[Chapter 3] Prelude to complex analysis

\(\Bbb C\)의 성질

복소함수와 복소해석에 관한 얘기를 시작하기 전에 복소해석을 논할 수 있는 바탕에 대해 먼저 논한다. 이 부분에서는 연산보다는 \(\Bbb C\)의 구조적(위상적)인 성질에 초점을 맞춘다.

[Theorem 0.0]

\(\Bbb C\)는 완비이다. 즉, \(\{c_n\}\)이 \(\Bbb C\) 위의 코시 수열이면 \(\{c_n\}\)은 수렴한다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(c_n=a_n+ib_n\)이라 하자. \(\{c_n\}\)은 코시 수열이므로 임의로 주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(m,\, n>N\)일 때마다 \(|c_m-c_n|<\epsilon\)을 만족시킨다. 이때 \[|a_m-a_n|\leq |c_m-c_n|<\epsilon, \; \; |b_m-b_n|\leq |c_m-c_n|<\epsilon\]이므로 두 수열 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)은 모두 \(\Bbb R\) 위에서의 코시 수열이다. 따라서 \(a_n\to a\)이고 \(b_n \to b\)이다. 즉, \(c_n \to a+bi\)이다. 

# ◀ 닫기

즉, \(\Bbb C\) 위에서의 코시 수열이 항상 \(\Bbb C\) 위의 점으로 수렴하기 때문에 복소평면에서 극한을 논하는 데에 문제가 없다. 다음은 \(\Bbb C\) 위에서의 위상적인 성질에 관한 설명이다. (실제로 \(\Bbb C\)는 \(\Bbb R^2\)에서의 보통 위상과 구조가 동일하다.)

[Definition 0.1]

(1) 여러 가지 원판(\(\Bbb C\)의 기저): \[\begin{align} &N(a, r)=\{z\in \Bbb C \mid |z-a|<r\}=D(a, r) \\[.4em] &\overline N(a, r)=\{z\in \Bbb C \mid |z-a|\leq r\}=\overline D(a, r) \\[.4em] & k(a, r)=\{z\in \Bbb C\mid |z-a|=r\}=\partial N(a, r)=\partial \overline N(a, r) \\[.4em] & D'(a, r)=\{z\in \Bbb C\mid 0<|z-a|<r\}=N(a, r)\, \backslash \, \{a\} \end{align}\]

(2) \(\Bbb C\)의 부분집합 \(U\)가 임의의 \(p\in U\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여 \(N(p, \delta)\subset U\)를 만족시키면 \(U\)를 열린 집합(Open Set)이라고 한다.

(3) \(F\subset \Bbb C\)에 대하여 \(F^c\)가 열린 집합이면 \(F\)를 닫힌 집합(Closed Set)이라고 한다. 

(4) 집합 \(S\subset \Bbb C\)에 대하여 집합 \[\mathrm{Int}(S)=\{z\in S \mid N(z, \delta)\subset S\; \text{for some} \; \delta>0\}\]를 집합 \(S\)의 내부(Interior)라 하고, 집합 \[\bar S=\{z\in \Bbb C \mid N(z, \delta)\cap S\neq \varnothing\; \text{for all} \; \delta>0\}\]을 집합 \(S\)의 폐포(Closure)라 하고, 집합 \[\partial S=\bar S \, \backslash \, \text{Int}(S)\]를 집합 \(S\)의 경계(Boundary)라고 한다. 

[Example 0.2]

집합 \(S\)를 \(S=\{(x, y) \mid -a<x<a, \, -b\leq y\leq b\}\)라 하면 \(\text{Int}(S), \; \bar S, \; \partial S\)는 다음과 같다.

 

예상할 수 있듯이, \(\Bbb C\)와 \(\varnothing\)은 유일한 열린닫힌 집합(clopen set)이다. 이는 \(\Bbb C\)가 연결집합이라는 것과 동치이므로 \(\Bbb C\)는 연결집합이라는 것을 알 수 있다. 

\(\Bbb C\)에서 위상적인 성질이 필요한 것은, \(\Bbb C\) 위에서의 극한에 관한 논의가 모두 열린 집합에서 이루어지기 때문이다. 즉, \(\Bbb C\)에서의 연결된 열린 집합은 복소해석을 논의하는 데에 아무런 거리낌이 없다. 또한 다음이 성립한다.

[Theorem 0.3] (Heine-Borel Theorem)

\(\Bbb C\) 위의 닫힌 유계집합은 컴팩트집합이다.

즉, \(\Bbb C\) 위에서도 \(\Bbb R\)에서와 같이 닫힌 유계집합에서 컴팩트집합의 성질을 이야기할 수 있다.

 

복소함수와 연속성

복소함수는 기본적으로 \(\Bbb C\)에서 \(\Bbb C\)로의 함수이므로 본질적으로는 \(\Bbb R^2\)에서 \(\Bbb R^2\)로의 함수이다. 즉, 평면을 평면으로 대응시키는 함수라고 할 수 있다.

[Example 1.0]

복소수 \(z=x+yi\)와 함수 \(f(z)=z^2\)에 대하여 \(z^2=(x^2-y^2)+2xyi\)이므로 직선 \(x=1\)은 \[u=x^2-y^2=1-y^2, \; v=2xy=2y \; \Rightarrow \; v^2=4(1-u)\]이다. 즉, 직선 \(x=1\)의 \(f\)에 의한 상은 포물선이다. 

복소함수의 극한은 \(\Bbb R\)에서의 함수의 극한과 비슷하게 정의할 수 있다. \(\Bbb C\) 또한 완비이기 때문이다.

[Definition 1.1]

\(f\)를 \(\Bbb C\) 위의 어떤 연결된 열린 집합에서 정의된 함수라고 하자. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(0<|z-c|<\delta\)일 때마다 \(|f(x)-L|<\epsilon\)이 성립하면 \(L\)을 \(c\)에서의 \(f\)의 극한(Limit)이라고 하고 \(x\to c\)일 때 \(f(x)\to L\)이라 표기하거나 \(\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=L\)이라 한다.

[Example 1.2]

함수 \(f\)가 \(f(x+iy)=u(x, y)+iv(x, y)\)이고 \[u(x, y)=\frac{xy^2}{x^2+y^4}\; ((x, y)\neq (0, 0)), \quad v(x, y)=0\;\, \forall x, y\]이라 하자. 이때 임의의 \(\theta\)에 대하여 \(r\to 0\)일 때 \[\left|f(re^{i\theta})\right|=\left|\frac{r \cos\theta \sin^2\theta}{ \cos^2\theta+r^2 \sin^4\theta}\right|\leq \frac{r}{|\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta|} \to 0\]이다. 그러나 \[\displaystyle \lim_{z=y^2+iy\to 0}f(z)=\lim_{z=y^2+iy\to 0}\frac{y^4}{y^4+y^4}=\frac{1}{2}\]이므로 \(\displaystyle \lim_{z\to 0}f(z)\)는 존재하지 않는다. 

다음은 복소함수의 극한에 관한 기본적인 성질이다.

[Theorem 1.3]

\(f(z)=u(x, y)+iv(x, y), \; z=x+iy, \; z_0=x_0+iy_0\)이라 하자. 이때 \[\begin{align}&\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0=u_0+iv_0\\[.3em] & \Leftrightarrow \; \lim_{(x,\, y)\to (x_0, \, y_0)}u(x, y)=u_0, \; \lim_{(x,\, y)\to (x_0, \, y_0)}v(x, y)=v_0 \end{align}\]

# 증명 ▶

(Proof)

(\(\Rightarrow\)) 다음으로부터 성립한다. \[\begin{align} &|u-u_0|\leq |\mathrm{Re}f(z)-\mathrm{Re}w_0|\leq |\mathrm{Re}\{f(z)-w_0\}|\leq|f(z)-w_0|\\[.5em] &|v-v_0|\leq |\mathrm{Im}f(z)-\mathrm{Im}w_0|\leq |\mathrm{Im}\{f(z)-w_0\}|\leq|f(z)-w_0| \end{align}\]

(\(\Leftarrow\)) 이 역시 다음으로부터 성립한다. \[\begin{align} |f(z)-w_0|&=|u(x, y)+iv(x, y)-(u_0+iv_0)| \\[.4em] &=|(u(x, y)-u_0)+i(v(x, y)-v_0)| \\[.4em] &\leq|u(x, y)-u_0|+|v(x,y)-v_0| \end{align}\]

# ◀ 닫기

[Theorem 1.4]

\(\displaystyle \lim_{z\to c}f(z)=L, \; \lim_{z \to c}g(z)=M\)이라고 하자. 그러면

(1)  \(\displaystyle \lim_{z\to c}(f(z)\pm g(z))=L\pm M\)

(2)  \(\displaystyle \lim_{z\to c}(f(z)g(z))=LM\)

(3)  \(\displaystyle M\neq0 \; \Rightarrow \; \lim_{z\to c}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{L}{M}\)

함수의 연속 또한 비슷하게 정의한다.

[Definition 1.5]

함수 \(f\)가 \(\Bbb C\)의 어떤 열린 연결 집합 위에서 정의된 함수라고 하자. 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여 \(|z-c|<\delta\)일 때마다 \(|f(z)-f(c)|<\epsilon\)이 성립하면, 즉 \(\displaystyle \lim_{z\to c}f(z)=f(c)\)이면 함수 \(f\)는 \(z=c\)에서 연속(Continuous)이라고 한다. 

또한, 함수 \(f\)가 집합 \(D\subset \Bbb C\)의 모든 점에서 연속이면 함수 \(f\)가 \(D\)에서 연속이라고 한다.

[Example 1.6]

함수 \(f(z)=|z|^2\)은 \(\Bbb C\)에서 연속이다. 임의의 \(c\in \Bbb C\)와 양수 \(\epsilon\)에 대하여 \(\delta=\min\{1,\, \epsilon/(2|c|+1)\}\)이라 하고 \(|z-c|<\delta\)라 하면 \(|z|<|c|+\delta\leq |c|+1\)이고, \[|f(z)-f(c)|\leq |z-c|(|z|+|c|)<\frac{\epsilon}{2|c|+1}\cdot (2|c|+1)=\epsilon\]이므로 \(f\)는 \(c\)에서 연속이다.

복소함수의 극한의 성질 [Theorem 1.4]에 의하여 어렵지 않게 연속함수의 성질을 얻어낼 수 있다.

[Theorem 1.7]

두 함수 \(f(z), \, g(z)\)가 \(c\)에서 (또는 \(D\)에서) 연속이면 다음 함수들도 모두 \(c\)에서 (또는 \(D\)에서) 연속이다. \[f(z)\pm g(z), \ \ kf(z) \,(k\in \Bbb C), \ \ f(z)g(z), \ \ \frac{f(z)}{g(z)}\, (g\neq 0)\]

위의 정리를 이용하면 실함수와 비슷하게, 복소함수 중 상수함수, 다항함수, 유리함수(분모가 0이 아닌 점에서) 등은 모두 연속이라는 것을 어렵지 않게 알 수 있다. 

 

Reference: <Complex Analysis> John M. Howie, 2003