[Chapter 3~4] Concept of Curve + Curvature and Torsion

정칙 곡선

미분기하학에서는 '부드럽게 이어진' 곡선과 곡면을 다룬다. '부드럽게 이어진' 곡선을 일명 '정칙 곡선'이라 하는데, 곡선은 매개화를 하는 방법에 따라 여러 가지 표현이 가능하기 때문에 정칙 곡선은 그 표현 방법에 의존한다.

[Example 0.0]

좌표평면 위의 원 \(x^2+y^2=1\)은 다음 두 가지 방법으로 표현할 수 있다. \[\begin{align}&\mathbf x_1=\left(\cos t, \,\sin t\right)\, (0\leq t\leq 2\pi)\\[.4em]&\mathbf x_2=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \, \frac{2t}{1+t^2}\right)\, (-\infty<t<\infty) \end{align}\]

곡선의 표현 중에서 곡선 위를 따라 '부드럽게 움직이는' 형태를 표현하는 표현 방법을 정칙 매개변수 표현이라고 한다. 즉,

[Definition 0.1]

구간 \(t\in I\)에서 벡터 함수 \[\mathbf x=\mathbf x(t), \quad t\in I\]가 다음 조건을 만족시키면 이 함수를 정칙 매개변수 표현(Regular parametric representation)이라고 하고, 변수 \(t\)를 매개변수(parameter)라고 한다.

(i) \(\mathbf x(t)\in C^1[I]\) (즉, \(\mathbf x(t)\)의 도함수는 연속이다.)
(ii) \(\mathbf x'(t)\neq 0, \;\; \forall t\in I\)

정칙 곡선은 이러한 정칙 매개변수 표현에 의한 동치류로 정의한다. 다음은 정칙 매개변수 표현에 의한 동치 관계에 관한 설명이다. (곡선론에 관한 기본 내용이므로 자세한 증명은 생략하도록 하겠다.)

[Definition 0.2]

(1) 구간 \(I_\theta\) 위에서 정의된 실함수 \(t=t(\theta)\)가 다음 조건을 만족시키면, \(t\)를 허용 가능한 변수 변환(Allowable change of parameter)이라고 한다. 

(i) \(t(\theta)\in C^1[I_\theta]\),
(ii) 임의의 \(\theta\in I_\theta\)에 대하여 \(dt/d\theta \neq 0\)이다.

(2) 또한, 두 정칙 매개변수 표현 \(\mathbf x=\mathbf x(t)\) (\(t\in I_t\)),  \(\mathbf x=\mathbf x^*(\theta)\) (\(\theta\in I_\theta\))에 대하여 

(i) \(t(I_\theta)=I_t\),
(ii) \(\mathbf x(t(\theta))=\mathbf x^*(\theta)\)

를 만족시키는 허용 가능한 변수변환 \(t=t(\theta)\)가 존재하면 두 정칙 매개변수 표현이 서로 동치(equivalent)라고 한다.

[Theorem 0.3]

서로 동치인 매개변수 표현의 집합은 동치류를 이룬다. 이 동치류를 정칙 곡선(Regular Curve)이라고 한다.

 

호의 길이를 이용한 매개화

호의 길이는 적분과 비슷한 방법으로 정의하는데, 곡선 위의 점을 이은 선분의 길이의 합을 이용한다. 호 \(C\)의 방정식이 \(\mathbf x=\mathbf x(t), \; a\leq t \leq b\)로 주어졌다고 하자. 구간 \([a, b]\)의 분할 \[a=t_0<t_1<\cdots <t_n=b\]은 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(t)\) 위의 점들로 이루어진 점열 \[\mathbf x_0=\mathbf x(t_0), \ \ \mathbf x_1=\mathbf x(t_1), \ \ \cdots\, , \ \ \mathbf x_n=\mathbf x(t_n)\]을 구성하고, 이를 이용하여 호 \(C\)의 점근 다각형 \(P\)의 길이 \[\displaystyle s(P)=\sum_{i=1}^{n} |\mathbf x_i-\mathbf x_{i-1}|=\sum_{i=1}^{n} |\mathbf x(t_i)-\mathbf x(t_{i-1})|\]를 얻는다. \(P'\)가 \(P\)의 세분이면 그림과 같이 \(s(P)\leq s(P')\)임을 알 수 있다.

이를 이용하여 호의 길이를 정의한다.

[Definition 1.0]

호 \(C\) 위의 점들로 이루어진 점근 다각형들의 집합을 \(\mathscr P\)라고 하자. 집합 \[\mathscr S=\{s(P) \mid P\in \mathscr P\}\]가 위로 유계일 때, 호 \(C\)를 길이를 구할 수 있는(Rectifiable) 곡선이라 하고, \(\sup \mathscr S\)를 호 \(C\)의 길이(Arc length)라고 한다.

연속함수의 성질과 정적분의 정의로부터 다음이 성립한다. (증명은 평균값 정리와 미적분의 기본 정리를 적절히 이용하면 된다.)

[Theorem 1.1]

정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(t), \; a\leq t\leq b\)은 길이를 구할 수 있는 곡선이고, 그 호의 길이 \(s\)는  \[\displaystyle s=\int_a^b \left| \frac{d\mathbf x}{dt}\right|dt=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx_1}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx_2}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx_3}{dt}\right)^2}dt\]로 주어진다. 

\(\mathbf x=\mathbf x(t)\)가 정칙 곡선인 경우, 함수 \[s=s(t)=\displaystyle \int_{t_0}^t \left|\frac{d\mathbf x}{dt}\right|dt\]에 대하여 미적분의 기본 정리에 의하여 \(\displaystyle \frac{ds}{dt}=\left|\frac{d\mathbf x}{dt}\right|\)이므로 \[\left|\frac{d\mathbf x}{ds}\right|=\left|\frac{d\mathbf x}{dt}\right|/\left|\frac{ds}{dt}\right|=\left|\frac{ds}{dt}\right|/\left|\frac{ds}{dt}\right|=1\]이다. 이에 따라

[Definition 1.2]

정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(t)\)의 호의 길이 \(s=s(t)\)를 이용하여 정의된 정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(s)\)를 단위 속력 곡선(Unit speed curve) 또는 호의 길이를 이용한 표현(Representation in terms of arc length)이라고 한다. 

곡선론에서는 곡선을 이루는 각 벡터를 모두 크기가 \(1\)인 단위 벡터로 표현하기 때문에 이렇게 호의 길이를 이용한 표현이 필요하다.

 

곡률

위에서 언급했듯이, 곡선 그 자체는 존재하는 개체이나 그것을 표현하는 방법이 많다. 따라서 단순히 '좋은' 매개변수 표현만으로는 그 곡선의 본질을 파악하기 쉽지 않다. 다시 말해서, 서로 다른 곡선을 어떻게 구별할 수 있는지에 대한 논의가 필요하다. 곡선을 결정할 수 있는 요소로 곡률과 열률이 있다.

[Definition 2.0]

(1) 단위 속력 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(s)\)에 대하여 위치 \(\mathbf x(s)\)에서의 단위 접선 벡터(unit tangent vector)는 \[\mathbf t=\mathbf t(s)=\mathbf{\dot x(s)}=\displaystyle \lim_{\Delta s\to 0} \frac{\mathbf x(s+\Delta s)-\mathbf x(s)}{\Delta s}\]이다.

(2) 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(t)\) 위의 점 \(\mathbf x_0=\mathbf x_0(t_0)\)을 지나고 이 점에서의 접선 벡터와 평행한 직선은 접선(tangent line)이라 하고, 이 점을 지나고 접선과 수직인 평면을 법평면(normal plane)이라고 한다.

[Note] 구분을 위해 \(\mathbf {x'}=d\mathbf x / dt, \; \mathbf {\dot x}=d\mathbf x/ds\,\)로 각각 표기한다. 

실제로 벡터 \(\displaystyle \frac{\mathbf x(s+\Delta s)-\mathbf x(s)}{\Delta s}\)는 두 점 \(\mathbf x(s)\)와 \(\mathbf x(s+\Delta s)\)를 지나는 위치벡터이므로, 그 극한은 \(\mathbf x(s)\)에서의 접선 벡터가 될 것이라는 것을 알 수 있다.

보통 평소 이용하는 곡선의 표현은 호의 길이로 매개화된 곡선의 표현이 아니라 일반적인 매개변수 \(t\)에 대한 표현인 경우가 많다. 곡선 \(C\)의 정칙 표현 \(\mathbf x=\mathbf x(t)\)에 대하여 합성함수의 미분법에서 \[\mathbf x'=\frac{d\mathbf x}{dt}=\frac{d\mathbf x}{ds} \frac{ds}{dt}=\mathbf t |\mathbf x'| \; \Rightarrow \; \mathbf t=\frac{\mathbf x'}{|\mathbf x'|}\]이다.

[Example 2.1]

나선(helix)은 \(a, b\neq 0\)인 실수 \(a, b\)에 대하여 \(\mathbf x=(a\cos t, \, a\sin t, \, bt)\)로 주어지는 곡선이다. 이때 \(\mathbf x'=(-a\sin t, \, a\cos t, \, b)\)이므로 \(|x'|=\sqrt{a^2+b^2}\)이다. 따라서 \(\mathbf t=\mathbf x'/|\mathbf x'|=(a^2+b^2)^{-1/2}(-a\sin t, \, a\cos t, \, b)\)이다. 

곡선 \(C\) 위의 점 \(\mathbf x_0\)을 지나고 그 점에서의 접선 벡터 \(\mathbf t_0\)와 평행한 접선 위의 임의의 점의 위치 벡터를 \(\mathbf x\)라 하면 벡터가 평행할 조건에 의하여 \[\mathbf {x-x}_0=k\mathbf t_0 \; (k\in \Bbb R)\]이고, 점 \(\mathbf x_0\)를 지나고 이 점에서의 접선 벡터 \(\mathbf t_0\)와 수직인 법평면 위의 임의의 점의 위치 벡터를 \(\mathbf x\)라 하면 내적의 성질에서 \[(\mathbf{x-x_0})\cdot \mathbf t_0=0\]이다. 이들이 접선과 법평면의 방정식이 된다.

[Theorem 2.2]

곡선 \(C\) 위의 점 \(\mathbf x_0\)을 지나고 그 점에서의 접선 벡터 \(\mathbf t_0\)와 평행한 접선의 방정식은 \[\mathbf {x-x}_0=k\mathbf t_0 \; (k\in \Bbb R)\]이고, 곡선 \(C\) 위의 점 \(\mathbf x_0\)을 지나고 그 점에서의 접선 벡터 \(\mathbf t_0\)와 수직인 법평면의 방정식은 \[(\mathbf{x-x_0})\cdot \mathbf t_0=0\]이다.

단위 접선 벡터는 크기가 \(1\)인 접선 벡터이므로 위의 표현에서 굳이 접선 벡터를 단위 접선 벡터를 쓰지 않아도 상관없다.

[Example 2.3]

곡선 \(\mathbf x=(t, \, t^2, \, t^3)\)의 \(t=1\)에서의 접선의 방정식은 \[\mathbf y=\mathbf x(1)+k\mathbf x'(1)\] 또는 \[\mathbf y=(1+k, \, 1+2k, \, 1+3k)\, (k\in \Bbb R)\]이다. 또한 \(t=1\)에서의 법평면의 방정식은 \[(\mathbf{y-x}(1))\cdot \mathbf x'(1)=0\] 또는 \[\begin{align}&(y_1-1)+2(y_2-1)+3(y_3-1)=0\\[.4em] &\Rightarrow \; y_1+2y_2+3y_3=6 \; (\mathbf y=(y_1, \, y_2, \, y_3))\end{align}\]이다.

곡률은 위의 단위 접선 벡터를 이용하여 정의한다.

[Definition 2.4]

곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(s)\)가 \(C^2\)라고 하자. 이때 단위 법선 벡터 \(\mathbf t\)의 도함수 벡터를 곡률 벡터 \(\mathbf k=\mathbf k(s)\)(curvature vector)라고 한다. 즉, \[\mathbf k(s)=\mathbf {\dot t}(s)=d\mathbf t/ds\]이다. 이 곡률 벡터의 크기 \(|\kappa|=|\mathbf k(s)|\)를 곡률(curvature)이라고 한다. 또한 \[\rho = 1/|\kappa|=1/|\mathbf k(s)|\]를 곡률의 반지름(radius of curvature)이라고 한다. 

이때 \(|\mathbf t|=1 \; \Rightarrow \; \mathbf t\cdot\mathbf t=1\)이므로 양변을 \(s\)에 대하여 미분하면 \(\mathbf t\cdot \mathbf{\dot t}=0 \; \Rightarrow \; \mathbf t\cdot \mathbf k=0\)이므로 곡률 벡터는 접벡터와 수직이다. 즉, 곡률 벡터는 그림과 같이 곡선이 휘어지는 방향과 그 휘어지는 정도(크기)를 나타내는 벡터이다. 

한편, 곡률 벡터는 곡선의 회전 방향(진행 방향)과 관계없는 성분이다. \(s\)와 \(s^*\)를 곡선의 두 단위 속력 매개변수라고 하면 \(s=\pm s^*+c\) (\(c\)는 상수)이므로 \[\displaystyle \frac{dt^*}{ds^*}=\frac{d}{ds^*}\left(\frac{d\mathbf x}{ds^*}\right)=\frac{d}{ds^*}\left(\pm\frac{d\mathbf x}{ds}\right)=(\pm 1)^2 \frac{d}{ds}\left(\frac{d\mathbf x}{ds}\right)=\frac{d\mathbf t}{ds}\]이다. 즉, 곡률 벡터는 항상 곡선이 휘어지는 방향(안쪽)으로의 벡터이다. 

[Example 2.5]

나선(helix) \(\mathbf x=(a\cos t, \, a\sin t, \, bt)\) \((a, b\neq 0)\)에 대하여 \(|x'|=\sqrt{a^2+b^2}\)이고, \(\mathbf t=\mathbf x'/|\mathbf x'|=(a^2+b^2)^{-1/2}(-a\sin t, \, a\cos t, \, b)\)이다. 이때 \[\begin{align} \mathbf k=\mathbf{\dot t}&=\displaystyle \frac{d\mathbf t}{ds}\\[.4em]&=\frac{d\mathbf t}{dt}/\left|\frac{d\mathbf x}{dt}\right| \\[.4em] &=(a^2+b^2)^{-1/2}(-a\cos t, \, -a\sin t, \, 0)\cdot (a^2+b^2)^{-1/2}\\[.4em] &=-\frac{a}{a^2+b^2}(\cos t, \, \sin t, \, 0)\end{align}\]이다. 따라서 \(\displaystyle |\kappa|=|\mathbf k|=\frac{a}{a^2+b^2}\)이다. 

다음은 곡선의 곡률이 갖는 성질이다. 

[Theorem 2.6]

\(C^2\)인 정칙 곡선이 직선일 필요충분조건은 이 곡선의 곡률이 항상 \(0\)인 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(t)\)가 직선이면 고정된 두 벡터 \(\mathbf a, \mathbf b\)에 대하여 \(\mathbf x=\mathbf a+\mathbf bt\)이다. 이때 \(\mathbf t=\mathbf {\dot x}=\mathbf b/|\mathbf b|\)이고 \(|\kappa|=|\mathbf {\dot t}|=0\)이다. 

(\(\Leftarrow\)) 곡선의 곡률이 항상 \(0\)이므로 곡률 벡터는 항상 영벡터이다. 즉, \(\mathbf k=\mathbf {\dot t}=0\)이므로 \(\mathbf t=\mathbf {\dot x}=\mathbf a\)이고 (\(\mathbf a\)는 상수 벡터) \(\mathbf x=\mathbf as+\mathbf b\)이다. (\(\mathbf b\)는 상수 벡터) 따라서 이 곡선은 벡터 \(\mathbf a\)에 평행한 직선이다. 

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곡률 또한 호의 길이로 매개화되지 않은 경우에도 구해야 하는 경우가 많다. 이 경우 직접 합성함수 미분에 의하여 적절히 계산해도 되지만, 바로 구하게 해주는 공식이 존재한다. 

[Theorem 2.7]

\(C^2\)인 정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(t)\)의 곡률을 \(|\kappa|\)라 하면 \[|\kappa|=\displaystyle \frac{|\mathbf {x'}\times \mathbf {x''}|}{|\mathbf {x'}|^3}\]

# 증명 ▶

(Proof)

\(\mathbf t=\mathbf {x'}/|\mathbf {x'}|\)이므로 \(\mathbf {x'}=\mathbf t|\mathbf {x'}|\)이다. 이 등식의 양변을 미분하면 \[\mathbf {x''}=\displaystyle \frac{d\mathbf t}{dt}|\mathbf {x'}|+\mathbf t|\mathbf {x'}|'=\frac{d\mathbf t}{ds}|\mathbf {x'}|^2+\mathbf t|\mathbf {x'}|'=\mathbf k |\mathbf {x'}|^2+\mathbf t |\mathbf {x'}|'\] 따라서 \[\mathbf x'\times \mathbf x''=\mathbf x'\times \mathbf k|\mathbf {x'}|^2+\mathbf {x'}\times \mathbf t |\mathbf {x'}|'=|\mathbf {x'}|^2(\mathbf x'\times \mathbf k) \; (\because \mathbf x'\times \mathbf t=\mathbf 0)\]이고, \(\mathbf x'\)와 \(\mathbf k\)는 수직이므로 \[|\mathbf x'\times \mathbf x''|=|\mathbf {x'}|^3|\kappa| \sin(\pi/2)=|\kappa||\mathbf {x'}|^3\]이고, \(\displaystyle |\kappa|=\frac{|\mathbf {x'}\times \mathbf {x''}|}{|\mathbf x'|^3}\)이다. 

# ◀ 닫기

 

움직이는 삼면체와 열률

곡률과 더불어 곡선의 특성을 결정하는 요소로 열률이 있다. 곡률은 곡선이 진행하는 방향으로 얼마나 휘어지는지 알려주는 성분이라면, 열률은 곡선이 진행하는 방향과 수직인 방향으로 얼마나 뒤틀리는지 알려주는 성분이다. 우선 이를 정의하기 위해서는 곡선의 t, n, b를 언급해야 하는데, t는 앞에서 나온 단위 접선 벡터 \(\mathbf t\)를 의미한다. 이때 n과 b는 t와 수직인 두 벡터로, t를 이용하여 유도할 수 있다.

우선 곡률 벡터 \(\mathbf k=\mathbf {\dot t}=\mathbf {\ddot x}\)는 \(\mathbf t\)의 방향을 가지고 \(\mathbf t\)를 정의할 때와 같이 단위 길이를 갖는 벡터를 정의할 필요가 있는데, 이를 단순히 \(\mathbf k/\mathbf |k|\)로 정의하는 경우, \(\mathbf k=0\)일 때 정의가 되지 않는 문제가 있다. (정칙 곡선의 경우 \(\mathbf x'\neq 0\)이므로 \(\mathbf t\)를 정의할 때에는 문제가 없다.) 이에 \(\mathbf k\) 방향으로의 단위 벡터가 '연속적으로' 정의될 수 있도록 다음과 같이 그 벡터를 정의한다.

[Definition 3.0]

\(C^2\) 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(s)\)의 곡률 벡터 \(\mathbf k=\mathbf k(s)\)에 대하여 주법선벡터(principal normal vector) \(\mathbf n=\mathbf n(s)\)는 \[\mathbf k(s)=\kappa(s) \mathbf n(s) \; (|\mathbf k|=|\kappa|)\]인 연속함수 \(\kappa (s)\)가 존재하도록 선택한 벡터이다. 

즉, 주법선벡터는 \(\mathbf k\) 방향으로의 \(s\)에 대한 연속함수로 정의되는 단위 벡터이다. 모든 \(s\)에 대하여 \(\mathbf k(s)\neq 0\)인 경우, (즉, 변곡점이 존재하지 않는 경우) 단순히 \(\mathbf n(s)=\mathbf k(s)/|\mathbf k(s)|\)로 택하면 된다. (문제 상황에 등장하는 일반적인 경우는 이렇다.) 다음은 변곡점이 존재하는 경우 주법선벡터를 정의하는 방식의 예이다.

[Example 3.1]

좌표평면 위의 곡선 \(\displaystyle \mathbf x=\left(t, \, \frac{t^3}{3}\right)\)을 생각하자. 간단한 계산에 의하여 \[\mathbf k=\dot {\mathbf t}=-\frac{2t}{(1+t^4)^2}(t^2, -1)\]이다. 이때 \(t\neq 0\)일 때 벡터 \(\mathbf {u_k}\)를 \(k\) 방향으로의 단위 벡터라고 하면 \[\mathbf {u_k}=\displaystyle \frac{\mathbf k}{|\mathbf k|}=\frac{-t}{|t|\sqrt{1+t^4}}(t^2, -1)\]이므로 \[\begin{align}\displaystyle &\lim_{t\to 0+}\mathbf {u_k}=\lim_{t\to 0+}\frac{-t}{|t|\sqrt{1+t^4}}(t^2, -1)=(0, -1), \\[.4em] &\lim_{t\to 0-}\mathbf {u_k}=\lim_{t\to 0-}\frac{-t}{|t|\sqrt{1+t^4}}(t^2, -1)=(0, 1) \end{align}\]이다. 따라서 주법선벡터 \(\mathbf n\)을 \[\mathbf n=\begin{cases}-\mathbf{u_k} & (t<0)\\[.5em] (0, 1) & (t=0) \\[.5em] \;\mathbf{u_k} & (t>0)\end{cases}\]이라 정의하면 \(\mathbf n\)은 모든 \(t\)에 대하여 연속이다.

이렇게 주법선벡터를 정의하면, 두 방향으로의 벡터를 이용하여 주법선과 접촉평면을 정의할 수 있다.

[Theorem 3.2]

(1) \(C^2\) 곡선 \(C\) 위의 한 점 \(\mathbf x\)를 지나고 이 점에서의 주법선벡터와 평행한 직선을 주법선(principal normal line)이라 하고, 주법선의 방정식은 \[\mathbf y=\mathbf x+k\mathbf n \; (-\infty<k<\infty)\]이다. 

(2) 곡선 \(C\) 위의 한 점 \(\mathbf x\)를 지나고 이 점에서의 단위 접선 벡터와 주법선벡터와 평행한 평면을 접촉평면(osculating plane)이라 하고, 그 방정식은 \[\det[\, (\mathbf {y-x})\, \mathbf {t\, n}\, ]=0\]으로 주어진다. 

# 증명 ▶

(Proof)

(1) 직선의 방정식의 정의에 의하여 자명하다.

(2) 세 벡터 \(\mathbf {y-x}\), \(\mathbf {t, \; n}\)은 한 평면 위의 벡터이므로 세 벡터는 일차종속이다. 따라서 일차종속인 벡터들의 성질에 의하여 \[\det[\, (\mathbf {y-x})\, \mathbf {t\, n}\, ]=0\]이다.

(Another Proof) \(\mathbf {t}\times \mathbf {n}\)은 이 접촉평면의 법선벡터이므로 \(\mathbf {y-x}\)는 \(\mathbf {t}\times \mathbf {n}\)와 수직이다. 따라서  \[\det[\, (\mathbf {y-x})\, \mathbf {t\, n}\, ]=(\mathbf{y-x})\cdot (\mathbf t\times\mathbf n)=0\]이다. 

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이제 마지막으로 종법선벡터 \(\mathbf b\)를 정의하면 tnb 삼면체의 정의가 끝난다.

[Definition 3.3]

(1) \(C^2\)인 정칙 곡선 \(C: \mathbf x=\mathbf x(s)\)와 연속인 주법선벡터 \(\mathbf n\)에 대하여 종법선벡터(binormal vector) \(\mathbf b\)는 \[\mathbf b(s)=\mathbf t(s)\times \mathbf n(s)\]이다. 

(2) \(C\) 위의 점 \(\mathbf x\)를 지나고 종법선벡터 \(\mathbf b\)에 평행한 직선을 종법선 또는 이중수직선(binormal line)이라 하고, 그 방정식은 \[\mathbf y=\mathbf x+k\mathbf b \; (-\infty<k<\infty)\]이다.

(3) \(C\) 위의 점 \(\mathbf x\)를 지나고 \(\mathbf t\)와 \(\mathbf b\)에 각각 평행한 평면(즉, \(\mathbf n\)과 수직인 평면)을 곧펴기평면(rectifying plane)이라 하고 그 방정식은 \[(\mathbf {y-x})\cdot \mathbf n=0\]이다. 

[Definition 3.4]

\(C^2\)인 정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(s)\) 위의 점 \(\mathbf x(s)\)에서의 세 단위벡터들의 삼중쌍(triplet) \((\mathbf t, \, \mathbf n, \, \mathbf b)\)을 움직이는 삼면체(moving trihedron)라 한다. 

 

그림에서와 같이 \((\mathbf t, \, \mathbf n, \, \mathbf b)\)는 오른손 방향으로의(right-handed) 쌍마다 수직인 단위 벡터들의 삼중쌍이다. 따라서 이 삼중쌍은 공간에서 곡선의 진행 방향을 나타내고, 다음이 성립한다. \[\mathbf t\times \mathbf n=\mathbf b, \ \ \mathbf n\times \mathbf b=\mathbf t, \ \ \mathbf b\times \mathbf t=\mathbf n\]

마지막으로, 열률은 종법선벡터의 도함수를 이용하여 정의되는 함수이다. \(\mathbf b(s)=\mathbf t(s)\times \mathbf n(s)\)이므로 \[\begin{align}\mathbf {\dot b}(s)&=\mathbf {\dot t}(s)\times \mathbf n(s)+\mathbf t(s)\times \mathbf {\dot n}(s)\\[.4em] &=\kappa(s)[\mathbf n(s)\times \mathbf n(s)]+\mathbf t(s)\times\mathbf{\dot n}(s) \\[.4em] &=\mathbf t(s)\times \mathbf{\dot n}(s) & \cdots \; (*)\end{align}\]이고 \(\mathbf n\)은 단위 벡터이므로 \(\mathbf n\)과 \(\mathbf {\dot n}\)은 수직이다. 즉, \(\mathbf {\dot n}\)은 곧펴기평면과 평행하므로 \[\mathbf {\dot n}(s)=\mu(s)\mathbf t(s)+\tau(s)\mathbf b(s)\]인 실함수 \(\mu, \, \tau\)가 존재한다. 따라서 \((*)\)에 의하여 \[\mathbf {\dot b}(s)=\mathbf t(s)\times[\mu(s)\mathbf t(s)+\tau(s)\mathbf b(s)]=-\tau(s)\mathbf n(s)\]이다. \(\mathbf n\cdot \mathbf n=1\)이므로 \[\tau(s)=-\tau(s)[\mathbf n(s)\cdot \mathbf n(s)]=-\mathbf {\dot b}(s)\cdot \mathbf n(s)\]이다. 이 \(\tau\)를 열률이라고 한다.

[Definition 3.5] 

\(C^3\) 이상의 정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(s)\) 위의 점 \(\mathbf x(s)\)에서 연속인 주법선벡터 \(\mathbf n(s)\)와 종법선벡터 \(\mathbf b(s)\)에 대하여 곡선의 열률(torsion) \(\tau\)는 \[\tau=-\mathbf {\dot b}(s)\cdot \mathbf n(s)\]이다. 

곡률과 같이 열률 또한 곡선의 진행 방향이나 \(\mathbf n\)의 부호와 관계없이 일정하게 정의되는 성분이다. 열률은 그 정의에서 곡선이 휘어지는 방향을 기준으로 보았을 때 얼마나 그것과 수직인 방향으로 뒤틀리는지 알려주는 성분이다. 이로부터 열률이 \(0\)인 곡선은 평면 곡선이라는 것을 어렵지 않게 알 수 있다.

[Theorem 3.6]

\(C^3\) 이상인 정칙 곡선의 열률이 항상 \(0\)일 필요충분조건은 이 곡선이 평면 곡선인 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) 열률이 항상 \(0\)인 곡선의 종법선벡터 \(\mathbf b\)에 대하여 \(\mathbf {\dot b}=-\tau \mathbf n=0\,\)이므로 \(\mathbf b\)는 상수이다. 이때 \[\displaystyle \frac{d}{ds}(\mathbf x\cdot \mathbf b)=\mathbf t\cdot \mathbf b+\mathbf x\cdot \mathbf{\dot b}=\mathbf x\cdot\mathbf {\dot b}=0\]이므로 \(\mathbf x\cdot \mathbf b=\mathbf c\) (\(\mathbf c\)는 상수벡터)이다. 즉, 이 곡선은 평면 \(\mathbf x\cdot \mathbf b=\mathbf c\) 위에 있다.

(\(\Leftarrow\)) 곡선이 평면 위에 있으므로 이 곡선의 종법선벡터 \(\mathbf b\)는 평면의 법선벡터가 된다. 이는 상수벡터이므로 \(\tau=-\mathbf {\dot b}\cdot \mathbf n=0\)이다. 

# ◀ 닫기

열률 또한 \(t\)로 매개화된 경우 계산하는 것이 대부분이므로 다음과 같은 공식을 이용하면 좀 더 편하게 열률을 계산할 수 있다.

[Theorem 3.7]

\(C^3\) 이상의 정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(t)\)에 대하여 \[\tau=\displaystyle \frac{\det [\mathbf {x' \, x'' \, x'''}]}{|\mathbf {x'}\times \mathbf {x''}|^2}\]

# 증명 ▶

(Proof)

[Theorem 2.7]에서 구한 것을 이용하면 \[\mathbf {x''}=\mathbf {\kappa \mathbf n|x'|^2+t|x'|'}, \; \; \mathbf x'\times \mathbf x''=|\mathbf x'|^3\kappa \mathbf b\]이다. 따라서 \[\begin{align}\mathbf {x'''}&=\dot \kappa \mathbf n |\mathbf {x'}|^3+\kappa \mathbf {\dot n}|\mathbf x'|^3+2\kappa\mathbf n|\mathbf x'||\mathbf x'|'\\[.4em]&=\dot \kappa\mathbf n|\mathbf x'|^3+\kappa|\mathbf x'|^3(-\kappa\mathbf t+\tau\mathbf b)+2\kappa|\mathbf x'||\mathbf x'|'\mathbf n\\[.4em] &=-\kappa^2|\mathbf x'|^3\mathbf t+(\dot \kappa|\mathbf x'|^3+2\kappa|\mathbf x'||\mathbf x'|')\mathbf n+\kappa\tau|\mathbf x'|^3\mathbf b\end{align}\]이고, \[\begin{align}\det[\mathbf {x'\, x''\, x'''}]&=\mathbf {x'''}\cdot(\mathbf x'\times\mathbf x'')\\[.4em] &=|\mathbf x'|^3\kappa \cdot \kappa\tau|\mathbf x'|^3 \quad (\because \, \mathbf t\cdot \mathbf b=\mathbf n \cdot \mathbf b=0) \\[.4em] &=|\mathbf x'|^6\kappa^2\tau \end{align}\]이다. 따라서 \[\tau=\displaystyle \frac{\det[\mathbf {x' \, x'' \, x'''}]}{|\mathbf x'|^6 \kappa^2}= \frac{\det [\mathbf {x' \, x'' \, x'''}]}{|\mathbf {x'}\times \mathbf {x''}|^2}\]

# ◀ 닫기

 

마지막으로 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(s)\)의 \(\mathbf t, \, \mathbf n, \, \mathbf b\) 벡터는 모두 단위벡터이므로 이를 위치벡터로 나타내면 종점이 모두 구 \(x^2+y^2+z^2=1\) 위에 있다. 이 구 위에서 나타내어지는 곡선을 지시곡선이라고 한다. 

[Definition 3.8]

곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(s)\)의 단위 접선 벡터 \(\mathbf t\), 주법선벡터 \(\mathbf n\), 종법선벡터 \(\mathbf b\)의 시점을 원점으로 두었을 때, 그 종점이 구면 \(x^2+y^2+z^2=1\)이 나타내는 곡선을 각각의 구면 지시곡선(spherical indicatrix)이라 한다. 

[Example 3.9]

나선 \(\mathbf x=(a \cos t, \, a \sin t, \, bt) \; (a>0, \, b\neq 0)\,\)에 대하여 \[\begin{align} &\mathbf t=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(-a \sin t, \, a \cos t, \, b) \\[.5em] &\mathbf n=-(\cos t, \, \sin t) \\[.5em] &\mathbf b=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(b \sin t, \, -b \cos t, \,a) \end{align}\]이므로 \(\mathbf t, \, \mathbf n, \, \mathbf b\)의 \(z\)좌표는 상수이다. 따라서 각각의 지시곡선은 모두 \(z\)축 둘레로의 원이다. 

 

Reference: <Schaum's Outlines: Differential Geometry> Martin Lipschultz, 1969