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[Problem 1] 거리공간 \(X\)의 서로소인 닫힌 집합 \(A, \, B\)에 대하여 \(A\subset G\)이고 \(B\subset H\)인 두 서로소인 열린 집합 \(G, \, H\)가 존재함을 보여라. [Cf] 이를 통해 거리 공간은 정규 공간임을 알 수 있다. 더보기 # Solution ▶ (Proof) 일반성을 잃지 않고, \(A\)와 \(B\)가 각각 공집합이 아니라고 하자. \(A\), \(B\)가 서로소인 닫힌 집합이므로 \(d(A, B):=\delta>0\)이라 둘 수 있다. 이때 \(\displaystyle G=\bigcup_{a\in A}S(a, \delta/3)\), \(\displaystyle H=\bigcup_{b\in B}S(b, \delta/3)\)라 하자. 그러면 ..

거리 함수(Metric) 일반적인 위상 공간은 \(\Bbb R\)의 열린구간을 추상화하여 만든 공간이다. 반대로 위상 공간 중에서 \(\Bbb R\)이나 \(\Bbb R^2\)과 같이 '거리'와 같은 역할을 하는 것이 거리 함수(Metric)이다. 좌표평면에서 두 점 \(\mathrm{A} (x_1, y_1),\; \mathrm{B} (x_2, y_2)\) 사이의 거리는 \(\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)로 주어지는데, 이는 좌표평면 위의 두 점을 양의 실수로 대응시키는 함수로 볼 수 있다. 이와 같이 거리는 특정한 조건을 만족시키는 함수이다. [Definition 0.0] \(X\)를 공집합이 아닌 집합이라고 하자. 함수 \(d: X\..

위상동형사상(Homeomorphism) 집합론에서 일대일대응은 두 집합 간의 관계를 나타낼 때 이용하곤 한다. 추상대수학의 동형사상 또한 두 군이나 체가 구조적으로 동일하다는 것을 알려준다. 위상동형사상이라 불리는 위상공간에서의 함수 또한 두 위상공간의 구조가 동일함을 알려준다. 우선 동형사상을 정의하기 위해서는 열린 사상과 닫힌 사상에 대한 정의가 필요하다. [Definition 2.0] (1) 함수 \(f: X \to Y\)와 \(X\)의 임의의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \(f[G]\)가 \(Y\)의 열린 집합이면(즉, 함수 \(f^{-1}\)가 연속이면) 함수 \(f\)를 열린 함수(open function)이라고 한다. (2) 함수 \(f: X \to Y\)와 \(X\)의 임의의 닫힌 집합 ..

함수의 연속 해석학에서 함수의 연속은 국소적인 (한 점에서의) 성질로 도입하고, 그것을 이용하여 대역적 성질(구간에서의 연속)을 유도하게 된다. 일반 위상수학에서는 이와 다르게 '열린 집합'으로 도입하고, 이후에 한 점에서의 연속과 연결짓는다. 위상수학의 특성 상 '열린 집합'이라는 개념을 주로 이용하기 때문이다. 위상수학에서도 함수의 연속은 해석학의 \(\epsilon-\delta\) 논법과 비슷하게 정의한다. [Definition 0.0] 두 위상공간 \((X, \mathcal T)\), \((Y, \mathcal T^*)\)와 함수 \(f: X \to Y\)가 있다. 임의의 \(\mathcal T^*-\)열린 집합 \(H\)에 대하여 \(f^{-1}(H)\)가 \(\mathcal T-\)열린 집합이..

[Problem 0.0] \(\Bbb R\) 위에서의 반닫힌구간 \((a, b]\)들을 기저의 원소로 갖는 상극한 위상(upper limit topology) \(\mathcal T\)와 보통 위상 \(\mathcal U\)에 대하여 \(\mathcal U \subset \mathcal T\)임을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) 임의의 두 실수 \(a, b\) \((a0\)이고 \(b0\}\cup \{[0, b) \mid b

기저(Basis) 경험적으로 어떤 위상 공간의 열린 집합을 생각할 때, 우리는 특수한 형태의 열린 집합을 떠올린다. 예를 들어 \(\Bbb R\)에서의 열린구간이나 \(\Bbb R^2\)의 열린 원판과 같은 것이다. 이들은 그 자체로 열린 집합의 모든 종류를 보여주진 않지만, 적당한 연산을 통해 모든 열린 집합을 표현할 수 있게 된다. 이렇게 특수한 조건을 만족시키는 열린 집합들의 모임을 기저라고 하고, 기저의 원소들을 이용하여 모든 열린 집합을 표현할 수 있게 된다. [Definition 0.0] 위상공간 \((X, \mathcal T)\)에서 다음 조건을 만족시키는 열린 집합들의 모임 \(\mathcal B\, \)를 기저(basis)라고 한다. － 모든 \(G\in \mathcal T\)는 \(\m..

집합의 폐포, 내부, 외부, 경계 폐포(덮개)라 함은 어떤 집합을 말 그대로 '덮는' 집합이다. 어떤 집합을 완벽하게 덮기 위해서는, 그 집합에 딱 붙어 있는 집적점까지 포함하고 있어야 할 것이다. 따라서 폐포는 어떤 집합을 포함하는 닫힌 집합이라는 의미가 있다. [Definition 0.0] 집합 \(A\)를 위상공간 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 집합 \(A\)를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합을 집합 \(A\)의 폐포(closure)라 하고, 기호로 \(\bar A\) 또는 \(A^-\)와 같이 표현한다. 이때 폐포의 정의에 따라 자명하게 \(\bar A\)는 \(A\)를 포함하는 닫힌 집합 중 가장 작은 집합이라고 할 수 있다. 또한, 다음이 성립함을 어렵지 않게 보일 수 있다. [Coro..

위상공간의 정의 위상수학의 많은 개념은 실해석학에서 따온 것들이 많다. 예를 들어 해석학에서 말하는 열린구간(open interval), 닫힌구간(closed interval)로부터 위상수학의 열린 집합(open set)과 닫힌 집합(closed set)을 파생했다. 위상(topology)이란 특수한 조건을 만족시키는 집합들의 모임이다. [Definition 0.1] \(X\)를 공집합이 아닌 집합이라고 하자. 다음 공리(axiom)를 만족시키는 집합 \(X\)의 부분집합들의 모임 \(\mathcal T\)를 집합 \(X\) 위에서의 위상(Topology)라고 한다. \(\mathbf{\mathrm [O_1]}\) \(X\)와 \(\varnothing\)은 \(\mathcal T\)에 속한다. \(\ma..