[Chapter 5] Integration - (1)

하이네 - 보렐 정리

실수 전체의 집합과 같이 복소평면도 위상적으로 유클리드 공간과 구조가 동일하다. 사실 '거리 공간'이라는 위상적 구조는 많은 공통점을 공유한다. 컴팩트성도 그 중 하나이다. 하이네 - 보렐 정리는 실수 전체의 집합에서와 동일하게 복소 평면에서도 성립한다.

[Theorem 0.0] [The Heine-Borel Theorem]

복소평면 \(\Bbb C\)의 부분집합 \(S\)가 컴팩트집합일 필요충분조건은 \(S\)가 닫힌 유계집합인 것이다.

\(\Bbb R\)과 같이 \(\Bbb C\)에서도 집합을 잘게 쪼개서 그 중 하나의 부분에 열린 덮개의 대부분의 열린 집합이 속해 있음을 보이면 된다. 다만, 실수 전체의 집합에서는 닫힌구간을 반씩 나눠서 이런 얘기를 하면 되지만, \(\Bbb C\)는 열린 집합의 모양이 여러 가지이므로 다음과 같이 사각형 모양의 집합이 컴팩트임을 보임으로써 일반적인 닫힌 유계 집합이 컴팩트임을 보일 수 있다.

컴팩트집합을 논의해야 하는 이유는, 복소평면에서도 최대, 최소에 관한 논의를 할 수 있기 때문이다. 이는 이후에 '최대 절댓값 정리'와도 연결된다. 이전에 실해석학에서의 최대, 최소의 정리와 거의 동일한 다음 정리를 얻을 수 있다.

[Theorem 0.1] 

집합 \(S\)를 컴팩트집합이라고 하고, 함수 \(f: D(\supset)S\to \Bbb C\)가 \(D\)에서 연속이라고 하자. 그러면

(1) 함수 \(f\)는 \(D\)에서 유계이다. 즉, 집합 \(\{|f(z)|: z\in S\}\)는 (위로) 유계이다.
(2) \(M=\sup_S |f|\)라 할 때, \(|f(z_0)|=M=\max\{|f(z)|: z\in S\}\)인 \(z_0\in S\)가 존재한다. 
(3) \(D\)에서 \(f\neq 0\)이면 \(|f(z_1)|=\min\{|f(z)|: z\in S\}>0\)인 \(z_1\in S\)가 존재한다.

# 증명 ▶

(Proof)

(1) 각 \(c\in S\)에 대하여 함수 \(f\)는 \(z=c\)에서 연속이므로 \(\delta_c>0\)이 존재하여 \[z\in N(c, \delta_c) \ \Rightarrow \ |f(z)-f(c)|<1\]을 만족시킨다. 이때 집합족 \(\{N(c, \delta_c): c\in S\}\)은 \(S\)의 열린 덮개이고 \(S\)는 컴팩트이므로 이 덮개는 유한인 부분덮개 \[\{N(c_1, \delta_{c_1}), \, N(c_2, \delta_{c_2}), \, \cdots, \, N(c_m, \delta_{c_m})\}\]이 존재한다. 이때 \[K=\max\{|f(c_k)|+1: \,k=1, \, 2, \, \cdots, \, m\}\]이라 하면 \(\forall z\in S: \, |f(z)|\leq K\)이다. 

(2) \(M=\sup_S|f|\)라 할 때, 모든 \(z\in S\)에 대하여 \(|f(z)|<M\)이라 하면 함수 \(g(z)=\displaystyle \frac{1}{M-|f(z)|}\)는 연속이므로 (1)에 의하여 \(S\)에서 유계이다. 그러나 \(M\)의 정의로부터 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(M-1/n<f(z_n)<M\)인 \(z_n\in S\)가 존재한다. 따라서 \[g(z_n)=\displaystyle \frac{1}{M-|f(z_n)|}>\frac{1}{M-(M-1/n)}=n\]이므로 \(g(z)\)는 위로 유계가 아니다. 이는 모순이다.

(3) 함수 \(h(x)=1/f(x)\)라 하고, (1), (2)를 \(h\)에 적용하면 된다.

 

(Alternative Proof) 함수 \(f\)는 연속이고 \(S\)는 컴팩트이므로 \(f[S]\)도 컴팩트집합이다. 컴팩트집합은 유계이고 닫힌 집합이므로 \(f\)의 상한과 하한의 값을 함숫값으로 가지는 점이 존재한다.

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복소함수의 적분

복소함수의 적분은 \(\Bbb C\)에서의 열린 연결집합에서의 매끄러운 곡선 위의 '선적분'으로 이루어진다. 이에 복소함수의 정적분을 다음과 같이 정의한다.

[Definition 1.0]

(1) 함수 \(g(t)=u(t)+iv(t): [a, b]\to \Bbb C\) (\(\leftarrow u, v: [a, b]\to \Bbb R\))에 대하여 \[\int_a^b g(t)dt=\int_a^b u(t)dt+i\int_a^b v(t)dt\]

(2) 곡선 \(\gamma^*\)의 적절한(매끄러운) 매개변수 표현 \(\gamma: [a, b]\to \Bbb C\)에 대하여 함수 \(f\)를 그 정의역이 \(\gamma^*\)를 포함하는 복소함수라고 하자. 이때 \[\int_\gamma f(z)dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)dt\]이라 정의하고 이 정적분을 \(\gamma\) 위로의 \(f\)의 (선)적분이라고 한다. 

다음은 복소적분에서 다루는 함수 중에서도 가장 기본적이고 쓰임새가 많은 적분이다.

[Theorem 1.1]

\(\gamma^*\)가 원점을 중심으로 하고, 반지름이 1인 원일 때, \[\int_\gamma z^ndz=\begin{cases}\,2\pi i & (n=-1)\\[.3em]\,0 & (n\neq-1)\end{cases}\]

# 증명 ▶

(Proof)

\(\gamma(t)=e^{it}\)이라 하면, \(z^n=e^{int}, \; dz=ie^{it}dt\)이므로 \[\int_\gamma z^ndz=\int_0^{2\pi}e^{int}\cdot ie^{it}dt=\int_0^{2\pi}ie^{i(n+1)t}dt\]이므로 

(i) \(n=-1\)이면 \(\displaystyle \int_\gamma z^n dz=\int_0^{2\pi} idt=2\pi i\)

(ii) \(n\neq -1\)이면 \(\displaystyle \int_0^{2\pi} z^n dz=\left[\frac{e^{i(n+1)t}}{n+1}\right]_0^{2\pi}=0\)

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복소적분을 포함한 일반적인 선적분은 다음과 같은 성질을 가지고 있다. (증명은 생략)

[Theorem 1.2]

(1) \(\int_\gamma f(z)dz\)는 곡선 \(\gamma^*\)의 매개변수 표현에 관계없이 동일하다.

(2) 곡선 \(\gamma^*\)의 한 매개표현 \(\gamma\)에 대하여 \(\overleftarrow \gamma\)를 \(\gamma\)와 반대 방향으로 이동하는 매개표현(즉, \(\gamma: [a, b]\to \Bbb C\)에 대하여 \((\overleftarrow \gamma)(t)=\gamma(a+b-t)\, (a\leq t\leq b)\,\)이라고 할 때, \(\int_{\overleftarrow \gamma} f(z)dz=-\int_\gamma f(z)dz\,\)이다. 

(3) 곡선 \(\gamma^*\)의 매개변수 표현 \(\gamma: [a, b]\to \Bbb C\)가 부드러운 곡선이고, \(f, \, g\)가 정의역이 \(\gamma^*\)를 포함하는 적절한 함수일 때, \[\int_\gamma (k_1 f(z)+k_2 g(z))dz=k_1\int_\gamma f(z)dz+k_2\int_\gamma g(z)dz \ \ (k_1, \, k_2\in \Bbb C)\]

곡선이 모든 점에서 미분 가능하고 도함수가 연속이면(즉, 부드러운 곡선이면) 좋겠지만, 일반적으로 모든 점에서 그런 곡선은 흔하지 않다. 이때 무수히 많은 점에서 꺾이는 곡선이 아니라면 적당히 곡선을 나누어서 부드러운 곡선들의 합으로 나타낼 수 있다.

[Definition 1.3]

곡선 \(\gamma: [a, b]\to \Bbb C\)가 실수들의 열 \(a=c_0<c_1<\cdots<c_m=b\)가 존재하여 각 \(i=1, \, 2, \, \cdots, m\)에 대하여 \(\gamma_i: [c_{i-1}, \,c_i]\to \Bbb C\)가 부드러운 곡선이며 \(\gamma_i(c_i)=\gamma_{i+1}(c_i)\)를 만족시키면 \(\gamma\)를 조각마다 매끄러운(piecewise smooth) 곡선이라고 한다.

이때 \(\gamma=\gamma_1+\gamma_2+\cdots+\gamma_m\)으로 표현하고, \[\int_\gamma f(z)dz=\int_{\gamma_1} f(z)dz+\int_{\gamma_2}f(z)dz+\cdots+\int_{\gamma_m}f(z)dz\]라고 정의한다. 

[Example 1.4]

그림과 같이 곡선 \(\gamma\)를 원점을 중심으로 하고 반지름을 \(R\)인 시계반대방향으로의 반원이라고 하자. \(\int_{\gamma} |z|^2dz\)을 구해 보자. \[\gamma_1(t)=t+i0\ (t\in [-R, \, R]), \ \ \gamma_2(t)=Re^{it}\ (0\leq t\leq \pi)\]에 대하여 \(\gamma=\gamma_1+\gamma_2\,\)라 둘 수 있다. 따라서 \[\begin{align}\int_\gamma |z|^2dz&=\int_{\gamma_1}|z|^2dz+\int_{\gamma_2}|z|^2dz\\[.4em] &=\int_{\gamma_1}z\bar zdz+\int_{\gamma_2}z\bar z dz\\[.4em] &=\int_{-R}^Rt^2dt+\int_0^{2\pi} (Re^{it})(Re^{-it})(iRe^{it})dt\\[.4em]&=\left[\frac{t^3}{3}\right]^R_{-R}+R^3\int_0^{2\pi}ie^{it}dt=\frac{2R^3}{3} \end{align}\]

복소함수의 적분에서도 미적분의 기본 정리를 논할 수 있다. 선적분은 본질적으로 실해석학에서 구간에서 정의된 함수에 대한 적분과 동일하기 때문이다. (구간을 곡선에 대응시켜서 생각해보자.) 

[Theorem 1.5]

함수 \(f: [a, b]\to \Bbb C\)가 연속이라고 하자. 함수 \(F(x)\)를 \[F(x)=\int_a^x f(t)dt \ \ (x\in [a, b])\]라 하면 모든 \(x\in [a, b]\)에 대하여 \(F'(x)=f(x)\)이고, 특히 \(\displaystyle \int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)\)이다. 

위 명제에 대한 증명은 실해석에서의 FTC에서와 동일하다. 이를 이용하면 복소함수에서의 미적분의 기본정리를 얻는다.

[Theorem 1.6]

곡선 \(\gamma: [a, b]\to \Bbb C\)가 조각마다 매끄러운 곡선이라고 하자. 함수 \(F\)가 \(\gamma^*\)를 포함하는 열린 집합에서 정의된 복소함수이고, \(F'\)가 곡선 \(\gamma^*\) 위의 각 점에서 연속이라고 하자. 그러면 \[\int_\gamma F'(z)dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(b))\]이다. 특히 \(\gamma^*\)가 닫힌 곡선이면 \(\displaystyle \int_\gamma F'(z)dz=0\,\)이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

(1) \(\gamma\)가 부드러운 곡선이면 \(F\circ \gamma\)는 \([a, b]\)에서 미분가능하다. 합성함수의 미분법에 의하여 \((F\circ \gamma)'(t)=F'(\gamma(t))\gamma'(t)\)이므로 [Theorem 1.5]에 의하여 \[\begin{align}\int_\gamma F'(z)dz&=\int_a^b F'(\gamma(t))\gamma'(t)dt\\[.4em]&=\int_a^b (F\circ \gamma)'(t)dt=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))\end{align}\]

(2) \(\gamma\)가 조각마다 부드러운 곡선이라 하고, 부드러운 곡선 \(\gamma_i: [c_{i-1},\, c_i]\to \Bbb C\) (\(i=1, \, 2, \cdots, \, m\))에 대하여 \(\gamma=\gamma_1+\gamma_2+\cdots+\gamma_m\)이라 하자. 그러면 (1)에 의하여 \[\begin{align}\int_\gamma F'(z)dz&=\sum_{i=1}^m\int_{\gamma_i}F'(z)dz\\[.5em]&=[F(\gamma_1(c_1))-F(\gamma_1 (a))]+[F(\gamma_2(c_2))-F(\gamma_2(c_1)]\\[.5em]& +\qquad\cdots \\[.5em]&+[F(\gamma_{m-1}(c_{m-1}))-F(\gamma_{m-1}(c_{m-2}))]+[F(\gamma_m(b))-F(\gamma_m(c_{m-1}))]\\[.5em]&=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)) \end{align}\]

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위 정리는 복소함수가 부드럽게 이어진 곡선 위에서 연속이면 그 선적분의 값은 곡선의 양 끝점에 의해서만 결정된다는 것을 의미한다. 

[Example 1.7]

곡선 \(\gamma^*\)를 타원 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)을 시계 반대방향으로 도는 곡선이라고 하자. \(\cos z\)는 연속인 함수이고 \(\frac{d}{dz}\sin z=\cos z\)이므로 \[\int_\gamma \cos z dz=[\sin z]_{\gamma(\text{start})}^{\gamma(\text{end})}=\sin (-a)-\sin a=-2\sin a\]이다. 

 

Reference: <Complex Analysis> John M. Howie, 2003