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함수의 연속 해석학에서 함수의 연속은 국소적인 (한 점에서의) 성질로 도입하고, 그것을 이용하여 대역적 성질(구간에서의 연속)을 유도하게 된다. 일반 위상수학에서는 이와 다르게 '열린 집합'으로 도입하고, 이후에 한 점에서의 연속과 연결짓는다. 위상수학의 특성 상 '열린 집합'이라는 개념을 주로 이용하기 때문이다. 위상수학에서도 함수의 연속은 해석학의 \(\epsilon-\delta\) 논법과 비슷하게 정의한다. [Definition 0.0] 두 위상공간 \((X, \mathcal T)\), \((Y, \mathcal T^*)\)와 함수 \(f: X \to Y\)가 있다. 임의의 \(\mathcal T^*-\)열린 집합 \(H\)에 대하여 \(f^{-1}(H)\)가 \(\mathcal T-\)열린 집합이..

[Problem 0.0] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n\geq 0, \; b_n \geq 0\)이고 \(\sum a_n^{\;2}\,\)과 \(\sum b_n^{\;2}\,\)이 수렴하면 \(\sum a_nb_n\)도 수렴함을 증명하시오. 더보기 # Solution ▶ (Proof) \(a_n\geq 0\)이고 \(b_n\geq 0\)이므로 \(a_nb_n\leq (a_n^{\;2}+b_n^{\;2})/2\)이다. 이때 문제의 조건으로부터 \(\sum(a_n^{\;2}+b_n^{\;2})/2\,\)이 수렴하므로 단조 수렴 정리(또는 유계 수렴 정리)에 의하여 \(\sum a_nb_n\)도 수렴한다. [cf] \(a_n, \, b_n\geq 0\)이므로 \(\displaystyle \sum_{..

[Problem 0.0] \(\Bbb R\) 위에서의 반닫힌구간 \((a, b]\)들을 기저의 원소로 갖는 상극한 위상(upper limit topology) \(\mathcal T\)와 보통 위상 \(\mathcal U\)에 대하여 \(\mathcal U \subset \mathcal T\)임을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) 임의의 두 실수 \(a, b\) \((a0\)이고 \(b0\}\cup \{[0, b) \mid b

기저(Basis) 경험적으로 어떤 위상 공간의 열린 집합을 생각할 때, 우리는 특수한 형태의 열린 집합을 떠올린다. 예를 들어 \(\Bbb R\)에서의 열린구간이나 \(\Bbb R^2\)의 열린 원판과 같은 것이다. 이들은 그 자체로 열린 집합의 모든 종류를 보여주진 않지만, 적당한 연산을 통해 모든 열린 집합을 표현할 수 있게 된다. 이렇게 특수한 조건을 만족시키는 열린 집합들의 모임을 기저라고 하고, 기저의 원소들을 이용하여 모든 열린 집합을 표현할 수 있게 된다. [Definition 0.0] 위상공간 \((X, \mathcal T)\)에서 다음 조건을 만족시키는 열린 집합들의 모임 \(\mathcal B\, \)를 기저(basis)라고 한다. － 모든 \(G\in \mathcal T\)는 \(\m..

[Problem 0.0] Let \(a_n=\displaystyle \left(1+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\cdots+\right)-2\sqrt{n+1}\). Prove that \(\{a_n\}\) has a limit. 더보기 # Solution ▶ (Proof) \(\{a_n\}\) is strictly increasing and bounded above.(\(

집합의 폐포, 내부, 외부, 경계 폐포(덮개)라 함은 어떤 집합을 말 그대로 '덮는' 집합이다. 어떤 집합을 완벽하게 덮기 위해서는, 그 집합에 딱 붙어 있는 집적점까지 포함하고 있어야 할 것이다. 따라서 폐포는 어떤 집합을 포함하는 닫힌 집합이라는 의미가 있다. [Definition 0.0] 집합 \(A\)를 위상공간 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 집합 \(A\)를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합을 집합 \(A\)의 폐포(closure)라 하고, 기호로 \(\bar A\) 또는 \(A^-\)와 같이 표현한다. 이때 폐포의 정의에 따라 자명하게 \(\bar A\)는 \(A\)를 포함하는 닫힌 집합 중 가장 작은 집합이라고 할 수 있다. 또한, 다음이 성립함을 어렵지 않게 보일 수 있다. [Coro..

여러 가지 정리들 실로우 정리와 함께 응용되는 여러 가지 정리들은 다음과 같다. 이들은 주로 특정한 위수의 군이 단순군인지 판별할 때 쓰인다. [Theorem 0.0] 유한군 \(G\)의 두 정규부분군 \(H, \, K\)가 \(H \cap K=\{e\}\)와 \(H \vee K=G\)을 만족시키면 \(G \simeq H\times K\)이다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) 우선 임의의 \(h\in H, \, k\in K\)에 대하여 \(H \triangleleft G, \, K \triangleleft G\)이므로 \[\begin{align} &k^{-1}hkh^{-1}=(k^{-1}hk)h^{-1}\in H, \\[0.1em] &k^{-1}hkh^{-1}=k^{-1}(hkh^{-1})\in K \..

위상공간의 정의 위상수학의 많은 개념은 실해석학에서 따온 것들이 많다. 예를 들어 해석학에서 말하는 열린구간(open interval), 닫힌구간(closed interval)로부터 위상수학의 열린 집합(open set)과 닫힌 집합(closed set)을 파생했다. 위상(topology)이란 특수한 조건을 만족시키는 집합들의 모임이다. [Definition 0.1] \(X\)를 공집합이 아닌 집합이라고 하자. 다음 공리(axiom)를 만족시키는 집합 \(X\)의 부분집합들의 모임 \(\mathcal T\)를 집합 \(X\) 위에서의 위상(Topology)라고 한다. \(\mathbf{\mathrm [O_1]}\) \(X\)와 \(\varnothing\)은 \(\mathcal T\)에 속한다. \(\ma..

집합의 크기 집합의 원소가 유한인 경우, 직접 세어서 어떤 것이 더 많은지 알 수 있으나 원소의 개수가 유한하지 않은 경우 직관적으로 어떤 집합이 더 '큰' 집합인지 알기 어렵다. 집합론에서는 이를 '대응'의 관점에서 이해한다. 두 집합 \[A=\{1,\, 2,\, \cdots,\, n,\, \cdots\}, \; B=\{2, \, 4, \, \cdots, \, 2n, \, \cdots\}\]은 눈으로 보기에 집합 \(A\)의 원소의 개수가 집합 \(B\)의 원소의 개수보다 많아 보인다. 그러나 함수 \[f:A \to B, \; f(x)=2x\]는 집합 \(A\)에서 집합 \(B\)로의 일대일대응이고, 두 집합의 각 원소는 함수 \(f\)에 의하여 대응된다고 볼 수 있다. 이런 면에서 집합 \(A\)와 ..