[Topics in Analysis] 3. Functions and Limits - (1)

함수의 정의와 연산

해석학에서 다루는 함수의 개념은 고등학교 1학년에서 배우는 함수의 개념와 정확히 동일하다. 즉, 어떤 집합의 각 원소에서 다른 집합의 원소로 하나씩 대응시키는 '관계'를 함수라고 한다. 일반적으로는 집합론에서 함수는 두 집합의 곱집합의 특정한 조건을 만족시키는 부분집합을 의미한다. 

[Definition 3.0]

(1) 두 집합 \(X\), \(Y\)에 대하여 집합 \[X\times Y=\{(x, y): x\in X, \ y\in Y\}\]을 \(X\)와 \(Y\)의 데카르트 곱(Cartesian product)이라고 한다. \(R\)이 \(X\times Y\)의 부분집합인 경우 \(R\)을 \(X\)와 \(Y\) 위의 관계(relation)라 하고, \((x, y)\in R\)일 때 기호로 \(x\, R\, y\)라 나타낸다. 

(2) 두 집합 \(X\), \(Y\) 위의 관계 \(f\)가 \((x, y_1), \ (x, y_2)\in f\)일 때마다 \(y_1=y_2\)를 만족시키면 \(f\)를 함수(function)라고 한다. 함수 \(f\) 위의 모든 \(x\)의 값들의 집합 \(D_f\)를 함수 \(f\)의 정의역(domain), \(Y\)를 공역(codomain)이라 하고, 각 \(x\in D_f\)에 대응되는 \(y\in Y\)의 값을 \(x\)의 함숫값(value)이라 한다. 또한, 함수 \(f\)의 모든 함숫값들의 집합을 함수 \(f\)의 치역(range)이라고 한다.

함수 \(f\)는 정의역과 공역을 드러내어 \(D_f\)에서 \(Y\)로의 함수라고 하고, 기호로 \(f: D_f\to Y\) 또는 \(y=f(x)\)와 같이 표현한다. 

집합론에서야 함수를 위와 같이 엄밀하게 정의하지만, 보통은 함수를 두 집합의 원소 사이의 특수한 대응 관계 정도로 생각해도 충분하다. 

[Example 3.1]

세 함수 \(f(x)=x^2\), \(g(x)=\cos x\), \(h(x)=e^x\)의 치역은 각각 \([0, \infty), \, [-1, 1]\) 그리고 \((0, \infty)\)이다. 

[Example 3.2]

집합 \([-1, 1]\times [-1, 1]\) 위의 관계 \(R=\{(x, y): x^2+y^2=4\}\)는 함수가 아니다. 예를 들어 \((1, \sqrt{3}), \ (1, -\sqrt{3})\in R\)이다. 그러나 다음이 나타내는 \(R\)의 부분집합은 정의역이 \([-1, 1]\)인 함수이다. \[y=\sqrt{4-x^2}, \quad y=-\sqrt{4-x^2}\]

실해석학에서 다루는 함수는 공역이 \(\Bbb R\)인 것만을 다룬다. 실수는 덧셈과 곱셈에 대하여 체를 이루기 때문에 실함수 사이에서도 사칙연산을 하는 것이 가능하다. 기호로는 다음과 같이 표기한다. 

[Definition 3.3] 

두 함수 \(f, \, g\)에 대하여 \(D_f\cap D_g\neq \varnothing\)일 때, \(D_f\cap D_g\)에서 정의된 네 함수 \(f+g, \; f-g, \; fg, \; f/g\)를 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align}(f+g)(x)&=f(x)+g(x) \\[.5em] (f-g)(x)&=f(x)-g(x) \\[.5em] (fg)(x)&=f(x)g(x) \\[.5em] (f/g)(x)=\left(\frac{f}{g}\right)(x)&=\frac{f(x)}{g(x)}\end{align}\]

[Example 3.4]

두 함수 \(f(x)=\sqrt{4-x^2}, \; g(x)=\sqrt{x-1}\)에 대하여 \(D_f=[-2, 2], \ D_g=[1, \infty)\)이다. 이때 \(D_f\cap D_g=[1, 2]\) 위에서 정의된 네 함수 \(f+g\), \(f-g\), \(fg\)는 다음과 같다. \[\begin{align} (f+g)(x)&=\sqrt{4-x^2}+\sqrt{x-1}, \\[.5em] (f-g)(x)&=\sqrt{4-x^2}-\sqrt{x-1}, \\[.5em] (fg)(x)&=\sqrt{(4-x^2)(x-1)}\end{align}\] 이때 함수 \(f/g\)는 \((1, 2]\)에서 정의되고 \[(f/g)(x)=\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\sqrt{\frac{4-x^2}{x-1}}\]이다. 

[Example 3.5]

(1) 실수 \(c\)에 대하여 함수 \(cf\)는 \((cf)(x)=cf(x)\)와 같이 정의된다. 또한, \(n\in \Bbb N\)에 대하여 함수 \(f^n\)은 \((f^n)(x)=(f(x))^n\)과 같이 정의된다. (상황에 따라서는 합성함수를 나타내기도 한다. 맥락에 따라 해석하도록 한다.)

(2) 다음과 같이 실수 \(a_0, \, a_1, \, \cdots, \, a_n\)에 대하여 \[p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+ a_n x^n\]과 같이 정의된 함수를 다항함수(polynomial function)라 하고, (다항식)/(다항식)과 같이 정의된 함수를 유리함수(rational function)라고 한다. 유리함수의 정의역은 분모가 \(0\)이 되지 않는 모든 \(x\)의 값들의 집합이다. 

 

함수의 극한

함수의 극한이란 정의역의 어떤 점 \(x_0\)에 대하여 \(x\)가 \(x_0\)으로 한없이 가까이 다가갈 때, 함숫값이 어떤 고정된 실수 \(L\)로 가깝게 다가갈 때의 그 값 \(L\)을 의미한다. 이러한 설명은 고등학교에서 처음 극한을 다룰 때 이용하는 설명이고, 해석학에서는 이를 '구체적인 수치'를 이용하여 정확하게 정의하고 설명하는 것이 차이이나 '가깝게' 다가간다는 센스는 견지하는 것이 좋다.

[Definition 3.6] 

함수 \(f\)가 어떤 점 \(x_0\)의 삭제된 근방에서 정의되고, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta=\delta(\epsilon)\)이 존재하여 \[0<|x-x_0|<\delta \ \ \Rightarrow \ \ |f(x)-L|<\epsilon\]을 만족시킬 때, \(L\)을 \(x\)가 \(x_0\)으로 다가갈 때의 함수 \(f(x)\)의 극한(limit) 또는 \(x=x_0\)에서의 극한이라 하고, 기호로

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\)   또는   \(x\to x_0\)일 때 \(f(x)\to L\)

이라고 표기한다. \(x_0\)에서 위와 같은 실수 \(L\)이 존재하지 않으면 극한값이 존재하지 않는다고 한다. 

위와 같이 \(\epsilon\)과 \(\delta\)를 이용하여 극한을 논하는 방법을 '\(\epsilon-\delta\)(엡실론-델타) 논법'이라고 한다. 많은 학부생들이 이 \(\epsilon\)과 \(\delta\)를 다루는 것을 어려워하고, 본인도 그랬다. 우선 정의 자체가 혼동될 수 있는데, 극한의 정의를 보면 함숫값의 차인 \(\epsilon\)을 먼저 주고, 그에 따른 \(x\)의 범위가 존재한다는 식으로 얘기가 되고 있다. 그렇게 정의해야 하는 이유를 극한이 존재하지 않는 함수를 생각해 보면 이해할 수 있을 것이다.

[Example 3.7]

함수 \[f(x)=\begin{cases}x+1 & (x < 1)\\[.3em]x+2 & (x\geq 1)\end{cases}\]는 \(x=1\)에서 극한값을 가지지 않는다. \(x=1\)의 아무리 가까운 근방을 택하더라도 \(y\)의 값의 차를 \(1\)보다 작게 줄일 수 없기 때문이다. (극한값이 존재하려면 그 극한값으로 함숫값이 매우 가까이(= 그 차\((\epsilon)\)가 매우 작아지도록) 근접해야 한다.)

여기서 중요한 것은 \(\epsilon\)은 극한값과 그 근처에서의 함숫값의 차를 표현하는 임의의 양수(즉, 아주 작은 양수를 표현하기 위한 수단)이고, \(\delta\)는 \(\epsilon\)에만 의존하는 함수라는 것이다. 함수의 극한이 존재함을 보이는 것은 극한의 정의에서 \(\epsilon\)이 주어졌을 때, 그에 의존하는 \(\delta\)를 찾는 것과 같다.

함숫값의 차가 먼저 주어졌기 때문에 \(\delta\)를 찾기 위해서는 역으로 접근해야 하는데, 함수에 따라 어떻게 \(\delta\)를 잡아야 할 지 어느 정도 예측과 감이 필요하다. 다만, 교재에서는 그에 대한 설명은 생략된 채로 완결된 증명만 쓰여 있기 때문에 이해하기 어려운 측면이 있다.

[Example 3.8]

\(\Bbb R\)에서 정의된 함수 \(f\)가 실수 \(c\)에 대하여 \(f(x)=cx\)로 주어졌다고 하자. \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=cx_0\)임을 증명해 보자. 임의로 \(\epsilon>0\)이 주어졌다고 하자. 이에 의존하는 \(\delta\)를 찾기 위해 \(|f(x)-cx_0|<\epsilon\)이라고 하면 \[|f(x)-cx_0|=|cx-cx_0|=|c||x-x_0|<\epsilon\]이 될 것이다. 이 부등식으로부터 \(c\neq 0\)이면 \(|x-x_0|<\epsilon/|c|\)일 때 \(|f(x)-cx_0|<\epsilon\)이 될 것임을 짐작할 수 있다. 이때 \(\delta=\epsilon/|c|\)라 두면 된다. 이 사실을 이용하여 실제로 다음과 같이 증명을 수행할 수 있다.

(Proof)

(i) \(c\neq 0\)일 때, 임의로 \(\epsilon>0\)이 주어졌다고 하자. \(\delta=\epsilon/|c|\)라 하고 \(0<|x-x_0|<\delta\)라 하면, (이 경우에는 \(x=x_0\)이어도 큰 문제가 없으므로 \(|x-x_0|<\delta\)라고 써도 상관없다.) \[|f(x)-cx_0|=|cx-cx_0|=|c||x-x_0|<|c|\cdot \epsilon/|c|=\epsilon\]이므로 함수의 극한의 정의로부터 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=cx_0\)이다. 

(ii) \(c=0\)인 경우 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)-cx_0=0\)이므로 모든 실수 \(x\)와 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(|f(x)-cx_0|<\epsilon\)이 성립한다. 따라서 이 경우에도 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=cx_0\)이다. 

[Example 3.9]

함수 \(f(x)=x\sin\frac{1}{x} \ (x\neq 0)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 정의되지 않았지만 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0\)이다. [Example 3.8]과 같은 방법으로 \(|f(x)-0|=|x \sin\frac{1}{x}|\leq |x|<\epsilon\)이므로 \(|x|=|x-0|<\epsilon\)일 때 \(|f(x)-0|<\epsilon\)이 됨을 관찰할 수 있다. (여기서 \(|\sin\frac{1}{x}|\leq 1\)임을 이용하였다.) 증명은 다음과 같이 수행할 수 있다. 

(Proof)

임의로 \(\epsilon>0\)이 주어졌다고 하자. \(\delta=\epsilon\)이라 하고 \(0<|x|<\delta\)라 하면, (이 경우에는 \(x\neq 0\)이므로 반드시 \(|x|>0\)이어야 한다.) \[|f(x)-0|=\left|x \sin\frac{1}{x}\right|\leq |x|<\epsilon\]이므로 함수의 극한의 정의로부터 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0\)이다. 

다음은 좀 더 까다로운 케이스이다. 경우에 따라서는 \(\delta\)의 값을 하나가 아니라 두 개 이상 중에서 작은 것을 택해야 하는 경우도 있다.

[Example 3.10]

함수 \(f(x)=x^2\)에 대하여 \(\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=4\)임을 증명해 보자. \(|f(x)-4|=|(x+2)(x-2)|=|x+2||x-2|<\epsilon\)이 되기 위해서 \(\delta\)를 어떻게 잡아야 할 지 생각해야 하는데, 앞의 \(x+2\)를 적당한 범위 내에 가둬놓을 필요가 있다. 만약 우리가 \(|x-2|<1\)이라 하면, \(1<x<3\)이므로 \(x+2<5\)가 된다. 이 상황에서 \(|x-2|<\epsilon/5\)도 성립한다면 \(|x+2||x-2|<\epsilon\)이 될 것이다. 이를 이용하여 증명을 수행하면 다음과 같다.

(Proof)

임의로 \(\epsilon>0\)이 주어졌다고 하자. \(\delta=\pmb{\min\{1,\, \epsilon/5\}}\)이라 하고 \(|x-2|<\delta\)라고 하자. 그러면 \(|x-2|<1\)이므로 \(x<3 \Rightarrow |x+2|<5\)이다. 또한 \(|x-2|<\epsilon/5\)이므로 \[|f(x)-4|=|x+2||x-2|<5\cdot \epsilon/5=\epsilon\]이다. 따라서 \(\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=4\)이다. 

(Note) \(\delta=\min\{1, \, \epsilon/5\}\)이라는 것은 \(\delta\leq 1\)이고 \(\delta\leq \epsilon/5\)임을 의미한다.

한편 함수의 극한은 그 정의로부터 유일하게 결정될 수밖에 없는 값이다. 함숫값이 어떤 두 개의 값으로 동시에 다가가는 것은 불가능하기 때문이다. 즉, 

[Theorem 3.11]

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\)의 값이 존재하면 그 값은 유일하다. 

# 증명 ▶

(Proof)

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1\), \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L_2\)가 성립한다고 하자. 그러면 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여 두 양수 \(\delta_1, \, \delta_2\)가 존재하여 \[\begin{align}&0<|x-x_0|<\delta_1 \ \ \Rightarrow \ \ |f(x)-L_1|<\epsilon/2, \tag 1 \\[.4em] &0<|x-x_0|<\delta_2 \ \ \Rightarrow \ \ |f(x)-L_2|<\epsilon/2 \tag 2 \end{align}\]을 만족시킨다. 이때 \(\delta=\min(\delta_1, \, \delta_2)\)라 하면 \(0<|x-x_0|<\delta\)일 때마다 \((1),\ (2)\)가 성립하므로 \[\begin{align}|L_1-L_2|&=|L_1-f(x)+f(x)-L_2|\\[.4em]&\leq |L_1-f(x)|+|f(x)-L_2|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon\end{align}\]을 만족시킨다. 이때 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(L_1=L_2\)를 얻는다. (Rk: 어떤 양수보다도 차가 작은 두 수는 같을 수밖에 없다.)

# ◀ 닫기

위의 논의에서 마지막에 차의 모양을 \(\epsilon\)이 나오게 하기 위해(이게 보기 좋으니까...) 앞에서 \(|f(x)-L_1|<\epsilon/2, \ |f(x)-L_2|<\epsilon/2\)라 가정한 것인데, 어차피 \(\epsilon\)은 임의의 양수이기 때문에 \(\epsilon\) 대신 \(K\epsilon \ (K>0)\)으로 써도 상관없다. 다시 말하면, 마지막에 \(|L_1-L_2|<2\epsilon\)이 되어도 논리를 전개하는 데에 아무 문제가 없다. 이를 '\(K-\epsilon\) 원리 (\(K-\epsilon\) principle)'이라 한다. 

그러나 보통의 해석학 교재에서는 마지막에 \(\epsilon\)만 나오도록 처음에 함숫값과 극한값의 차를 적당한 양수 \(M\)에 대하여 \(M\epsilon\)과 같은 꼴로 잡는 경우가 많으므로 거꾸로 돌아가서 왜 처음에 이렇게 설정하였는지 생각해보는 것이 좋다.

 

함수의 극한의 성질

함수의 극한은 존재만 한다면 사칙연산이 자유롭다. 다시 말해서, 함수의 극한값의 사칙연산과 사칙연산한 함수의 극한값은 정의만 된다면 동일하게 된다. 즉, 다음이 성립한다.

[Theorem 3.12]

두 함수 \(f(x), \ g(x)\)에 대하여 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1, \; \lim_{x\to x_0}g(x)=L_2\)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\begin{align}\lim_{x\to x_0}(f+g)(x)&=L_1+L_2 \tag 1 \\[.4em] \lim_{x\to x_0}(f-g)(x)&=L_1-L_2 \tag 2\\[.4em] \lim_{x\to x_0}(fg)(x)&=L_1L_2 \tag 3 \\[.4em] \lim_{x\to x_0}\left(\frac{f}{g}\right)(x)&=\frac{L_1}{L_2} \ \ (\mathrm {if} \; L_2\neq 0)\tag 4\end{align}\]

# 증명 ▶

(Proof)

(1), (2): 임의로 \(\epsilon>0\)이 주어졌다고 하자. 함수의 극한의 정의에 의하여 \(\delta_1>0, \ \delta_2>0\)이 존재하여 \[\begin{align} &0<|x-x_0|<\delta_1 \ \ \Rightarrow \ \ |f(x)-L_1|<\epsilon \\[.4em] &0<|x-x_0|<\delta_2 \ \ \Rightarrow \ \ |g(x)-L_2|<\epsilon\end{align}\]를 만족시킨다. \(\delta=\min\{\delta_1, \, \delta_2\}\)라 하고 \(0<|x-x_0|<\delta\)라 하면  (#) \[\begin{align}|(f(x)\pm g(x))-(L_1\pm L_2)|&=|(f(x)-L_1)\pm(g(x)-L_2)|\\[.4em]&\leq|f(x)-L_1|+|g(x)-L_2|\\[.4em]&<\epsilon+\epsilon=2\epsilon\end{align}\]이므로 \(K-\epsilon\) 원리에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} (f\pm g)(x)=L_1\pm L_2\)이다. 

(3): (#)이 성립한다고 하자. \(\epsilon\)은 아주 작은 양수인 경우에 의미가 있으므로 \(\epsilon<1\)이라 두어도 무방하다. 또한 \[|f(x)-L_1|<\epsilon \ \ \Rightarrow \ \ |f(x)|<|L_1|+\epsilon\]이다. 따라서 \[\begin{align}|f(x)g(x)-L_1L_2|&=|f(x)(g(x)-L_2)+L_2(f(x)-L_1)|\\[.5em]&\leq |f(x)||g(x)-L_2|+|L_2||f(x)-L_1|\\[.5em]&<(|L_1|+\epsilon)\epsilon+|L_2|\epsilon\\[.5em]&=(\epsilon+|L_1|+|L_2|)\epsilon\\[.5em]&\leq (1+|L_1|+|L_2|)\epsilon \end{align}\]이다. 이때 \(1+|L_1|+|L_2|\)는 양의 상수이므로 \(K-\epsilon\) 원리에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}(fg)(x)=L_1L_2\)이다. 

(4): 우선 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}1/g(x)=1/L_2\)임을 보이자. 실제로 \(1/g(x)-1/L_2\)를 계산해보면 분모에 \(L_2\, g(x)\)가 등장하는데, 이를 해결하기 위하여 다음을 생각하자.

\(L_2\neq 0\)이므로 함수의 극한의 정의에 의하여 \(\delta_3>0\)이 존재하여 \(0<|x-x_0|<\delta_3\)일 때마다 \(\displaystyle |g(x)-L_2|<\frac{|L_2|}{2}\)을 만족시킨다. (\(\epsilon=\frac{|L_2|}{2}\)라고 택한 것이다.) 그러면 삼각부등식에 의하여 \(|g(x)|>\frac{|L_2|}{2}\)를 만족시킨다. 이때 (1)에서의 \(\delta_2>0\)에 대하여 \(\delta=\min\{\delta_2, \, \delta_3\}\)라 하고 \(0<|x-x_0|<\delta\)라 하면 \[\begin{align}\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{L_2}\right|&=
\frac{|g(x)-L_2|}{|L_2g(x)|}\\[.4em]&< \frac{\epsilon}{|L_2|\cdot |L_2|/2}=\frac{2}{|L_2|^2}\epsilon\end{align}\]이므로 \(K-\epsilon\) 원리에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}1/g(x)=1/L_2\)이 성립한다. 따라서 (3)에 의하여 \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right)=L_1\cdot \frac{1}{L_2}=\frac{L_1}{L_2}\]이 성립한다. 

# ◀ 닫기

[Example 3.13]

\(p(x)\)가 다항식일 때, \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} p(x)=p(x_0)\)임을 보이자. \[p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_n x^n\]이라 하면, 각 자연수 \(n\)에 대하여 [Theorem 3.12]-(3)에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}x^n=x_0^n\)임을 알 수 있다. 따라서 [Theorem 3.12]-(1), (3)에 의하여 \[\begin{align}\lim_{x\to x_0} p(x)&=\lim_{x\to x_0}(a_0+a_1x+\cdots+a_n x^n)\\[.4em] &=\lim_{x\to x_0}(a_0)+\lim_{x\to x_0}(a_1 x)+\cdots+\lim_{x\to x_0}(a_n x^n)\\[.4em] &=\lim_{x\to x_0}(a_0)+a_1\lim_{x\to x_0}(x)+\cdots+a_n\lim_{x\to x_0}(x^n)\\[.4em]&=a_0+a_1 x_0+\cdots+a_n x_0^n=p(x_0) \end{align}\]이다. 

한편, 어떤 함수의 경우 특정한 구간에서 정의되어 그 점에서 극한이 제대로 정의되지 않는 경우도 있다. 

[Example 3.14]

함수 \(f(x)=2x \sin\sqrt{x}\)는 \(0<x<\delta=\epsilon/2\)일 때마다 \(|f(x)|<\epsilon\)을 만족시킨다. 그러나 \(x<0\)일 때에는 이 함수가 정의되지 않으므로 \(\lim_{x\to 0}f(x)=0\)이라고 할 수는 없다. 

[Example 3.7]과 같이 극한이 존재하지 않는 함수의 경우 그 \(x\)의 값으로 접근하는 두 방향에서 함숫값이 서로 다른 값으로 접근하는 것을 볼 수 있는데, 이에 착안하여 왼쪽 방향과 오른쪽 방향으로부터 \(x\)가 가까이 다가갈 때 함숫값이 근접하는 값을 '좌극한', '우극한'이라는 개념으로 정의한다.

[Definition 3.15]

함수 \(f(x)\)가 어떤 열린구간 \((a, x_0)\)에서 정의되고, 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여 \(x_0-\delta<x<x_0\)일 때마다 \(|f(x)-L|<\epsilon\)을 만족시키면 \(L\)을 \(f(x)\)의 \(x=x_0\)에서의 좌극한(left-hand limit)이라 하고, 기호로 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=L\) 또는 간단하게 \(L=f(x_0-)\)이라 쓴다.
(즉, 좌극한은 \(x\)가 \(x_0\)의 왼쪽에서 \(x_0\)에 접근할 때의 극한값이다.)

비슷하게, 함수 \(f(x)\)가 어떤 열린구간 \((x_0, b)\)에서 정의되고, 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여 \(x_0<x<x_0+\delta\)일 때마다 \(|f(x)-L|<\epsilon\)을 만족시키면 \(L\)을 \(f(x)\)의 \(x=x_0\)에서의 우극한(right-hand limit)이라 하고, 기호로 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=L\) 또는 간단하게 \(L=f(x_0+)\)이라 쓴다.
(즉, 우극한은 \(x\)가 \(x_0\)의 오른쪽에서 \(x_0\)에 접근할 때의 극한값이다.)

[Example 3.16]

\(x\neq 0\)인 모든 실수에서 정의된 함수 \(\displaystyle g(x)=\frac{x+|x|(1+x)}{x}\sin\frac{1}{x}\)에 대하여

\(x<0\)인 경우, \(g(x)=\displaystyle -x\sin\frac{1}{x}\)이므로 [Example 3.9]에 의하여 \(g(0-)=0\)을 얻는다. 그러나 

\(x>0\)인 경우, \(g(x)=\displaystyle (2+x)\sin\frac{1}{x}\)이므로 임의의 양수 \(\delta\)에 대하여 구간 \((0, \delta)\)에서 함수 \(g(x)\)는 \(-2\)와 \(2\) 사이의 모든 값을 취한다. 예를 들어, 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle g\left(1/(n+1/2)\pi\right)=(-1)^n\left(2+1/(n+1/2)\pi\right)\)이다. 따라서 \(g(x_0+)\neq 0\)이다. 

위의 예시를 보았듯이, 어떤 점에서 극한이 존재하려면 그 점에서 좌극한과 우극한이 일치하는 것이 자연스러운 일일 것이다. 즉, 좌극한과 우극한과 관련하여 다음의 정리를 얻는다. 

[Theorem 3.17]

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\)일 필요충분조건은 \(f(x_0+)=f(x_0-)=L\)인 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\((\Rightarrow)\) 극한과 좌, 우극한의 정의로부터 자명하다. 

\((\Leftarrow)\) \(f(x_0+)= f(x_0-)=L\)이므로 임의로 주어진 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\delta_1>0, \ \delta_2>0\)이 존재하여 \[\begin{align}0<x-x_0<\delta_1 \ \ \Rightarrow \ \ |f(x)-L|<\epsilon \tag i \\[.4em] -\delta_2<x-x_0<0 \ \ \Rightarrow  \ \ |f(x)-L|<\epsilon \tag {ii} \end{align}\]을 만족시킨다. 이때 \(\delta=\min\{\delta_1, \, \delta_2\}\)라 하고 \(0<|x-x_0|<\delta\)라 하면 \(\text{(i), (ii)}\)가 모두 만족되므로 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이다. 따라서 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\)이다. 

# ◀ 닫기

 

Reference: <Introduction to real analysis> William F. Trench, 2003