[Chapter 13] 연결성 - (2)

연결 성분

위상공간은 적절히 여러 연결된 부분집합으로 나누어 분할할 수 있다. 임의의 한 점 집합은 연결집합이므로 극단적으로 한 점 집합으로 그 위상공간을 분리할 수 있을 것이고, 아닌 경우에는 적당히 크기가 있는 여러 연결 집합으로 그 위상 공간을 나눌 수 있을 것이다. 이때 연결 성분은 극대인 연결 집합을 의미한다. 즉,

[Definition 3.0]

위상공간 \(X\)의 연결 성분(connected component)이란 극대인 \(X\)의 연결인 부분집합을 의미한다. 즉, \(E\subset X\)가 임의의 \(X\)의 연결인 부분집합 \(C\)에 대하여 \(E\subset C\)이면 \(E=C\)를 만족시킬 때, \(E\)를 \(X\)의 연결 성분이라고 한다. 

[Example 3.1]

연결공간 \(X\)는 \(X\)만을 연결 성분으로 갖는다.

[Example 3.2]

집합 \(X=\{a, b, c, d, e\}\) 위의 위상 \(\mathcal T\)를 \[\mathcal T=\{X,\, \varnothing, \, \{a\}, \, \{c, d\}, \, \{a, c, d\}, \, \{b, c, d, e\}\}\]라 하자. 그러면 \(X\)의 연결 성분은 \(\{a\}\), \(\{b, c, d, e\}\)이다. 즉, \(a\in X\)를 포함하는 가장 큰 연결 집합은 \(\{a\}\)이고, \(b, \,c, \,d,\, e\in X\)를 포함하는 가장 큰 연결 집합은 모두 \(\{b, c, d, e\}\)이다. 

연결 성분은 위상공간의 각 원소를 포함하는 가장 큰 연결 집합이므로 이 연결 성분을 이용하면 위상공간 \(X\)를 분할할 수 있다. 즉, 다음 정리가 연결 성분의 특징과 위상공간에서의 의미를 설명한다.

[Theorem 3.3]

위상공간 \(X\)의 연결 성분은 \(X\)의 분할을 생성한다. 즉, \(X\)의 연결 성분은 각자 서로소이고 그들의 합집합은 \(X\)가 된다. 이때 \(X\)의 임의의 연결 집합은 \(X\)의 어떤 연결 성분의 부분집합이다.

# 증명 ▶

(Proof)

임의의 \(p\in X\)에 대하여 \(\{A_i\}\)를 \(p\)를 포함하는 모든 연결집합들의 모임이라고 하고, \(C_p=\bigcup_i A_i\)라 하자. 그러면 \(p\)를 포함하는 임의의 연결집합 \(B\)에 대하여 \(B\subset C_p\)이다. 따라서 집합들의 모임 \(\mathcal C=\{C_p: p\in X\}\)는 \(X\)의 모든 연결 성분들의 모임이다.

이때 \(p,\, q\in X\)에 대하여 \(C_p\cap C_q\neq \varnothing\)이면 \(r\in C_p\cap C_q\)에 대하여 \(C_p\)는 \(r\)을 포함하는 한 연결 집합이므로 연결 성분의 정의에서 \(C_p\subset C_q\)이다. 같은 방법으로 \(C_q\subset C_p\)이다. 이로부터 \(C_p=C_q\)이다. 따라서 \(\mathcal C\)는 \(X\)의 분할이다. 

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연결 성분을 이용하면 곱공간의 연결성에 대한 다음 정리를 얻을 수 있다. 이때 보조 정리로 쓰이는 다음 정리는 증명하는 것이 어렵지 않으니 직접 해보면 되겠다.

[Lemma 3.4]

위상 공간의 연결 성분은 닫힌 집합이다. 

우선 유한개의 연결 집합의 곱집합은 연결 집합이라는 것에 대한 증명은 다음과 같다. 사실 이것과 비슷한 방법으로 임의의 수의 연결 집합의 곱공간도 연결 공간임을 보일 수 있다.

[Theorem 3.5]

두 연결 공간 \(X, \, Y\)에 대하여 \(X\times Y\)는 연결 공간이다. (따라서, 유한 개의 연결 집합의 곱공간은 연결 공간이다.)

# 증명 ▶

(Proof)

\(X\times Y\)의 임의의 두 점 \(p=(x_1, y_1)\), \(q=(x_2, y_2)\)에 대하여 \(\{x_1\}\times Y\)는 \(Y\)와 위상동형\(^*\)이므로 \(\{x_1\}\times Y\)는 연결 공간이고, 비슷한 방법으로 \(X\times \{y_2\}\) 또한 연결 공간이다. 이때 \(\left(\{x_1\}\times Y\right)\cap \left(X\times \{y_2\}\right)=\{(x_1, y_2)\}\)이므로 \(\left(\{x_1\}\times Y\right)\cup \left(X\times \{y_2\}\right)\)는 연결 집합이다. 따라서 \(p, \, q\)는 하나의 연결 성분 안에 존재한다.

그러나 \(p, \, q\in X\times Y\)는 임의로 선택한 두 점이므로 \(X\times Y\)의 모든 점은 하나의 연결 성분 안에 속한다. 즉, \(X\times Y\)의 연결 성분은 자기 자신뿐이므로 \(X\times Y\)는 연결 공간이다.

(\(^*\)): 사영 사상을 이용하여 어렵지 않게 증명할 수 있다. 

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[Theorem 3.6]

연결공간들의 곱공간은 연결공간이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

연결공간들의 모임 \(\{X_i: i\in I\}\)에 대하여 \(X=\prod X_i\)를 그들의 곱공간이라고 하자. \(p\in X\)에 대하여 \(E\subset X\)를 \(p=(a_i: i\in I)\)를 포함하는 연결 성분이라고 하자. 임의의 \(x=(x_i: i\in I)\in X\)가 \(\bar E=E\)에 속함을 보이자. \[G=\prod \{X_i: i\neq i_1, \, \cdots, \, i_m\}\times G_{i_1}\times G_{i_2}\times \cdots G_{i_m}\]을 \(x\in X\)를 포함하는 임의의 기저의 원소라고 하자. 이때 \[H=\prod \{\{a_i\}: i\neq i_1, \, \cdots, \, i_m\}\times X_{i_1}\times X_{i_2}\times \cdots \times X_{i_m}\]는 \(X_{i_1}\times \cdots X_{i_m}\)과 위상동형이므로 [Theorem 2.6]에 의하여 \(H\)는 연결 집합이다. \(p\in H\)이므로 \(H\subset E\)이고 \(G\cap H\neq \varnothing\)이다. 따라서 \(x\in \bar E=E\)이다. 이로써 \(X\)는 단 하나의 연결 성분 \(X\)를 가지므로 \(X\)는 연결공간이다.

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\(\Bbb R\)은 연결 공간이므로 위 정리에 의하여 그 곱공간인 \(\Bbb R^m\)과 힐베르트 공간 \(\Bbb H\)도 연결 공간이 된다. 

 

국소 연결 공간과 완전 비연결 공간

위상공간이 전체적으로 연결 공간은 아니더라도, 일부나 어떤 점의 근방에서는 연결 공간이 될 수도 있다. (부분공간의 관점에서) 미분기하학 등에서 등장하는 곡면 사이의 사상도 이 사실을 이용하여 국소적으로 연결인 열린 집합간의 대응으로 간주하여 정의한다. 

[Definition 4.0]

위상공간 \(X\)와 \(p\in X\)에 대하여 \(p\)를 포함하는 임의의 열린 집합이 연결인 열린 집합을 부분집합으로 가지면 \(X\)가 \(p\)에서 국소 연결(locally connected)이라 한다. 즉, \(p\)를 포함하는 연결인 열린 집합들이 \(p\)에서의 국소 기저를 이루면 \(X\)가 \(p\)에서 국소 연결이다. 

또한 위상공간 \(X\)가 연결인 열린 집합들로 이루어진 기저를 가지면 \(X\)가 국소 연결이라고 한다. 

주의할 것은 어떤 위상 공간이 국소 연결이라고 해서 연결인 것은 아니고, 연결이라고 해서 국소 연결이 되는 것도 아니다. 즉, 국소 연결성은 그 성질이 유효한 점들의 근방에서만 성립하는 성질이다.

[Example 4.1]

이산 공간의 모든 홑원소집합은 열린 집합이므로 이산 공간은 연결 공간이 아니다. 그러나 이산 공간의 모든 한 점 집합들의 모임은 연결 집합으로만 이루어진 이산 공간의 기저이므로 이산 공간은 국소 연결 공간이다. 

[Example 4.2]

\(\Bbb R^2\)의 두 부분집합 \(A\), \(B\)가 \[\begin{align}&A=\{(0, y): 1/2\leq y\leq 1\}\\[.5em] &B=\{(x, y): y=\sin(1/x), \; 0<x\leq 1\}\end{align}\]일 때, 이 둘은 서로 분리된 집합이 아니므로 \(A\cup B\)는 연결집합이다. 그러나 \(A\cup B\)는 \(p=(0, 1)\)에서 국소 연결이 아니다. 그림과 같이 \(p\)를 포함하는 임의의 열린 원판은 어떤 연결된 근방도 가지지 않는다. (원판 안에 들어가는 곡선의 조각들은 모두 떨어져 있음을 관찰할 수 있다.)

한편, 어떤 위상공간은 국소 연결 공간과 완전히 반대되는 성격을 가지기도 한다. 즉, 임의의 두 점을 선택하였을 때, 그 두 점을 각각 포함하는 위상공간의 비연결을 만들어낼 수 있는 공간이 있다. 대표적으로 위끝 위상과 아래끝 위상 공간이 있다. 

[Definition 4.3] 

위상공간 \(X\)가 임의의 두 점 \(p, \, q\in X\)에 대하여 \(p\in G\)이고 \(q\in H\)이면서 \(G\cup H\)가 \(X\)의 비연결이 되는 두 열린 집합 \(G, \, H\)을 가지면 \(X\)를 완전 비연결 공간 또는 완전 분리 공간(totally disconnected space)이라고 한다. 

[Example 4.4]

\(\Bbb R\)의 부분공간 \(\Bbb Q\)는 완전 비연결 공간이다. 임의의 두 유리수 \(p,\, q \; (p<q)\)에 대하여 유리수의 조밀성에 의하여 \(p<a<q\)인 \(a\in \Bbb Q^c\)가 존재한다. 이때 \(G=(-\infty, \, a)\cap \Bbb Q\), \(H=(a, \, \infty)\cap \Bbb Q\)라 하면 \(G\cup H\)는 \(\Bbb Q\)의 비연결을 이룬다.

 

길연결공간

보통 우리가 인지하는 어떤 공간이 '연결'되었다고 하면 물리적으로 이어지는 공간을 떠올릴 것이다. 이에 부합하는 연결성이 '길연결'이라는 개념이다. 앞에서 본 [Example 4.2]와 같은 예를 보면 \(A\cup B\)는 물리적으로 연결되어 있지는 않지만 연결집합이다. 즉, 우리가 인지하는 연결이라는 개념은 앞으로 다룰 길연결과 더 가깝다. 

길연결은 경로(길)를 이용하여 정의되는 연결성의 개념이다. 위상공간에서의 경로란 다음을 의미한다.

[Definition 5.0] 

닫힌구간 \(I=[0, 1]\)과 위상공간 \(X\)에 대하여 \(a\in X\)에서 \(b\in X\)로의 경로(path)란 \(f(0)=a\)이고 \(f(1)=b\)인 연속함수 \(f: I\to X\)이다. 이때 \(a\)를 이 경로의 시초점(initial point), \(b\)를 이 경로의 끝점(terminal point)이라고 한다. 

이미 존재하는 경로를 이용하면 다른 경로를 생성할 수 있다. 예를 들어 방향이 반대인 경로, 두 경로의 끝점과 시작점을 붙여서 만든 경로와 같은 것들이 있다.

[Example 5.1]

\(f: I\to X\)를 \(a\)에서 \(b\)로의 경로라고 하자. 그러면 \(\hat f(s)=f(1-s)\)으로 정의된 함수 \(\hat f: I \to X\)는 \(b\)에서 \(a\)로의 경로이다. 

[Example 5.2]

\(f: I \to X\)가 \(a\)에서 \(b\)로의 경로이고 \(g: I\to X\)는 \(b\)에서 \(c\)로의 경로라고 하자. 그러면 두 경로 \(f, \, g\)의 병렬(juxtaposition) \(f*g\)란 \[(f*g)(s)=\begin{cases}f(2s) & 0\leq s\leq 1/2\\[.4em] g(2s-1) & 1/2\leq s\leq 1\end{cases}\]로 정의된 \(a\)에서 \(c\)로의 경로이다. 즉, \(f*g\)는 \(f\)의 끝점과 \(g\)의 시작점인 \(b\)를 이어서 만든 경로이다. 

길연결공간이란 공간의 모든 두 점을 적절한 경로로 이을 수 있는 공간으로, '물리적' 또는 '가시적'으로 연결되어 있는 것으로 간주되는 공간이다. 그 정의는 다음과 같다.

[Definition 5.3]

위상공간 \(X\)의 부분집합 \(E\)와 임의의 \(a, \, b\in E\)에 대하여 \(a\)에서 \(b\)로의 \(E\) 위의 경로 \(f: I\to X\)가 존재하면 (즉, \(f(I)\subset E\)이면) \(E\)는 길연결집합(arcwise connected set, path connected set)이라고 한다. 

연결집합에서와 같이, 위상공간 \(X\)가 그 자체로 길연결집합인 경우 \(X\)를 길연결공간(arcwise connected space)이라 하고, 길연결집합 중에서 극대인 것을 길연결성분(arcwise connected components)이라 한다. 

연결집합에서의 논의와 동일하게, 길연결성분들의 모임은 위상공간 \(X\)의 분할을 이룬다. 한편, 길연결집합은 연속함수로 임의의 두 점을 이을 수 있는 집합이므로 연결집합이 된다. 즉,

[Theorem 5.4]

길연결집합은 연결집합이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(X\)가 길연결집합(공간)이라고 하자. \(X\)의 한 점 \(a\)에와 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(X\)는 길연결집합이므로 \(a\)에서 \(x\)로의 경로 \(f_x: I\to X\)가 존재한다. 이때 \(I=[0, 1]\)은 연결집합이고 \(f_x\)는 연속함수이므로 \(f_x(I)\)는 연결집합이다. 또한 각 \(x\in X\)에 대하여 \(a\in f_x(I)\)이므로 \(\bigcap_{x\in X} f_x(I)\neq \varnothing\)이다. 따라서 \(X=\bigcup_{x\in X}f_x(I)\)는 연결집합이다. 

# ◀ 닫기

서두에 언급한 것과 같이 어떤 집합이 연결집합이라고 해서 길연결집합인 것은 아니다. 

[Example 5.5]

두 집합 \[\begin{align}&A=\{(x, y): 0\leq x\leq 1, \, y=x/n, \; n\in \Bbb N\}\\[.4em] & B=\{(x, 0): 1/2\leq x\leq 1\}\end{align}\]에 대하여 \(A\)는 자연수 \(n\)에 대하여 원점과 \((1, 1/n)\)을 잇는 선분들의 모임이고, \(B\)는 \(x\)축 위의 선분이다. 

이때 \(A\)와 \(B\)는 명백히 길연결집합이므로 연결집합이다. 또한, \(B\)의 각 점은 \(A\)의 극한점이므로 (즉, \(B\)의 원소를 포함하는 임의의 열린 원판은 \(A\)의 원소를 포함한다.) \(A\cup B\)는 연결집합이다. 그러나 \(A\)의 각 점에서 \(B\)의 점으로의 연속함수는 존재하지 않으므로 (직관적으로, 두 점 사이를 잇는 경로를 만들 수 없으므로) \(A\cup B\)는 길연결이 아니다. 

그러나 \(\Bbb R^2\)에서는 열린 연결 집합은 항상 길연결집합이 된다. \(\Bbb R^2\)에서의 위상은 복소함수론의 여러 이론을 전개하는 데에 필요한 근본이 된다. 다음 정리도 그런 측면에서 중요한 역할을 한다. (ex. 경로 적분, 미분가능성과 정칙함수 등)

[Theorem 5.6]

\(\Bbb R^2\)의 열린 연결 집합은 길연결집합이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

\(\Bbb R^2\)의 열린 원판은 길연결임을 이용하여 된다. [Problem 2]과 비슷한 방법으로 증명할 수 있다. 즉, \(\Bbb R^2\)의 어떤 점에서 단순 사슬로 연결될 수 있는 모든 점들의 집합이 열린 닫힌 집합임을 보이면 된다. 

# ◀ 닫기

 

여러 가지 문제들

[Problem 1]

집합족 \(\mathcal A=\{A_i\}\)를 어느 두 집합도 분리되어 있지 않은 \(X\)의 연결집합들의 모임이라고 하자. \(B=\bigcup_i A_i\)가 연결집합임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(B\)가 비연결집합이라 하고, \(G\cup H\)를 \(B\)의 비연결이라 하자. \(\mathcal A\)의 임의의 두 원소 \(A_{i_1}, \, A_{i_2}\)에 대하여 이 두 집합은 연결집합이므로 \(A_{i_1}\)와 \(A_{i_2}\)는 \(G\) 또는 \(H\)의 부분집합이다. 그렇지 않으면 \(G\cup H\)가 이 두 집합의 비연결이 되어 모순이 되기 때문이다.

이때 일반성을 잃지 않고 \(A_{i_1}\subset G, \ A_{i_2}\subset H\)라 하자. 그러면 \(G\)와 \(H\)는 서로 분리된 열린 집합이므로 \(A_{i_1}, \ A_{i_2}\)는 서로 분리된 집합이다. 이는 가정에 모순이다. 따라서 \(A_{i_1}\)와 \(A_{i_2}\)는 모두 \(G\) 또는 \(H\)의 부분집합이다.

이와 같은 방법으로 \(\mathcal A\)의 모든 원소가 \(G\)의 부분집합이거나 \(H\)의 부분집합이 된다. 이는 \(G\cup H\)가 \(B=\bigcup_i A_i\)의 비연결이라는 데에 모순이다. 따라서 \(B\)는 연결집합이다. 

(Note) 위 정리의 '연결집합'을 '길연결집합'으로 바꾸어도 비슷한 방법으로 성립함을 보일 수 있다. 

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[Problem 2]

위상공간 \(X\)의 두 점 \(p,\, q\)에 대하여 \(X\)의 부분집합 \(A_1, \, \cdots, \, A_m\)이 다음을 만족시키면 \(A_1, \, \cdots, \, A_m\)이 \(p\)에서 \(q\)를 잇는 단순 사슬(simple chain)을 이룬다고 한다.

(i) \(p\)를 포함하는 집합은 \(A_1\)뿐이다.
(ii) \(q\)를 포함하는 집합은 \(A_m\)뿐이다.
(iii) \(A_i\cap A_j=\varnothing \ \ \Leftrightarrow \ \ |i-j|>1\) 

\(X\)가 연결공간이고 \(\mathcal A\)를 \(X\)의 한 열린 덮개라고 하자. 그러면 \(\mathcal A\)의 원소들로 이루어진 \(X\)의 임의의 두 점을 잇는 단순 사슬이 존재함을 보여라. 

# Solution ▶

(Proof)

\(p\)를 \(X\)의 임의의 점이라고 하고, 집합 \(H\)를 \(\mathcal A\)의 원소로 이루어진 사슬로 \(p\)와 이을 수 있는 모든 점들의 집합이라고 하자. \(X\)가 연결공간이므로 \(H\)가 열린 닫힌 집합임을 보이면 충분하다.

\(h\in H\)라 하자. 그러면 \(H\)의 정의로부터 \(h\)에서 \(p\)를 잇는 단순 사슬을 이루는 \(\mathcal A\)의 원소 \(G_1, \, G_2, \, \cdots, \, G_m\)이 존재한다. 만약 \(x\in G_1\, \backslash \, G_2\)이면 \(G_1, \, G_2, \, \cdots, \, G_m\)은 \(x\)에서 \(p\)를 잇는 단순 사슬을 이루고, \(y\in G_1\cap G_2\)이면 \(G_2, \, \cdots, \, G_m\)은 \(y\)에서 \(p\)를 잇는 단순 사슬을 이룬다. 따라서 \(G_1\)의 모든 원소는 \(H\)의 부분집합이다. 즉, \(h\in G_1\subset H\)이다. 따라서 \(H\)는 열린 집합이다.

이제 \(g\in H^c\)라 하자. \(\mathcal A\)는 \(X\)의 열린 덮개이므로 \(g\in G\)인 \(\mathcal A\)의 원소 \(G\)가 존재한다. 만약 \(G\cap H\neq \varnothing\)이면 \(h\in G\cap H\)이 존재하여 \(h\)에서 \(p\)를 잇는 단순 사슬을 이루는 \(\mathcal A\)의 원소 \(G_1, \, G_2, \, \cdots, \, G_m\)이 존재한다. 따라서 \(g\) 또한 \(p\)와 이 사슬을 통해 이어진다. 즉, \(g\in H\)이므로 이는 모순이다. 따라서 \(G\cap H=\varnothing\)이고 \(g\in G\subset H^c\)이다. 

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[Problem 3]

집합족 \(\{X_i\}\)를 연결이면서 국소 연결인 위상공간들의 모임이라고 하자. 그러면 곱공간 \(X=\prod_i X_i\) 또한 국소 연결 공간임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(X\)의 임의의 점을 포함하는 연결인 기저의 원소가 있음을 보이면 된다. \(p\in X\)라 하고, \(G\)를 \(p\)를 포함하는 한 열린 집합이라고 하자. 그러면 \(p\)를 포함하는 기저의 원소 \[B=G_{i_1}\times G_{i_2}\times \cdots \times G_{i_m}\times \prod \{X_i: i\neq i_1, \, \cdots, \, i_m\}\]가 존재한다. 이때 각 \(X_i\)는 국소 연결 공간이므로 각 \(k=1, \, 2, \, \cdots, \, m\)에 대하여 \(p\in H_{i_k}\subset G_{i_k}\)인 연결인 열린 집합 \(H_{i_k}\)가 존재한다. 이때 \[H=H_{i_1}\times H_{i_2}\times \cdots \times H_{i_m}\times \prod \{X_i: i\neq i_1, \, \cdots, \, i_m\}\]이라 하면 각 \(H_{i_k}\)와 \(X_i\)는 연결집합이므로 [Theorem 3.6]에 의하여 \(H\)도 연결집합이고, 열린 집합이다. 따라서 \(p\in H\subset B\subset G\)이고, \(p\)는 \(X\)의 임의의 원소이므로 \(X\)는 국소 연결 공간이다. 

# ◀ 닫기

 

[Problem 4]

\(E\)가 두 점 이상을 원소로 가지는 \(T_1-\)공간의 연결인 부분집합이라 하자. \(E\)가 무한집합임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(E\)가 \(T_1-\)공간 \(X\)의 유한 부분집합이라고 가정하자. \(E\)가 두 점 이상을 원소로 가지므로 서로 다른 \(p, \, q\in E\)가 존재한다. 이때 두 집합 \(G, \, H\)를 \[G=X\, \backslash \, \{p\}, \ \ H=(X\, \backslash \, E)\cup \{p\}\]라 하면 \(G^c\)와 \(H^c\)는 모두 유한집합이므로 \(G, \, H\)는 열린 집합이다. 또한 \((E\cap G)\cap (E\cap H)=\varnothing, \; (E\cap G)\cup (E\cap H)=E\)이므로 \(G\cup H\)는 \(E\)의 비연결이다. 이는 \(E\)가 연결집합이라는 데에 모순이다. 따라서 \(E\)는 무한집합이다.

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[Problem 5]

\(E\)가 공집합이 아닌 위상공간 \(X\)의 연결 부분집합이라고 하자. \(E\)가 열린 닫힌 집합이면 \(E\)가 연결 성분임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(C\)가 연결집합이고 \(E\subset C\)라 하자. \(X=E\cup E^c\)이고 \(E\)와 \(E^c\)는 모두 열린 집합이므로 \(C\subset E\)이거나 \(C\subset E^c\)이어야 한다. 그렇지 않으면 \(E\cup E^c\)가 \(C\)의 비연결이 되어 모순이다. \(E\subset C\)이므로 \(C\subset E^c \ \Leftrightarrow \ E\subset C^c\)인 것은 가능하지 않다. 따라서 \(C\subset E\)이고 \(C=E\)를 얻는다. 

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[Problem 6]

\(E\)가 위상공간 \(Y\)의 연결 성분이고 \(f: X\to Y\)가 연속이라고 하자. 그러면 \(f^{-1}[E]\)가 \(X\)의 적당한 연결성분들의 합집합임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(x\in f^{-1}[E]\)라 하고, \(C_x\)를 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 연결 성분이라고 하자. 그러면 \(f[C_x]\)는 \(f(x)\)를 포함하는 \(Y\)의 연결집합이고 \(f(x)\in (f\circ f^{-1})[E]\subset E\)이므로 연결성분의 정의로부터 \(f[C_x]\subset E\)이다. 따라서 \(C_x\subset f^{-1}[E]\)이다. 즉, 임의의 \(x\in f^{-1}[E]\)에 대하여 \(x\in C_x\subset f^{-1}[E]\)이므로 \(f^{-1}[E]=\bigcup_{x\in X}C_x\)이다. 

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Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.