math.tamu.edu/~tanujgupta17/tychonoff.pdf

증명 ▶

거리공간의 경우, 가산개의 거리공간의 곱집합 위로의 거리공간을 기존의 거리 함수를 이용하여 정의할 수 있다. 또한, 그렇게 정의된 거리공간은 그 곱집합 위로의 곱공간이 된다. 

[Theorem 1.5]

(1) $(X_1,d_1),(X_2,d_2),\cdots ,(X_m,d_m)$을 거리공간이라고 하자. 곱집합 $X=\prod _{i=1}^m{X}_i$ 위의 두 점 $$p=(a_1,a_2,\cdots ,a_m),q=(b_1,b_2,\cdots ,b_m)$$에 대하여 다음 함수들은 $X$ 위의 거리 함수이다. $$\begin{array}{rl}& d(p,q)=\sqrt{d_1(a_1,b_1{)}^2+\cdots +d_m(a_m,b_m{)}^2}\\ & d(p,q)=max\{d_1(a_1,b_1),\cdots ,d_m(a_m,b_m)\}\\ & d(p,q)=d(a_1,b_1)+\cdots +d_m(a_m,b_m)\end{array}$$ 또한, 위의 거리 함수에 의하여 생성되는 위상은 $X$ 위의 곱위상이다. (즉, 각 사영함수를 연속으로 만드는 가장 엉성한 위상이다.)

 

(2) $\{(X_1,d_1),(X_2,d_2),\cdots ,\}$를 가산개의 거리공간들의 모임이라고 하자. 곱집합 $X=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n$ 위의 두 점 $p=(a_1,a_2,\cdots ),q=(b_1,b_2,\cdots )$에 대하여 다음 함수는 $X$ 위의 거리 함수이다. $$d(p,q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\frac{d(a_n,b_n)}{1+d_n(a_n,b_n)}$$ 또한, 위의 거리 함수에 의하여 생성되는 위상은 $X$ 위의 곱위상이다. 

 

여러 가지 문제들

[Problem 2.0]

위상공간 $\{X_i\}$들의 모임에 대하여 $X=\prod _i{X}_i$라 하자.

(1) 각 공간 $X_i$가 정칙 공간일 때, $X$가 정칙 공간임을 보여라.
(2) 각 공간 $X_i$가 완비 정칙 공간일 때, $X$가 완비 정칙 공간임을 보여라.

Solution ▶

(Proof)

(1) $p\in X$라 하고, $H={\pi }_{i_1}^{-1}[H_{i_1}]\cap {\pi }_{i_2}^{-1}[H_{i_2}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_n}^{-1}[H_{i_n}]$를 $p$를 포함하는 임의의 기저의 원소라고 하자. 그러면 각 $k=1,2,\cdots ,n$에 대하여 $H_{i_k}$는 ${\pi }_{i_k}(p)$를 포함하는 열린 집합이고 $X_{i_k}$는 정칙 공간이므로 ${\pi }_{i_k}(p)\in G_{i_k}\subset {\overline{G}}_{i_k}\subset H_{i_k}$인 $X_{i_k}$의 열린 집합 $G_{i_k}$가 존재한다. 이로부터 $$\begin{array}{rl}& p\in {\pi }_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]\subset {\pi }_{i_k}^{-1}[{\overline{G}}_{i_k}]\subset {\pi }_{i_k}^{-1}[H_{i_k}]\\ & \Rightarrow p\in \bigcap _{k=1}^n{\pi }_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]\subset \bigcap _{k=1}^n{\pi }_{i_k}^{-1}[{\overline{G}}_{i_k}]\subset \bigcap _{k=1}^n{\pi }_{i_k}^{-1}[H_{i_k}]\\ & \Rightarrow p\in \bigcap _{k=1}^n{\pi }_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]\subset \overline{\bigcap _{k=1}^n{\pi }_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]}\subset \bigcap _{k=1}^n{\pi }_{i_k}^{-1}[H_{i_k}]\end{array}$$를 얻는다. ${\displaystyle G=\bigcap _{k=1}^n{\pi }_{i_k}^{-1}[G_{i_k}]}$라 하면 $G$는 열린 집합의 유한개의 교집합이므로 열린 집합이고, $p\in G\subset \overline{G}\subset H$이므로 $X$는 정칙 공간이다.

(2) $p\in X$라 하고, $F$를 $p$를 포함하지 않는 한 닫힌 집합이라 하자. 그러면 $F^c$는 $p$를 포함하는 한 열린 집합이므로 $p\in G\subset F^c$인 $X$의 기저의 원소 $$G={\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\cap {\pi }_{i_2}^{-1}[G_{i_2}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_n}^{-1}[G_{i_n}]$$가 존재한다. 그러면 각 $k=1,2,\cdots ,n$에 대하여 ${\pi }_{i_k}(p)\in G_{i_k}$이므로 ${G_{i_k}}^c$는 ${\pi }_{i_k}(p)$를 포함하지 않는 닫힌 집합이다. $X_{i_k}$는 완비 정칙 공간이므로 연속함수 $$f_{i_k}:X_{i_k}\to [0,1],f_{i_k}({\pi }_{i_k}(p))=0\mathrm{\&}{f}_{i_k}[{G_{i_k}}^c]=1$$가 존재한다. 이때 $$\begin{array}{rl}G\subset F^c& \Rightarrow F\subset G^c={\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}{]}^c\cup \cdots \cup {\pi }_{i_n}^{-1}[G_{i_n}{]}^c\\ & \Rightarrow F\subset {G_{i_1}}^c\times {G_{i_2}}^c\times \cdots \times {G_{i_n}}^c\times \prod _{i\ne i_k}\varnothing \end{array}$$이므로 함수 $f:X\to [0,1]$을 $$f(x)=1-\{1-(f_{i_1}\circ {\pi }_{i_1})(x)\}\cdots \{1-(f_{i_n}\circ {\pi }_{i_n})(x)\}$$라 정의하면 $f$는 연속함수이고 $f(p)=0,f[F]=1$을 만족시킨다. 따라서 $X$도 완비 정칙 공간이다.

Solution ▶

 

[Problem 2.1]

$A=\prod _i{A}_i$를 곱공간 $X=\prod _i{X}_i$의 부분집합이라 하고, 함수 ${\pi }_{i_A}:A\to X_i$를 사영함수 ${\pi }_i:X\to X_i$의 $A$ 위로의 제한함수라고 하자. 이때 $A$ 위의 상대적 위상이 곱공간임을 보여라. 즉, 이 상대적 위상이 함수 ${\pi }_{i_A}$가 연속이 되도록 하는 가장 엉성한 위상임을 보여라.

Solution ▶

(Proof)

곱공간 $(X,\mathcal{T})$의 기저를 $\mathcal{B}$라 하고, $A$ 위의 상대적 위상과 그 기저를 각각 ${\mathcal{T}}_A,{\mathcal{B}}_A$라 하고, $A$ 위의 곱위상을 ${\mathcal{T}}_A^{\ast },{\mathcal{B}}_A^{\ast }$라 하자.

(i) $({\mathcal{T}}_A\subset {\mathcal{T}}_A^{\ast })$  $G\in {\mathcal{B}}_A$라고 하면 $G=A\cap H$인 $H\in \mathcal{B}$가 존재한다. 이때 $$H={\pi }_{i_1}^{-1}[H_{i_1}]\cap {\pi }_{i_2}^{-1}[H_{i_2}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_n}^{-1}[H_{i_n}]$$라 하면 $$\begin{array}{rl}A\cap H& =(A\cap {\pi }_{i_1}^{-1}[H_{i_1}])\cap \cdots \cap (A\cap {\pi }_{i_n}^{-1}[H_{i_n}])\\ & ={\pi }_{i_{1_A}}^{-1}[H_{i_1}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_{n_A}}^{-1}[H_{i_n}]\in {\mathcal{T}}_A^{\ast }\end{array}$$이다. 따라서 ${\mathcal{T}}_A\subset {\mathcal{T}}_A^{\ast }$이다. 

(ii) $({\mathcal{T}}_A^{\ast }\subset {\mathcal{T}}_A)$  $G\in {\mathcal{B}}_A^{\ast }$라고 하면 $$\begin{array}{rl}G& ={\pi }_{i_{1_A}}^{-1}[G_{i_1}]\cap {\pi }_{i_{2_A}}^{-1}[G_{i_2}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_{n_A}}^{-1}[G_{i_n}]\\ & =(A\cap {\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}])\cap \cdots \cap (A\cap {\pi }_{i_n}^{-1}[G_{i_n}])\\ & =A\cap ({\pi }_{i_1}^{-1}[G_{i_1}]\cap \cdots \cap {\pi }_{i_n}^{-1}[G_{i_n}])\in {\mathcal{T}}_A\end{array}$$이므로 ${\mathcal{T}}_A^{\ast }\subset {\mathcal{T}}_A$이다. 

(i), (ii)에서 ${\mathcal{T}}_A={\mathcal{T}}_A^{\ast }$이다. 

Solution ▶

 

[Problem 2.2]

(i) 가산개의 제2가산공간의 곱공간은 제2가산공간임을 보여라.
(ii) 임의의 수의 제2가산공간의 곱공간이 제2가산공간이 아닌 예를 들어라.

Solution ▶

(Proof)

(i) 가산개의 제2가산공간 $X_1,X_2,\cdots ,$에 대하여 $X=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n$라 하고, $X_k$의 가산인 기저를 ${\mathcal{B}}_k$라 하자. 그리고, ${\mathcal{S}}_k=\{{\pi }_k^{-1}[G]:G\in {\mathcal{B}}_k\}$라 하자. $\mathbb{N}$의 유한부분집합 $J$에 대하여 $$\begin{array}{rl}& {\mathcal{G}}_J=\{\bigcap _{k\in J}{V}_k:V_k\in {\mathcal{S}}_k\}\end{array}$$라 하면 $G_J$는 가산집합의 유한 데카르트 곱이므로 가산집합이다. 이때 $$\mathcal{B}=\bigcup _{J\subset \mathbb{N},|J|<\mathrm{\infty }}{G}_j$$는 $X$의 기저이고, 가산집합의 가산 합집합이므로 가산집합이다.

(ii) $A=\{a,b\}$를 이산공간이라 하고, $X=\prod \{X_i:X_i=A,i\in I=[0,1]\}$이라 하자. 그러면 $X$는 곱공간의 정의에 의하여 모든 $i\in I$에 대하여 ${\pi }_i^{-1}[\{a\}]$를 원소로 갖는 부분기저를 갖는다. 기저는 이 부분기저들의 원소를 모두 포함하므로 가산집합일 수 없다.

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[Problem 2.3]

티호노프 정리의 역을 증명하시오: 곱공간 $X=\prod _i{X}_i$가 컴팩트이면 각 좌표 공간 $X_i$도 컴팩트이다.

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(Proof)

${\mathcal{G}}_i=\{G_j\}$를 좌표 공간 $X_i$의 한 열린 덮개라고 하자. 그러면 $\mathcal{G}=\{{\pi }_i^{-1}[G_j]:G_j\in {\mathcal{G}}_i\}$는 $X$의 한 열린 덮개이다. 따라서 $G_{j_1},G_{j_2},\cdots ,G_{j_m}\in {\mathcal{G}}_i$가 존재하여 $$X\subset {\pi }_i^{-1}[G_{j_1}]\cup {\pi }_i^{-1}[G_{j_2}]\cup \cdots \cup {\pi }_i^{-1}[G_{j_m}]$$이다. 따라서 ${\mathcal{G}}_i^{\ast }=\{G_{j_1},G_{j_2},\cdots ,G_{j_m}\}$은 $X_i$를 덮는 ${\mathcal{G}}_i$의 열린 부분덮개이다. 

[Cf] $X$는 컴팩트이고 ${\pi }_i:X\to X_i$는 연속함수이므로 ${\pi }_i[X]=X_i$는 컴팩트이다. 

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[Problem 2.4]

함수 $f:X\to Y$에 대하여 $F:X\to X\times Y$를 $F(x)=(x,f(x))$라 하자. 함수 $f$가 연속일 필요충분조건은 $F$가 $X$에서 $F[X]$로의 위상동형사상인 것임을 보여라. 

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(Proof)

($\Rightarrow$) $F$가 일대일대응임은 어렵지 않게 알 수 있다. $f$가 연속이므로 ${\pi }_x\circ F=\iota$(항등함수)와 ${\pi }_y\circ F=f$는 모두 연속이다. 따라서 함수 $F$는 연속이다. 또한, $F^{-1}={\pi }_x$는 연속이므로 $F$는 $X$에서 $F[X]$로의 위상동형사상이다.

($\Leftarrow$) $F$는 $X$에서 $X\times Y$로의 연속함수이므로 $f={\pi }_y\circ F$도 연속이다. 

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.