[Chapter 8] Concept of a Surface - (2)

단순 곡면

단순 곡면은 '곡면'이라 불리는 좌표공간의 점들의 집합 중에서 좋은 위상적인 성질을 가지는 집합이다. 유클리드 공간에서의 열린 집합을 이용하여 정의될 수 있는 곡면이라면 거리 공간에서의 여러 정리를 이용할 수 있을 것이다. 단순 곡면의 정의는 다음과 같다.

[Definition 2.0]

\(\Bbb R^3\)의 점들의 집합 \(S\)가 다음 조건을 만족시키는 \(C^m\)급(\(m\geq 1\))의 좌표 조각들의 모임 \(\mathcal B\)를 가지면 \(S\)와 그 좌표 조각들의 모임을 통틀어 \(\Bbb R^3\)에서의 \(C^m\)급에서의 단순 곡면(simple surface)이라고 한다. 

(i) \(\mathcal B\)는 \(S\)를 덮는다. 즉, \(S\)의 임의의 점 \(P\)에 대하여 \(P\)를 포함하는 \(\mathcal B\)의 좌표 조각 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)가 존재한다.

(ii) \(\mathcal B\)의 모든 좌표 조각 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)은 \(\Bbb R^3\)의 열린 집합 \(O\)와 \(S\)의 교집합이다. (즉, \(S\) 자신이 유클리드 공간 \(\Bbb R^3\)의 부분공간이다.)

이때 \(\mathcal B\)를 \(S\)의 기저(basis)라고 한다. 

단순 곡면의 특징 중 하나는 경계(boundary)를 갖지 않는다는 것이다. 위상적으로 경계를 갖는 집합은 닫힌 집합인데, 거리 공간에서는 닫힌 집합이란 그 집합의 모든 원소에서 그 집합까지의 거리가 0인 점들의 모임이기 때문이다. 자세한 예로 다음이 있다. 

[Example 2.1]

좌표공간 위의 점들의 집합 \(S=\{(x, y, z): x^2+y^2+z^2=1, \ z\geq 0\}\)을 생각하자. 이는 좌표공간의 단위 구의 위쪽 부분과 적도를 포함한 점들의 집합이다.

이때 \(S\)는 단순 곡면이 아니다. 예를 들어 점 \(P\)가 이 반구의 적도 위의 점이라 하자. 만약 \(S\)가 단순 곡면이라고 하면 \(P\)를 포함하는 좌표 조각 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)가 존재한다. 좌표 조각의 성질에 의하여 \(P\)를 포함하는 몽쥬 조각 \[\mathbf x: W \to \Bbb R^3, \quad \mathbf x=(x, \,y, \,\sqrt{1-x^2-y^2})\]가 존재한다. 이때 \(W\)는 \(x^2+y^2\leq 1\)에 속하는 열린 집합이고, \(P\in W\)이다. 그러나 \(P\)를 포함하는 \(xy\)평면 위의 모든 열린 집합은 \(W\)에 속하지 않는 점을 포함한다. 이는 불가능하다. 

그러나, 구 전체 \(x^2+y^2+z^2=1\)은 단순 곡면이다. 다음의 여섯 개의 몽쥬 조각은 구를 덮는 기저를 이루고, 단순 곡면의 성질을 만족시킨다. \[\begin{align} &\mathbf x=(x, \, y, \, \pm\sqrt{1-x^2-y^2}) \\[.4em] &\mathbf x=(x, \, \pm\sqrt{1-x^2-z^2}, \, z) \\[.4em] & \mathbf x=(\pm\sqrt{1-y^2-z^2}, \, y, \, z) \end{align}\] 예를 들어, 몽쥬 조각 \(\mathbf x=(x, \, y, \, \sqrt{1-x^2-y^2})\)은 구와 \(z>0\)의 교집합이다. 

단순 곡면은 각 점에서 그 점을 포함하는 열린 집합으로 이루어진 기저를 가지고, 열린 집합 내의 모든 점은 그 점을 포함하는 열린 구를 가진다. 또한, 좌표공간의 모든 열린 구는 (길)연결집합이므로 단순 곡면은 그 위의 모든 점에서 연결된 열린 근방을 갖는다고 할 수 있다. 즉, 

[Theorem 2.2]

\(C^m\)급의 단순 곡면 \(S\) 위의 모든 점 \(P\)에 대하여 \(S\)는 점 \(P\)를 포함하는 연결된(connected) 좌표 조각을 갖는다. 

이와 관련하여 단순 곡면의 위상적 성질로 다음과 같은 것들을 더 논할 수 있다. 

[Theorem 2.3]

\(S\)가 연결된 단순 곡면이라 하고, 두 점 \(P\)와 \(Q\)가 \(S\) 위의 임의의 점이라고 하자. 그러면 \(P\)와 \(Q\)를 잇는 정칙 곡선이 존재한다. 즉, 연결된 단순 곡면은 정칙 곡선에 의하여 연결되는 길연결공간이다. 

일반적으로 유클리드 공간에서는 열린 집합이 연결공간인 것과 길연결공간인 것이 동치이다. 연결된 단순 곡면은 잘 연결된 매끄러운 공간이기 때문에 각 점이 연결되는 경로 중에서 반드시 정칙 곡선이 것이 존재한다는 것이 미분기하학에서의 논의라고 할 수 있다. 또, 연결 공간에서의 중요한 내용인 '연결 성분'의 성질에 의하여 다음이 성립한다.

[Theorem 2.4]

\(S\)와 \(T\)가 단순 곡면이고 \(S\)는 닫힌 집합이고 \(T\)는 연결집합이라고 하자. 만약 \(S\subset T\)이면 점들의 집합으로써 \(S=T\)가 성립한다.

# 증명 ▶

(Proof)

부분공간으로써 \(S\)는 \(\Bbb R^3\)의 열린 집합들의 합집합으로 이루어진 집합이므로 열린 집합이다. 가정에서 \(S\)는 닫힌 집합이므로 열린 닫힌 집합이다. 그런데 \(T\)는 \(\Bbb R^3\)의 부분공간으로서 연결공간이므로 \(T\)의 열린 닫힌 부분집합은 \(\varnothing, \, T\)뿐이다. 따라서 \(S=T\)를 얻는다. 

# ◀ 닫기

 

접평면과 법선

곡면론에서 앞으로 중요하게 다루어질 제1, 제2기본형식은 접평면과 법선에 관련이 깊다.

\(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)가 단순 곡면이라고 하고, \(u=u(t), \, v=v(t)\)를 매개변수 평면 상의 \(C^m\)급의 정칙 곡선이라고 하자. 그러면 합성함수 \(\mathbf y(t)=\mathbf x(u(t), \, v(t))\)는 곡면 \(\mathbf x(u, v)\)의 곡선이다. 이때 \[\frac{d\mathbf y}{dt}=\mathbf x_u\frac{du}{dt}+\mathbf x_v\frac{dv}{dt} \tag {*}\]이고 \(\mathbf x_u\times \mathbf x_v\neq 0\)이므로 \(\mathbf x_u\)와 \(\mathbf x_v\)는 선형 독립이고, 이에 따라 \[\frac{d\mathbf y}{dt}=0 \ \Leftrightarrow \ \frac{du}{dt}=\frac{dv}{dt}=0\]를 얻는다. \(u=u(t), \, v=v(t)\)가 정칙 곡선이므로 \(\frac{du}{dt}\)와 \(\frac{dv}{dt}\) 중 하나는 \(0\)이 아니다. 따라서 곡선 \(\mathbf y(t)\)는 \(C^m\)급의 곡면 위의 정칙 곡선이 된다. 

또한, (*)으로부터 \(\mathbf y(t)\)의 점 \(P\)에서의 임의의 접선 벡터는 \(\mathbf x_u\)와 \(\mathbf x_v\)의 일차결합으로 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있다. 이는 점 \(P\)에서의 모든 방향으로의 접선이 \(\mathbf x_u\)와 \(\mathbf x_v\)을 이용하여 나타낼 수 있다는 것을 보여준다. 따라서 곡면 위의 점 \(P\)에서의 접평면 위의 모든 점은 \(\mathbf x_u\)와 \(\mathbf x_v\)의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

이로부터 접평면의 방정식 \(\mathbf p=\mathbf p(u, v)\)는 \[\mathbf p=\mathbf x+k\mathbf x_u+h\mathbf x_v, \quad -\infty<k, \, h<\infty\]로 주어진다. 또한 어렵지 않게 점 \(P\)에서의 단위 법선 벡터가 \(\displaystyle \mathbf N=\frac{\mathbf x_u\times \mathbf x_v}{|\mathbf x_u\times \mathbf x_v|}\)로 주어지는 것을 알 수 있다. 이 벡터 \(\mathbf N\)을 점 \(P\)에서의 곡면의 단위 법벡터(unit normal vector)라고 한다. 이로부터 접평면의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수도 있다. \[\mathbf N\cdot (\mathbf p-\mathbf x)=0\]

실제로 위와 같은 표기를 2009 교육 과정 이전의 고등학교의 '기하와 벡터'에서 널리 이용하였다. 또한, 점 \(P\)를 지나는 지나는 법선의 방정식은 \[\mathbf q=\mathbf x+k\mathbf N \quad (-\infty<k<\infty)\]으로 주어짐도 어렵지 않게 알 수 있다.

법선벡터와 한 점은 평면을 결정하기 때문에, 어떤 곡면의 접평면은 접점 근방에서의 곡선의 형태와 관계없이 단 하나로 결정된다. 단위 법선 벡터 또한 곡면 그 자체의 성질이므로 한 점에서는 단위 법선 벡터는 매개화의 형태에 따라 부호만 달라질 수 있다. 점 \(P\)를 지나는 두 정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)와 \(\mathbf x^*=\mathbf x^*(\theta, \phi)\)에 대하여 \[\mathbf x^*_\theta=\mathbf x_uu_\theta+\mathbf x_vv_\theta, \ \ \mathbf x^*_\phi=\mathbf x_u u_\phi+\mathbf x_v v_\phi\]이므로 \[\begin{align}\mathbf x^*_\theta\times\mathbf x^*_\phi&=(\mathbf x_u u_\theta+\mathbf x_v v_\theta)\times(\mathbf x_u u_\phi+\mathbf x_v v_\phi)\\[.4em]&=(\mathbf x_u\times\mathbf x_v)(u_\theta v_\phi-u_\phi v_\theta) \\[.4em] &=(\mathbf x_u\times\mathbf x_v)\left|\frac{\partial (u, v)}{\partial (\theta, \phi)}\right| \end{align}\]이다. 이때 점 \(P\)의 적당한 열린 근방이 존재하여 \(\displaystyle \left|\frac{\partial (u, v)}{\partial (\theta, \phi)}\right|\neq 0\)이므로 두 정칙 곡선으로 인해 얻어지는 두 단위 법선벡터는 부호 차이만 존재한다. 

[Example 3.0]

원환면(Torus)는 원이 어떤 직선을 중심으로 회전하면서 그리는 곡면이다. 중심이 \(x\)축 위에 있고, \(xz\)평면에 놓인 원이 \(z\)축을 둘레로 회전한다고 하자. 또한, \(xz\)평면에 놓여 있을 때, 원의 반지름을 \(a\), 원의 중심에서 원점까지의 거리를 \(b\) \((0<a<b)\)라 하자. 이 원이 \(z\)축을 둘레로 \(x\)축의 양의 방향을 기준으로 반시계 반향으로 \(\theta\)만큼 회전했다 하고, 이 원의 한 점이 그림과 같이 \(z\)축과 이루는 각을 \(\phi\)라 하면 원점에서 원의 중심으로의 벡터 \(\mathbf u\)와 원의 중심에서 원의 각 점으로의 벡터 \(\mathbf r\)은 각각 \[\mathbf u=(b \cos\theta,\, b \sin\theta,\, 0), \ \ \mathbf r=(a\sin\phi \cos\theta, \, a\sin \phi \sin\theta, \, a\cos\phi)\]이다. (\(\mathbf r\)은 원의 중심을 원점으로 옮기고, 구면좌표계를 생각하면 된다.)

따라서 각 원 위의 점(즉, 원환면 위의 점)의 위치벡터는 \[\mathbf x=\mathbf u+\mathbf r=((b+a\sin\phi)(\cos\theta), \, (b+a\sin\phi)(\sin\theta), \, a\cos\phi) \quad (-\infty<\theta, \, \phi <\infty)\]로 주어진다. 이로부터 약간의 계산을 통해 \[\begin{align} &\mathbf x_\theta=(-(b+a\sin\phi)(\sin\theta), \, (b+a\sin\phi)(\cos\theta), \, 0) \\[.4em] &\mathbf x_\phi=(a\cos\phi\cos\theta, \, a\cos\phi\sin\theta, \, -a\sin\phi)\\[.4em]& \Rightarrow \ |\mathbf x_\theta\times \mathbf x_\phi|=a(b+\sin\phi)\neq 0\end{align} \]을 얻는다. 따라서 원환면은 \(C^\infty\)급의 정칙 곡면이다. 또한, 다음과 같은 세 개의 \(\theta\phi\)평면의 열린 집합을 통해 원환면의 전체를 덮을 수 있으므로 원환면은 단순 곡면이다. \[\text{(i) } \ 0<\theta, \, \phi<2\pi \quad \text{(ii) } -\pi<\theta, \, \phi<\pi \quad \text{(iii) } -\pi/2<\theta, \, \phi<3\pi/2\] 따라서 \(\theta\phi\)평면의 임의의 정칙 곡선에 의한 \(\mathbf x\)의 상은 원환면 위의 정칙 곡선이 된다. 예를 들어 \(\theta\phi\)평면 위의 직선 \(\theta=t, \ \phi=kt\)는 원이 \(z\)축을 한 바퀴 도는 동안 원환면 위를 \(k\)번 회전하는 곡선이다. 

마지막으로 원환면 위의 각 점에서의 단위 법선벡터는 \[\mathbf N=\frac{\mathbf x_\theta\times \mathbf x_\phi}{|\mathbf x_\theta\times \mathbf x_\phi|}=-(\sin\phi \cos\theta, \, \sin\phi \sin\theta, \, \cos\phi)\]이다. 이 단위 법선 벡터는 원환면 위의 각 점에서 연속이다. (즉, 연속적으로 변한다.)

[Example 2.5]과 같이 마지막 줄에서와 같이 법선벡터가 단순 곡면을 기준으로 한 방향으로만 형성될 수 있는 곡면을 단순 유향곡면(orientable surface)이라 한다. 예를 들어, 구와 타원 포물면(elliptic paraboloid)는 단순 유향곡면이다. 일반적인 유향 곡면의 정의는 다음과 같다.

[Definition 3.1]

\(S\)가 \(\Bbb R^3\)의 점들의 집합이고, \(\mathcal F\)가 \(S\)의 \(C^m\)급의 좌표 조각들의 모임이라고 하자. 이때, \(\mathcal F\)가 다음 조건을 만족시키면 \(S\)와 \(\mathcal F\)를 통틀어 \(C^m\)급의 유향 단순 곡면(oriented simple surface)이라 한다. 

(i) \(\mathcal F\)에 \(S\)의 기저를 이루는 좌표 조각들의 부분집합이 존재한다.
(ii) \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)와 \(\mathbf x^*=\mathbf x^*(\theta, \phi)\)가 서로 겹치는 상을 가지는 \(\mathcal F\)의 두 원소일 때, 그 교집합에서 \( \frac{\partial (u, v)}{\partial (\theta, \phi)}>0\)이다. (이는 겹치는 영역에서 두 좌표 조각에 의해 얻어지는 단위 법선 벡터가 동일함을 의미한다.)
(iii) \(\mathcal F\)는 극대집합이다. 즉, \(\mathcal F\)에 속하지 않는 \(S\)의 좌표 조각이 \(\mathcal F\)에 하나라도 추가되면, (ii)가 성립하지 않는다.

'뫼비우스 띠'라 불리는 다음 예시는 유향 곡면이 아닌 대표적인 곡면의 예이다.

[Example 3.2]

두 벡터 함수 \[\begin{align}&\mathbf y(\theta)=(\cos\theta, \, \sin\theta, \, 0), \\[.4em] &\mathbf g(\theta)=\left(\sin\frac{1}{2}\theta\cos\theta, \ \sin\frac{1}{2}\theta\sin\theta, \ \cos\frac{1}{2}\theta\right)\end{align}\]에 대하여 \[\mathbf x=\mathbf y+v\mathbf g \quad (-1/2<v<1/2)\]로 주어지는 곡면을 뫼비우스의 띠(Moebius strip)라 한다. 이 곡면은 단순 연결 곡면이지만 유향 곡면은 아니다. 그림과 같이 띠의 중앙선(매개변수 곡선 \(v=0\)) 위의 각 점에서 구한 법선 벡터는 이 직선을 따라 한 바퀴를 돌면 방향이 처음과 반대가 된다.

마지막으로, 기본 곡면(elementary surface)은 단순 곡면이면서 하나의 좌표 조각으로 이루어진 기저를 가지는 곡면을 뜻한다. 자명히 기본 곡면은 매개변수 곡면의 어떤 열린 집합과 위상동형이고, 유향 곡면이 된다. 다음과 같은 식으로 주어지는 타원 포물면이 대표적인 기본 곡면이다. \[\frac{z}{c}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\]

 

Reference: <Schaum's Outlines: Differential Geometry> Martin Lipschultz, 1969