[Chapter 5] 위상공간의 정의

위상공간의 정의

위상수학의 많은 개념은 실해석학에서 따온 것들이 많다. 예를 들어 해석학에서 말하는 열린구간(open interval), 닫힌구간(closed interval)로부터 위상수학의 열린 집합(open set)과 닫힌 집합(closed set)을 파생했다. 위상(topology)이란 특수한 조건을 만족시키는 집합들의 모임이다.

[Definition 0.1] 

\(X\)를 공집합이 아닌 집합이라고 하자. 다음 공리(axiom)를 만족시키는 집합 \(X\)의 부분집합들의 모임 \(\mathcal T\)를 집합 \(X\) 위에서의 위상(Topology)라고 한다.

\(\mathbf{\mathrm [O_1]}\) \(X\)와 \(\varnothing\)은 \(\mathcal T\)에 속한다.
\(\mathbf{\mathrm [O_2]}\) \(\mathcal T\)의 임의의 수의 원소들의 합집합은 다시 \(\mathcal T\)에 속한다.
\(\mathbf{\mathrm [O_3]}\) \(\mathcal T\)의 임의의 두 원소의 교집합은 다시 \(\mathcal T\)에 속한다.

\(\mathcal T\)의 각 원소들을 \(\mathcal T-\)열린 집합(open set) 또는 간단히 열린 집합(open set)이라고 하고, 집합 \(X\)와 \(\mathcal T\)를 묶은 쌍 \((X, \mathcal T)\)을 위상 공간(topological space)이라 한다.

위 공리들도 \(\mathbb R\)의 열린구간과 닫힌구간을 생각해보면 적절한 정의임을 알 수 있다. 닫힌 집합도 닫힌구간과 비슷하게 정의하는데, 열린구간에서 끝점을 추가하면 닫힌구간이 되는데, 열린구간의 여집합을 구해보면 끝점이 들어간다는 것을 알 수 있다. 그런 의미에서 닫힌집합을 다음과 같이 정의한다.

[Definition 0.2] 

위상공간 \((X, \mathcal T)\)에서 집합 \(X\)의 부분집합 중에서 그 여집합이 열린집합인 집합을 닫힌집합(Closed set)이라고 한다.

 

여러 종류의 위상공간

집합 하나가 주어지더라도, 열린집합이 정의되는 방식에 따라 여러 종류의 위상이 정의될 수 있다. 다음은 위상수학 교재에서 등장하는 이용되는 여러 가지 위상의 예이다.

[Definition 1.1]

실수 전체의 집합 \(\mathbb R\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 \(\mathbb R\)의 모든 부분집합 \(G\)의 모임 \(\mathcal U\)를 \(\mathbb R\) 위에서의 보통 위상(usual topology)이라 한다.

'\(G\)에 속하는 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \(x\in G\)이면 \(x \in U_x \subset G\)인 열린구간 \(U_x\)가 존재한다.'

[Definition 1.2]

공집합이 아닌 집합 \(X\)에 대하여

(1) 집합 \(X\)와 \(\varnothing\)으로만 이루어진 위상 \(\mathcal T=\{X, \varnothing\}\)을 비이산 위상(indiscrete topology)이라 하고, 기호로 \((X, \mathcal G)\)로 나타낸다.

(2) 집합 \(X\)의 모든 부분집합으로 이루어진 위상을 이산 위상(discrete topology)이라 하고, 기호로 \((X, \mathfrak D)\)라고 나타낸다.

[Definition 1.3]

집합 \(X\)에 대하여

(1) \(X\)의 부분집합 중에서 공집합과 그 여집합이 유한집합인 집합들의 모임을 \(X\) 위에서의 여유한 위상(cofinite topology)이라 한다.

(2) \(X\)의 부분집합 중에서 공집합과 그 여집합이 가산집합인 집합들의 모임을 \(X\) 위에서의 여가산 위상(cocountable topology)이라 한다.

위에 소개된 위상 중에서 여가산 위상이 실제로 위상의 공리들을 만족시킨다는 것을 다음과 같이 보일 수 있다.

# 증명 ▶

(Proof)

(1) 집합 \(X\)의 원소의 개수가 가산 개인 경우. 여가산 위상의 조건을 만족시키는 집합들의 모임은 이산 위상과 같다. 

(2) 집합 \(X\)를 비가산집합인 경우, 집합 \(X\)의 부분집합들의 모임 \(\mathcal T\)를 여가산 위상의 조건을 만족시키는 집합들의 모임이라고 하자.

\(\rm [O_1]\): 여가산 위상의 정의로부터 \(\varnothing \in \mathcal T\)이고, \(X^c=\varnothing\)이고 \(\varnothing\)은 가산집합이므로 \(\varnothing \in \mathcal T\)이다.

\(\rm [O_2]\): \(\{A_i\}\)를 \(\mathcal T\)의 원소들의 한 모임이라고 하자. 이때 \(\left(\bigcup_i A_i \right)^c=\bigcap_i (A_i)^c \, \)이고 가산집합의 교집합은 가산집합이므로 \(\bigcup_i A_i \in \mathcal T\)이다.

\(\rm [O_3]\): \(G \in \mathcal T, \, H \in \mathcal T\)이라 하자. 이때 \((G \cap H)^c=G^c \cup H^c\)이고 두 가산집합의 합집합은 가산집합이므로 \(G \cap H \in \mathcal T\)이다. (실제로는 가산 개의 가산집합들의 합집합도 가산집합이다.)

# ◀ 닫기

 

집합의 집적점과 수열의 극한

해석학에서 집적점이라고 하면, 어떤 집합의 원소들이 몰려 있는 점을 의미한다. 즉, 집적점은 그 점을 포함하는 임의의 열린구간이 그 점 이외의 (무수히 많은) 다른 점을 포함한다. 이 정의가 위상수학에서도 거의 그대로 이용된다.

[Definition 2.1]

(1) 위상공간 \((X, \mathcal T)\)에서 \(X\)의 부분집합 \(A\)의 한 점 \(p\)가 다음 조건을 만족시키면 점 \(p\)를 집합 \(A\)의 집적점(accumulation point, limit point)이라고 한다.

'점 \(p\)를 포함하는 임의의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \(A \cap (G \, \backslash \, \{p\}) \neq \varnothing \)이다.'

(2) 집합 \(A\)의 집적점들의 집합을 집합 \(A\)의 도집합(derived set)이라 하고, 기호로 \(A'\)과 같이 나타낸다.

해석학에서와 마찬가지로 집합 \(A\)가 닫힌집합인 경우, \(A\)가 그 집합의 집적점을 모두 포함한다. 즉, 다음이 성립한다.

[Theorem 2.2]

위상공간 \((X, \mathcal T)\)에서 집합 \(X\)의 부분집합 \(A\)가 닫힌집합일 필요충분조건은 \(A' \subset A\)인 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\((\rightarrow)\) 집합 \(A\)가 닫힌집합이고 \(p\in A'\)이라 하자. \(p \notin A\)이라 하면 \(p \in A^c\)이고, 집합 \(A^c\)가 열린집합이므로 열린집합 \(G\)가 존재하여 \(p \in G \subset A^c\)이다. 따라서 \(A \cap G =\varnothing\)이고, 집적점의 정의에 의하여 \(p \notin A'\)이다. 즉, \(A^C \subset (A')^c\)이므로 \(A' \subset A\)이다. 

\((\leftarrow)\) \(A' \subset A\)이므로 \(A^c \subset (A')^c\)이다. 이때 \(a\in A^c\)라 하면 \(a \in (A')^c\)이므로 열린집합 \(G\)가 존재하여 \(a\in G\)이고 \(A \cap (G \, \backslash \, \{a\}) =\varnothing \)이다. 즉, \(G \, \backslash \, \{a\}\subset A^c \)이다. 이때 \(a \in A^c\)이므로 \(G \subset A^c\)이고, \(a \in G \subset A^c\)이다. 따라서 \(a\)는 집합 \(A^c\)의 내점이다. \(a\)는 \(A^c\)의 임의의 원소이므로 \(A^c\)는 열린 집합이다. 따라서 \(A\)는 닫힌 집합이다. 

# ◀ 닫기

한편, 실해석학에서는 다음과 같이 수열의 극한을 정의한다. 

'임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n>N\)일 때마다 \(|a_n-L|<\epsilon\)을 만족시키면 수열 \(\{a_n\}\)이 \(L\)로 수렴한다고 한다.'

위의 표현을 약간 바꾸면 '\(n>N\)일 때마다 \(a_n \in (L-\epsilon, L+\epsilon)\)'인 것으로 표현할 수 있다. 이 열린구간을 열린 집합으로 바꾸면 위상공간에서의 수열의 극한의 정의가 된다.

[Definition 2.3]

위상공간 \((X, \mathcal T)\)에서 각 항이 \(X\)에 속하는 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여
\(L\in X\)를 포함하는 임의의 열린집합 \(G\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n>N\)일 때마다 \(a_n \in G\)이면 수열 \(\{a_n\}\)이 \(L\)로 수렴한다고 하고, 기호로 \(a_n \to L \) 또는 \(\lim \limits_{n \to \infty}a_n=L\)이라 표현한다. 

실수 집합에서 정의된 수렴하는 수열은 실수 전체의 집합의 성질에 의하여 유일한 실수로 수렴하지만, 일반적인 위상공간은 그 특성에 따라 수열의 극한이 여러 점으로 수렴할 수도 있다.

[Example 2.4]

이산 위상공간 \((X, \mathfrak D)\)에서 임의의 \(a\in X\)에 대하여 홑원소집합 \(\{a\}\)도 열린집합이므로 각 항이 \(X\)에 속하는 수열 \(\{a_n\}\)이 \(b\in X\)에 수렴할 필요충분조건은 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n>N\)일 때마다 \(a_n=b\)인 것이다. \[\{a_n\}: a_1, \ a_2, \ \cdots, \ a_N, \ b, \ b, \ \cdots\]

[Example 2.5]

여유한 위상공간 \((\mathbb R, \mathcal T)\)의 임의의 열린집합 \(G\)에 대하여 \(G^c\)은 유한집합이다. 따라서 각 항이 모두 다른 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(G^c\)은 많아야 수열 \(\{a_n\}\)의 유한 개의 항만을 포함할 수 있다. 즉, 수열 \(\{a_n\}\)은 임의의 실수로 수렴한다. 

 

Reference: <SCHAUM'S outlines: General Topology>, Seymour Lipschutz.