[Topics in Analysis] 3. Functions and Limits - (2)

무한대에서의 극한, 무한대 극한

함수의 극한은 \(x\)의 값이 어떤 점으로 가깝게 다가갈 때, 함숫값이 어떤 값에 접근하는지 나타낸다. 이와 비슷하게 \(x\)의 값이 한없이 커지거나 작아질 때, 함숫값이 어디로 가깝게 다가가는지 관찰하는 것도 자연스러울 것이다. 이에 무한대에서의 극한을 정의한다.

[Definition 3.18]

(1) \(f\)가 구간 \((a, \infty)\)에서 정의되었다고 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 실수 \(\beta\)가 존재하여 \(x>\beta\)일 때마다 \(|f(x)-L|<\epsilon\)을 만족시키면 '\(x\)가 양의 무한대로 갈 때, \(f(x)\)가 \(L\)로 다가간다'고 하며, '\(x\to \infty\)일 때 \(f(x)\to L\)' 또는 \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=L\)이라 표기한다. 

(2) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 실수 \(\gamma\)가 존재하여 \(x<\gamma\)일 때마다 \(|f(x)-L|<\epsilon\)을 만족시키면 '\(x\)가 음의 무한대로 갈 때, \(f(x)\)가 \(L\)로 다가간다'고 하며, '\(x\to -\infty\)일 때 \(f(x)\to L\)' 또는 \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=L\)이라 표기한다. 

즉, 무한대에서의 극한이 존재한다는 것은 \(x\)의 절댓값이 한없이 커질 때, 함숫값이 어떤 점으로 근접하는 상황을 의미한다. 

 

[Example 3.19]

두 함수 \(f(x), \ g(x)\)를 \(f(x)=\dfrac{2|x|}{1+x}, \; g(x)=\sin x\)라 하자.

함수 \(f(x)\)의 경우 \(x\to \infty\)일 때, 분모의 \(1+x\)에서 \(1\)은 크게 의미가 없을 것이므로 극한값이 \(2\)일 것이라는 예상을 할 수 있다. 실제로 임의로 선택한 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(M=2/\epsilon\)이라 하고 \(x>M\)이라 하면 \[|f(x)-2|=\dfrac{2}{1+x}<\dfrac{2}{x}<\dfrac{2}{M}=\epsilon\]이므로 \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=2\)이다. 그러나 함수 \(g(x)\)의 경우 모든 양수 \(K\)에 대하여 \(x, \, y>K\)이고, \(g(x)=1, \ g(y)=-1\)인 \(x, \, y\)가 항상 존재하므로 무한대에서의 극한이 존재하지 않는다.

한편, 다음과 같은 함수들은 \(x=0\)에서 극한값을 가지지도 않고, 좌극한과 우극한조차도 존재하지 않는다. \[f(x)=\frac{1}{x}, \ \ g(x)=\frac{1}{x^2}, \ \ p(x)=\sin\frac{1}{x}, \ \ q(x)=\frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}\] 위의 네 함수의 그래프는 다음과 같다. 

그림에서 보이는 것과 같이 \(f(x)\)은 \(x\to 0^-\)일 때 계속 감소하고, \(x\to 0^+\)일 때에는 한없이 증가한다. \(g(x)\)는 \(x\to 0\)일 때 한없이 증가하고, \(p(x)\)는 \(x\to 0\)일 때 \(-1\)과 \(1\) 사이를 진동하고, \(q(x)\)는 한없이 크고 작은 값을 진동하는 것을 볼 수 있다. 

위와 같은 형태 중에서 \(f\)와 \(g\)의 경우를 무한대 극한(infinite limit)이라고 한다.

[Definition 3.20]

(1) 함수 \(f\)가 구간 \((a, x_0)\)에서 정의되었다고 하자. 임의의 실수 \(M\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여 \(x_0-\delta<x<x_0\)일 때마다 \(f(x)>M\)을 만족시키면 \(x\)가 \(x_0\)의 왼쪽에서 접근할 때, \(f(x)\)가 양의 무한대로 발산한다고 하며, '\(x\to x_0^-\)일 때 \(f(x)\to \infty\)' 또는 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty \ \ \text{or} \ \ f(x_0^-)=\infty\)라 표기한다. 

(2) 임의의 실수 \(M\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여 \(x_0-\delta<x<x_0\)일 때마다 \(f(x)<M\)을 만족시키면 \(x\)가 \(x_0\)의 왼쪽에서 접근할 때, \(f(x)\)가 음의 무한대로 발산한다고 하며, '\(x\to x_0^-\)일 때 \(f(x)\to -\infty\)' 또는 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \ \ \text{or} \ \ f(x_0^-)=-\infty\)라 표기한다. 

비슷한 방법으로 \(x\to x_0^+\)일 때, \(x\to \pm \infty\)일 때의 무한대 극한도 정의한다. 

보통 함수의 극한이 \(x=x_0\)에서 존재한다고 하면, \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)\)의 값이 실수(유한값)인 것이다. 그러나 \(\Bbb R\)에 \(\infty\)를 추가한 '확장된 실수 체계(extended real system)'에서는 극한이 \(\pm \infty\)라고 하기도 한다. 

[Example 3.21]

(1) \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty\)임을 보이자. 임의의 양수 \(M\)에 대하여 (\(1/x^2>0\)이므로 \(M>0\)이라고 두어도 무방하다.) \(\delta=1/\sqrt{M}\)이라 하고 \(0<|x|<\delta\)라 하면 \[x^2<\delta^2=\frac{1}{M} \ \Rightarrow \ \frac{1}{x^2}>M\]이므로 무한대 극한의 정의로부터 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty\)이다. 

(2) \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} e^{2x}-e^x=\infty\)이다. 임의의 양수 \(M\)에 대하여 \(K=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1+4M}}{2}\right)\)라 하고 \(x>K\)라 하면 \(e^{2x}-e^x>M\)이므로 \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} e^{2x}-e^x=\infty\)이다. 

함수의 극한의 성질은 계산 결과가 부정형이 아니라면 확장된 실수 체계에서도 성립한다. 즉, 두 함수 \(f(x), \ g(x)\)에 대하여 \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1, \; \lim_{x\to x_0}g(x)=L_2\)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\begin{align}\lim_{x\to x_0}(f+g)(x)&=L_1+L_2  \\[.4em] \lim_{x\to x_0}(f-g)(x)&=L_1-L_2\\[.4em] \lim_{x\to x_0}(fg)(x)&=L_1L_2  \\[.4em] \lim_{x\to x_0}\left(\frac{f}{g}\right)(x)&=\frac{L_1}{L_2} \ \ (\mathrm {if} \; L_2\neq 0) \end{align}\]은 \(L_1, \, L_2\)가 \(\pm\infty\)이어도 그 계산 결과가 부정형이 아니라면 성립한다. 

[Example 3.22]

위의 언급한 성질을 이용하면 \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} e^x=\infty\)이므로 \[\begin{align}\lim_{x\to \infty} \sinh x&=\lim_{x\to \infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\\[.5em]&=\frac{1}{2}(\infty-0)=\infty\end{align}\] 또한, \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} 1/x^\alpha=0 \; (\alpha>0)\)이므로 \[\begin{align}\lim_{x\to \infty} \frac{2x^2-x+1}{3x^2+2x-1}&=\lim_{x\to\infty} \frac{2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}\\[.4em]&=\frac{2-0+0}{3+0-0}=\frac{2}{3}\end{align}\]

 

단조함수와 극한

책마다 정의가 다르긴 하나, 보통 단조함수란 포괄적으로 증가함수와 감소함수를 아우르는 개념이다. 단조함수의 경우 극한에 대한 특별한 성질이 성립하기 때문에 특별하게 다룬다.

[Definition 3.23]

구간 \(I\)에서 정의된 함수 \(f\)가 임의의 \(x_1, \, x_2\in I\)에 대하여 \[x_1<x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1)\leq f(x_2)\]를 만족시키면 함수 \(f\)가 \(I\)에서 증가(increasing)한다고 한다. 또한, 함수 \(f\)가 \[x_1<x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1)\geq f(x_2)\]를 만족시키면 함수 \(f\)가 \(I\)에서 감소(decreasing)한다고 한다. 구간 \(I\)에서 증가하거나 감소하는 함수를 통틀어 단조함수(monotone function)라고 한다. 

참고하고 있는 교재에서는 위의 각 개념을 '증가, 감소'가 아닌 '감소하지 않는(nondecrasing), 증가하지 않는(nonincreasing)'이라는 용어로 정의하는데, 보통의 해석학 교재에서는 [Definition 3.23]과 같이 정의하므로 그에 맞게 기술하였다.

이 정의에 따르면 수학에서 '증가'란 일상어의 의미에서는 '감소하지 않는'이라는 의미이며 수학에서 '감소'란 일상어의 의미에서는 '증가하지 않는'이라는 의미이다. 상수함수는 정의에 따르면 증가하기도 하고 감소하기도 하는 함수인데, 이런 경우 그냥 '상수(constant)'라고 하지, 증가한다거나 감소한다고 지칭하지는 않는다.

한편, 단조함수는 정의역의 각 원소의 순서를 바꾸지 않는 함수이므로, 함수의 극한은 다음과 같은 성질을 가지고 있다. 

[Theorem 3.24]

함수 \(f\)가 구간 \((a, b)\)에서 단조함수라고 하고, \(\displaystyle \alpha=\inf_{a<x<b}f(x), \; \beta=\sup_{a<x<b}f(x)\)라 하자. 

(a) \(f\)가 증가함수이면 \(f(a+)=\alpha\)이고 \(f(b-)=\beta\)이다.
(b) \(f\)가 감소함수이면 \(f(a+)=\beta\)이고 \(f(b-)=\alpha\)이다. 
(c) \(a<x_0<b\)이면 \(f(x_0+)\)이고 \(f(x_0-)\)가 존재한다. 또한 \(f\)가 증가함수이면 \(f(x_0-)\leq f(x_0)\leq f(x_0+)\)이고, \(f\)가 감소함수이면 \(f(x_0-)\geq f(x_0)\geq f(x_0+)\)이다.  

# 증명 ▶

(Proof)

(b), (c)는 (a)와 비슷한 방법으로 보일 수 있다. 특히, (a)에서도 \(f(a+)=\alpha\)인 것을 증명하는 것과 같은 방법으로 \(f(b-)=\beta\)임을 보일 수 있다. \(f(a+)=\alpha\)인 것만 보이도록 한다. 

(i) \(\alpha=-\infty\)인 경우, 하한의 정의로부터 임의의 실수 \(M\)에 대하여 \(f(x_0)<M\)인 \(x_0\in (a, b)\)가 존재한다. 이때 \(f\)는 구간 \((a, b)\)에서 증가하므로 \(a<x<x_0\)이면 \(f(x)\leq f(x_0)< M\)을 만족시킨다. \(x_0-a=\delta\)라 하면 \(0<x-a<\delta\)일 때마다 \(f(x)<M\)을 만족시킨다. 따라서 \(f(a+)=-\infty\)이다. 

(ii) \(\alpha>-\infty\)인 경우, 하한의 정의로부터 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\alpha\leq f(x_0)<\alpha+\epsilon\)을 만족시키는 \(x_0\in (a, b)\)가 존재한다. \(f\)가 증가하므로 \(a<x<x_0\)일 때마다 \(\alpha\leq f(x)\leq f(x_0)<\alpha+\epsilon\)을 만족시킨다. 따라서 \(\delta=x_0-a\)라 두면 \(0<x-a<\delta\)일 때마다 \(|f(x)-\alpha|<\epsilon\)을 만족시킨다. 따라서 \(f(a-)=\alpha\)이다. 

# ◀ 닫기

직관적으로 어떤 구간에서 증가하거나 감소하는 함수가 있다면 구간의 각 끝 점에서 가장 함숫값이 크고 작을 것이라는 예상을 할 수 있는데, 이 정리는 그러한 예상이 실제로도 맞다는 것을 보여준다.

 

상극한과 하극한

\(f\)가 집합 \(S\)에서 유계라는 것은 양수 \(M\)이 존재하여 모든 \(x\in S\)에 대하여 \(|f(x)|\leq M\)인 것을 의미한다. 상극한과 하극한은 앞에서 다룬 발산의 여러 형태 중에서 어떤 점 근방에서 '진동'하는 형태를 나타내기 위해서 이용되는 개념이라고 할 수 있다. 

[Definition 3.25]

\(f\)가 구간 \([a, x_0)\)에서 유계라고 하자. \(x_0\)는 실수이거나 \(\infty\)이다. 이때 \[S_f(x; x_0)=\sup_{x\leq t<x_0} f(t), \ \ I_f(x; x_0)=\inf_{x\leq t<x_0} f(t)\]라 하면 \(x_0\)에서 함수 \(f\)의 좌상극한(left limit superior)은 \[\DeclareMathOperator*\lowlim{\underline{lim}} \DeclareMathOperator*\uplim{\overline{lim}} \uplim_{x\to x_0-}f(x)=\lim_{x\to x_0-}S_f(x; x_0)\]이고 \(x_0\)에서 함수 \(f\)의 좌하극한(left limt inferior)은 \[\lowlim_{x\to x_0-}f(x)=\lim_{x\to x_0-}I_f(x; x_0)\]이다. 단, 여기서 \(x_0=\infty\)인 경우 \(x_0-=\infty\)라 한다. 

비슷한 방법으로 우상극한 또한 정의할 수 있다. 여기서 좌상극한은 직관적으로 함수 \(f\)가 \(x_0\)의 아주 작은 왼쪽 근방에서 취하는 값들 중 가장 큰 값을 의미하고, 좌하극한은 가장 작은 값을 의미한다. 

[Example 3.26]

함수 \(f(x)=\sin(1/x)\)에 대하여 ([Example 3.19] 다음의 그래프 참고) \(-1\leq f(x)\leq 1\)이고 임의의 \(\delta>0\)에 대하여 구간 \((-\delta, 0)\)에서 \(f(x_\delta)=1\), \(f(y_\delta)=-1\)인 \(x_\delta, \ y_\delta\)가 존재하므로 \[\uplim_{x\to 0-}f(x)=1, \ \ \lowlim_{x\to 0-}f(x)=-1\]이다. 

함수가 어떤 구간에서 유계인 경우, 직관적으로는 당연히 그 구간에서 적당히 가장 큰 값과 작은 값이라는 개념이 존재할 것이다. (유계의 뜻이 어떤 범위에 갇혀 있다는 뜻이므로) 따라서 상극한의 상극한과 하극한은 다음과 같은 성질을 갖는다.

[Theorem 3.27]

함수가 구간 \([a, x_0)\)에서 유계이면 \(\displaystyle \lowlim_{x\to x_0}f(x)=\alpha\)과 \(\displaystyle \uplim_{x\to x_0} f(x)=\beta\)의 값이 존재하고, \(\alpha, \, \beta\)는 다음을 만족시키는 유일한 실수이다. 

(1) 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여
    (a) \(a_1\in [a, x_0)\)이 존재하여 \(a_1\leq x<x_0\)일 때마다 \(f(x)<\beta+\epsilon\)을 만족시키고,
    (b) 임의의 \(a_2\in [a, x_0)\)에 대하여 \(f(\bar x)>\beta-\epsilon\)인 \(\overline x\in [a_2, x_0)\)가 존재한다. 

(2) 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여
    (a) \(a_1\in [a, x_0)\)이 존재하여 \(a_1\leq x<x_0\)일 때마다 \(f(x)>\alpha-\epsilon\)을 만족시키고,
    (b) 임의의 \(a_2\in [a, x_0)\)에 대하여 \(f(\bar x)<\alpha+\epsilon\)인 \(\underline x\in [a_2, x_0)\)가 존재한다. 

위 정리의 의미는 (1)의 경우, 함수 \(f\)가 \(\beta\)보다 큰 집적점을 가질 수 없으며 \(\beta\)보다 작은 임의의 값을 집적점으로 갖는다는 의미이다. 결론적으로 그 상극한의 값은 \(\beta\)가 될 수밖에 없을 것이다. 증명은 다음과 같으나, 이해하기 어렵다면 넘어가더라도 다음 내용을 학습하는 데에 크게 어려움은 없다.

# 증명 ▶

(Proof)

(2)의 경우는 (1)과 비슷한 방법으로 증명할 수 있으므로 (1)만 증명하도록 한다. 

[Definition 3.25]에서의 \(S_f(x; x_0)\)는 감소하는 함수이고 (구간이 줄어들기 때문) 함수 \(f\)는 \([a, x_0)\)에서 유계이므로 \(S_f(x; x_0)\) 또한 유계이다. 따라서 [Theorem 3.24]에 의하여 \(\beta=\displaystyle \uplim_{x\to x_0}f(x)\)가 존재한다. 따라서 함수의 극한의 정의로부터 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\bar a\)가 존재하여 \(\bar a\leq x<x_0\)일 때마다 \[\beta-\epsilon/2<S_f(x; x_0)<\beta+\epsilon/2 \tag ＊\]를 만족시킨다. 상한의 정의로부터 \(f(x)\leq S_f(x; x_0)\)이므로 \(\bar a=a_1\)이라 하면 (1)-(a)의 증명이 완료된다.

(b)를 증명하기 위해서는 상한의 정의를 이용하면 된다. \(x_1=\max\{\bar a, \,a_2\}\)라 하자. 상한의 정의로부터 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(f(\bar x)>S_f(x_1; x_0)-\epsilon/2\)인 \(\bar x\in [x_1, x_0)\)이 존재한다. 또한 \(\rm (＊)\)에 의하여 \(S_f(x_1; x_0)>\beta-\epsilon/2\)이 성립한다. 따라서 \[f(\bar x)>S_f(x_1; x_0)-\epsilon/2>\beta-\epsilon/2-\epsilon/2=\beta-\epsilon\]이 성립한다. 이로부터 (1)-(b)의 증명이 완료된다.

마지막으로, \(\beta_1\)과 \(\beta_2\)가 \((\beta_1<\beta_2)\) 위의 두 조건을 만족시키는 서로 다른 두 실수라고 가정하자. \(\epsilon=\beta_2-\beta_1\)이라 하면 (1)-(b)에서 임의의 \(a_2\in [a, x_0)\)에 대하여 \[f(\bar x)>\beta_2-\epsilon=\beta_2-(\beta_2-\beta_1)=\beta_1\]인 \(\bar x\in [a_2, \, x_0)\)가 존재한다. 따라서 \(\beta_1\)은 조건 (1)-(a)를 만족시킬 수 없다. 이는 모순이므로 \(\beta_1=\beta_2\)를 얻는다.

(Note) 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(f(x)<\beta+\epsilon\)인 것은 \(f(x)\leq \beta\)인 것과 동치이다. 

# ◀ 닫기

 

Reference: <Introduction to real analysis> William F. Trench, 2003