[Chapter 5] Integration - (3)

균등수렴과 항별 미적분

복소함수는 앞으로 논의될 코시의 적분 공식에 의하여 정칙인(즉, 어떤 열린 집합에서 미분가능한) 함수와 해석함수(급수 전개 가능한 함수)가 동일한 의미를 갖는다. 실함수에서는 무한 번 미분가능한 함수가 해석함수인 것과 같은 의미를 갖지 않는 것과 대비되는 성질이다. 즉, 정칙인 복소함수는 항상 급수 전개가 가능하기 때문에 멱급수의 균등수렴성이 상당히 중요한 의미를 가진다.

균등수렴성을 논의할 때 이용되는 여러 용어나 기호는 실함수에서와 동일하다.

[Definition 4.0]

\(\Bbb C\)의 부분집합 \(S\)에서 정의된 유계함수 \(f\)에 대하여 함수 \(f\)의 (균등)노름((uniform) norm)을 \[||f||=||f||_S=\sup_{z\in S}|f(z)|\]이라 한다. 

다음은 균등 노름의 성질로, 이 역시 실해석학과 동일하다. (절댓값의 성질, 삼각부등식 등이 실함수에서와 동일하기 때문이다.)

[Theorem 4.1]

(i) \(||f||\geq 0\)이고 \(||f||=0 \ \Leftrightarrow \ f=0\)이다.
(ii) \(||f+g||\leq ||f||+||g||\) (삼각부등식)
(iii) 상수 \(k\in \Bbb C\)에 대하여 \(||kf||=|k|||f||\)이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

(i), (iii)은 자명하게 성립한다. (ii)의 경우, 모든 \(z\in S\)에 대하여 \[|f(z)+g(z)|\leq |f(z)|+|g(z)|\leq ||f||+||g||\]이므로 \(||f+g||\leq ||f||+||g||\)이 성립한다. 

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다음은 균등수렴의 정의와 그 성질로, 실해석학에서와 내용이 정확히 같다. 이 역시 삼각부등식과 같은 성질 또는 복소함수에서도 극한의 정의가 \(\Bbb R\)에서와 크게 다르지 않기 때문이다.

[Definition 4.2] (Uniform Convergence: 균등수렴)

\(\{f_n\}\)은 \(S\subset \Bbb C\)에서 정의된 복소함수들의 함수열이라고 하자.

(1) 각 \(z\in S\)에 대하여 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}f_n(z)=f(z)\)이면 함수 \(f_n\)이 \(S\)에서 \(f\)로 점별수렴(convergent pointwise)한다고 하고, 기호로 \(f_n(z)\to f(z)\)와 같이 나타낸다.

(2) 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 자연수 \(N=N(\epsilon)\)이 존재하여 \(n\geq N\)일 때마다 \(||f_n-f||=\sup_{z\in S}|f_n(z)-f(z)|<\epsilon\)이 성립하면 (즉, \(n\to \infty\)일 때 \(||f_n-f||_S \to 0\)이면) \(\{f_n\}\)이 \(S\)에서 \(f\)로 균등수렴(uniformly convergent)한다고 하고, 기호로 \(f_n \rightrightarrows f\)와 같이 나타낸다. 

균등수렴의 정의로부터 \(f_n \rightrightarrows f\)이면 \(f_n \to f\)임은 자명하다. 그러나 점별수렴하는 함수가 균등수렴하는 것은 아니다. 예를 들어,

[Example 4.3]

함수열 \(\{f_n\}\)을 \(\displaystyle f_n(z)=\frac{1-z^n}{1-z} \; (|z|<1)\)이라 하자. 그러면 \(n\to \infty\)일 때 \(z^n\to 0\)이므로 \(\displaystyle f_n(z)\to f(z)=\frac{1}{1-z}\)이다. 이때 \[||f_n-f||=\left\Vert\frac{z^n}{1-z}\right\Vert \stackrel{z=z_n=1-\frac{1}{n}}{\geq}n\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\to \infty\]이므로 \(f_n \not \rightrightarrows f \; (|z|<1)\)이다. 

균등수렴하는 함수열은 극한함수에 대해 연속성, 미분가능성, 적분가능성 등을 보존한다. (미분가능성은 좀 더 많은 조건이 필요하다.) 정의역에서 극한함수와 함수열의 각 항의 차가 가장 큰 것을 잡아도 아주 작아지기 때문이다. 

[Theorem 4.4]

함수열 \(\{f_n\}\)이 \(S\subset \Bbb C\)에서 정의된 함수들의 열이라고 하자. \(S\)에서 \(f_n\rightrightarrows f\)이고 각 \(f_n\)이 \(a\in S\)에서 연속이면 \(f\)도 \(a\)에서 연속이다.
특히, 각 \(f_n\)이 \(S\)에서 연속이면 \(f\)도 \(S\)에서 연속이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

양수 \(\epsilon\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f_n \rightrightarrows f\)이므로 자연수 \(N\)이 존재하여 \(\displaystyle ||f_N-f||_S<\frac{\epsilon}{3}\)을 만족시킨다. 함수 \(f_N\)은 연속이므로 양수 \(\delta\)가 존재하여 \(|z-a|<\delta\)일 때마다 \(\displaystyle |f_N(z)-f_N(a)|<\frac{\epsilon}{3}\)을 만족시킨다. 따라서 \(|z-a|<\delta\)일 때마다 \[\begin{align}|f(z)-f(a)|&\leq|f(z)-f_N(z)|+|f_N(z)-f_N(a)|+|f_N(a)-f(a)|\\[.5em] &\leq ||f-f_N||_S+|f_N(z)-f_N(a)|+||f-f_N||_S \\[.5em] &<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon\end{align}\]이므로 \(f\)는 \(a\)에서 연속이다. 이로부터 각 \(f_n\)이 \(S\)에서 연속이면 \(f\)가 \(S\)에서 연속임을 얻을 수 있다.

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다만, 점별수렴하는 함수는 극한함수가 연속이 아닐 수도 있다. 

[Example 4.5]

자연수 \(n\)에 대하여 \(S=\{z\in \Bbb C: |z|\leq 1\}\)에서 정의된 함수열 \(\{f_n\}\)이 \(f_n(z)=z^n\)과 같이 주어졌다고 하자. 그러면 모든 \(n\)에 대하여 \(f_n\)은 \(S\)에서 연속이지만 \[f_n(z) \to f(z)=\begin{cases}0& (|z| < 1)\\[.4em]1 & (|z|=1)\end{cases}\]이므로 그 극한함수 \(f\)는 \(S\)에서 연속이 아니다.

서두에 언급한 것과 같이, 정칙인 복소함수는 해석적이므로 함수급수에 관한 내용이 사실 더 중요하다. 함수급수의 균등수렴에 대해서는 다음과 같이 정의한다. 

[Definition 4.6]

함수열 \(\{f_n\}\)에서 각 항 \(f_n\)이 \(S\)에서 정의된 복소함수라고 하자. 이때 함수급수 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(z)\)의 부분합 \(F_n(z)=\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(z)\)가 함수 \(F(z)\)로 (점별/균등)수렴하면 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(z)\)가 \(F(z)\)로 (점별/균등)수렴한다고 한다. 

위의 [Example 4.3]에서 \(\displaystyle \sum_{k=0}^n z^k=\frac{1-z^n}{1-z}\)이므로 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty z^n\)은 \(|z|<1\)에서 \(\frac{1}{1-z}\)로 점별수렴하지만 균등수렴하지는 않는다. 

한편, 함수급수의 균등수렴 여부를 판정하는 가장 보편적인 방법으로 바이어슈트라스 M-판정법이 있다. 이는 비교판정법을 이용하여 증명하므로 복소함수급수에서도 적용할 수 있다. 

[Theorem 4.7] (Weierstrass M-test: 바이어슈트라스 M-판정법)

함수열 \(\{f_n\} \; (n\geq 0)\)이 \(S\)에서 정의되었다고 하자. 이때 

(i) 모든 \(n\geq 0\)에 대하여 \(||f_n||\leq M_n\)
(ii) \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty M_n\)이 수렴

이면 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(z)\)가 \(S\)에서 균등수렴한다. 

# 증명 ▶

(Proof)

모든 \(z\in S\)와 \(n\geq 0\)에 대하여 \(|f_n(z)|\leq ||f_n||\leq M_n\)이므로 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(z)\)은 비교판정법에 의하여 절대수렴한다. 따라서 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(z)\)는 수렴한다. \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(z)=F(z)\)라 하고, \(F_n(z)=\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(z)=F_n(z)\)라 하자. 그러면 (ii)에 의하여 \[\begin{align}|F(z)-F_n(z)|&=\left|\sum_{k=n+1}^\infty f_k(z)\right|\\[.4em]&\leq \sum_{k=n+1}^\infty |f_k(z)|\\[.4em]&\leq \sum_{k=n+1}^\infty M_k<\epsilon \quad \text {for} \; n\gg1\end{align}\]이고 \(\epsilon>0\)은 \(z\in S\)에 의존하지 않는 양수이므로 \(||F-F_n||_S \to 0\)이다. 따라서 \(S\)에서 \(F_n \rightrightarrows F\)이다.

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[Example 4.8]

(1) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n\sqrt{n+1}}, \; |z|\leq 1\): \(|z|\leq 1\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[\left\vert \frac{z^n}{n\sqrt{n+1}}\right\vert\leq \frac{1}{n^{3/2}}\]이다. 이때 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}\)은 수렴하는 급수이므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여 주어진 함수급수는 균등수렴한다.

(2) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos nz}{n^3}, \; |z|\leq 1\): \(\displaystyle \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)이므로 \(z=x+iy\)라 하면 \[\begin{align}\frac{\cos nz}{n^3}&=\frac{e^{inz}+e^{-inz}}{2n^3}\\[.4em]&=\frac{e^{in(x+iy)}+e^{-in(x+iy)}}{2n^3}\\[.4em]&=\frac{e^{-ny}(\cos nx+i\sin nx)}{2n^3}+\frac{e^{ny}(\cos nx-i\sin nx)}{2n^3}\end{align}\]이므로 \(y>0\)이거나 \(y<0\)일 때, 주어진 급수는 수렴하지 않는다. (극한이 \(0\)으로 수렴하지 않기 때문이다.) 따라서 주어진 함수급수는 균등수렴하지 않는다. 

급수의 수렴판정법과 같이 균등수렴하는 함수급수에도 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하면 다음을 어렵지 않게 보일 수 있다.

[Proposition 4.9]

함수급수 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(z)\)가 \(S\subset \Bbb C\)에서 균등수렴한다고 하자. 그러면 \(||f_n||\to 0\)이다. 

[Example 4.10]

[Proposition 4.9]의 역은 성립하지 않는다. \(f_n(z)=\displaystyle \frac{z^n}{n} \; (|z|<1)\)이라 하면 \[\forall z\in \{z: |z|<1\}, \ \ \left|\frac{z^n}{n}\right|\leq \frac{1}{n}\to 0 \ \ \text{as} \ \ n\to \infty\]이므로 \(|z|<1\)에서 \(||f_n||\to 0\)이다. 그러나 \[\begin{align}&\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{z^k}{k}=\frac{z^{n+1}}{n+1}+\frac{z^{n+2}}{n+2}+\cdots+\frac{z^{2n}}{2n}\\[.4em]& \stackrel{z=1-\frac{1}{n}}{=}\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n+1}+\frac{1}{n+2}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n}\\[.4em]&\stackrel{\text{if} \; n>2}{\geq}\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{n+1}{n}\right)+\frac{1}{n+2}\left(1-\frac{n+2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{2n}\left(1-\frac{2n}{n}\right)\\[.4em]&\ \ =\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}-1\\[.4em]& \ \ =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+1/n}+\frac{1}{1+2/n}+\cdots+\frac{1}{1+n/n}\right)-1\\[.4em]& \ \ \to \int_0^1 \frac{dx}{1+x}-1=\ln 2-1\neq 0 \end{align}\]이므로 주어진 함수급수는 균등수렴하지 않는다. 

마지막으로, 적분가능한 함수열이 균등수렴할 때, 항별 적분(급수의 합과 적분의 연산의 순서를 바꾸는 것)이 가능하다. 이 역시 실해석학에서와 동일하다.

[Theorem 4.11]

함수열 \(\{f_n\}\)을 \(S\)에서 정의된 연속함수열이고, \(S\)에서 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n \rightrightarrows F\)라고 하자. 그러면 임의의 조각마다 부드러운 곡선 \(\gamma\subset S\)에 대하여 \[\int_\gamma \left(\sum_{n=0}^\infty f_n(z)\right)dz=\sum_{n=0}^\infty \int_\gamma f_n(z)dz\]

# 증명 ▶

(Proof)

함수열 \(\{f_n\}\)의 각 항이 연속이므로 함수급수의 극한함수 \(F\) 또한 연속이다. 따라서 임의의 조각마다 부드러운 곡선 \(\gamma\subset S\)에 대하여 \(\int_\gamma F dz\)가 존재한다. 이때 \[\begin{align}&\left|\int_\gamma F(z)dz-\sum_{k=0}^n\int_\gamma f_k(z)dz\right|\\[.4em]&\leq \left|\int_\gamma(F(z)-F_n(z))dz\right|\quad \left(\leftarrow \, F_n(z)=\sum_{k=0}^n f_k(z)\right) \\[.4em] &\leq \int_\gamma\left|F(z)-F_n(z)\right||dz|\\[.4em]&\leq ||F_n-F||\ell(\gamma) \to 0 \ \ \text{as} \ \ n\to \infty \end{align}\]이므로 \[\int_\gamma F(z)dz=\sum_{k=0}^\infty \int_\gamma f_k(z)dz \ \Rightarrow \ \int_\gamma \left(\sum_{k=0}^\infty f_k(z)\right)dz=\sum_{k=0}^\infty \int_\gamma f_k(z)dz\]

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Reference: <Complex Analysis> John M. Howie, 2003