[Chapter 13] 연결성 - (2)

연결 성분

위상공간은 적절히 여러 연결된 부분집합으로 나누어 분할할 수 있다. 임의의 한 점 집합은 연결집합이므로 극단적으로 한 점 집합으로 그 위상공간을 분리할 수 있을 것이고, 아닌 경우에는 적당히 크기가 있는 여러 연결 집합으로 그 위상 공간을 나눌 수 있을 것이다. 이때 연결 성분은 극대인 연결 집합을 의미한다. 즉,

[Definition 3.0]

위상공간 $X$의 연결 성분(connected component)이란 극대인 $X$의 연결인 부분집합을 의미한다. 즉, $E\subset X$가 임의의 $X$의 연결인 부분집합 $C$에 대하여 $E\subset C$이면 $E=C$를 만족시킬 때, $E$를 $X$의 연결 성분이라고 한다. 

[Example 3.1]

연결공간 $X$는 $X$만을 연결 성분으로 갖는다.

[Example 3.2]

집합 $X=\{a,b,c,d,e\}$ 위의 위상 $\mathcal{T}$를 $$\mathcal{T}=\{X,\varnothing ,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e\}\}$$라 하자. 그러면 $X$의 연결 성분은 $\{a\}$, $\{b,c,d,e\}$이다. 즉, $a\in X$를 포함하는 가장 큰 연결 집합은 $\{a\}$이고, $b,c,d,e\in X$를 포함하는 가장 큰 연결 집합은 모두 $\{b,c,d,e\}$이다. 

연결 성분은 위상공간의 각 원소를 포함하는 가장 큰 연결 집합이므로 이 연결 성분을 이용하면 위상공간 $X$를 분할할 수 있다. 즉, 다음 정리가 연결 성분의 특징과 위상공간에서의 의미를 설명한다.

[Theorem 3.3]

위상공간 $X$의 연결 성분은 $X$의 분할을 생성한다. 즉, $X$의 연결 성분은 각자 서로소이고 그들의 합집합은 $X$가 된다. 이때 $X$의 임의의 연결 집합은 $X$의 어떤 연결 성분의 부분집합이다.

증명 ▶

(Proof)

임의의 $p\in X$에 대하여 $\{A_i\}$를 $p$를 포함하는 모든 연결집합들의 모임이라고 하고, $C_p=\bigcup _i{A}_i$라 하자. 그러면 $p$를 포함하는 임의의 연결집합 $B$에 대하여 $B\subset C_p$이다. 따라서 집합들의 모임 $\mathcal{C}=\{C_p:p\in X\}$는 $X$의 모든 연결 성분들의 모임이다.

이때 $p,q\in X$에 대하여 $C_p\cap C_q\ne \varnothing$이면 $r\in C_p\cap C_q$에 대하여 $C_p$는 $r$을 포함하는 한 연결 집합이므로 연결 성분의 정의에서 $C_p\subset C_q$이다. 같은 방법으로 $C_q\subset C_p$이다. 이로부터 $C_p=C_q$이다. 따라서 $\mathcal{C}$는 $X$의 분할이다. 

증명 ▶

연결 성분을 이용하면 곱공간의 연결성에 대한 다음 정리를 얻을 수 있다. 이때 보조 정리로 쓰이는 다음 정리는 증명하는 것이 어렵지 않으니 직접 해보면 되겠다.

[Lemma 3.4]

위상 공간의 연결 성분은 닫힌 집합이다. 

우선 유한개의 연결 집합의 곱집합은 연결 집합이라는 것에 대한 증명은 다음과 같다. 사실 이것과 비슷한 방법으로 임의의 수의 연결 집합의 곱공간도 연결 공간임을 보일 수 있다.

[Theorem 3.5]

두 연결 공간 $X,Y$에 대하여 $X\times Y$는 연결 공간이다. (따라서, 유한 개의 연결 집합의 곱공간은 연결 공간이다.)

증명 ▶

(Proof)

$X\times Y$의 임의의 두 점 $p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$에 대하여 $\{x_1\}\times Y$는 $Y$와 위상동형${}^{\ast }$이므로 $\{x_1\}\times Y$는 연결 공간이고, 비슷한 방법으로 $X\times \{y_2\}$ 또한 연결 공간이다. 이때 $(\{x_1\}\times Y)\cap (X\times \{y_2\})=\{(x_1,y_2)\}$이므로 $(\{x_1\}\times Y)\cup (X\times \{y_2\})$는 연결 집합이다. 따라서 $p,q$는 하나의 연결 성분 안에 존재한다.

그러나 $p,q\in X\times Y$는 임의로 선택한 두 점이므로 $X\times Y$의 모든 점은 하나의 연결 성분 안에 속한다. 즉, $X\times Y$의 연결 성분은 자기 자신뿐이므로 $X\times Y$는 연결 공간이다.

(${}^{\ast }$): 사영 사상을 이용하여 어렵지 않게 증명할 수 있다. 

증명 ▶

[Theorem 3.6]

연결공간들의 곱공간은 연결공간이다. 

증명 ▶

(Proof)

연결공간들의 모임 $\{X_i:i\in I\}$에 대하여 $X=\prod X_i$를 그들의 곱공간이라고 하자. $p\in X$에 대하여 $E\subset X$를 $p=(a_i:i\in I)$를 포함하는 연결 성분이라고 하자. 임의의 $x=(x_i:i\in I)\in X$가 $\overline{E}=E$에 속함을 보이자. $$G=\prod \{X_i:i\ne i_1,\cdots ,i_m\}\times G_{i_1}\times G_{i_2}\times \cdots G_{i_m}$$을 $x\in X$를 포함하는 임의의 기저의 원소라고 하자. 이때 $$H=\prod \{\{a_i\}:i\ne i_1,\cdots ,i_m\}\times X_{i_1}\times X_{i_2}\times \cdots \times X_{i_m}$$는 $X_{i_1}\times \cdots X_{i_m}$과 위상동형이므로 [Theorem 2.6]에 의하여 $H$는 연결 집합이다. $p\in H$이므로 $H\subset E$이고 $G\cap H\ne \varnothing$이다. 따라서 $x\in \overline{E}=E$이다. 이로써 $X$는 단 하나의 연결 성분 $X$를 가지므로 $X$는 연결공간이다.

증명 ▶

$\mathbb{R}$은 연결 공간이므로 위 정리에 의하여 그 곱공간인 ${\mathbb{R}}^m$과 힐베르트 공간 $\mathbb{H}$도 연결 공간이 된다. 

 

국소 연결 공간과 완전 비연결 공간

위상공간이 전체적으로 연결 공간은 아니더라도, 일부나 어떤 점의 근방에서는 연결 공간이 될 수도 있다. (부분공간의 관점에서) 미분기하학 등에서 등장하는 곡면 사이의 사상도 이 사실을 이용하여 국소적으로 연결인 열린 집합간의 대응으로 간주하여 정의한다. 

[Definition 4.0]

위상공간 $X$와 $p\in X$에 대하여 $p$를 포함하는 임의의 열린 집합이 연결인 열린 집합을 부분집합으로 가지면 $X$가 $p$에서 국소 연결(locally connected)이라 한다. 즉, $p$를 포함하는 연결인 열린 집합들이 $p$에서의 국소 기저를 이루면 $X$가 $p$에서 국소 연결이다. 

또한 위상공간 $X$가 연결인 열린 집합들로 이루어진 기저를 가지면 $X$가 국소 연결이라고 한다. 

주의할 것은 어떤 위상 공간이 국소 연결이라고 해서 연결인 것은 아니고, 연결이라고 해서 국소 연결이 되는 것도 아니다. 즉, 국소 연결성은 그 성질이 유효한 점들의 근방에서만 성립하는 성질이다.

[Example 4.1]

이산 공간의 모든 홑원소집합은 열린 집합이므로 이산 공간은 연결 공간이 아니다. 그러나 이산 공간의 모든 한 점 집합들의 모임은 연결 집합으로만 이루어진 이산 공간의 기저이므로 이산 공간은 국소 연결 공간이다. 

[Example 4.2]

${\mathbb{R}}^2$의 두 부분집합 $A$, $B$가 $$\begin{array}{rl}& A=\{(0,y):1/2\le y\le 1\}\\ & B=\{(x,y):y=\sin (1/x),0<x\le 1\}\end{array}$$일 때, 이 둘은 서로 분리된 집합이 아니므로 $A\cup B$는 연결집합이다. 그러나 $A\cup B$는 $p=(0,1)$에서 국소 연결이 아니다. 그림과 같이 $p$를 포함하는 임의의 열린 원판은 어떤 연결된 근방도 가지지 않는다. (원판 안에 들어가는 곡선의 조각들은 모두 떨어져 있음을 관찰할 수 있다.)

한편, 어떤 위상공간은 국소 연결 공간과 완전히 반대되는 성격을 가지기도 한다. 즉, 임의의 두 점을 선택하였을 때, 그 두 점을 각각 포함하는 위상공간의 비연결을 만들어낼 수 있는 공간이 있다. 대표적으로 위끝 위상과 아래끝 위상 공간이 있다. 

[Definition 4.3] 

위상공간 $X$가 임의의 두 점 $p,q\in X$에 대하여 $p\in G$이고 $q\in H$이면서 $G\cup H$가 $X$의 비연결이 되는 두 열린 집합 $G,H$을 가지면 $X$를 완전 비연결 공간 또는 완전 분리 공간(totally disconnected space)이라고 한다. 

[Example 4.4]

$\mathbb{R}$의 부분공간 $\mathbb{Q}$는 완전 비연결 공간이다. 임의의 두 유리수 $p,q(p<q)$에 대하여 유리수의 조밀성에 의하여 $p<a<q$인 $a\in {\mathbb{Q}}^c$가 존재한다. 이때 $G=(-\mathrm{\infty },a)\cap \mathbb{Q}$, $H=(a,\mathrm{\infty })\cap \mathbb{Q}$라 하면 $G\cup H$는 $\mathbb{Q}$의 비연결을 이룬다.

 

길연결공간

보통 우리가 인지하는 어떤 공간이 '연결'되었다고 하면 물리적으로 이어지는 공간을 떠올릴 것이다. 이에 부합하는 연결성이 '길연결'이라는 개념이다. 앞에서 본 [Example 4.2]와 같은 예를 보면 $A\cup B$는 물리적으로 연결되어 있지는 않지만 연결집합이다. 즉, 우리가 인지하는 연결이라는 개념은 앞으로 다룰 길연결과 더 가깝다. 

길연결은 경로(길)를 이용하여 정의되는 연결성의 개념이다. 위상공간에서의 경로란 다음을 의미한다.

[Definition 5.0] 

닫힌구간 $I=[0,1]$과 위상공간 $X$에 대하여 $a\in X$에서 $b\in X$로의 경로(path)란 $f(0)=a$이고 $f(1)=b$인 연속함수 $f:I\to X$이다. 이때 $a$를 이 경로의 시초점(initial point), $b$를 이 경로의 끝점(terminal point)이라고 한다. 

이미 존재하는 경로를 이용하면 다른 경로를 생성할 수 있다. 예를 들어 방향이 반대인 경로, 두 경로의 끝점과 시작점을 붙여서 만든 경로와 같은 것들이 있다.

[Example 5.1]

$f:I\to X$를 $a$에서 $b$로의 경로라고 하자. 그러면 $\hat{f}(s)=f(1-s)$으로 정의된 함수 $\hat{f}:I\to X$는 $b$에서 $a$로의 경로이다. 

[Example 5.2]

$f:I\to X$가 $a$에서 $b$로의 경로이고 $g:I\to X$는 $b$에서 $c$로의 경로라고 하자. 그러면 두 경로 $f,g$의 병렬(juxtaposition) $f\ast g$란 $$(f\ast g)(s)=\{\begin{array}{ll}f(2s)& 0\le s\le 1/2\\ g(2s-1)& 1/2\le s\le 1\end{array}$$로 정의된 $a$에서 $c$로의 경로이다. 즉, $f\ast g$는 $f$의 끝점과 $g$의 시작점인 $b$를 이어서 만든 경로이다. 

길연결공간이란 공간의 모든 두 점을 적절한 경로로 이을 수 있는 공간으로, '물리적' 또는 '가시적'으로 연결되어 있는 것으로 간주되는 공간이다. 그 정의는 다음과 같다.

[Definition 5.3]

위상공간 $X$의 부분집합 $E$와 임의의 $a,b\in E$에 대하여 $a$에서 $b$로의 $E$ 위의 경로 $f:I\to X$가 존재하면 (즉, $f(I)\subset E$이면) $E$는 길연결집합(arcwise connected set, path connected set)이라고 한다. 

연결집합에서와 같이, 위상공간 $X$가 그 자체로 길연결집합인 경우 $X$를 길연결공간(arcwise connected space)이라 하고, 길연결집합 중에서 극대인 것을 길연결성분(arcwise connected components)이라 한다. 

연결집합에서의 논의와 동일하게, 길연결성분들의 모임은 위상공간 $X$의 분할을 이룬다. 한편, 길연결집합은 연속함수로 임의의 두 점을 이을 수 있는 집합이므로 연결집합이 된다. 즉,

[Theorem 5.4]

길연결집합은 연결집합이다.

증명 ▶

(Proof)

$X$가 길연결집합(공간)이라고 하자. $X$의 한 점 $a$에와 임의의 $x\in X$에 대하여 $X$는 길연결집합이므로 $a$에서 $x$로의 경로 $f_x:I\to X$가 존재한다. 이때 $I=[0,1]$은 연결집합이고 $f_x$는 연속함수이므로 $f_x(I)$는 연결집합이다. 또한 각 $x\in X$에 대하여 $a\in f_x(I)$이므로 $\bigcap _{x\in X}{f}_x(I)\ne \varnothing$이다. 따라서 $X=\bigcup _{x\in X}{f}_x(I)$는 연결집합이다. 

증명 ▶

서두에 언급한 것과 같이 어떤 집합이 연결집합이라고 해서 길연결집합인 것은 아니다. 

[Example 5.5]

두 집합 $$\begin{array}{rl}& A=\{(x,y):0\le x\le 1,y=x/n,n\in \mathbb{N}\}\\ & B=\{(x,0):1/2\le x\le 1\}\end{array}$$에 대하여 $A$는 자연수 $n$에 대하여 원점과 $(1,1/n)$을 잇는 선분들의 모임이고, $B$는 $x$축 위의 선분이다. 

이때 $A$와 $B$는 명백히 길연결집합이므로 연결집합이다. 또한, $B$의 각 점은 $A$의 극한점이므로 (즉, $B$의 원소를 포함하는 임의의 열린 원판은 $A$의 원소를 포함한다.) $A\cup B$는 연결집합이다. 그러나 $A$의 각 점에서 $B$의 점으로의 연속함수는 존재하지 않으므로 (직관적으로, 두 점 사이를 잇는 경로를 만들 수 없으므로) $A\cup B$는 길연결이 아니다. 

그러나 ${\mathbb{R}}^2$에서는 열린 연결 집합은 항상 길연결집합이 된다. ${\mathbb{R}}^2$에서의 위상은 복소함수론의 여러 이론을 전개하는 데에 필요한 근본이 된다. 다음 정리도 그런 측면에서 중요한 역할을 한다. (ex. 경로 적분, 미분가능성과 정칙함수 등)

[Theorem 5.6]

${\mathbb{R}}^2$의 열린 연결 집합은 길연결집합이다. 

증명 ▶

(Proof)

${\mathbb{R}}^2$의 열린 원판은 길연결임을 이용하여 된다. [Problem 2]과 비슷한 방법으로 증명할 수 있다. 즉, ${\mathbb{R}}^2$의 어떤 점에서 단순 사슬로 연결될 수 있는 모든 점들의 집합이 열린 닫힌 집합임을 보이면 된다. 

증명 ▶

 

여러 가지 문제들

[Problem 1]

집합족 $\mathcal{A}=\{A_i\}$를 어느 두 집합도 분리되어 있지 않은 $X$의 연결집합들의 모임이라고 하자. $B=\bigcup _i{A}_i$가 연결집합임을 보여라.

Solution ▶

(Proof)

$B$가 비연결집합이라 하고, $G\cup H$를 $B$의 비연결이라 하자. $\mathcal{A}$의 임의의 두 원소 $A_{i_1},A_{i_2}$에 대하여 이 두 집합은 연결집합이므로 $A_{i_1}$와 $A_{i_2}$는 $G$ 또는 $H$의 부분집합이다. 그렇지 않으면 $G\cup H$가 이 두 집합의 비연결이 되어 모순이 되기 때문이다.

이때 일반성을 잃지 않고 $A_{i_1}\subset G,A_{i_2}\subset H$라 하자. 그러면 $G$와 $H$는 서로 분리된 열린 집합이므로 $A_{i_1},A_{i_2}$는 서로 분리된 집합이다. 이는 가정에 모순이다. 따라서 $A_{i_1}$와 $A_{i_2}$는 모두 $G$ 또는 $H$의 부분집합이다.

이와 같은 방법으로 $\mathcal{A}$의 모든 원소가 $G$의 부분집합이거나 $H$의 부분집합이 된다. 이는 $G\cup H$가 $B=\bigcup _i{A}_i$의 비연결이라는 데에 모순이다. 따라서 $B$는 연결집합이다. 

(Note) 위 정리의 '연결집합'을 '길연결집합'으로 바꾸어도 비슷한 방법으로 성립함을 보일 수 있다. 

Solution ▶

 

[Problem 2]

위상공간 $X$의 두 점 $p,q$에 대하여 $X$의 부분집합 $A_1,\cdots ,A_m$이 다음을 만족시키면 $A_1,\cdots ,A_m$이 $p$에서 $q$를 잇는 단순 사슬(simple chain)을 이룬다고 한다.

(i) $p$를 포함하는 집합은 $A_1$뿐이다.
(ii) $q$를 포함하는 집합은 $A_m$뿐이다.
(iii) $A_i\cap A_j=\varnothing \iff |i-j|>1$ 

$X$가 연결공간이고 $\mathcal{A}$를 $X$의 한 열린 덮개라고 하자. 그러면 $\mathcal{A}$의 원소들로 이루어진 $X$의 임의의 두 점을 잇는 단순 사슬이 존재함을 보여라. 

Solution ▶

(Proof)

$p$를 $X$의 임의의 점이라고 하고, 집합 $H$를 $\mathcal{A}$의 원소로 이루어진 사슬로 $p$와 이을 수 있는 모든 점들의 집합이라고 하자. $X$가 연결공간이므로 $H$가 열린 닫힌 집합임을 보이면 충분하다.

$h\in H$라 하자. 그러면 $H$의 정의로부터 $h$에서 $p$를 잇는 단순 사슬을 이루는 $\mathcal{A}$의 원소 $G_1,G_2,\cdots ,G_m$이 존재한다. 만약 $x\in G_1\mathrm{\setminus }{G}_2$이면 $G_1,G_2,\cdots ,G_m$은 $x$에서 $p$를 잇는 단순 사슬을 이루고, $y\in G_1\cap G_2$이면 $G_2,\cdots ,G_m$은 $y$에서 $p$를 잇는 단순 사슬을 이룬다. 따라서 $G_1$의 모든 원소는 $H$의 부분집합이다. 즉, $h\in G_1\subset H$이다. 따라서 $H$는 열린 집합이다.

이제 $g\in H^c$라 하자. $\mathcal{A}$는 $X$의 열린 덮개이므로 $g\in G$인 $\mathcal{A}$의 원소 $G$가 존재한다. 만약 $G\cap H\ne \varnothing$이면 $h\in G\cap H$이 존재하여 $h$에서 $p$를 잇는 단순 사슬을 이루는 $\mathcal{A}$의 원소 $G_1,G_2,\cdots ,G_m$이 존재한다. 따라서 $g$ 또한 $p$와 이 사슬을 통해 이어진다. 즉, $g\in H$이므로 이는 모순이다. 따라서 $G\cap H=\varnothing$이고 $g\in G\subset H^c$이다. 

Solution ▶

 

[Problem 3]

집합족 $\{X_i\}$를 연결이면서 국소 연결인 위상공간들의 모임이라고 하자. 그러면 곱공간 $X=\prod _i{X}_i$ 또한 국소 연결 공간임을 보여라.

Solution ▶

(Proof)

$X$의 임의의 점을 포함하는 연결인 기저의 원소가 있음을 보이면 된다. $p\in X$라 하고, $G$를 $p$를 포함하는 한 열린 집합이라고 하자. 그러면 $p$를 포함하는 기저의 원소 $$B=G_{i_1}\times G_{i_2}\times \cdots \times G_{i_m}\times \prod \{X_i:i\ne i_1,\cdots ,i_m\}$$가 존재한다. 이때 각 $X_i$는 국소 연결 공간이므로 각 $k=1,2,\cdots ,m$에 대하여 $p\in H_{i_k}\subset G_{i_k}$인 연결인 열린 집합 $H_{i_k}$가 존재한다. 이때 $$H=H_{i_1}\times H_{i_2}\times \cdots \times H_{i_m}\times \prod \{X_i:i\ne i_1,\cdots ,i_m\}$$이라 하면 각 $H_{i_k}$와 $X_i$는 연결집합이므로 [Theorem 3.6]에 의하여 $H$도 연결집합이고, 열린 집합이다. 따라서 $p\in H\subset B\subset G$이고, $p$는 $X$의 임의의 원소이므로 $X$는 국소 연결 공간이다. 

Solution ▶

 

[Problem 4]

$E$가 두 점 이상을 원소로 가지는 $T_1-$공간의 연결인 부분집합이라 하자. $E$가 무한집합임을 보여라.

Solution ▶

(Proof)

$E$가 $T_1-$공간 $X$의 유한 부분집합이라고 가정하자. $E$가 두 점 이상을 원소로 가지므로 서로 다른 $p,q\in E$가 존재한다. 이때 두 집합 $G,H$를 $$G=X\mathrm{\setminus }\{p\},H=(X\mathrm{\setminus }E)\cup \{p\}$$라 하면 $G^c$와 $H^c$는 모두 유한집합이므로 $G,H$는 열린 집합이다. 또한 $(E\cap G)\cap (E\cap H)=\varnothing ,(E\cap G)\cup (E\cap H)=E$이므로 $G\cup H$는 $E$의 비연결이다. 이는 $E$가 연결집합이라는 데에 모순이다. 따라서 $E$는 무한집합이다.

Solution ▶

 

[Problem 5]

$E$가 공집합이 아닌 위상공간 $X$의 연결 부분집합이라고 하자. $E$가 열린 닫힌 집합이면 $E$가 연결 성분임을 보여라.

Solution ▶

(Proof)

$C$가 연결집합이고 $E\subset C$라 하자. $X=E\cup E^c$이고 $E$와 $E^c$는 모두 열린 집합이므로 $C\subset E$이거나 $C\subset E^c$이어야 한다. 그렇지 않으면 $E\cup E^c$가 $C$의 비연결이 되어 모순이다. $E\subset C$이므로 $C\subset E^c\iff E\subset C^c$인 것은 가능하지 않다. 따라서 $C\subset E$이고 $C=E$를 얻는다. 

Solution ▶

 

[Problem 6]

$E$가 위상공간 $Y$의 연결 성분이고 $f:X\to Y$가 연속이라고 하자. 그러면 $f^{-1}[E]$가 $X$의 적당한 연결성분들의 합집합임을 보여라.

Solution ▶

(Proof)

$x\in f^{-1}[E]$라 하고, $C_x$를 $x$를 포함하는 $X$의 연결 성분이라고 하자. 그러면 $f[C_x]$는 $f(x)$를 포함하는 $Y$의 연결집합이고 $f(x)\in (f\circ f^{-1})[E]\subset E$이므로 연결성분의 정의로부터 $f[C_x]\subset E$이다. 따라서 $C_x\subset f^{-1}[E]$이다. 즉, 임의의 $x\in f^{-1}[E]$에 대하여 $x\in C_x\subset f^{-1}[E]$이므로 $f^{-1}[E]=\bigcup _{x\in X}{C}_x$이다. 

Solution ▶

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.