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연결집합과 비연결집합 위상수학에서의 공간에 대한 논의는 모두 열린 집합으로부터 비롯된다. 연결성도 마찬가지인데, 크게 보면 연결집합이란 두 개의 서로소인 열린 집합으로 떼어낼 수 없는 집합을 의미한다. \(\Bbb R\)에서 예를 들어 집합 \(A=[-1, \,1]\)은 연결집합이지만 \(A\cap \Bbb Q\)는 연결집합이 아니다. \(A\cap \Bbb Q\)는 두 열린구간 \((-2, \, 1/\sqrt{2}), \; (1/\sqrt{2}, \,2)\)로 분리할 수 있기 때문이다. 연결성을 논의하기 위해 맨 처음 두 집합의 '분리'에 대해 얘기해야 한다. 위의 예시로부터 확장하여 분리된 두 개의 열린 집합에 의하여 나눌 수 있는 집합을 비연결집합이라고 하기 때문이다. [Definition 1.0]..

단순 곡면 단순 곡면은 '곡면'이라 불리는 좌표공간의 점들의 집합 중에서 좋은 위상적인 성질을 가지는 집합이다. 유클리드 공간에서의 열린 집합을 이용하여 정의될 수 있는 곡면이라면 거리 공간에서의 여러 정리를 이용할 수 있을 것이다. 단순 곡면의 정의는 다음과 같다. [Definition 2.0] \(\Bbb R^3\)의 점들의 집합 \(S\)가 다음 조건을 만족시키는 \(C^m\)급(\(m\geq 1\))의 좌표 조각들의 모임 \(\mathcal B\)를 가지면 \(S\)와 그 좌표 조각들의 모임을 통틀어 \(\Bbb R^3\)에서의 \(C^m\)급에서의 단순 곡면(simple surface)이라고 한다. (i) \(\mathcal B\)는 \(S\)를 덮는다. 즉, \(S\)의 임의의 점 \(P\)에..

실수체의 구조 실수체 \(\Bbb R\)에는 다음 성질이 있다. 실제로 다음을 만족시키는 임의의 체는 \(\Bbb R\)과 동형임이 알려져 있다. (1) 두 연산 \(+,\, \cdot\)에 대하여 체를 이룬다. (2) 순서체이다. (3) 완비 공리를 만족시킨다. 체는 사칙연산이 자유로운 대수적 구조이고, 이에 관한 관한 내용은 추상대수학을 조금만 공부하면 알 수 있다. 순서체란 쉽게 말하여 임의의 체의 두 원소 간의 순서를 줄 수 있다는 의미이다. 임의의 두 실수는 항상 '대소 비교'가 가능하다. 이는 순서 관계 '\(

추정(Estimation) 복소함수의 쓰임 중 하나는 특수한 급수나 특이적분의 계산에서의 활용이다. 이때 복소함수의 정적분이 최대 또는 최소가 되는 상황을 이용하는데, 이렇게 어떤 식의 값을 정확히 계산하지 않고, 특정한 목표를 위하여 근삿값을 구하는 것을 추정이라고 한다. 다음은 복소함수의 적분에서 추정을 할 때 가장 기본적으로 쓰이는 부등식이고, 실함수에서의 리만 적분에서와 형태가 동일한 부등식이다. [Theorem 2.0] 함수 \(f: [a, b] \to \Bbb C\)가 연속이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[\left|\int_a^b f(t)dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|dt\] [Note] 이는 실함수의 적분에서도 성립한다. 더보기 # 증명 ▶ (Proof) 만..

곡면의 정칙 매개표현 미분기하학은 크게 보면 곡선에 관한 이론과 곡면에 관한 이론으로 나누어져 있다. 곡면에서도 곡선과 마찬가지로 위치에 관계없이 곡면을 결정하는 두 요소가 있는데, 그것은 다음 챕터에서 다루고, 이전에 곡면에 관한 기본적인 사항에 대해 다룰 필요가 있다. 곡선은 하나의 매개변수로 표현되는 벡터 함수이고, 곡면은 두 개의 매개 변수로 표현되는 벡터 함수이다. 좌표평면 위의 모든 점을 공간으로 옮긴다고 생각하면 된다. 곡선과 같이 곡면도 '매끄럽고', '부드러운' 성질을 갖는 것들을 다룬다. 갑자기 어떤 점에서 툭 튀어 나온다거나 꺾인다거나 뾰족하게 솟아 있다던가 하는 것들은 좋은 곡면으로서 주제로 다루지 못한다. 이로써, 곡면의 정칙 매개표현(좋은 표현)을 다음으로 정의한다. [Defin..

하이네 - 보렐 정리 실수 전체의 집합과 같이 복소평면도 위상적으로 유클리드 공간과 구조가 동일하다. 사실 '거리 공간'이라는 위상적 구조는 많은 공통점을 공유한다. 컴팩트성도 그 중 하나이다. 하이네 - 보렐 정리는 실수 전체의 집합에서와 동일하게 복소 평면에서도 성립한다. [Theorem 0.0] [The Heine-Borel Theorem] 복소평면 \(\Bbb C\)의 부분집합 \(S\)가 컴팩트집합일 필요충분조건은 \(S\)가 닫힌 유계집합인 것이다. \(\Bbb R\)과 같이 \(\Bbb C\)에서도 집합을 잘게 쪼개서 그 중 하나의 부분에 열린 덮개의 대부분의 열린 집합이 속해 있음을 보이면 된다. 다만, 실수 전체의 집합에서는 닫힌구간을 반씩 나눠서 이런 얘기를 하면 되지만, \(\Bbb ..

곱위상과 곱공간 유클리드 공간 \(\Bbb R^m\)과 같이 특정한 성질을 갖는 여러 위상공간의 데카르트 곱(Cartesian product)을 이용하여 새로운 위상공간을 정의하고, 그 성질을 이용하여 그 공간에서의 구조를 관찰할 수 있다. 실제로 우리가 자주 보는 좌표평면 \(\Bbb R^2\)과 좌표공간 \(\Bbb R^3\)은 거의 \(\Bbb R\)과 동일한 성질을 공유한다. 위상공간은 열린 집합으로 공간의 구조를 정의하기 때문이다. 곱공간은 그 각자의 위상공간의 성질을 반영하도록 정의한 공간으로, 각 좌표로의 사영을 이용하여 정의한다. [Definition 0.0] \(\{(X_i, \ \mathcal T_i\}\)가 위상공간들의 모임이라 하고, \(X\)를 이 집합 \(X_i\)들의 데카르트 ..

곡선의 내재적 방정식 곡률과 열률의 정의로부터 \(\mathbf {\dot t}=\kappa \mathbf n, \; \mathbf {\dot b}=-\tau \mathbf n\)이다. 이를 이용하면 \[\begin{align}\mathbf {\dot n}=\frac{d}{ds}\{\mathbf b\times \mathbf t\}&=\mathbf {\dot b}\times \mathbf t+\mathbf b\times \mathbf {\dot t}\\[.5em] &=-\tau(\mathbf n\times \mathbf t)+\mathbf \kappa(b\times \mathbf n)\\[.5em] &=-\kappa \mathbf t+\tau \mathbf b\end{align}\]이다. 이를 정리하면 다..

미분가능성 복소함수는 기본적으로 \(\Bbb C\)(\(\Bbb R\)와 비슷한)에서의 함수이므로 연속성이나 미분가능성을 얘기할 때 실함수와 다르게 여러 방향에서의 극한을 생각할 수밖에 없다. 다만, 미분계수의 정의는 모두 실함수에서와 동일하다. 즉, [Definition 0.0] 복소함수 \(f\)가 \(c\in \Bbb C\)에 대하여 \[f'(c)=\displaystyle \lim_{z\to c} \frac{f(z)-f(c)}{z-c}=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\]가 존재하면 함수 \(f\)가 \(c\in \Bbb C\)에서 미분가능하다고 하고, \(f'(c)\)의 값을 \(c\)에서의 미분계수라고 한다. 극한은 유일하게 존재해야 하므로, 경로와 관계없이 \(z\..

컴팩트화 일반적인 위상 공간은 점을 추가하여 컴팩트공간으로 만들 수 있다. 이를 컴팩트화라고 한다. 대표적으로 복소함수론에서 다루는 \(\Bbb C\)의 컴팩트화가 있다. [Example 0.0] 그림과 같이 구 \(S: x^2+y^2+(z-1)^2=1\) 위의 점 \((0, 0, 2)\)와 \(xy\)평면 위의 한 점 \(p\)를 지나는 직선을 그리면 그 직선과 구 \(S\)는 한 점 \(p'\)에서만 만난다. 이를 이용하면 복소평면 \(\Bbb C\)의 임의의 점과 구 \(S\) 위의 한 점은 일대일대응이 됨을 알 수 있다. 이때 구 위의 점 \((0, 0, 2)\)와 대응되는 점을 \(\infty\)라고 하자. 이때 함수 \(f: \Bbb S \to \Bbb C\cup \{\infty\}\)를 \(..