[Chapter 9] First and Second Fundamental Forms - (2)

법곡률

곡면론에서는 많은 이론들이 법선벡터를 이용하여 설명된다. 그럴 수밖에 없는 것이, 곡면 위의 각 점의 근방은 그 점에서의 접평면에 근사하기 때문이다. (접평면은 각 점에서의 근방의 1차 근사이다.) 앞으로 다룰 주곡률이나 측지곡률같은 중요한 개념도 법선벡터를 이용하여 정의된다. 그 중에서 일차형식, 이차형식과 관련하여 정의되는 개념이 법곡률이다.

[Definition 9.12] 

점 \(P\)를 \(C^2\)급 이상의 곡면 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\) 위의 한 점이라 하고, \(\mathbf x=\mathbf x(u(t), v(t))\)를 점 \(P\)를 지나는 \(C^2\)급 이상의 정칙 곡선이라고 하자. 점 \(P\)에서의 곡선 \(C\)로의 법곡률벡터(normal curvature vector)은 곡선 \(C\)의 점 \(P\)에서의 곡률벡터 \(\mathbf k\)의 점 \(P\)에서의 법선벡터 \(\mathbf N\) 위로의 정사영이고, 기호로 \(\mathbf k_n\)으로 나타낸다. 즉, \(\mathbf k_n=(\mathbf k\cdot \mathbf N)\mathbf N\)이다. 

또, 법곡률벡터의 크기(노름)을 법곡률(normal curvature)이라 하고, 기호로 \(\kappa_n\)이라 나타낸다. 즉, \(\kappa_n=\mathbf k\cdot \mathbf N\)이다. 

원래대로라면, 곡선의 매개변수 식을 이용하여 곡률벡터를 계산하고, 곡면의 단위 법선벡터를 이용하여 직접 법곡률벡터를 계산해야 하지만, 제1기본형식과 제2기본형식을 이용하면 다음과 같이 더 쉽게 계산될 수 있다.

[Theorem 9.13]

\(C^2\)급 이상인 곡면 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\) 위의 정칙 곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(u(t), v(t))\) 위의 각 점에서의 법곡률은 \[\kappa_n=\frac{L(du/dt)^2+2M(du/dt)(dv/dt)+N(dv/dt)^2}{E(du/dt)^2+2F(du/dt)(dv/dt)+G(dv/dt)^2}=\frac{\rm II}{\rm I}\]

# 증명 ▶

(Proof)

곡선 \(\mathbf x=\mathbf x(u(t), v(t))\)의 단위 접선 벡터를 \(\mathbf t\), 곡률벡터를 \(\mathbf k\)라 하면 \(\displaystyle \mathbf t=\frac{d\mathbf x/dt}{|d\mathbf x/dt|}\)이고, \(\displaystyle \mathbf k=\frac{d\mathbf t/dt}{|d\mathbf x/dt|}\)이다. 이때 \(\mathbf t\cdot \mathbf N=0\)이므로 이 등식의 양변을 \(t\)에 대하여 미분하면 \[\frac{d\mathbf t}{dt}\cdot \mathbf N+\mathbf t\cdot \frac{d\mathbf N}{dt}=0 \ \Rightarrow \ \frac{d\mathbf t}{dt}\cdot \mathbf N=-\mathbf t\cdot \frac{d\mathbf N}{dt}\]이다. 따라서 \[\begin{align}\kappa_n&=\mathbf k\cdot \mathbf N=\frac{(d\mathbf t/dt)\cdot \mathbf N}{|d\mathbf x/dt|}\\[.4em]&=\frac{-\mathbf t\cdot (d\mathbf N/dt)}{|d\mathbf x/dt|}\\[.4em]&=\frac{-(d\mathbf x/dt)\cdot (d\mathbf N/dt)}{|d\mathbf x/dt|^2}=\frac{\rm II}{\rm I}\end{align}\]을 얻는다.

(Recall) \(\mathrm I=|d\mathbf x|^2, \ \ \mathrm {II}=-d\mathbf x\cdot d\mathbf N\)이고, 곡면 위의 점의 진행 방향(즉, 곡선)의 구체적인 매개변수 \(t\)가 주어진 경우 \(\mathrm I=|d\mathbf x/dt|^2, \ \ \mathrm {II}=-(d\mathbf x/dt)\cdot (d\mathbf N/dt)\)이다. 

# ◀ 닫기

법곡률의 계산식을 보면, 곡면 위의 한 점이 정해진 경우 제1기본계수와 제2기본계수는 모두 동일하므로 법곡률의 값은 \((du/dt)/(dv/dt)\)의 값에만 의존하게 된다. 이 값은 곡면 위의 한 점에서의 접선의 방향이라고 생각할 수 있다. 실제로 \[\begin{align}\dfrac{d\mathbf x}{dt}&=\mathbf x_u\dfrac{du}{dt}+\mathbf x_v\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dt}\left(\mathbf x_u\frac{du/dt}{dv/dt}+\mathbf x_v\right)\end{align}\]이므로 비 \((du/dt)/(dv/dt)\)의 값이 같은 것은 접선이 평행한 것과 동치가 된다. 따라서 다음을 얻는다. 

[Theorem 9.14]

곡면 위의 점 \(P\)를 지나고, 점 \(P\)에서 동일한 접선을 갖는 모든 곡선의 법곡률은 동일하다. 

한편, 다음 그림과 같이 곡면 위의 곡선 \(C\) 위의 한 점 \(P\)에서의 주법선벡터를 \(\mathbf n\)이라 하고, \(\mathbf n\)과 법선벡터 \(\mathbf N\)가 이루는 각을 \(\alpha\)라고 할 때, \[\kappa_n=\mathbf k\cdot \mathbf N=\dot{\mathbf t}\cdot \mathbf N=\kappa(\mathbf n\cdot \mathbf N)=\kappa \cos\alpha\]

이고 \(\kappa_n\)은 [Theorem 9.14]에 의하여 곡선 \(C\)의 접선의 방향에 의하여 결정되고, \(\alpha\)는 곡선 \(C\)의 주법선벡터에 의해 결정되므로, \(\cos\alpha\neq 0\)이면 \(\kappa\)는 곡선 \(C\)의 접선과 주법선에 의하여 완전히 결정된다. 따라서 다음을 얻는다.

[Theorem 9.15]

곡면 위의 점 \(P\)를 지나고, 이 점에서 접평면과 평행하지 않은 동일한 접촉 평면(osculating plane)을 가지는 모든 곡선의 곡률은 동일하다. 

위의 내용은 수식으로뿐만 아니라 기하적으로도 설명될 수 있다. 위 정리는 사실 곡면과 평면이 어떤 점에서 만나는 경우, 그 점 근방에서는 곡선과 평면이 만나는 교선이 그 곡선의 국소적인 형태를 나타낸다는 의미이다.

위 내용에서 \(\alpha=0\)인 경우, 다시 말해서 접촉평면이 법선벡터 \(\mathbf N\)을 포함하는 경우 곡선 \(C\)를 이 점에서의 곡면의 법단면(normal section)이라고 한다. 위의 정리를 설명하는 과정으로부터 다음을 얻을 수 있다.

[Corollary 9.16]

점 \(P\)에서의 법단면의 곡률은 점 \(P\)에서의 곡면 위로의 법곡률과 같다. 

한편, 법곡률은 \(du\)의 값과 \(dv\)의 값의 비율에 따라 결정되므로 곡면의 매개화와 관계없이 법곡률은 동일하다. (정확히 말하면 절댓값이 동일하다. 곡면의 매개화는 단위 법선벡터의 방향을 바꾸지는 않지만, 부호는 바꿀 수도 있다.) 그래서 \(du:dv\)를 방향비(direction ratio)라고 한다. 또한, \(d\mathbf x=\mathbf x_u du+\mathbf x_v dv\)라는 의미에서 이 방향비에 의하여 곡선의 방향이 결정된다. 

[Example 9.17]

중심이 원점이고 반지름이 \(a\)인 구 \(\mathbf x=(a\cos\theta\sin\phi, \ a\sin\theta\sin\phi, \ a\cos\phi)\)에 대하여 계산에 의해 \[\begin{align}&E=a^2\sin^2\phi, \ \ F=0, \ \ G=a^2, \\[.4em] &L=a\sin^2\phi, \ \ M=0, \ \ N=a\end{align}\]을 어렵지 않게 얻을 수 있다. 이로부터 \[\kappa_n=\frac{Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2}{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}=\frac{a\sin^2\phi\, d\theta^2+a\, d\phi^2}{a^2\sin^2\phi\, d\theta^2+a^2\,d\phi^2}=\frac{1}{a}\]을 얻는다. 이는 사실 구의 법단면이 구의 반지름과 동일한 대원이라는 사실로부터 명백하다. 

[Example 9.18]

곡면 \(\mathbf x=(u, \, v, \, u^2-v^2)\)에 대하여 계산을 통해 \[\begin{align}&E=1+4u^2, \ \  F=-4uv, \ \ G=1+4v^2 \\[.4em] &L=\frac{2}{\sqrt{4u^2+4v^2+1}}, \ \  M=0, \ \ N=-\frac{2}{\sqrt{4u^2+4v^2+1}}\end{align}\]을 얻는다. 이때 \[LN-M^2=-\frac{4}{4u^2+4v^2+1}\]이므로 곡면 위의 모든 점은 쌍곡점이다. 

특히 원점에서 \(E=1, \ F=0, \ G=1, \ L=2, \ M=0, \ N=-2\)이므로 원점에서의 법곡률은 \(\kappa_n=\dfrac{2(du^2-dv^2)}{du^2+dv^2}\)이다. 이때 이 법곡률의 값은 비 \(du:dv\)에 의해서 결정되므로 \(du^2+dv^2=1\) 즉, \(du=\cos\theta, \ dv=\sin\theta\)로 두어도 무방하다. (비가 중요하지 \(du\)와 \(dv\)의 정확한 값은 중요하지 않다.) 이렇게 두면 \(\kappa_n=2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=2\cos2\theta\)이므로 \(\theta\)의 값에 따른 법곡률의 값은 다음 그래프와 같다. 

 

주곡률과 주방향

곡면 위의 한 점에서의 법곡률은 그 점의 진행 방향에 의해서 결정되는데, 자연스럽게 이 변화하는 양이 언제 가장 커지고 작아지는지 관찰하는 것이 관심사 중 하나가 될 것이다. 이를 관찰하기 위해서 [Example 9.18]과 비슷한 방법으로 법곡률을 계산할 것이다.

어떤 곡면 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)와 그 위의 점 \(P\)에 대하여 그 곡면을 적당히 평행이동, 회전이동하면 그림과 같이 점 \(P\)가 원점에 위치하도록 할 수 있고, \(\mathbf x_u=(1, 0, 0)\), \(\mathbf x_v=(0, 1, 0)\)이 되도록 할 수 있다. 즉, 이 경우 곡면의 매개변수 표현은 몽쥬 조각 \(\mathbf x=(u, \, v, \, f(u, v))\)가 된다. (매끄러운 곡면은 각 점의 근방에서 몽쥬 조각을 가진다.)

이 경우, \(E=1, \ F=0, \ G=1\)이 되고, [Example 9.18]과 같은 방법으로 \(du=\cos\theta, \ dv=\sin\theta\)를라 두면 \[\kappa_n=\frac{Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2}{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}=L\cos^2\theta+2M\cos\theta\sin\theta+N\sin^2\theta\]이다. 이를 좌표평면(\(x_1x_2-\)평면)에 올려두고 관찰하기 위해서 \(x_1=r\cos\theta, \ x_2=r\sin\theta\)라 두고 \(|\kappa_n|=1/r^2\)이라 하면 \[Lx_1^{\ 2}+2Mx_1x_2+Nx_2^{\ 2}=\pm 1\]을 얻는다. 위의 방정식은 좌표평면 위에서의 이차곡선 형태의 그래프를 나타낸다. 이를 뒤팽의 지시곡선(Dupin's indicatrix)라고 한다. 

점 \(P\)가 타원점인 경우 (\(LN-M^2>0\)), 위의 지시곡선은 축이 기울어진 타원을 나타내고, 점 \(P\)가 쌍곡점인 경우 (\(LN-M^2<0\)), 위의 지시곡선은 축이 기울어진 쌍곡선이다. 쌍곡선의 방정식의 형태로부터 \(\left(x^2/a^2-y^2/b^2=\pm 1\right)\) 두 쌍의 곡선 중 하나는 \(\kappa_n>0\)인 곡선이고 다른 하나는 \(\kappa_n<0\)인 곡선이며, 두 쌍곡선 사이의 점근선은 \(\kappa_n=0\)인 선을 나타낸다. 또한, 점 \(P\)가 포물점인 경우 (\(LN-M^2=0, \ L^2+M^2+N^2\neq 0\)), 위의 지시곡선은 한 쌍의 평행한 직선을 나타낸다. 마지막으로 점 \(P\)가 평면점인 경우 (\(L=M=N=0\)), 위의 지시곡선은 좌표평면 위에 존재하지 않는다.

위의 지시곡선이 나타내는 그래프를 보면, \(|\kappa_n|=1/r^2\)의 값은 지시곡선 위의 점 중에서 원점에서 가장 거리가 먼 점에서 최솟값을 가지고, 원점에서 가장 거리가 가까운 점에서 최댓값을 가진다. 이는 이차곡선 형태(타원, 쌍곡선)에서는 축의 방향이고, 포물점 근방에서는 지시곡선과 평행한 직선과 수직인 직선의 방향이 될 것이다. 이렇게 법곡률이 최댓값과 최솟값을 갖는 점으로의 방향을 주방향(principal direction)이라 하고, 법곡률의 최댓값과 최솟값을 통틀어 주곡률(principal curvature)이라 한다. 

특수한 경우로서, 타원점에서 지시곡선이 원인 경우(즉, 주곡률의 값이 그 점의 모든 방향에서 \(0\)이 아닌 상수인 경우)와 지시곡선이 존재하지 않는 경우(주곡률의 값이 항상 \(0\)인 경우)가 있다. 곡면 위의 어떤 점에서 모든 방향으로의 주곡률의 값이 일정한 경우, 이 점을 배꼽점(umbilical point)이라 한다. 

[Example 9.19]

(1) [Example 9.17]에서와 같이 구의 법곡률은 일정하므로 구의 모든 점은 배꼽점이다.

(2) 평면의 매개변수 표현은 \(\mathbf x=\mathbf a+\mathbf bu+\mathbf cv\) (단, \(\mathbf a, \ \mathbf b, \ \mathbf c\)는 상수벡터)이다. 이때 \(L=M=N=0\)이므로 평면 위의 모든 점의 법곡률은 \(0\)이며, 평면 위의 모든 점도 배꼽점이다.

(3) [Example 9.18]의 곡선 \(\mathbf x=(u, \, v, \, u^2-v^2)\)에 대하여 \(\kappa_n=\dfrac{2(du^2-dv^2)}{du^2+dv^2}\)이다. 위의 논의와 같은 방법으로 \(du=\cos\theta, \ dv=\sin\theta\), \(r^2=1/|\kappa_n|\), \(x_1=r\cos\theta, \ x_2=r\sin\theta\)라 하면 지시곡선 \(2(x_1^{\ 2}-x_2^{\ 2})=\pm 1\)을 얻는다. 이 쌍곡선들은 좌표평면의 두 축을 주축으로 가지고, 주축의 길이는 \(\sqrt 2\)이고 이때 \(r=\pm 1/\sqrt{2}\)이므로 \(|\kappa_n|=1/r^2\)에서 \(\kappa_n\)의 최솟값은 \(-2\), 최댓값은 \(2\)이며 주방향은 \(x_1-\)축과 \(x_2-\)축이 된다. 

한편, 주곡률을 위와 같은 지시곡선으로 항상 구하기는 쉽지 않으므로, 다음과 같은 정리들을 이용하여 주곡률과 주방향을 구할 수 있다.

[Theorem 9.20]

점 \(P\)에서의 주곡률이 \(\kappa\)이고, 주방향이 \(du: dv\)일 필요충분조건은 실수 \(\kappa\)와 \(du\), \(dv\)가 다음을 만족시키는 것이다. \[\begin{cases}(L-\kappa E)du+(M-\kappa F)dv=0 \\[.5em] (M-\kappa F)du+(N-\kappa G)dv=0 \end{cases} \quad \left(du^2+dv^2\neq 0\right)\]

# 증명 ▶

(Proof)

점 \(P\)에서 \(\kappa_n=\mathrm{\dfrac{II}{I}}\)은 \(du, \, dv\)에 대한 \(C^1\)급 이상의 함수이므로 \(\kappa_n\)이 최댓값과 최솟값을 가질 때, \[\left.\dfrac{\partial}{\partial (du)}\mathrm{\left(\dfrac{II}{I}\right)}\right|_P=0\, , \quad \left.\dfrac{\partial}{\partial (dv)}\mathrm{\left(\dfrac{II}{I}\right)}\right|_P=0\]을 만족시킨다. 이때 \[\begin{align}\dfrac{\partial}{\partial (du)}\mathrm{\left(\dfrac{II}{I}\right)}&=\frac{\mathrm {II_{du}I-I_{du}II}}{\mathrm I^2}\\[.4em]&=\frac{2Ldu+2Mdv-\kappa_n(2Edu+2Fdv)}{\mathrm {I}}\\[.4em]&=\frac{2[(L-\kappa_nE)du+(M-\kappa_nF)dv]}{\mathrm I}\end{align}\]이고 비슷한 방법으로 \[\dfrac{\partial}{\partial (dv)}\mathrm{\left(\dfrac{II}{I}\right)}=\frac{2[(M-\kappa_nF)du+(N-\kappa_nG)dv]}{\mathrm I}\]이다. 따라서 주곡률을 \(\kappa\)라 하면 구하는 결과를 얻을 수 있다.

# ◀ 닫기

주곡률 \(\kappa\)의 값을 구하려고 할 때, [Theorem 9.20]을 \(du \, dv\)에 대한 동차 연립방정식(homogeneous equation system)으로 보면, 이 연립방정식은 \((du, dv)=(0, 0)\) 이외의 다른 해를 가져야 하므로 \[\det\begin{bmatrix}L-\kappa E & M-\kappa F \\M-\kappa F & N-\kappa G \end{bmatrix}=0\]을 얻는다. 이를 전개하면 다음을 얻는다. 

[Theorem 9.21]

실수 \(\kappa\)가 어떤 곡면의 한 점에서의 주곡률일 필요충분조건은 \(\kappa\)가 다음 방정식의 해가 되는 것이다. \[(EG-F^2)\kappa^2-(EN+GL-2FM)\kappa+(LN-M^2)=0\]

다음은 가우스 곡률과 평균 곡률에 관한 설명이다. 이는 단순히 두 주곡률의 곱과 합을 각각 의미한다. [Theorem 9.21]의 방정식에서 근과 계수의 관계를 이용하여 이 두 값을 구할 수 있다.

[Definition 9.22]

곡면 위의 어떤 점 \(P\)에서의 주곡률을 \(\kappa_1, \, \kappa_2\)라 할 때, 이 점에서의 평균 곡률(mean curvature)은 \[H=\frac{1}{2}(\kappa_1+\kappa_2)=\frac{EN+GL-2FM}{2(EG-F^2)}\]이고, 이 점에서의 가우스 곡률(Gaussian curvature)은 \[K=\kappa_1 \kappa_2=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}\]이다. 

\(EG-F^2>0\)이므로 가우스 곡률 \(K\)의 값의 부호는 \(LN-M^2\)의 값의 부호에 따라 결정된다. 이로부터 \(K>0\)인 점은 타원점, \(K<0\)인 점은 쌍곡점, \(K=0\)인 점은 포물점 또는 평면점이 된다. 

[Example 9.23]

(1) 반지름이 \(r\)인 구 위의 모든 점에서의 법곡률은 \(1/a\)이므로 구면 위에서 가우스 곡률은 \(K=1/a^2\)이다. 

(2) 토러스 \[\mathbf x=((b+a\sin \phi)\cos\theta, \; (b+a\sin\phi)\sin\theta, \; a\cos\phi)\]에 대하여 \[E=(b+a\sin\phi)^2, \; F=0 , \; G=a^2, \; L=(b+a\sin\phi)\sin\phi, \; M=0, \; N=a\]이므로 [Theorem 9.21]에 의하여 두 주곡률의 값은 \(\kappa_1=\dfrac{1}{a}, \; \kappa_2=\dfrac{\sin\phi}{b+a\sin\phi}\)이다. 반지름이 \(a\)인 원의 곡률은 \(1/a\)이므로 토러스 위의 각 점에서 한 주곡률의 값은 토러스를 생성하는 원의 주곡률과 같다. (즉, 토러스를 생성하는 원이 한 주방향이다.) 다른 주곡률의 값 \(\kappa_2\)는 \(\phi\)의 값에 따라 달라진다. 예를 들어, 이 주곡률의 값은 \(\phi=\pi/2\)의 토러스 위로의 상에서(즉, 토러스의 가장 바깥쪽 둘레에서) 최댓값 \(1/(b+a)\)을 갖는다. 

 

곡률선과 로드리게스의 공식

곡률선은 곡면 위의 곡선 중에서 진행 방향이 주방향과 일치하는 곡선을 의미한다. 즉, 어떤 곡선의 각 점에서의 접선 벡터가 그 점에서의 곡면의 주방향과 일치하면 그 곡선을 곡률선(line of curvature)이라 한다. 우선, 곡면 위의 어떤 점에서 주방향을 결정하는 공식은 다음과 같다.

[Theorem 9.24]

곡면 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\)에서 방향 \(du:dv\)가 주방향일 필요충분조건은 \(du\)와 \(dv\)가 \[(EM-LF)du^2+(EN-LG)dudv+(FN-MG)dv^2=0\]을 만족시키는 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

[Theorem 9.20]에서 \[\begin{cases}(L-\kappa E)du+(M-\kappa F)dv=0 \\[.5em] (M-\kappa F)du+(N-\kappa G)dv=0 \end{cases} \quad \left(du^2+dv^2\neq 0\right)\]을 \(\kappa\)에 대하여 정리하면

\[\begin{cases}(Ldu+Mdv)-\kappa(Edu+Fdv)=0 \\[.5em] (Mdu+Ndv)-\kappa(Fdu+Gdv)=0 \end{cases}\]이고, 이 연립방정식은 비자명한 해를 가져야 하므로 \[\det\begin{bmatrix}Ldu+Mdv & Edu+Fdv \\[.1em]Mdu+Ndv & Fdu+Gdv \end{bmatrix}=0\]이다. 이를 전개하여 정리하면 위 방정식을 얻는다.

# ◀ 닫기

실제로 이를 이용하여 \(du, \,dv\)에 대한 관계식을 구하더라도 그에 대한 곡선의 구체적인 형태는 미분방정식을 풀어야 구할 수 있다. 즉, 미분방정식의 해가 곡률선이다. 다음은 간단하게 구할 수 있는 곡률선의 예시이다. 

[Example 9.25]

곡면 \(\mathbf x=\left(u, \, v, \, u^2+v^2\right)\)에 대하여 계산을 이용하여 \[\begin{align} &E=1+4u^2, \ \ F=4uv, \ \ G=1+4v^2,\\[.4em] &L=\frac{2}{\sqrt{4u^2+4v^2+1}}, \ \ M=0, \ \ N=\frac{2}{\sqrt{4u^2+4v^2+1}}  \end{align}\] [Theorem 9.24]의 방정식을 이용하여 정리하면 \[uv\, du^2+(v^2-u^2)\,dudv-uv\, dv^2=0\]이다. 이를 인수분해하여 풀면 \[(udu+vdv)(vdu-udv)=0 \ \Rightarrow \ udu+vdv=0, \ \ vdu-udv=0\] \(udu+vdv=0\)인 경우 양변을 적분하여 \[\int udu+vdv=C \ \Rightarrow \ u^2+v^2=r^2\]을 얻고, \(vdu-udv=0\)인 경우, \(\dfrac{1}{u}du-\dfrac{1}{v}dv=0\)이므로 이 등식의 양변을 적분하여 \[\int \frac{1}{u}du-\frac{1}{v}dv=C \ \Rightarrow \ \ln u-\ln v=C \ \Rightarrow \ u=av\]을 얻는다. 즉, 이 곡면의 곡률선은 그림과 같이 원과 직선의 곡면 위의 상이다.

일반적으로 다음과 같은 사실이 알려져 있다. 즉, 부드러운 곡면에서는 각 점에서 주방향이 매개변수 곡선이 되도록 매개변수를 설정할 수 있다. (여기서 주로 다룰 내용과는 좀 거리가 있어 증명은 생략.)

[Theorem 9.26]

\(C^2\)급 이상의 곡면 위의 각 점 \(P\)에서 \(P\)를 포함하고, \(u-\)매개변수 곡선과 \(v-\)매개변수 곡선이 주방향이 되도록 하는 좌표 조각이 존재한다. 

그러나, 임용시험과 같은 문제 등에서는 주방향이 어떤 방향인지, 주곡률이 얼마인지 찾는 것을 중요하게 다루기 때문에 실제로 어떻게 주방향을 구할 수 있는지에 대한 관심이 있다. 특히, 매개변수 곡선이 주방향인 경우가 많아 실제로 매개변수 곡선이 주방향인지 확인해보는 것이 중요할 것이다. 이에 관한 유용한 정리로 다음이 있다.

[Theorem 9.27]

곡면 \(\mathbf x=\mathbf x(u, v)\) 위의 배꼽점이 아닌 점에서 \(u-\)매개변수 곡선과 \(v-\)매개변수 곡선이 주방향일 필요충분조건은 그 점에서 \(F=M=0\)인 것이다.

# 증명 ▶

(Proof)

\(d\mathbf x=\mathbf x_udu+\mathbf x_vdv\)에서 \(u-\)매개변수 곡선 방향은 \(du:dv=1:0\)인 방향이고, \(v-\)매개변수 곡선 방향은 \(du:dv=0:1\)인 방향이다. 즉, [Theorem 9.24]의 방정식이 \(du:dv=1:0\)일 때 만족되어야 하고, \(du:dv=0:1\)일 때에도 만족되어야 하므로 \(FN-MG=0\), \(EM-LF=0\)이어야 한다. 이때 두 주방향은 서로 수직이므로 \(F=0\)이고, \(EG-F^2>0\)이므로 \(M=0\)을 얻는다. 역으로 \(F=M=0\)일 때, 두 매개변수 곡선이 주방향이 된다는 것을 어렵지 않게 확인할 수 있다.

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법곡률을 구하는 공식 \[\kappa_n=\frac{Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2}{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}\]에 \(du:dv=1:0\), \(du:dv=0:1\)을 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

[Theorem 9.28]

곡면 위의 어떤 점에서 \(u-\)매개변수 곡선과 \(v-\)매개변수 곡선이 주방향일 때, 두 주곡률 \(\kappa_1\)과 \(\kappa_2\)의 값은 \(\kappa_1=L/E\), \(\kappa_2=N/G\)이다. 

따라서 어떤 곡면과 그 곡면에서 주곡률이나 주방향을 묻는 문제가 등장했을 때, 제1기본계수와 제2기본계수를 계산하여 매개변수 곡선이 주방향인지 먼저 확인하고, 그렇지 않다면 [Theorem 9.21]과 [Theorem 9.24]를 이용하여 주곡률과 주방향을 구해야 한다.

로드리게스의 공식이란 실용적이라기보다는 주곡률의 정체성을 드러내는 간결한 공식이다. 즉, 실용적이지는 않으나 표현이 명료하여 주곡률이 어떤 성질을 내포하는지 한 줄로 표현할 수 있는 공식이다.

[Theorem 9.29]

\(du:dv\)가 주방향일 필요충분조건은 어떤 실수 \(\kappa\)가 존재하여 \(d\mathbf N=\mathbf N_udu+\mathbf N_vdv\)와 \(d\mathbf x=\mathbf x_udu+\mathbf x_vdv\)가 \[d\mathbf N=-\kappa d\mathbf x\]를 만족시키는 것이다. 이때 \(\kappa\)의 값은 방향 \(du:dv\)으로의 주곡률이다. 

# 증명 ▶

(Proof)

[Theorem 9.20]에 의하여 \[\begin{cases}(-\mathbf N_u\cdot\mathbf x_u-\kappa \mathbf x_u\cdot\mathbf x_u)du+(-\mathbf N_v\cdot \mathbf x_u-\kappa\mathbf x_v\cdot \mathbf x_u)dv=0\\[.4em](-\mathbf N_u\cdot \mathbf x_v-\kappa\mathbf x_u\cdot \mathbf x_v)du+(-\mathbf N_v\cdot \mathbf x_v-\kappa \mathbf x_v\cdot \mathbf x_v)dv=0 \end{cases}\]이고, 두 등식을 각각 \(\mathbf x_u\)와 \(\mathbf x_v\)의 내적으로 묶으면 \[\begin{cases}[(\mathbf N_udu+\mathbf N_vdv)+\kappa(\mathbf x_udu+\mathbf x_vdv)]\cdot \mathbf x_u=0\\[.4em] [(\mathbf N_udu+\mathbf N_vdv)+\kappa(\mathbf x_udu+\mathbf x_vdv)]\cdot \mathbf x_v=0\end{cases}\]을 얻고, \(d\mathbf N=\mathbf N_udu+\mathbf N_vdv\)이고 \(d\mathbf x=\mathbf x_udu+\mathbf x_vdv\)이므로 \[(d\mathbf N+\kappa d\mathbf x)\cdot \mathbf x_u=0\, , \quad (d\mathbf N+\kappa d\mathbf x)\cdot \mathbf x_v=0\]이다. 그러나 두 벡터 \(d\mathbf N\)과 \(d\mathbf x\)는 접평면과 평행하므로 \(d\mathbf N+\kappa d\mathbf x=\mathbf 0\)을 얻는다. 

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Reference: <Schaum's Outlines: Differential Geometry> Martin Lipschultz, 1969