[Chapter 8] Concept of a Surface - (1)

곡면의 정칙 매개표현

미분기하학은 크게 보면 곡선에 관한 이론과 곡면에 관한 이론으로 나누어져 있다. 곡면에서도 곡선과 마찬가지로 위치에 관계없이 곡면을 결정하는 두 요소가 있는데, 그것은 다음 챕터에서 다루고, 이전에 곡면에 관한 기본적인 사항에 대해 다룰 필요가 있다. 

곡선은 하나의 매개변수로 표현되는 벡터 함수이고, 곡면은 두 개의 매개 변수로 표현되는 벡터 함수이다. 좌표평면 위의 모든 점을 공간으로 옮긴다고 생각하면 된다. 곡선과 같이 곡면도 '매끄럽고', '부드러운' 성질을 갖는 것들을 다룬다. 갑자기 어떤 점에서 툭 튀어 나온다거나 꺾인다거나 뾰족하게 솟아 있다던가 하는 것들은 좋은 곡면으로서 주제로 다루지 못한다. 이로써, 곡면의 정칙 매개표현(좋은 표현)을 다음으로 정의한다.

[Definition 0.0]

좌표공간의 점들의 집합 \(S\)의 \(C^m\)급의 정칙 매개함수 표현(regular parametric representation of class \(C^m\))이란 다음을 만족시키는 \(uv\)평면 위의 열린 집합 \(U\)에서 \(S\)로의 벡터 함수 \(\mathbf x=\mathbf f(u, v)\)이다.

(i)  \(\mathbf f\)는 \(U\) 위에서 \(C^m\)급이다.
(ii)  \(\mathbf f(u, v)=(f_1(u, v), \, f_2(u, v), \, f_3(u, v))\)이라 할 때, 모든 \((u, v)\in U\,\)에 대하여 \[\text{rank}\left(\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial u} &\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial v} \\[.3em]\displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial v} \\[.3em] \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial u}& \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial v} \end{matrix}\right)=2\]

[Definition 0.0]에서 (ii)의 행렬이 차수(rank) \(2\)를 갖는다는 것은 위의 행렬에서 선택한 두 행으로 만든 \(3\)개의 \(2\times 2\) 부분행렬 중 적어도 하나는 역행렬을 가짐을 의미한다. (행 연산을 통해 최대 1개의 행을 모두 \(0\)으로 만들 수 있다는 의미와 같다.) 이때 \[\begin{align}\mathbf x_u\times \mathbf x_v&=\left(\frac{\partial f_2}{\partial u}\frac{\partial f_3}{\partial v}-\frac{\partial f_3}{\partial u}\frac{\partial f_2}{\partial v}\right)\mathbf i\\[.4em] &-\left(\frac{\partial f_1}{\partial u}\frac{\partial f_3}{\partial v}-\frac{\partial f_3}{\partial u}\frac{\partial f_1}{\partial v}\right)\mathbf j\\[.4em]&+\left(\frac{\partial f_1}{\partial u}\frac{\partial f_2}{\partial v}-\frac{\partial f_2}{\partial u}\frac{\partial f_1}{\partial v}\right)\mathbf k \end{align}\]이므로 [Definition 0.0]의 (ii)와 \(\mathbf x_u\times \mathbf x_v\neq \mathbf 0\,\)인 것은 동치이다. 따라서 [Definition 0.0]은 다음과 같이 기술될 수도 있다. 

[Definition 0.1] 

좌표공간의 점들의 집합 \(S\)의 \(C^m\)급의 정칙 매개함수 표현(regular parametric representation of class \(C^m\))이란 다음을 만족시키는 \(uv\)평면 위의 열린 집합 \(U\)에서 \(S\)로의 벡터 함수 \(\mathbf x=\mathbf f(u, v)\)이다.

(i)  \(\mathbf f\)는 \(U\) 위에서 \(C^m\)급이다.
(ii)  모든 \((u, v)\in U\)에 대하여 \(\mathbf x_u\times \mathbf x_v\neq \mathbf 0\, \)이다. 

이때 \(u, \,v\)는 매개변수(parameter)라고 하고, \(v=v_0\)일 때 곡면 위의 \(\mathbf x\)에 대한 상을 \(u-\)매개변수 곡선(\(u-\)parameter curve)이라 하고 \(u=u_0\)일 때 상을 \(v-\)매개변수 곡선(\(v-\)parameter curve)이라 한다. 즉, 매개변수 표현 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)로 나타내어진 좌표공간 위의 점들의 집합은 \(u, v\,\)가 상수일 때 나타내는 곡선들의 집합이라고 볼 수 있다.

[Example 0.2]

함수 \(\mathbf x=\mathbf x(\theta, \phi)\)를 \[\mathbf x=(\cos\theta \sin\phi, \ \sin\theta\sin\phi, \ \cos\phi)\]는 \(\theta\phi\,\)평면에서 좌표공간의 구 \(x^2+y^2+z^2=1\) 위로의 함수이다. 명백히 이 함수는 \(C^\infty\,\)급이고,\[\begin{align}|\mathbf x_\theta\times \mathbf x_\phi|&= \left|\,\det \begin{pmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\-\sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi &0 \\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi &-\sin\phi \end{pmatrix}\right|\\[.4em]&=|(-\cos\theta\sin^2 \phi, \, -\sin\theta\sin^2\phi, \,-\sin\phi\cos\phi)|\\[.4em]&=|\sin\phi| \end{align}\]이므로 \(\phi=n\pi \ (n\in \Bbb Z)\)이면 \(\mathbf x_u\times \mathbf x_v=\mathbf 0\,\)이다. 따라서 이 함수에서 \(\theta, \ \phi\,\)의 범위를 \(-\infty<\theta<\infty, \; 0<\phi<\pi\,\)로 제한하면 이는 정칙 매개변수 표현이 된다. 이때 \(\mathbf x\)의 상은 구의 북극과 남극 \((0, 0, 1), \, (0, 0, -1)\)을 제외한 구멍 뚫린 구(punctured sphere)가 된다. 

[Example 0.3]

주면(cylinder)이란 직선 \(L\)이 곡선 \(C\)를 따라 움직이면서 생성하는 곡면을 의미한다. 곡선 \(C\)의 방정식이 \(\mathbf y=\mathbf y(u)\)로 주어지고, \(\mathbf g\)가 \(L\)과 평행한 단위 벡터라고 하면, 주면 \(\mathbf x\)의 방정식은 \[\mathbf x=\mathbf y(u)+v\mathbf g\]이다. \(\mathbf y\)가 \(C^m\)급이면 \(\mathbf x\) 또한 \(C^m\)급임은 명백하고, \(\mathbf y'\)와 \(\mathbf g\)가 평행하지 않으면 \[\mathbf x_u\times \mathbf x_v=\mathbf y'(u)\times \mathbf g\neq \mathbf 0\]이므로 이 주면은 정칙 매개표현이 된다. 
 

 

좌표 조각 

일반적으로 좌표공간의 점들의 집합 \(S\)가 충분히 매끄럽게 생겼더라도 그것을 하나의 매개변수 표현으로 나타내는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 예를 들어 [Example 0.2]에서의 구 위의 모든 점들을 \(\mathbf x\)를 통해 완벽하게 덮지 못한다. 그러나 여러 개의 적절한 함수를 이용하면 그 상을 합하여 \(S\)를 덮을 수도 있다. 이를 좌표 조각이라고 한다. 

[Definition 1.0]

다음 조건을 만족시키는 \(uv\,\)평면의 열린 집합 \(U\)에서 좌표공간의 점들의 집합 \(S\)로의 함수 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)를 \(C^m\)급의 좌표 조각(coordinate patch of class \(C^m\))이라고 한다. 

(i)  \(\mathbf x\)는 \(U\)에서 \(C^m\)급이다.
(ii)  모든 \((u, v)\in U\)에 대하여 \(\mathbf x_u\times \mathbf x_v\neq \mathbf 0\,\)이다. 
(iii)  \(\mathbf x\)는 \(U\)에서 일대일이고 쌍연속이다. 

좌표 조각은 다른 종류의 매개변수 평면에서 곡면으로의 함수이다. 예를 들어 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\,\)가 \(uv\)평면 위의 열린 집합 \(U\)에서 좌표공간의 점들의 집합 \(S\)로의 정칙 매개변수 표현이고 두 함수 \(\theta=\theta(u, v), \ \phi=\phi(u, v)\)가 \(U\)에서 \(\theta\phi\,\)평면으로의 \(\partial(\theta, \phi)/\partial(u, v)\neq 0\)를 만족시키는 함수라고 하자. 그러면 이 두 함수는 일반적으로 일대일이 아니지만, 국소적으로는 일대일이다.

즉, 적당한 \(W\subset U\)에서 함수 \(\theta=\theta(u, v), \ \phi=\phi(u, v)\)는 \(\theta\phi\,\)평면의 열린 집합 \(W^*\)으로의 일대일대응이 된다. 이때 \(\mathbf x=\mathbf x^*(\theta, \phi)=\mathbf x(\theta(u, v), \, \phi(u, v))\,\)라 하면 \[\begin{align}\mathbf x^*_\theta\times \mathbf x^*_\phi&=(\mathbf x_u u_\theta+\mathbf x_v v_\theta)\times (\mathbf x_u u_\phi+\mathbf x_v v_\phi)\\[.4em] &=(\mathbf x_u\times \mathbf x_v)(u_\theta v_\phi - v_\theta u_\phi)\\[.4em] &=(\mathbf x_u\times \mathbf x_v)\frac{\partial (u, v)}{\partial(\theta, \phi)}\neq 0 \end{align}\]이므로 \(\mathbf x=\mathbf x^*(\theta, \phi)\)는 정칙 매개변수 표현이 된다. 이런 식으로 여러 매개변수 표현을 이용하여 곡면을 조각으로 잘라 덮는다는 의미에서 이를 '좌표 조각'이라고 한다.

[Example 1.1]

함수 \(\mathbf x=(u, \, v, \, \sqrt{1-(u^2+v^2)}), \ \ u^2+v^2<1\)는 \(uv\)평면의 단위원 내부 \(u^2+v^2<1\)에서 단위 위쪽 반구로의 함수이다. 이 함수는 자명히 \(C^\infty\)급의 함수이고 \[|\mathbf x_u\times \mathbf x_v|=\frac{1}{\sqrt{1+(u^2+v^2)}}\neq 0\]이다. 따라서 함수는 \(C^\infty\)급의 정칙 매개변수 표현이다. 또한 어렵지 않게 \[\mathbf (u, v)=\mathbf (u', v') \Leftrightarrow u=v\]임을 알 수 있다. 즉, \(\mathbf x\)는 일대일이고 그 역함수는 반구에서 \(xy\)평면 위로의 사영이므로 역시 연속이 된다. 이로부터 \(\mathbf x\)는 좌표 조각이 된다. 

[Example 1.2]

\(xy\)평면 위의 곡선 \(r=\sin2\theta \ (0<\theta<3\pi/4)\)에 대하여 \(z\)축에 평행한 직선이 이 곡선을 따라 움직이면서 나타내는 주면을 생각하자.

이 주면의 방정식은 \[\mathbf x=(\sin2\theta\cos\theta, \ \sin2\theta\sin\theta, \ u) \ \ (0<\theta<3\pi/4, \, -\infty<u<\infty)\]로 주어지고 이는 어렵지 않게 \(C^\infty\)급의 정칙 매개표현이며 일대일함수임을 알 수 있다. 그러나 이 함수의 역함수는 연속이 아니다. 이 주면은 \(\theta=0\)을 지나는 직선을 포함하지 않지만, 원점(\(\theta=\pi/2\)을 포함하는 임의의 열린 집합은 \(\theta=0\) 근방의 점을 포함하기 때문이다. (거리 공간에서 연속함수는 그 근방의 점에 대한 상도 근방에 있는 함수이다.) 따라서 이 주면의 표현은 좌표 조각은 아니다.

그러나 위의 함수에서 \(\theta\)의 범위를 \(0<\theta<\pi/2\), \(\pi/4<\theta<3\pi/4\)로 제한한 두 함수는 좌표 조각이 되고, 이 둘을 합하면 주면 전체를 덮을 수 있다.

좌표 조각 중에서 하나의 좌표가 남은 두 좌표의 함수로 나타내어지는 함수를 몽쥬 조각이라고 하는데, 많은 곡면이 \(F(x, y, z)=0\)과 같은 형식으로 나타나기 때문에 이는 중요한 부분이다.

[Theorem 1.3]

함수 \(f(u, v)\)가 \(C^m\)급의 함수이면 다음과 같은 함수는 좌표 조각이다. \[\begin{align}& \mathbf x=(u, \,v,\, f(u, v)), \ \ \mathbf x=(u, \, f(u, v), \, v),\ \ \mathbf x=(f(u, v), \, u, \, v)\end{align}\]이때 이러한 형태의 좌표 조각을 몽쥬 조각(Monge patch)이라고 한다. 

# 증명 ▶

(Proof)

\(\mathbf x=(u,\, v, \,f(u, v))\)가 좌표 조각이 됨을 보이면 충분하다. \(f\)가 \(C^m\)급의 함수이므로 \(\mathbf x\)도 \(C^m\)급의 함수이다. \[\mathbf x_u\times \mathbf x_v=(-f_u, \,-f_v, \, 1)\neq \mathbf 0\]이므로 \(\mathbf x\)는 정칙 매개변수 표현이다. 또한 \(\mathbf x(u, v)=\mathbf x(u_0, v_0)\)이면 두 상의 \(x, y\)좌표가 같으므로 \(u=u_0, \, v=v_0\)이다. 따라서 \(\mathbf x\)는 일대일함수이다. \(\mathbf x\)는 \(C^m\)급이므로 연속이고 이 역함수는 \(x=u, \, y=v\)인 사영함수이므로 연속이다. 따라서 \(\mathbf x\)는 좌표 조각이다. 

# ◀ 닫기

[Example 1.1]과 같이 어떤 곡면의 방정식이 \(F(x, y, z)=0\,\)의 형태로 주어지면 식을 적절히 변형하여 \(z=f(x, y)\)의 꼴로 나타낼 수 있고, 이 정의역을 적당히 조절하면 함수가 되어 이에 이변수함수에 대한 이론을 적용할 수 있다. 곡면론에서도 어떤 곡면을 몽쥬 조각을 이용하여 나타낼 수 있으면 후에 다루어질 여러 좋은 성질을 이용할 수 있다. 이때 다음과 같은 좋은 성질이 있다.

[Theorem 1.4]

좌표공간의 점들의 집합 \(S\)\가 \(C^m\)급의 정칙 매개변수 표현 \(\mathbf x(u, v)\)를 가지고 있다면, \(S\)의 모든 점 \(P\)에 대하여 \(uv\)평면의 열린 근방 \(U^*\)가 존재하여 \(U^*\)에서 \(P\)를 포함하는 \(S\)의 열린 집합으로의 몽쥬 조각이 존재한다.

위 정리의 내용은 간단히 정리하면 다음과 같다: \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)=(x(u, v), \, y(u, v), \, z(u, v))\)가 열린 집합 \(U\)에서 \(S\)로의 \(C^m\)급의 정칙 매개변수 표현이라고 하자. \(S\) 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\mathbf x(u_0, v_0)=P\)인 \((u_0, v_0)\in U\)가 존재하고 \(\mathbf x\)는 정칙이므로 \((u_0, v_0)\)에서 야코비안(Jacobian) 행렬의 적어도 하나의 부분행렬식은 \(0\)이 아니다. 일반성을 잃지 않고 \[\det\begin{pmatrix}x_u & x_v \\y_u & y_v \end{pmatrix}\neq0\]이라고 하면 함수 \(x=x(u, v), \, y=y(u, v)\)는 명백히 \(C^m\)급의 함수이다. 또한 역함수 정리에 의하여 \((u_0, v_0)\)의 어떤 열린 근방 \(U^*\)이 존재하여 위의 함수는 \(U^*\)에서 \(x_0=x(u_0, v_0), \, y_0=y(u_0, v_0)\)인 점 \(x_0, \,y_0\)을 포함하는 \(xy\,\)평면의 열린 집합 \(W^*\)으로의 일대일대응인 함수가 된다. 

이에 역함수 정리에 의하여 함수 \(x=x(u, v), \, y=y(u, v)\)의 역함수 \(u=u(x, y), \, v=v(x, y)\) 또한 \(W^*\)에서 \(U^*\)로의 \(C^m\)급의 일대일대응 함수가 된다. 따라서 합성함수 \[\begin{align}\mathbf x=(x, \, y, \, z) =(x, \, y, \, z(u(x, y), \, v(x, y))) \end{align}\]는 \(W*\)에서 \(P\)를 포함하는 \(S\) 위의 열린 집합으로의 몽쥬 조각이 된다. 

 

Reference: <Schaum's Outlines: Differential Geometry> Martin Lipschultz, 1969