[Chapter 5] 위상공간의 정의(2)

집합의 폐포, 내부, 외부, 경계

폐포(덮개)라 함은 어떤 집합을 말 그대로 '덮는' 집합이다. 어떤 집합을 완벽하게 덮기 위해서는, 그 집합에 딱 붙어 있는 집적점까지 포함하고 있어야 할 것이다. 따라서 폐포는 어떤 집합을 포함하는 닫힌 집합이라는 의미가 있다. 

[Definition 0.0]

집합 \(A\)를 위상공간 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 집합 \(A\)를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합을 집합 \(A\)의 폐포(closure)라 하고, 기호로 \(\bar A\) 또는 \(A^-\)와 같이 표현한다.

이때 폐포의 정의에 따라 자명하게 \(\bar A\)는 \(A\)를 포함하는 닫힌 집합 중 가장 작은 집합이라고 할 수 있다. 또한, 다음이 성립함을 어렵지 않게 보일 수 있다.

[Corollary 0.1]

집합 \(A\)의 폐포를 \(\bar A\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(i) \(\bar A\)는 닫힌 집합이다.
(ii) \(F\)가 \(A\)를 포함하는 닫힌 집합이면 \(A \subset \bar A \subset F\)이다.
(iii) \(A\)가 닫힌 집합일 필요충분조건은 \(A=\bar A\)이다. 

\(\Bbb R\)의 닫힌구간은 그 구간의 모든 원소가 집적점이 된다. (끝 점까지 포함) 이와 비슷하게 집합의 폐포는 그 집합의 모든 집적점을 포함해야 한다. 따라서 다음이 성립한다.

[Theorem 0.2]

집합 \(A\)가 위상공간 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 그러면 \(\bar A=A\cup A'\)이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

먼저 임의의 집합 \(A\)에 대하여 \(A\cup A'\)가 닫힌 집합임을 보이자. 

\(a\notin A \cup A'\)이라 하자. 그러면 \(a\notin A\)이고 \(a\notin A'\)이다. \(a\notin A'\)이므로 \(a\)를 포함하는 열린집합 \(G\)가 존재하여 \(A\cap G \subset \{a\}\)이다. 그런데 \(a\notin A\)이므로 \(A\cap G=\varnothing\)이다. 따라서 \(G\subset A^c\)이다. \(\cdots (1)\)
이때 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(g\in G\)이고 \(A\cap G\)이므로 \(g \notin A'\)이다. 따라서 \(A'\cap G=\varnothing\)이고, \(G \subset (A')^c\)이다 . \(\cdots (2)\)

\((1), (2)\)로부터 \(a\in G \subset (A^c\cap (A')^c\)이다. 즉, \((A\cup A')^c\)은 열린 집합이고, \(A\cup A'\)은 닫힌 집합이다. 따라서 폐포의 정의로부터 \(\bar A \subset A\cup A'\)이다.
한편 \(A\subset \bar A\)이고, \(\bar A\)는 닫힌 집합이므로 \(A' \subset (\bar A)' = \bar A\)이다. 따라서 \(A\cup A' \subset \bar A\)이다. 이로부터 \(\bar A=A \cup A'\)이다. 

# ◀ 닫기

한편, \(\Bbb R\)이나 \(\Bbb R^2\)에서 어떤 연결된 영역을 생각해보면 직관적으로 집합의 내부와 외부, 경계를 정의할 수 있다. 경계를 눈에 보이는 경계의 영역이라고 하고, 그 안쪽을 내부, 바깥쪽을 외부라고 생각하면 될 것이다. 위상공간에서도 이와 비슷하게 정의한다.

[Definition 0.3] 

집합 \(A\)를 위상공간 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 

(1) 점 \(p\in A\)에 대하여 열린집합 \(G\)가 존재하여 \(p \in G \subset A\)를 만족시키면 점 \(p\)를 집합 \(A\)의 내점(interior point)이라 하고, 집합 \(A\)의 모든 내점의 집합을 집합 \(A\)의 내부(interior)라고 한다. 집합 \(A\)의 내부는 기호로 \(\text{int}(A)\) 또는 \(A^{\circ}\)이라 표현한다. 

(2) 집합 \(A^c\)의 내부를 집합 \(A\)의 외부(exterior)라 하고, 기호로 \(\text{ext}(A)\)라고 표현한다.

(3) 집합 \(A\)의 경계(boundary) \(\text{b}(A)\)는 \(\text{b}(A)=(\text{int}(A) \cup \text{ext}(A))^c\)이다. 

[Example 0.4]

\(\Bbb R\)의 보통위상에서 \(\bar{\Bbb Q}=\Bbb R\)이고, \(\text{int}(\Bbb Q)=\text{ext}(\Bbb Q)=\varnothing\)이므로 \(\text{b}(\Bbb Q)=\Bbb R\)이다. 

[Example 0.5]

\(\Bbb R\) 위에서의 여유한 위상(cofinite topology) \(\mathcal T\)에서 \(\Bbb R\)의 부분집합 \(A\)에 대하여 \[\bar A=\begin{cases}\, A & \text{if} \; A:\text{finite}\\[0.1em]\, \Bbb R &  \text{if} \; A:\text{infinite}\end{cases}\]이고, \[\text{int}(A)=\begin{cases}A & \text{if} \; A^c:\text{finite} \\[0.1em]\varnothing & \text{otherwise}\end{cases}\]이다.

 

부분공간

위상공간과 그 안의 부분집합이 주어지면, 그 부분집합 근처의 열린 집합을 이용하여 위상을 만들어낼 수 있고, 이는 원래 위상공간과 비슷한 성질을 지니게 된다. 예를 들어 \(\Bbb R\) 위에서의 보통 위상에서 열린구간과 \(\Bbb Q\)의 교집합을 이용하여 \(\Bbb Q\)에서의 위상을 만들 수 있다. 이 유리수만 원소로 갖는 열린구간은 \(\Bbb R\)과 거의 비슷한 성질을 지닌다. 이렇게 만들어지는 부분집합 위에서의 공간을 그 부분집합 위에서의 부분공간이라고 부른다. 

[Definition 1.0] 

위상공간 \((X, \mathcal T)\)의 공집합이 아닌 부분집합 \(A\)에 대하여 집합 \[\mathcal T_A=\{A\cap G \mid G\in \mathcal T\}\]을 \(A\) 위에서의 상대적 위상(relative topology)이라 하고, 위상공간 \((A, \mathcal T_A)\)를 위상공간 \((X, \mathcal T)\)의 부분공간(subspace)이라 한다.

[Example 1.1]

\(\Bbb R\) 위의 보통 위상 \(\mathcal U\)에 대하여 집합 \(A=[3, 8]\) 위에서의 상대적 위상을 \(\mathcal U_A\)이라 하자. \([3, 5)=(2, 5)\cap A\)이므로 반닫힌 구간 \([3, 5)\)은 \(\mathcal U_A\)－열린 집합이다. 

 

여러 가지 문제들

[Problem 2.0]

\(X\)를 여유한 위상공간이라고 하자. \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여 \(A'\)가 닫힌 집합임을 보여라.

# Solution ▶

(Proof)

\(x\)를 \(X\)의 임의의 원소라고 하자.

\(A\)가 유한집합인 경우, \(G=(X \, \backslash \, A) \cap \{x\}\)는 \(x\)를 포함하는 열린 집합이고 \(A\cap G \subset \{x\}\)이다. 따라서 \(x\notin A'\)이다. 

\(A\)가 무한집합인 경우, \(X\)의 임의의 열린 집합은 집합 \(A\)의 유한개의 원소를 제외한 모든 원소를 포함해야 한다. 따라서 \(x\)를 포함하는 임의의 열린집합 \(G\)에 대하여 \(A\cap (G \, \backslash \, \{x\}) \neq \varnothing\)이다. 따라서 \(x\in A'\)이다.

이를 정리하면 \[A'=\begin{cases}\varnothing & \text{if}\;\, A: \text{finite} \\[0.2em] X & \text{if}\;\, A: \text{infinite}\end{cases}\]이고, \(A'\)는 항상 닫힌 집합이다. 

# ◀ 닫기

[Problem 2.1]

집합 \(\Bbb R^*\)를 \(\Bbb R^*= \Bbb R \cup \{\Bbb R\}\)이라 정의하자. \(\Bbb R\) 위에서의 위상 \(\mathcal T\)를 \[\mathcal T= \mathcal U \cup \{\Bbb R^* \, \backslash \, F \mid F: \text{bdd & closed in} \, (\Bbb R, \mathcal U)\}\]라 하자. 이때 다음을 구하시오. (단, \(\mathcal U\)는 보통 위상이다.)

(1) 열린구간 \(A=(a, b) \, (a, b\in \Bbb R)\)의 도집합 \(A'\)
(2) 열린구간 \(B=(a, \infty) \, (a\in \Bbb R)\)의 도집합 \(B'\)
(3) \(\Bbb R\)의 도집합
(4) \(\Bbb R\)을 집적점으로 갖는 \(\Bbb R^*\)의 부분집합은 어떤 형태여야 하는가?

# Solution ▶

(Proof)

(1) 우선 \(A\)의 모든 원소들은 \(A\)의 집적점이다. \(A\)의 한 원소 \(x\)를 포함하는 \(\mathcal U\)의 모든 열린집합은 \(x\) 이외의 \(A\)의 다른 원소를 가지기 때문이다. 또한, \(\Bbb R^*\)에서 \(\Bbb R\)의 유계인 닫힌 집합의 여집합은 \(\Bbb R\)의 열린 집합에 \(\Bbb R\)를 추가한 것이므로 위와 같은 방법으로 \(x\) 이외의 \(A\)의 다른 원소를 가지고 있다. 

위와 같은 방법으로 끝점인 \(a, b\) 또한 \(A\)의 집적점이고, \([a, b]\)의 원소를 제외한 다른 \(\Bbb R\)의 원소들은 \(A\)의 집적점이 아님을 알 수 있다. 마지막으로 \([a, b]^c\)은 \(\Bbb R\)을 원소로 갖는 \(\Bbb R^*\)의 열린 집합이지만, \(A\)의 원소를 하나도 포함하지 않으므로 \(\Bbb R\)은 \(A\)의 집적점이 아니다. 따라서 \(A'=[a, b]\)이다.

(2) (1)과 같은 방법으로 \([a, \infty)\)의 모든 원소들은 \(B\)의 집적점이 된다. 한편, \(\Bbb R\)을 원소로 갖는 \(\mathcal T\)의 모든 열린 집합들은 \(\Bbb R\)의 유계인 닫힌 집합의 원소들을 제외한 모든 실수를 원소로 가지므로 항상 \(B\)의 (무수히 많은) 원소들을 포함하고 있다. 즉, \(\Bbb R\) 또한 \(B\)의 집적점이다. 따라서 \(B'=[a, \infty]\cup \{\Bbb R\}\)이다.

(3) (1), (2)와 같은 방법으로 \(\Bbb R'=\Bbb R^*\)임을 어렵지 않게 알 수 있다.

(4) (1)로부터 \(\Bbb R\)의 유계인 집합은 \(\Bbb R\)을 집적점으로 갖지 않고, (2)로부터 \(\Bbb R\)의 유계가 아닌 집합은 \(\Bbb R\)을 집적점으로 가짐을 알 수 있다. 따라서 \(\Bbb R\)을 집적점으로 갖는 \(\Bbb R^*\)의 부분집합은 \(\Bbb R\)의 유계가 아닌 부분집합을 포함하는 집합이다. 

# ◀ 닫기

[Problem 2.2]

다음을 증명하시오: \(\bar A \cap \bar B=\varnothing\)이면 \(\text{b}(A\cup B) = \text{b}(A) \cup \text{b}(B)\)이다. 

# Solution ▶

(Proof)

우선 \(\text{int}(A\cup B)=\text{int}(A)\cup \text{int}(B)\)임을 보이자. 우선 집합의 내부의 성질로부터 \(\text{int}(A) \cup \text{int}(B) \subset \text{int}(A\cup B)\)이다.

이제 \(x\in \text{int}(A \cup B)\)이지만 \(x\notin \text{int}(A) \cup \text{int}(B)\)라고 하고, \(x\)를 포함하는 임의의 열린집합을 \(G\)라 하자. \(x\in \text{int}(A \cup B)\)이므로 \(x\in G\cap \text{int}(A\cup B)\)가 성립한다. \(V=G\cap \text{int}(A\cup B)\)라 하면 \(V \subset A\cup B\)이고 \(x\notin \text{int}(B) \Rightarrow V\not\subset B\)이므로 \(V\cap A \neq \varnothing\)이다. 따라서 \(G\cap A \neq \varnothing\)이다. 이로부터 \(x\in \bar A\)을 얻는다. 같은 방법으로 \(x\in \bar B\)도 얻을 수 있다. 따라서 \(x\in \bar A \cap \bar B\)이다. 이는 문제의 가정과 모순이다. 따라서 \(\text{int}(A\cup B)=\text{int}(A)\cup \text{int}(B)\)이다.

따라서 \[\begin{align}\text b(A\cup B)&= \overline{A \cup B} \, \backslash \, \text{int}(A\cup B)\\[0.3em]&=(\bar A \cup \bar B)  \, \backslash \, (\text{int}(A)\cup \text{int}(B)) \\[0.3em] &= (\bar A \, \backslash \, \text{int}(A))\cup(\bar B\, \backslash \, \text{int}(B))\\[0.3em]&=\text b(A)\cup \text b(B) \end{align}\]이다.

[cf] \(\Bbb R^2\) 위에서 만나지 않는 원반(open disk) \(2\)개를 생각해보자. \(\bar A \cap \bar B=\varnothing\)이라는 것은 원반의 테두리까지 완벽하게 만나지 않는다는 것을 의미한다. 이 경우 당연히 두 원반의 경계는 각각을 합한 것의 경계를 구한 것과 같다. 

# ◀ 닫기

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.