Math, Education, Music

1. 위상공간의 정의 [Problem 1.0] \(X\)가 무한집합이고 \(X\) 위의 위상 \(\mathcal T\)가 \(X\)의 모든 무한 부분집합을 열린 집합으로 갖는다고 하자. \(\mathcal T\)가 이산 위상공간임을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) 집합 \(X\)의 임의의 원소 \(p \in X\)에 대하여 \(X\ \backslash \ \{p\}\)는 무한집합이므로 이 집합은 가부번집합 \(\{x_n: x_n\in X, \ n\in \Bbb N\}\)을 부분집합으로 갖는다. 이때 \[A=\{x_{2n-1}: x_{2n-1}\in X, \ n\in \Bbb N\}, \quad B=\{x_{2n}: x_{2n}, \ n\in \Bbb N\}\]는 서로소인 \(X \ ..

1. 실수의 성질 [Problem 1.0] 양의 무리수 \(w\)에 대하여 집합 \(A\)를 \[A=\{m+nw: \, m+nw>0, \ m, \, n\in \Bbb Z\}\]라 할 때, \(\inf A=0\)임을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) (pf 1) \(A\)는 아래로 유계인 무한집합이고, \(A\)는 양수들의 집합이므로 \(\inf A\)가 존재하고, \(\inf A\geq 0\)이다. \(\inf A=\alpha >0\)이라고 가정하자. 그러면 \(\alpha\in A\)이다. 그렇지 않으면 하한의 정의로부터 \(\alpha0\)에 대하여 \(D=\{(a

[Problem 1] 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 연속이고 \(x=0\)에서 미분가능한 함수 \(f\) 중에서 임의의 양수 \(\delta\)에 대하여 임의의 \(0\)의 \(\delta-\)근방에서 미분가능하지 않은 점이 존재하는 함수 \(f\)의 예를 들어라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) 함수 \[f(x)=\begin{cases}x^2 \left|\displaystyle \sin\frac{1}{x} \right| & (x \neq 0)\\[.4em] \quad 0 & (x = 0)\end{cases}\]에 대하여 \(\left|x^2 \sin(1/x) \right|\leq x^2\)이므로 조임 정리에 의하여 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}x^2 \sin(1/..

거리 함수(Metric) 일반적인 위상 공간은 \(\Bbb R\)의 열린구간을 추상화하여 만든 공간이다. 반대로 위상 공간 중에서 \(\Bbb R\)이나 \(\Bbb R^2\)과 같이 '거리'와 같은 역할을 하는 것이 거리 함수(Metric)이다. 좌표평면에서 두 점 \(\mathrm{A} (x_1, y_1),\; \mathrm{B} (x_2, y_2)\) 사이의 거리는 \(\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)로 주어지는데, 이는 좌표평면 위의 두 점을 양의 실수로 대응시키는 함수로 볼 수 있다. 이와 같이 거리는 특정한 조건을 만족시키는 함수이다. [Definition 0.0] \(X\)를 공집합이 아닌 집합이라고 하자. 함수 \(d: X\..

원분확대체(Cyclotomic Extension) 원분(圓分)이란 말 그대로 원을 나눈다는 것이다. 다항식 \(x^n-1\)의 \(n\)개의 복소수의 근은 복소평면 위에서 단위원 \(|z|=1\)의 둘레를 \(n\)등분한다. 이런 점에서 일반적인 다항식의 정규 확대보다는 더욱 좋은 성질을 갖는다. [Definition 0.0] 체 \(F\) 위의 다항식 \(x^n-1\)의 분해체(splitting field)를 \(n\)차 원분확대체(\(n\)th cyclotomic extension)라고 한다. 다항식 \(x^n-1\)의 한 근을 \(\alpha\)라 하면 \[g(x)=(x^n-1)/(x-\alpha)=x^{n-1}+\alpha x^{n-2}+\cdots+ \alpha^{n-1}\]이므로 \(g(\al..

위상동형사상(Homeomorphism) 집합론에서 일대일대응은 두 집합 간의 관계를 나타낼 때 이용하곤 한다. 추상대수학의 동형사상 또한 두 군이나 체가 구조적으로 동일하다는 것을 알려준다. 위상동형사상이라 불리는 위상공간에서의 함수 또한 두 위상공간의 구조가 동일함을 알려준다. 우선 동형사상을 정의하기 위해서는 열린 사상과 닫힌 사상에 대한 정의가 필요하다. [Definition 2.0] (1) 함수 \(f: X \to Y\)와 \(X\)의 임의의 열린 집합 \(G\)에 대하여 \(f[G]\)가 \(Y\)의 열린 집합이면(즉, 함수 \(f^{-1}\)가 연속이면) 함수 \(f\)를 열린 함수(open function)이라고 한다. (2) 함수 \(f: X \to Y\)와 \(X\)의 임의의 닫힌 집합 ..

[Problem 1.0] 함수 \(f(x)=x-\tan x\)가 무수히 많은 양의 실근 \(x_1, \, x_2, \, \cdots \,\)을 가짐을 보이시오. 또한, \(n \to \infty\)일 때 \(x_n-g(n) \to 0\)인 간단한 함수 \(g(n)\)을 하나 찾으시오. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) \(f(n\pi)>0, \, \displaystyle \lim_{x \to (n+1/2)\pi^+}f(x) \to -\infty\)이므로 사잇값 정리에 의하여 \(n\pi < x_n < (n+1/2)\pi\)인 것을 알 수 있다. 이때 \(x_n=\tan x_n\)이고 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=\infty\)이므로 \(\displaystyle \..

함수의 연속 해석학에서 함수의 연속은 국소적인 (한 점에서의) 성질로 도입하고, 그것을 이용하여 대역적 성질(구간에서의 연속)을 유도하게 된다. 일반 위상수학에서는 이와 다르게 '열린 집합'으로 도입하고, 이후에 한 점에서의 연속과 연결짓는다. 위상수학의 특성 상 '열린 집합'이라는 개념을 주로 이용하기 때문이다. 위상수학에서도 함수의 연속은 해석학의 \(\epsilon-\delta\) 논법과 비슷하게 정의한다. [Definition 0.0] 두 위상공간 \((X, \mathcal T)\), \((Y, \mathcal T^*)\)와 함수 \(f: X \to Y\)가 있다. 임의의 \(\mathcal T^*-\)열린 집합 \(H\)에 대하여 \(f^{-1}(H)\)가 \(\mathcal T-\)열린 집합이..

[Problem 0.0] 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n\geq 0, \; b_n \geq 0\)이고 \(\sum a_n^{\;2}\,\)과 \(\sum b_n^{\;2}\,\)이 수렴하면 \(\sum a_nb_n\)도 수렴함을 증명하시오. 더보기 # Solution ▶ (Proof) \(a_n\geq 0\)이고 \(b_n\geq 0\)이므로 \(a_nb_n\leq (a_n^{\;2}+b_n^{\;2})/2\)이다. 이때 문제의 조건으로부터 \(\sum(a_n^{\;2}+b_n^{\;2})/2\,\)이 수렴하므로 단조 수렴 정리(또는 유계 수렴 정리)에 의하여 \(\sum a_nb_n\)도 수렴한다. [cf] \(a_n, \, b_n\geq 0\)이므로 \(\displaystyle \sum_{..

[Problem 0.0] \(\Bbb R\) 위에서의 반닫힌구간 \((a, b]\)들을 기저의 원소로 갖는 상극한 위상(upper limit topology) \(\mathcal T\)와 보통 위상 \(\mathcal U\)에 대하여 \(\mathcal U \subset \mathcal T\)임을 보여라. 더보기 # Solution ▶ (Proof) 임의의 두 실수 \(a, b\) \((a0\)이고 \(b0\}\cup \{[0, b) \mid b