[Chapter 9] First and Second Fundamental Forms - (1)

제1기본형식

공간의 임의의 곡선은 곡률과 열률이라는 두 가지 불변량에 의하여 정확히 하나로 결정된다. 곡면도 그와 같이 두 가지 불변량인 '제1기본형식'과 '제2기본형식'에 의하여 유일하게 결정된다. 

곡면의 적당한 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 $uv$평면 위의 한 점 $(u,v)$에 대하여 이 점에서의 미분(differential) $d\mathbf{x}$는 $uv$평면 위의 점 $(u,v)$에서의 진행 방향의 (미소)벡터 $(du,dv)$ (이때 $uv$평면에서 점 $(u,v)$가 어떤 경로를 따라 이동한다고 생각하면 된다.)에 대하여 $$d\mathbf{x}={\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv$$로 정의되는 벡터이다. 

또한, 다변수함수에서의 테일러 정리에 의하여 $$\mathbf{x}(u+du,v+dv)=\mathbf{x}(u,v)+d\mathbf{x}+\mathbf{o}((d{u}^2+d{v}^2{)}^{1/2})$$가 성립한다. 즉, $d\mathbf{x}$는 곡면 위의 점 $\mathbf{x}(u,v)$에서 벡터 $\mathbf{x}(u+du,v+dv)-\mathbf{x}(u,v)$의 일차 근사이고, 이 점에서의 접평면 위에서 $(u,v)$의 진행방향으로의 벡터이다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이때 미분 $d\mathbf{x}$를 이용하여 $$\begin{array}{rl}\mathrm{I}& =|d\mathbf{x}{|}^2=d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x}\\ & =({\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv)\cdot ({\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv)\\ & =({\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_u)d{u}^2+2({\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_v)dudv+({\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{x}}_v)d{v}^2\end{array}$$으로 정의되는 함수 $\mathrm{I}$를 제1기본형식이라고 한다. 

[Definition 9.0] [제1기본형식: The First Fundamental Form]

곡면의 $C^1$급 이상의 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 $$\begin{array}{rl}\mathbf{I}=& Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2\\ & (E={\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_u,F={\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_v,G={\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{x}}_v)\end{array}$$를 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$의 제1기본형식(first fundamental form)이라고 하고, 위의 각 계수 $E$, $F$, $G$를 제1기본계수(first fundamental coefficients)라고 한다.

기본적으로 제1기본형식의 계수 $E$, $F$, $G$는 $u,v$의 값에 의존하긴 하지만, 매개변수 $u,v$의 값이 고정된 경우(즉, 곡면 위의 고정된 한 점에 대하여) $du,dv$에 의하여 정해진다. 다시 말해서 제1기본형식은 매개변수 평면의 점 $(u,v)$의 이동 방향에 의존하는 함수이다. $$\Rightarrow \mathrm{I}=\mathrm{I}(du,dv)=Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$$ 한편, 위의 논의는 제1기본형식이 곡면 그 자체의 성질이라는 것을 말해주기도 한다. 왜냐하면 제1기본형식은 어떤 곡면 위의 점에서 그 근방으로의 벡터에 의존하는 개념이기 때문이다. (곡면이 있으면, 그 곡면을 어떻게 표현하든 접평면은 동일할 것이다.)

$\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\ast }(\theta ,\varphi )$를 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$의 근방에서 정의된 다른 좌표 조각이라고 하자. 그러면 $(u,v)$에서 $(\theta ,\varphi )$로의 매개변수 변환 $\theta =\theta (u,v)$, $\varphi =\varphi (u,v)$가 존재하여 $$d\theta ={\theta }_{u}du+{\theta }_{v}dv,d\varphi ={\varphi }_{u}du+{\varphi }_{v}dv$$를 만족시킨다. 따라서 두 매개변수 표현 $\mathbf{x}$, ${\mathbf{x}}^{\ast }$의 제1기본형식 $\mathrm{I}$, ${\mathrm{I}}^{\ast }$에 대하여 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{I}}^{\ast }(d\theta ,d\varphi )& =|d{\mathbf{x}}^{\ast }{|}^2={|({\mathbf{x}}_{\theta }^{\ast }d\theta +{\mathbf{x}}_{\varphi }^{\ast }d\varphi )|}^2\\ & ={|{\mathbf{x}}_{\theta }^{\ast }({\theta }_{u}du+{\theta }_{v}dv)+{\mathbf{x}}_{\varphi }^{\ast }({\varphi }_{u}du+{\varphi }_{v}dv)|}^2\\ & ={|({\mathbf{x}}_{\theta }^{\ast }{\theta }_u+{\mathbf{x}}_{\varphi }^{\ast }{\varphi }_u)du+({\mathbf{x}}_{\theta }^{\ast }{\theta }_v+{\mathbf{x}}_{\varphi }^{\ast }{\varphi }_v)dv|}^2\\ & ={|{\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv|}^2=|d\mathbf{x}{|}^2=\mathrm{I}(du,dv)\end{array}$$이 성립한다. 즉, 제1기본형식은 매개변수의 표현(좌표 조각의 종류)에 영향을 받지 않는다. 다만, 일차 기본 계수는 당연히 좌표 조각에 영향을 받는다. 계산을 통해 위의 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\ast }(\theta ,\varphi )$와 그 일차 기본계수 $E^{\ast }$, $F^{\ast }$, $G^{\ast }$에 대하여 $$\begin{array}{rl}& E=E^{\ast }{\theta }_u^2+2F^{\ast }{\theta }_u{\varphi }_u+G^{\ast }{\varphi }_u^2\\ & F=E^{\ast }{\theta }_u{\theta }_v+F^{\ast }({\theta }_u{\varphi }_v+{\theta }_v{\varphi }_u)+G^{\ast }{\varphi }_u{\varphi }_v\\ & G=E^{\ast }{\theta }_v^2+2F^{\ast }{\theta }_v{\varphi }_v+G^{\ast }{\varphi }_v^2\end{array}$$이다. 마지막으로 $\mathrm{I}=|d\mathbf{x}{|}^2$이므로 일차기본형식은 항상 양의 부호를 갖는다. 일차기본형식을 $du,dv$에 대한 이차식으로 본다면, 이차식과 판별식의 성질로부터 $E>0,G>0,EG-F^2>0$이어야 한다. 실제로 $$\begin{array}{rl}EG-F^2& =|{\mathbf{x}}_u{|}^2|{\mathbf{x}}_v{|}^2-({\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_v{)}^2\\ & =|{\mathbf{x}}_u{|}^2|{\mathbf{x}}_v{|}^2(1-{\cos }^2\alpha )\\ & =(|{\mathbf{x}}_u||{\mathbf{x}}_v|\sin \alpha {)}^2=|{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v{|}^2\end{array}$$ (단, $\alpha$는 두 벡터 ${\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v$가 이루는 각이다.)이고, 정칙 매개변수 표현에서 ${\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v\ne 0$가 성립한다.

[Example 9.1]

곡면 $\mathbf{x}=(u+v,u-v,uv)$에 대하여 ${\mathbf{x}}_u=(1,1,v)$, ${\mathbf{x}}_v=(1,-1,u)$이므로 $E={\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_u=2+v^2$, $F={\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_v=uv$, $G={\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{x}}_v=2+u^2$이다. 따라서 $$\mathrm{I}=(2+v^2)d{u}^2+2uvdudv+(2+u^2)d{v}^2$$이다. 또한, 모든 $(u,v)$에 대하여 $E>0$, $G>0$, $EG-F^2=4+2u^2+2v^2>0$임을 확인할 수 있다. 이때 $\theta =u+v$, $\varphi =u-v$인 매개변수 변환을 통해 $$\mathbf{x}=(\theta ,\varphi ,\frac{1}{4}({\theta }^2-{\varphi }^2))$$을 얻을 수 있다. 이를 이용하여 $$E^{\ast }=1+\frac{1}{4}{\theta }^2,F^{\ast }=-\frac{1}{4}\theta \varphi ,G^{\ast }=1+\frac{1}{4}{\varphi }^2$$을 얻는다. $u=1,v=1$일 때 $E=3,F=1,G=3$이지만 이에 대응하는 $\theta =2,\varphi =0$에 대하여 $E^{\ast }=2,F^{\ast }=0,G=1$이므로 제1기본계수는 매개변수 표현에 따라 변할 수 있다.

한편, 제1기본형식을 이용하면 곡면 위의 곡선의 길이와 매개변수 평면의 특정 영역에서 정의된 곡면의 넓이를 구할 수 있다.

곡면 위의 곡선은 곡면의 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 매개변수 평면에서 매개화된 특정 곡선 $(u(t),v(t))(a\le t\le b)$을 따라 움직이는 점 $(u,v)$에 대한 상 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u(t),v(t))(a\le t\le b)$이다. 이는 좌표 조각의 성질에 의하여 정칙 곡선이 되고, 곡선의 길이 공식에 따라 $$\begin{array}{rl}s& ={\int }_a^b\left|\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right|dt={\int }_a^b\sqrt{\frac{d\mathbf{x}}{dt}\cdot \frac{d\mathbf{x}}{dt}}dt\\ & ={\int }_a^b\sqrt{({\mathbf{x}}_u\frac{du}{dt}+{\mathbf{x}}_v\frac{dv}{dt})\cdot ({\mathbf{x}}_u\frac{du}{dt}+{\mathbf{x}}_v\frac{dv}{dt})}dt\\ & ={\int }_a^b\sqrt{E{\left(\frac{du}{dt}\right)}^2+2F\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt}+G{\left(\frac{dv}{dt}\right)}^2}dt={\int }_a^b\sqrt{\mathrm{I}}dt\end{array}$$이다. 따라서

[Theorem 9.2]

곡면의 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 매개변수 평면 위에서의 정칙 곡선 $\gamma (t)=(u(t),v(t))(a\le t\le b)$에 대하여 그 곡선의 곡면 위로의 상인 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u(t),v(t))$의 길이는 $$s={\int }_a^b\sqrt{\mathrm{I}}dt={\int }_a^b\sqrt{E{\left(\frac{du}{dt}\right)}^2+2F\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt}+G{\left(\frac{dv}{dt}\right)}^2}dt$$

다시 한 번 제1기본형식은 기본적으로 매개변수 평면 위의 한 점에서 점 $(u,v)$의 이동 방향에 의존하는 함수임을 상기하자. 매개변수 평면의 한 점 $(u,v)$가 정해진 경우, 그 점이 이동하는 방향이 정해지면 그 점에 해당하는 곡면 위의 점의 이동 방향도 결정된다. 

$uv$평면 위의 한 점 $(u,v)$에 대하여 그 점에서의 이동 방향을 나타내는 두 벡터 $(du,dv)$와 $(\delta u,\delta v)$에 대하여 (실제로 계산할 때에는 $(du,dv)$와 $(\delta u,\delta v)$를 나타내는 적절한 매개변수 평면 위의 곡선으로 나타내어진다.) 두 미분 $$d\mathbf{x}={\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv,\delta \mathbf{x}={\mathbf{x}}_u\delta u+{\mathbf{x}}_v\delta v$$이 이루는 각 $\alpha$에 대하여 (미분이란 곡면 위의 점에서의 접평면 위의 진행 방향으로의 접벡터이다.) $$\begin{array}{rl}\cos \alpha & =\frac{d\mathbf{x}\cdot \delta \mathbf{x}}{|d\mathbf{x}||\delta \mathbf{x}|}=\frac{({\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv)\cdot ({\mathbf{x}}_u\delta u+{\mathbf{x}}_v\delta v)}{|{\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv||{\mathbf{x}}_u\delta u+{\mathbf{x}}_v\delta v|}\\ & =\frac{Edu\delta u+F(du\delta v+dv\delta u)+Gdv\delta v}{\sqrt{Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2}\sqrt{E\delta u^2+2F\delta u\delta v+G\delta v^2}}\end{array}$$이다. 특히, $u-$매개변수 곡선과 $v-$매개변수 곡선이 $(u,v)$에 대응되는 곡면 위의 점에서 이루는 각(즉, 두 매개변수에 접하는 벡터들이 이루는 각)을 $\beta$라 하면 $$\cos \beta =\frac{{\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u||{\mathbf{x}}_v|}=\frac{{\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_v}{\sqrt{{\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{x}}_u}\sqrt{{\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{x}}_v}}=\frac{F}{\sqrt{EG}}$$을 얻는다. 이로써 다음 정리를 얻을 수 있다.

[Theorem 9.3]

(1) 두 미분(접벡터) $d\mathbf{x}={\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv,\delta \mathbf{x}={\mathbf{x}}_u\delta u+{\mathbf{x}}_v\delta v$가 곡면 위의 한 점에서 수직일 필요충분조건은 $$\cos \alpha =0\iff Edu\delta u+F(du\delta v+dv\delta u)+Gdv\delta v=0$$인 것이다. 

(2) $u-$매개변수 곡선과 $v-$매개변수 곡선이 곡면 위의 어떤 점에서 수직일 필요충분조건은 $F=0$인 것이다. 

[Example 9.4]

좌표공간의 단위 구 $\mathbf{x}=(\cos \theta \sin \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \varphi )$와 매개변수 평면 $\theta \varphi -$평면 위의 곡선 $$\theta =\log \cot (\pi /4-t/2),\varphi =\pi /2-t(0\le t\le \pi /2)$$의 상(구 위의 곡선)을 생각하자. 이때 $$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}_{\theta }=(-\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \sin \varphi ,0)\\ & {\mathbf{x}}_{\varphi }=(\cos \theta \cos \varphi ,\sin \theta \cos \varphi ,-\sin \varphi )\\ & \Rightarrow E={\mathbf{x}}_{\theta }\cdot {\mathbf{x}}_{\theta }={\sin }^2\varphi ,F={\mathbf{x}}_{\theta }\cdot {\mathbf{x}}_{\varphi }=0,G={\mathbf{x}}_{\varphi }\cdot {\mathbf{x}}_{\varphi }=1\\ & \frac{d\theta }{dt}=\frac{{\csc }^2(\pi /4-t/2)}{2\cot (\pi /4-t/2)}=\frac{1}{\sin (\pi /2-t)}=\sec t,\frac{d\varphi }{dt}=-1\end{array}$$이다. 따라서 이 곡선의 진행 방향을 따라 계산되는 제1기본형식은 $$\begin{array}{rl}\mathrm{I}& =E{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+2F\frac{d\theta }{dt}\frac{d\varphi }{dt}+G{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2\\ & ={\sin }^2\varphi {\sec }^{2}t+1\\ & ={\sin }^2(\pi /2-t){\sec }^{2}t+1=2\end{array}$$이다. 이로부터 $0\le t\le \pi /2$에서 곡선의 길이 $s$는 $$s={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{\mathrm{I}}dt={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{2}dt=\frac{\pi }{\sqrt{2}}$$이다. 또한, 이 곡선과 $\theta -$매개변수 곡선은 일정한 각을 이루는데, 그 두 각의 크기를 $\alpha$라 하면 $$\begin{array}{rl}\cos \alpha & =\cos \mathrm{\angle }(\frac{d\mathbf{x}}{dt},{\mathbf{x}}_{\theta })=\frac{({\mathbf{x}}_{\theta }\frac{d\theta }{dt}+{\mathbf{x}}_{\varphi }\frac{d\varphi }{dt})\cdot {\mathbf{x}}_{\theta }}{|{\mathbf{x}}_{\theta }\frac{d\theta }{dt}+{\mathbf{x}}_{\varphi }\frac{d\varphi }{dt}||{\mathbf{x}}_{\theta }|}\\ & =\frac{E\frac{d\theta }{dt}+F\frac{d\theta }{dt}}{\sqrt{\mathrm{I}}\sqrt{E}}=({\sin }^2\varphi \sec t)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sin \varphi }=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$$이므로 $\alpha =\pi /4$이다. 

한편, 다음과 같이 곡면 위의 한 점 $\mathbf{x}(u,v)$의 근방에서 $u-$매개변수 곡선과 $v-$매개변수 곡선들로 둘러싸인 작은 영역 $\mathrm{\Delta }R$의 넓이는 그 영역이 충분히 작다면 $\mathrm{\Delta }{\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_{u}du$와 $\mathrm{\Delta }{\mathbf{x}}_2={\mathbf{x}}_{v}dv$를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이로 근사된다. 

(Note) 위 근사는 $du,dv$에 대한 $\mathrm{\Delta }R$의 넓이의 일차 근사식이고, 평행사변형의 두 변은 $d\mathbf{x}={\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv$로부터 비롯된 것이다. 

두 벡터 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$를 이웃한 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이는 $|{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2|$이므로 $\mathrm{\Delta }R$의 넓이를 $\mathrm{\Delta }s$라 하면 $$\mathrm{\Delta }s=|\mathrm{\Delta }{\mathbf{x}}_1\times \mathrm{\Delta }{\mathbf{x}}_2|=|{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v|dudv=\sqrt{EG-F^2}dudv$$이다. 따라서 다음과 같이 곡면 위의 영역 $R$의 넓이를 다음과 같이 정의한다.

[Definition 9.5]

곡면의 $C^1$급 이상인 매개변수 평면 위의 열린 집합 $W$에서 정의된 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 이 좌표 조각의 상이 포함하는 영역 $R$의 넓이는 $$A={\iint }_W\sqrt{EG-F^2}dudv$$

[Example 9.6]

유향 곡면의 경우 위와 같이 정의된 곡면의 넓이는 매개변수의 종류의 영향을 받지 않는다. $\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\ast }(\theta ,\varphi )$를 곡면 위의 영역 $R$을 포함하고, 각 $(u,v)\in W$에 대하여 $\partial (\theta ,\varphi )/\partial (u,v)>0$을 만족시키는 적당한 좌표 조각이라고 하자. 그러면 계산을 통해 $$EG-F^2=(E^{\ast }{G}^{\ast }-F^{\ast 2})[\partial (\theta ,\varphi )/\partial (u,v){]}^2$$임을 알 수 있다. 그러면 이중적분의 변환에 따라 $$\begin{array}{rl}A& ={\iint }_W\sqrt{EG-F^2}dudv\\ & ={\iint }_W\sqrt{E^{\ast }{G}^{\ast }-F^{\ast 2}}\frac{\partial (\theta ,\varphi )}{\partial (u,v)}dudv\\ & ={\iint }_{W^{\ast }}\sqrt{E^{\ast }{G}^{\ast }-F^{\ast 2}}d\theta d\varphi =A^{\ast }\end{array}$$임을 알 수 있다. 

[Example 9.7]

$z$축 둘레로의 토러스 $$\mathbf{x}=((b+a\sin \varphi )(\cos \theta ),(b+a\sin \varphi )(\sin \theta ),a\cos \varphi )$$에 대하여 계산을 통해 $$E={\mathbf{x}}_{\theta }\cdot {\mathbf{x}}_{\theta }=(b+a\sin \varphi {)}^2,F={\mathbf{x}}_{\theta }\cdot {\mathbf{x}}_{\varphi }=0,G={\mathbf{x}}_{\varphi }\cdot {\mathbf{x}}_{\varphi }=a^2$$를 얻는다. 따라서 토러스의 겉넓이는 $$\begin{array}{rl}S& ={\iint }_W\sqrt{EG-F^2}d\theta d\varphi \\ & ={\int }_0^{2\pi }[{\int }_0^{2\pi }a(b+a\sin \varphi )d\varphi ]d\theta =4{\pi }^{2}ab\end{array}$$

 

제2기본형식

제1기본형식은 앞에서 본 것과 같이 곡면의 접벡터를 이용하여 정의되는 개념이다. 이에 반해 제2기본형식은 곡면의 법벡터를 이용하여 정의되는 개념이다. 곡면 위의 $C^2$급 이상인 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}=(u,v)$에 대하여 점 $\mathbf{x}(u,v)$에서의 단위 법선 벡터 $\mathbf{N}$은 $\mathbf{N}={\displaystyle \frac{{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v|}}$으로 주어진다. 이때 미분 $d\mathbf{N}={\mathbf{N}}_{u}du+{\mathbf{N}}_{v}dv$에 대하여 $$\mathbf{N}\cdot \mathbf{N}=1\Rightarrow \mathbf{N}\cdot d\mathbf{N}=0$$이므로 $d\mathbf{N}$은 그 점에서의 접평면에 평행한 벡터이다. 

이때 다음과 같은 $du,dv$에 관한 함수 $$\begin{array}{rl}\mathrm{II}& =-d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{N}=-({\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv)\cdot ({\mathbf{x}}_{u}du+{\mathbf{x}}_{v}dv)\\ & =-({\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{N}}_u)d{u}^2-({\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{N}}_v+{\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{N}}_u)dudv-({\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{N}}_v)d{v}^2\\ & =Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2\\ & (L=-{\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{N}}_u,M=-\frac{1}{2}({\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{N}}_v+{\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{N}}_u),N=-{\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{N}}_v)\end{array}$$를 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$의 제2기본형식이라고 한다. 

[Definition 9.8] 

곡면 위의 $C^2$급 이상인 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}=(u,v)$에 대하여 $$\begin{array}{rl}& \mathrm{II}(du,dv)=Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2\\ & (L=-{\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{N}}_u,M=-\frac{1}{2}({\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{N}}_v+{\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{N}}_u),N=-{\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{N}}_v)\end{array}$$을 점 $\mathbf{x}(u,v)$에서의 제2기본형식(the second fundamental form)이라 하고, 위의 $L,M,N$을 제2기본계수(the second fundamental coefficient)라고 한다. 

제1기본형식과 비슷하게 제2기본형식 또한 매개변수 변환에 의하여 값이 변하지 않는다. 다른 좌표 조각 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\ast }(\theta ,\varphi )$에 대하여 두 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$와 $\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\ast }(\theta ,\varphi )$에 대하여 두 좌표 조각의 공통 부분에서 야코비 행렬식의 값이 양수(유향 곡면)이면 $$\begin{array}{rl}& L=L^{\ast }{\theta }_u^2+2M^{\ast }{\theta }_u{\varphi }_u+N^{\ast }{\varphi }_u^2\\ & M=L^{\ast }{\theta }_u{\theta }_v+M^{\ast }({\varphi }_u{\theta }_v+{\theta }_u{\varphi }_v)+N^{\ast }{\varphi }_u{\varphi }_v\\ & N=N^{\ast }{\theta }_v^2+2M^{\ast }{\theta }_v{\varphi }_v+N^{\ast }{\varphi }_v^2\end{array}$$임을 이용하여 이차형식의 값이 동일함을 어렵지 않게 증명할 수 있다.

한편, ${\mathbf{x}}_u$와 ${\mathbf{x}}_v$는 $\mathbf{N}$과 각각 수직이므로 각 $(u,v)$에 대하여 ${\mathbf{x}}_u\cdot \mathbf{N}={\mathbf{x}}_v\cdot \mathbf{N}=0$이다. 이 등식들의 양변을 미분하면

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}_u\cdot \mathbf{N}=0\Rightarrow {\mathbf{x}}_{uu}\cdot \mathbf{N}+{\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{N}}_u=0,\\ & {\mathbf{x}}_u\cdot \mathbf{N}=0\Rightarrow {\mathbf{x}}_{uv}\cdot \mathbf{N}+{\mathbf{x}}_u\cdot {\mathbf{N}}_v=0,\\ & {\mathbf{x}}_v\cdot \mathbf{N}=0\Rightarrow {\mathbf{x}}_{vu}\cdot \mathbf{N}+{\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{N}}_u=0,\\ & {\mathbf{x}}_v\cdot \mathbf{N}=0\Rightarrow {\mathbf{x}}_{vv}\cdot \mathbf{N}+{\mathbf{x}}_v\cdot {\mathbf{N}}_v=0\end{array}$$을 얻는다. 또한 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$는 $C^2$급 이상이므로 ${\mathbf{x}}_{uv}={\mathbf{x}}_{vu}$이다. 이로부터 다음과 같이 제2기본계수를 계산할 수 있다.

[Theorem 9.9]

좌표조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$의 제2기본계수 $L,M,N$은 $$L={\mathbf{x}}_{uu}\cdot \mathbf{N},M={\mathbf{x}}_{uv}\cdot \mathbf{N},N={\mathbf{x}}_{vv}\cdot \mathbf{N}$$

[Example 9.10]

곡면 $\mathbf{x}=(u,v,u^2-v^2)$에 대하여 $$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}_u=(1,0,2u),{\mathbf{x}}_v=(0,1,-2v)\\ & \Rightarrow \mathbf{N}=\frac{{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v}{|{\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v|}=\frac{1}{\sqrt{1+4(u^2+v^2)}}(-2u,-2v,1)\end{array}$$이고, $$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}_{uu}=(0,0,2),{\mathbf{x}}_{uv}=(0,0,0),{\mathbf{x}}_{vv}=(0,0,-2)\\ & \Rightarrow L={\mathbf{x}}_{uu}\cdot \mathbf{N}=\frac{2}{\sqrt{1+4(u^2+v^2)}},\\ & M={\mathbf{x}}_{uv}\cdot \mathbf{N}=0,\\ & N={\mathbf{x}}_{vv}\cdot \mathbf{N}=-\frac{2}{\sqrt{1+4(u^2+v^2)}}\end{array}$$이므로 $$\mathrm{II}=Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2=\frac{2(d{u}^2-d{v}^2)}{\sqrt{1+4(u^2+v^2)}}$$이다. 

제2기본형식의 가장 중요한 기능 중 하나는 곡면의 국소적인 모양을 결정한다는 것이다. 그림과 같이 곡면의 한 점 $\mathrm{P}$과 그 근방의 한 점 $\mathrm{Q}$를 포함하는 곡면의 좌표 조각 $\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$에 대하여 $d=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \mathbf{N}$을 벡터 $\mathrm{P}\mathrm{Q}$의 단위 법벡터 $\mathbf{N}$ 위로의 사영이라 하자. 

점 $\mathrm{P}$의 위치 벡터를 $\mathbf{x}(u,v)$라 하고, 점 $\mathrm{Q}$의 위치 벡터를 $\mathbf{x}(u+du,v+dv)$라 하면 벡터함수의 테일러 정리에 의하여 $$\mathbf{x}(u+du,v+dv)=\mathbf{x}(u,v)+d\mathbf{x}+\frac{1}{2}{d}^2\mathbf{x}+\mathbf{o}(d{u}^2+d{v}^2)$$이므로 $$\begin{array}{rl}d& =\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \mathbf{N}=(\mathbf{x}(u+du,v+dv)-\mathbf{x}(u,v))\cdot \mathbf{N}\\ & =[d\mathbf{x}+\frac{1}{2}{d}^2\mathbf{x}+\mathbf{o}(d{u}^2+d{v}^2)]\cdot \mathbf{N}\\ & =d\mathbf{x}\cdot \mathbf{N}+\frac{1}{2}{d}^2\mathbf{x}\cdot \mathbf{N}+\mathbf{o}(d{u}^2+d{v}^2)\\ & =\frac{1}{2}{d}^2\mathbf{x}\cdot \mathbf{N}+o(d{u}^2+d{v}^2)(\because d\mathbf{x}\cdot \mathbf{N}=0)\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{II}+\mathbf{o}(d{u}^2+d{v}^2)\end{array}$$이다. 따라서 곡면의 제2기본형식 $\mathrm{I}\mathrm{I}$의 크기인 $|\mathrm{I}\mathrm{I}|$는 근사적으로 점 $\mathrm{Q}$에서 점 $\mathrm{P}$에서의 접평면으로 내린 수선의 길이와 같다. 이를 이용하여 $d=0$이 되는 방향 $(du,dv)$의 개수에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

(1) 타원점(Elliptic point): 점 $\mathrm{P}$에서 $LN-M^2>0$인 경우 $II=0$이 되는 방향 $(du,dv)$가 존재하지 않는다. (이차방정식의 판별식을 생각하면 된다.) 이 경우 $\mathrm{P}$의 근방에서 $d=0$인 $(du,dv)$가 존재하지 않는다. $\mathrm{I}\mathrm{I}$는 $du,dv$에 대한 $C^2$급 이상의 함수이므로 $\mathrm{P}$의 근방에서 $d$의 부호가 일정하다. 즉, $\mathrm{P}$에서의 접평면을 기준으로 곡면은 그림과 같이 한 쪽에만 위치하게 된다.

(2) 쌍곡점(Hyperbolic point): 점 $\mathrm{P}$에서 $LN-M^2<0$인 경우 $II=0$이 되는 방향 $(du,dv)$가 두 가지 존재한다. 즉, 이 경우 점 $\mathrm{P}$를 지나면서 $d=0$인 곡선이 접평면 위에 2개 존재하게 된다. 이 2개의 곡선을 기준으로 나누어진 4개의 영역에서 $d$의 부호가 양과 음을 모두 취하게 되고, 곡면은 접평면을 기준으로 양쪽에 다 놓이게 된다.

(3) 포물점(Parabolic point): 점 $\mathrm{P}$에서 $LN-M^2=0$이고 $L^2+M^2+N^2\ne 0$인 경우(즉, $L,M,N$ 중 적어도 하나는 $0$이 아닌 경우), $II=0$이 되는 방향 $(du,dv)$가 단 하나 존재한다. 즉, 이 경우 $\mathrm{P}$를 지나며 $d=0$이 되는 곡선이 접평면 위에 단 하나 존재한다. 이러한 점이 아닌 경우에는 $d$의 부호가 일정하며, 접평면을 기준으로 곡면이 한쪽에만 위치한다. 

(4) 평면점(Planar point): 점 $\mathrm{P}$에서 $L=M=N=0$인 경우, 모든 방향 $(du,dv)$에 대해서 $d=0$이다. 즉, 그 점에서는 접평면에 근사한다. (이 경우에는 접촉면(contact)의 차수가 이전의 경우보다 높은 경우이다.)

[Example 9.11]

토러스 $$\mathbf{x}=((b+a\sin \varphi )(\cos \theta ),(b+a\sin \varphi )(\sin \theta ),a\cos \varphi )(b>a)$$에 대하여 계산을 통해 $$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}_{\theta \theta }=(-(b+a\sin \varphi )(\cos \theta ),-(b+a\sin \varphi )(\sin \theta ),0),\\ & {\mathbf{x}}_{\theta \varphi }=(-a\cos \varphi \sin \theta ,a\cos \varphi \cos \theta ,0),\\ & {\mathbf{x}}_{\varphi \varphi }=(-a\sin \varphi \cos \theta ,-a\sin \varphi \sin \theta ,-a\cos \varphi ),\\ & \mathbf{N}=(-\cos \theta \sin \varphi ,-\sin \theta \sin \varphi ,-\cos \varphi )\end{array}$$이므로 $$L={\mathbf{x}}_{\theta \theta }\cdot \mathbf{N}=(b+a\sin \varphi )\sin \varphi ,M={\mathbf{x}}_{\theta \varphi }\cdot \mathbf{N}=0,N={\mathbf{x}}_{\varphi \varphi }\cdot \mathbf{N}=a$$

이다. 따라서 $LN-M^2=a(b+a\sin \varphi )\sin \varphi$이다. 

$b>a$에서 $b+a\sin \varphi >0$이다. 따라서 $LN-M^2$의 부호는 $\sin \varphi$의 부호에 따라 결정된다. 따라서 매개변수 곡선 $\varphi =0,\varphi =\varphi$ 위의 점들은 (즉, 토러스에서 $z$의 절댓값이 가장 큰 점들의 집합) 모두 포물점이고, $0<\theta <\varphi$의 영역의 점들은 (즉, 토러스의 바깥 면) 타원점이고, $\varphi <\theta <2\varphi$인 점들은 (즉, 토러스의 안쪽 면) 모두 쌍곡점이다. 

 

Reference: <Schaum's Outlines: Differential Geometry> Martin Lipschultz, 1969